Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία καμπύλη που έχει κορυφή το σημείο β Δ K,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα αν α > 0 και γνησίως α β αύξουσα αν α < 0, ενώ στο διάστημα, + είναι γνησίως αύξουσα αν α > 0 α και γνησίως φθίνουσα αν α < 0.
61 Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1, x Δ ισχύει: αν x 1 < x, τότε f(x 1 ) < f(x ) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1, x Δ ισχύει: αν x 1 < x, τότε f(x 1 ) > f(x ) Όλα τα παραπάνω μπορούμε να τα συγκεντρώσουμε σε δύο πίνακες. x - β + α x - β + α f(x)=αx +βx+γ α > 0 Δ 4α ελάχιστο f(x)=αx +βx+γ α < 0 Δ 4α μέγιστο Στον πρώτο πίνακα βλέπουμε ότι αν α > 0 η συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, β α, παίρνει τη μικρότερη τιμή της για β x = o α β και είναι γνησίως αύξουσα στο, + α. Στο δεύτερο πίνακα βλέπουμε ότι αν α < 0 η συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, β α, παίρνει τη μέγιστη τιμή της για β x = o α β και είναι γνησίως φθίνουσα στο, + α. Στην παράγραφο που θα αναλύσουμε στη συνέχεια θα δούμε μία μέθοδο με την ο- ποία μπορούμε να μελετήσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση μας δίνεται και ως προς τη μονοτονία και ως προς τα ακρότατα.
6 Θα αναπτύξουμε τη μέθοδο μελετώντας τη συνάρτηση f(x) = x (x ) = x - x. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x x στα σημεία που έχουν τεταγμένη μηδέν, δηλαδή στα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση: x = 0 y = 0 f(x) = 0 x (x ) = 0 x = Επειδή α = 1 > 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, 1), παρουσιάζει ελάχιστο στο x ο = 1 και είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (1, + ). y y x 0-1 1 x x 0 1 x -1 y y Αν σχεδιάσουμε τις εφαπτόμενες της καμπύλης στα σημεία που έχουν τετμημένη μικρότερη του 1, δηλαδή x (-, 1), θα δούμε ότι αυτές έχουν αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή είναι ευθείες της μορφής y = αx + β με α < 0, ενώ αν σχεδιάσουμε τις εφαπτομένες στα σημεία με x > 1, θα δούμε ότι έχουν θετικό συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή είναι ευθείες της μορφής y = αx + β με α > 0. Στο σημείο (1, -1) που είναι το ελάχιστο της συνάρτησης η εφαπτομένη της καμπύλης είναι η ευθεία y = -1, που είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σε προηγούμενη παράγραφο είδαμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο (x ο, f(x ο )) είναι f (x ο ). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι για τη συνάρτηση f(x) = x (x ) για κάθε x < 1 είναι f (x ο ) < 0, για κάθε x > 1 είναι f (x ο ) > 0 ενώ για x = 1 είναι f (x ο ) = 0 αφού οι ευθείες που είναι παράλληλες προς τον άξονα x x έχουν συντελεστή διεύθυνσης μηδέν. Ας εξετάσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) = x (x ) = x - x. Είναι f (x) = x, f (x) = 0 x = 0 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1
63 και f (x) < 0 x < 0 (x 1) < 0 x 1 < 0 x < 1 f (x) > 0 x > 0 (x 1) > 0 x 1 > 0 x > 1 Θα συγκεντρώσουμε σε έναν πίνακα τα συμπεράσματά μας για το πρόσημο της παραγώγου της f και για τη μονοτονία της. x - 1 + f (x) = x - 0 + -1 f(x) = x - x ελάχιστο Τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τη μελέτη της συνάρτησης f(x) = x - x και της παραγώγου της, αποδεικνύεται ότι ισχύουν και για κάθε άλλη συνάρτηση. Για τη μονοτονία μιας συνάρτησης f αποδεικνύεται ότι: Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Για τα ακρότατα της συνάρτησης f αποδεικνύεται ότι: Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x ο ) > 0 στο (α, x ο ) και f (x ο ) < 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x ο μέγιστο. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x ο ) < 0 στο (α, x ο ) και f (x ο ) > 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x ο ελάχιστο.
64 Ένα σημείο x ο λέγεται εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ, όταν δεν είναι άκρο του διαστήματος. Ας δούμε στη συνέχεια πώς εργαζόμαστε για να βρούμε τη μονοτονία και τα ακρότατα μιας συνάρτησης. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση και βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της πρώτης παραγώγου. Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης f (x) = 0. Βρίσκουμε το πρόσημο της f στα διαστήματα που δημιουργούν οι λύσεις της f (x) = 0, λύνοντας την ανίσωση f (x) > 0 ή την ανίσωση f (x) < 0. Αν υπάρχει δυσκολία στην επίλυση της ανίσωσης, γνωρίζοντας ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα υποδιαστήματα που ορίζουν οι λύσεις, δίνουμε μία τιμή στο x από κάθε υποδιάστημα και βρίσκουμε το πρόσημο της f. Συγκεντρώνουμε όλα τα παραπάνω σ' έναν πίνακα, από τον οποίο προκύπτουν οι πληροφορίες για τη μονοτονία και τα ακρότατα της f.
65 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = αx + βx + γ, α 0. Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι f (x) = αx + β και το πεδίο ορισμού της είναι το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0, αx + β = 0 αx = -β x = β. α Για το πρόσημο της f έχουμε: f (x) > 0 αx + β > 0 αx > -β β x >, αν α > 0 α β x <, αν α < 0 α Συμπληρώνουμε στη συνέχεια δύο πίνακες, έναν για την περίπτωση που α > 0 και έναν για την περίπτωση που α < 0. α > 0 x - β + α f (x) + f(x) Δ 4α α < 0
67 1000 t 1000 t p (t) = 1000 + = (1000) + = 100 + t 100 + t (1000 t) (100 + t ) 1000t (100 + t ) = 0 + = (100 + t ) 1000 (100 + t ) 1000 t (0 + t) = = (100 + t ) 100.000 + 1000 t 000 t 100.000 1000 t = = (100 + t ) (100 + t ) Η p ορίζεται για κάθε t > 0 αφού (100 + t ) 0 για κάθε t. Λύνουμε την εξίσωση p (t) = 0 100.000 1000 t = = = (100 + t ) p (t) 0 0 100.000 1000 t 0 100.000 = = = = ± = ±, όμως 1000 1000 t 100.000 t t 100 t 100 t 10 t > 0, άρα t = 10. Βρίσκουμε το πρόσημο της p στα υποδιαστήματα (0, 10) και (10, + ). 1ος τρόπος Επειδή (100 + t ) > 0 για κάθε t, το πρόσημο της εξαρτάται από το πρόσημο του 100.000 1000 t. 100.000 1000 t p(t) = (100 + t ) Το τριώνυμο 100.000 1000 t = -1000t + 100.000 είναι ομόσημο του συντελεστή του t εκτός των ριζών -10 και +10, ενώ είναι ετερόσημο του συντελεστή του t στο διάστημα (-10, +10). Το τριώνυμο αx + βx + γ είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α και εκτός των ριζών ομόσημο του α.
68 Ο συντελεστής του t είναι το -1000 < 0 άρα στο διάστημα (0, 10) το τριώνυμο είναι θετικό και στο διάστημα (10, + ) είναι αρνητικό. Επειδή στη συγκεκριμένη άσκηση το t εκφράζει χρόνο και είναι μόνο θετικό μελετάμε τη συνάρτηση μόνο στο (0, + ) και όχι στο (-, 0). ος τρόπος Λύση της εξίσωσης p (t) = 0 στο (0, + ) είναι το 10, οπότε η p έχει σταθερό πρόσημο στα υποδιαστήματα (0, 10) και (10, + ) το οποίο μπορούμε να βρούμε δίνοντας στο t μία τυχαία τιμή από κάθε υποδιάστημα. 100.000 1.000 1 100.000 1000 99.000 Για t = 1 είναι p(1) = = = > 0 (100 + 1 ) (100 + 1) 101 Για t = 0 είναι 100.000 1.000 0 100.000 1000 400 p(0) = = (100 + 0 ) (100 + 400) 100.000 400.000 300.000 = = < 0 500 500 Επομένως, p (t) > 0 για κάθε t (0, 10) και p (t) < 0 για κάθε t (10, + ). t 0 10 + p (t) + p(t) 1050 Η συνάρτηση p(t) παρουσιάζει μέγιστο για t = 10, δηλαδή ο πληθυσμός των βακτηριδίων θα είναι μέγιστος μετά από 10 ώρες.
69 Για να βρούμε τον πληθυσμό αυτό αρκεί να αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση το t = 10. Είναι: 1000 10 10.000 10.000 p(10) = 1000 + = 1000 + = 1000 + = 1000 + 50 = 1050 100 + 10 100 + 100 00 Ôá óçìáíôéêüôåñá óçìåßá ðïõ ðñýðåé íá óõãêñáôþóåôå áðü ôçí ðáñüãñáöï Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x o ) > 0 στο (α, x o ) και f (x o ) < 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x ο μέγιστο. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x o ) < 0 στο (α, x o ) και f (x o ) > 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x ο ελάχιστο. Αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) < 0, τότε η f παρουσιάζει (τοπικό) μέγιστο στο x = x ο Αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) > 0, τότε η f παρουσιάζει (τοπικό) ελάχιστο στο x = x ο
70 Κάθε συνάρτηση μπορεί να έχει ένα μόνο ολικό μέγιστο και ένα μόνο ολικό ελάχιστο. Σε σημεία που δεν ορίζεται μία συνάρτηση, δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα ακόμη και αν η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών. Σε σημεία που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης αλλά δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών, η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα. 1. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x ο μέγιστο ισχύει ότι f (x ο ) = 0;. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f (x ο ) = 0, είναι το x ο τοπικό ακρότατο της συνάρτησης; 3. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν: f (x o ) = 0 και f (x ο ) 0, παρουσιάζει η f τοπικό ακρότατο στο x ο ; 4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ, πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f(x) g(x) = 0; 5. Για τη συνάρτηση f(x) = x 3 ισχύει f (0) = 0. Είναι το x = 0 τοπικό ακρότατο της f; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
71 Οι «ερωτήσεις για έλεγχο γνώσεων» ακολουθούν τη σειρά με την οποία γράφεται η θεωρία. Αυτό σημαίνει ότι οι απαντήσεις δίνονται στη θεωρία με τη σειρά που δίνονται οι ερωτήσεις. Μην προχωράτε στην επόμενη ερώτηση αν δεν απαντήσετε πλήρως και με ακρίβεια στην προηγούμενη ερώτηση. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι συγκεκριμένες και «λακωνικές». Οι ερωτήσεις είναι τόσες ώστε να καλύπτουν όλη τη θεωρία και να βοηθούν στη συνέχεια στη λύση των ασκήσεων. Για διευκόλυνση στο τέλος της παραγράφου δίνονται οι απαντήσεις στις «Ερωτήσεις για έλεγχο γνώσεων». Για την καλύτερη κατανόηση των απαντήσεων να ανατρέχετε και να διαβάζετε το ανάλογο κομμάτι της θεωρίας. Αφού απαντήσετε ικανοποιητικά στις ερωτήσεις, μπορείτε άφοβα να προχωρήσετε στις ασκήσεις. Μελετώντας την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης μπορούμε να διαπιστώσουμε το είδος της μονοτονίας και τα ακρότατά της, αν υπάρχουν. Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση και βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της πρώτης παραγώγου. Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης f (x) = 0. Βρίσκουμε το πρόσημο της f στα διαστήματα που δημιουργούν οι λύσεις της f (x) = 0 λύνοντας την ανίσωση f (x) > 0 ή την ανίσωση f (x) < 0. Αν υπάρχει δυσκολία στην επίλυση της ανίσωσης, γνωρίζοντας ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα υποδιαστήματα που ορίζουν οι λύσεις, δίνουμε μία τιμή στο x από κάθε υποδιάστημα και βρίσκουμε το πρόσημο της f. Στα διαστήματα που η f είναι θετική, η f είναι αύξουσα, ενώ στα διαστήματα που η f είναι αρνητική, η f είναι φθίνουσα.
7 Τα ακρότατα μιας συνάρτησης τα αναζητούμε στις λύσεις της εξίσωσης f (x) = 0 με εφαρμογή του κριτηρίου της πρώτης παραγώγου ή της δεύτερης παραγώγου, και στα άκρα του πεδίου ορισμού της f, αν αυτή ορίζεται σε κλειστό διάστημα. Σύμφωνα με το κριτήριο της πρώτης παραγώγου: αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x) > 0 στο (α, x o ) και f (x) < 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο (α, β) για x = x ο μέγιστο. αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 για x ο (α, β), f (x) < 0 στο (α, x o ) και f (x) > 0 στο (x ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο (α, β) για x = x ο ε- λάχιστο. Σύμφωνα με το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου: αν η f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β) και x ο (α, β), τότε: αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) < 0, η f παρουσιάζει (τοπικό) μέγιστο στο x = x ο. αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) > 0, η f παρουσιάζει (τοπικό) ελάχιστο στο x = x ο. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) = 0, τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της ης παραγώγου για τον προσδιορισμό των ακρότατων της f. Στα σημεία που δεν ορίζεται η συνάρτηση, δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα ακόμη και αν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών. Στα σημεία που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης, αλλά δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών, η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατα. Πριν προχωρήσουμε στην επίλυση των ασκήσεων θα υπενθυμίσουμε πώς λύνονται μερικές βασικές εξισώσεις και ανισώσεις. Εξισώσεις α βαθμού β αx + β = 0 αx = -β x =, α 0 α
73 β βαθμού αx + βx + γ = 0. Βρίσκουμε τη διακρίνουσα: Δ = β 4αγ εάν Δ > 0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες τις: β+ Δ β Δ x 1 =, x = α α εάν Δ = 0 η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την xo β = α εάν Δ < 0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις. γ ή μεγαλύτερου βαθμού α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α ο = 0 Η εξίσωση λύνεται με το σχήμα Horner π.χ. Έστω η εξίσωση x 3-3x + x + = 0 Οι πιθανές λύσεις είναι οι διαιρέτες ±1, ± του σταθερού όρου. Θα εξετάσουμε αν το ρ = 1 είναι ρίζα. 1-3 1 1 /// 1 - -1 1 - -1 1 Το ρ = 1 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Γράφουμε τους συντελεστές της εξίσωσης. Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή, το 1, και το πολλαπλασιάζουμε με το ρ = 1. Το γινόμενο το γράφουμε κάτω από το δεύτερο συντελεστή, το -3 και αφαιρούμε. Συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι και τον τελευταίο συντελεστή. Αν στην τελευταία αφαίρεση βρούμε υ- πόλοιπο 0 τότε το ρ = 1 είναι ρίζα, διαφορετικά δεν είναι. Θα εξετάσουμε αν το ρ = είναι ρίζα. 1-3 1 /// - - Το ρ = είναι ρίζα της εξίσωσης. 1-1 -1 0
74 Ρητές εξισώσεις Ρ 1(x) P (x) P v(x) + +... + = 0 Q (x) Q (x) Q (x) 1 v Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, οπότε αυτοί απαλείφονται. Έτσι προκύπτει εξίσωση α, β, βαθμού. Εκθετικές εξισώσεις α x = β, όπου α > 0, α 1 και β > 0. Η λύση της εξίσωσης είναι η x = Λογαριθμικές εξισώσεις logα β logα x = β, όπου α > 0, α 1 και x > 0. Η λύση της εξίσωσης είναι η x = α β Ανισώσεις α βαθμού Έστω αx + β > 0 ή αx + β < 0, τότε λύνουμε την εξίσωση αx + β = 0, λύση β β της είναι η x =, α 0. Στο διάστημα, + η παράσταση αx + β είναι ομόσημη του α, ενώ στο διάστημα, είναι ετερόσημη του α. α α β α x - β + α αx + β α > 0 αx + β α < 0 + +
75 β βαθμού Έστω αx + βx + γ > 0 ή αx + βx + γ < 0 με α 0, λύνουμε την εξίσωση αx + βx + γ = 0 με τη μέθοδο της διακρίνουσας. Αν Δ > 0 το τριώνυμο αx + βx + γ είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α και εκτός των ριζών ομόσημο του α. x - x 1 x + αx + βx + γ α > 0 + + αx + βx + γ α < 0 + Αν Δ = 0 το τριώνυμο αx + βx + γ είναι σ' όλο το, εκτός από τη ρίζα β x ο =, ομόσημο του α. α x - x ο + αx + βx + γ α > 0 αx + βx + γ α < 0 + + Αν Δ < 0 το τριώνυμο αx + βx + γ είναι σ' όλο το ομόσημο του α. x - + αx + βx + γ α > 0 αx + βx + γ α < 0 +
76 γ ή μεγαλύτερου βαθμού α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α ο > 0 ή α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α ο < 0 Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α ο = 0 και ξεκινώντας από δεξιά με το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου τοποθετούμε τα πρόσημα εναλλάξ στα διαστήματα. x - ρ 1 ρ ρ 3 ρ 4 + α ν x ν + + α ο α ν > 0 α ν x ν + + α ο α ν < 0 + + + + + Εάν κάποιες ρίζες εμφανίζονται περισσότερες από μία φορές, τότε στην περίπτωση που εμφανίζονται σε μονό αριθμό, τοποθετούμε τα πρόσημα όπως προηγουμένως, ενώ στην περίπτωση που εμφανίζονται σε ζυγό αριθμό, τα πρόσημα δεξιά και αριστερά από αυτή τη ρίζα δεν αλλάζουν. Έστω ρ τριπλή ρίζα x - ρ 1 ρ ρ 3 + α ν x ν + + α ο α ν > 0 + + α ν x ν + + α ο α ν < 0 + + Έστω ρ 3 διπλή ρίζα. x - ρ 1 ρ ρ 3 ρ 4 + α ν x ν + + α ο α ν > 0 + + + + +
77 α ν x ν + + α ο α ν < 0 Ρητές ανισώσεις Ρ 1(x) P (x) P v(x) + +... + > 0 ή Q (x) Q (x) Q (x) 1 v Ρ 1(x) P (x) P v(x) + +... + < 0 Q (x) Q (x) Q (x) 1 v Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα προσέχοντας ώστε αν πολλαπλασιάσουμε με αρνητική παράσταση να αλλάξουμε τη φορά της ανισότητας. Τότε η ανίσωση παίρνει τη μορφή A(x) 0 B(x) > ή A(x) < 0 η οποία ισοδύναμα γράφεται Α(x) Β(x) > 0 ή Α(x) Β(x) < 0 και λύνεται ως ανίσωση α, B(x) β βαθμού. Εκθετικές ανισώσεις α x < α β ή α x > α β, τότε αν α > 1 θα είναι x < β ή x > β αντιστοίχως αν 0 < α < 1 θα είναι x > β ή x < β αντιστοίχως Λογαριθμικές ανισώσεις log α x < log α β ή log α x > log α β, τότε: αν α > 1 θα είναι x < β ή x > β αντιστοίχως αν 0 < α < 1 θα είναι x > β ή x < β αντιστοίχως. A ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i) f(x) = x - x ii) f(x) = -3x + 6 iii) f(x) = x - x + 4 λύση
78 i) Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι: f (x) = x με πεδίο ορισμού το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0. f (x) = 0 x = 0 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Λύνουμε την ανίσωση f (x) > 0 για να βρούμε το πρόσημο της f. f (x) > 0 x > 0 x > x > 1 (και f (x) < 0 x < 0 x < x < 1) x - 1 + f + f Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x ο = 1. Η ελάχιστη τιμή της f είναι: f(1) = 1 1 = 1 = -1. ii) Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι: f (x) = -6x με πεδίο ορισμού το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0. f (x) = 0-6x = 0 x = 0 Λύνουμε την ανίσωση f (x) > 0 για να βρούμε το πρόσημο της f. f (x) > 0-6x > 0 6 (-x) > 0 -x > 0 x < 0 (και f (x) < 0-6x < 0 6(-x) < 0 -x < 0 x > 0) x - 0 + f + f Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x ο = 0. Η μέγιστη τιμή της είναι:
79 f(0) = -3 0 + 6 = 6. iii) Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι: f (x) = x με πεδίο ορισμού το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0. f (x) = 0 x = 0 x = x = : x = 1 Λύνουμε την ανίσωση f (x) > 0 για να βρούμε το πρόσημο της f. f (x) > 0 x - > 0 x > x > 1 (και f (x) < 0 x < 0 x < x < 1) x - 1 + f + f Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x ο = 1. Η ελάχιστη τιμή της είναι: f(1) = 1 1 + 4 = 1 + 4 = -1 + 4 = 3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i) f(x) = x 3 6x + 5 ii) f(x) = -x 3 + 3x + 1 λύση i) Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι: f (x) = 3x 1x με πεδίο ορισμού το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0. f (x) = 0 3x 1x = 0 3x (x 4) = 0 3x = 0 x = 0 x 4 = 0 x = 4 Η f είναι δευτέρου βαθμού, οπότε εντός των ριζών είναι ετερόσημη του α = 3 και εκτός των ριζών είναι ομόσημη του α = 3.
80 x - 0 4 + f + + f Η f παρουσιάζει μέγιστο για x = 0 το f(0) = 0 3 6 0 + 5 = 5 και ελάχιστο για x = 4 το f(4) = 4 3 6 4 + 5 = 64 96 + 5 = -7. ii) Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η παράγωγός της είναι: f (x) = -3x + 3 με πεδίο ορισμού το. Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0. f (x) = 0-3x + 3 = 0-3 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 x = ± 1 x = ± 1 Η f είναι δευτέρου βαθμού, οπότε εντός των ριζών είναι ετερόσημη του α = -3 και εκτός των ριζών είναι ομόσημη του α = -3. x - -1 1 + f + f Η f παίρνει την ελάχιστη τιμή για x = -1 την f(-1) = -(-1) 3 + 3(-1) + 1 = -(-1) 3 + 1 = 1 3 + 1 = 3 = -1 και την μέγιστη τιμή για x = 1 την f(1) = -1 3 + 3 1 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3.
81 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x 3 δεν παρουσιάζει ακρότατο. λύση H συνάρτηση f είναι πολυωνυμική οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το. Η πρώτη παράγωγος της f είναι: f (x) = (x 3 ) = 3x Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0 f (x) = 0 3x = 0 x = 0 x = 0 Επειδή x > 0 για κάθε x η f (x) = 3x είναι θετική για κάθε x. Συμπληρώνουμε πίνακα προσήμων για την f και βρίσκουμε τη μονοτονία της f. x - 0 + f + + f Παρατηρούμε ότι η f αν και μηδενίζεται στο x ο = 0 δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτού, οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ' όλο το και δεν παρουσιάζει ακρότατα. cm, να βρείτε εκεί- Από όλα τα ορθογώνια που έχουν διαγώνιο δ = 8 νο που έχει τη μέγιστη περίμετρο.
8 λύση Α Β Έστω x, y το μήκος και το πλάτος, αντίστοιχα, του ορθογωνίου που έχει διαγώνιο 8 cm. 8 y Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές x, y και υ- ποτείνουσα 8. Δ x Γ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε μία σχέση μεταξύ των x και y. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Επομένως: ΒΔ = ΒΓ + ΓΔ (αντικαθιστούμε: ΒΔ = 8, ΒΓ = y, ΓΔ = x) ( ) 8 = y + x (είναι ( ) 18 = y + x (λύνουμε ως προς y ) 8 = 8 = 64 = 18 ) y = 18 x (εφαρμόζουμε την ιδιότητα: αν x = α, τότε x = ± α, α > 0) y =± 18 x Επειδή το y εκφράζει μήκος παίρνουμε μόνο τη θετική τιμή, άρα y = 18 x με y > 0 και x > 0, για το x επιπλέον πρέπει να ισχύει 18 x > 0. Το τριώνυμο 18 x είναι θετικό εντός των ριζών που είναι οι x1 = 18 και x = 18 οπότε πρέπει 18 < x < 18 ή 8 < x < 8, όμως x > 0 άρα 0 < x < 8. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι Π = x + y = x + 18 x.
83 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x + (0, 8 ). Η παράγωγος της f είναι: 18 x με πεδίο ορισμού το διάστημα (18 x ) x f(x) = ( x + 18 x ) = + = + = 18 x 18 x x 18 x x = = 18 x 18 x Λύνουμε την εξίσωση f (x) = 0 f (x) 0 18 x x 0 18 x x 0 18 x x = = = = 18 x ( ) 18 x x 18 x x 18 x x 18 x = = = = x = 18 : x = 64 x = ± 8 x = 8 (η αρνητική λύση απορρίπτεται) Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της f. 18 x 18 x 18 x ( ) ( ) x x (x) 18 x x 18 x f (x) = = = = ( 18 x ) 18 x x 18 x ( 18 x ) x( x) = = = ( 18 x ) (18 x ) 18 x (18 x ) x 56 x x 56 + + = = = (18 x ) 18 x (18 x ) 18 x (18 x ) 18 x Για x = 8 είναι: 56 56 56 f (8) = = = = (18 8 ) 18 8 (18 64) 18 64 64 64 56 56 1 = = = < 0 64 8 51
84 Αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) < 0, τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο x = x ο. Αν ισχύουν f (x ο ) = 0 και f (x ο ) > 0, τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = x ο. Σύμφωνα με το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου η f παρουσιάζει στο x = 8 τοπικό μέγιστο. Για x = 8 το y είναι: y = 18 8 = 18 64 = 64 = 8 Επομένως απ' όλα τα ορθογώνια με διαγώνιο 8 cm την έχει το τετράγωνο με πλευρά 8 cm. τη μέγιστη περίμετρο
85 1. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: i) f(x) = x + 1 x ii) f(x) = x + (1 x) iii) 1 f(x) = x +, x 0 x. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν ακρότατα: i) f(x) = x 3 1 ii) f(x) = e x - 1 iii) f(x) = -x 3 + x 4x 1 3. Από δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 4 να βρείτε αυτούς που έχουν μέγιστο γινόμενο. 4. Η θέση (σε cm) ενός υλικού σημείου, που κινείται πάνω σ' έναν άξονα, δίνεται από τον τύπο: x = x(t) = t 3 + 3t - 1t + 1, t 0, t σε sec Να βρείτε την ελάχιστη ταχύτητα του σημείου. 5. Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης f(x) = x 3-4x + 8x 3 για την οποία ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης γίνεται ελάχιστος.