Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 4-5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:. f (x) = (3x ) 4x. f (x) = ln(4 x x 56) 3. f 3 (x) = ln [ ln ( )] 6x+5 3x+7 4. f 4 (x) = x +8x 9 4 Λύση:. Πρέπει 3x > 3(x 4) > (x )(x+) > {x < ή x > }. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f ) = (,) (,+ ).. Πρέπει 4 x x 56 > x x 56 >. Θέτοντας y = x έχουµε y y 56 > {y < 7 ή y > 8} x < 7 (αδύνατη), και x > 8 x > 3 x > 3. Εποµένως D(f ) = (3,+ ). 3. Πρέπειln [ ln ( 6x+5 3x+7 lne 6x+5 3x+7 > e 6x+5 3x+7 )] > ln [ ln ( 6x+5 3x+7 e > (6+3e)x+(5 7e) 3x+7 7) > 7e 5 6+3e < x < 7 3. Άρα D(f 3) = ( 7e 5 6+3e, 7 3). )] ( > ln ln 6x+5 ) ( 3x+7 > ln 6x+5 > [(6+3e)x+(5 7e)]( 3x+ 3x+7) > 4. Πρέπει x +8x 9 4 x +8x 9 4 {x +8x 9 4 ή x +8x 9 4} {x +8x 33 ή x +8x+5 } {(x ή x 3) ή 5 x 3}. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f 4 ) = (,] [ 5, 3] (3,+ ). Άσκηση : Να ϐρεθεί (αν υπάρχει) η αντίστροφη συνάρτηση των:. f (x) = x+ x +. f (x) = 3x +3 x
Λύση:. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε: D(f ) = R. Για κάθε x,x R µε f(x ) = f(x ) έχουµε x + x + = x + x + x + x + = x x x ++x + (x +)(x +) = x +x x x +x x = (x +)(x +) + x x + x x = x x + x + x + x x x x = (x x ) = x = x. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέφεται. Θέτουµε y = x + x + y x = x + και επειδή x + > για κάθε x R έχουµε y x > y > x, οπότε (y x) = x + x = y για y. y Εχουµε επίσης y > x y > y y y + > (y + )y > y >. y y Άρα ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης είναι f (x) = x µε πεδίο ορισµού x D(f ) = (,+ ).. Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε: D(f ) = R. Για κάθε x,x R µε 3 f(x ) = f(x ) έχουµε x = 3x +3 x +3 x 3x +3 x +x = 3 x +3 x +x 3 x = 3 x x = x. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέφεται. Θέτουµε y = 3x 3 x = y +3 x y µε y. Επειδή 3x > έχουµε y > < y < y. Εποµένως για την αντίστροφη συνάρτηση έχουµε3 y = x yln3 = ln( x x x) f x) (x) = ln( x, µε πεδίο ορισµού D(f ln3 ) = (,) αφού πρέπει x x >. Άσκηση 3: Να υπολογιστούν τα όρια: x 3 3x x+3. lim x x +x 3 x +8x+6. lim x 4 x+4 3. lim x 4. lim x x 4+ x x x x 4 Λύση: Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε απροσδιοριστία.. Το πεδίο ορισµούd(f) της συνάρτησηςf(x) = x3 3x x+3 x +x 3 είναιd(f) = R { 3,}. Για κάθε x D(f) έχουµε f(x) = (x 3)(x ) (x )(x+3) = (x 3)(x+) (x+3). (x 3)(x+) lim x (x+3) = 5 = 4 5. Οπότε lim x f(x) =
. Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f(x) = x +8x+6 είναι D(f) = R { 4}. x+4 { (x+4) Για κάθε x D(f) έχουµε f(x) = = x+4, αν x < 4 = Επειδή x=4 x=4, αν x > 4 lim x 4 f(x) = lim x 4 +f(x) = δεν υπάρχει το όριο lim x 4 f(x). 3. Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησηςf(x) = x 4+ x x είναιd(f) = (,+ ). Για κάθεx D(f) έχουµε f(x) = x 4 x + x x = x++ ( x )( x+ ) x ( x ) ( x+ ) ( ) x++ x x++ x x+. Οπότε limf(x) = lim = 4+ =. x x x+ 4. Το πεδίο ορισµού D(f) της συνάρτησης f(x) = x x 4 {}. Για κάθε x D(f) έχουµε f(x) = ( x )(+ x ) (x 4)(+ = x ) (x+)(+. Οπότε lim f(x) = x ) x 8. = είναι D(f) = [,+ ) (x ) (x )(x+)(+ x ) = Άσκηση 4: Τα άτοµα κανονικού άνθρακα (άνθρακας- ή C) περιέχουν 6 πρωτόνια και 6 νετρόνια. Ο άνθρακας-4 ( 4 C) είναι ένα ϱαδιενεργό ισότοπό του που περιέχει οκτώ νετρόνια στον ατοµικό του πυρήνα. Τα ποσοστά των επιµέρους ισοτόπων σχετικά µε το συνολικό αριθµό ατόµων άνθρακα είναι (στους Ϲώντες οργανισµούς) C - 98.89%, 3 C -.% και 4 C -.%. ηλαδή έχουµε άτοµο άνθρακα-4 για κάθε τρισεκατοµµύριο ατόµων άνθρακα-. Ο άνθρακας-4 σχηµατίζεται στην ανώτερα στρώµατα της ατµόσφαιρας, όταν νετρόνια της κοσµικής ακτινοβολίας µεταλλάσσουν το άζωτο σε άνθρακα-4 µέσω της: 4 N +n 4 C +p Τα ϕυτά προσλαµβάνουν από την ατµόσφαιρα και τις δύο µορφές άνθρακα, και έτσι ο άνθρακας-4 εισέρχεται στην τροφική αλυσίδα. Οταν ένας οργανισµός πεθαίνει, παύει να απορροφά άνθρακα. Επειδή, όµως, ο άνθρακας-4 είναι ασταθής, µετασχηµατίζεται αργά και σταθερά σε άζωτο µέσω ϱαδιενεργού διάσπασης: 4 6 C 4 7 N +e + ν e Ο «χρόνος ηµιζωής» του ϱαδιενεργού ισοτόπου είναι t / = 5.73±4 χρόνια, γεγονός που αξιοποιούµε για να χρονολογήσουµε οστά, ξύλο και άλλα οργανικά υλικά µε τη µέθοδο του άνθρακα 4. Για να εφαρµοστεί η µέθοδος πρέπει όµως να υπάρχει στο δείγµα µια ορισµένη ελάχιστη ποσότητα 4, και γι αυτό µπορεί να εφαρµοστεί σε ευρήµατα ηλικίας το πολύ µέχρι 6. ετών περίπου. Η ακρίβεια χρονολόγησης διαφέρει και συναρτάται µε την ηλικία του δείγµατος. Αν το δείγµα έχει ηλικία µικρότερη των. ετών, µπορεί να χρονολογηθεί µε προσέγγιση - ετών.. ιαβάστε προσεκτικά τα εισαγωγικά. 3
. Ποιά συνάρτηση χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση 3. Βρείτε την τιµή του ϱυθµού διάσπασης,r, του 4 C. 4. Βρείτε την ηλικία µιας Αιγυπτιακής µούµιας της οποίας ο ξύλινος σαρκοφάγος ϐρέ- ϑηκε να έχει άτοµο 4 C ανά.7 άτοµα C. 5. Σε ποια περίοδο του Αιγυπτιακού πολιτισµού έζησε ο µουµιοποιηµένος Αιγύπτιος, ποια η πρωτεύουσα του την περίοδο αυτή Τι το περίεργο έχουν οι πυραµίδες αυτής της περιόδου (προαιρετική όλη η ερώτηση 5). 6. Εστω ότι ανακαλύπτεται µια απρόσµενη ϕυσική διαδικασία εµπλουτισµού των νεκρών ιστών µε 4 C, η οποία γίνεται ενεργή αµέσως µετά την αποκάλυψη/εκσκαφή της σαρκοφάγου, και η οποία την µολύνει µε 4 C σε ποσοστό 6% επί του αµόλυντου ποσοστού του. Παίρνοντας υπόψιν σας αυτό το γεγονός επανεκτιµήστε την πραγµατική ηλικία της µούµιας. Λύση:. Η συνάρτηση που χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση είναι η συνάρτηση εκθετικής µείωσης: f(t) = f()exp( rt) όπου f(t) ο αριθµός ατόµων του 4 C, r ο ϱυθµός διάσπασης του 4 C και t ο χρόνος.. Βρίσκουµε τον ϱυθµό διάσπασης χρησιµοποιώντας το χρόνο ηµιζωής για τον οποίο f(t / ) = f()/, εποµένως: f() = f()exp( rt / ) = ln(/) = 573r = r =. 3. Αφού η κανονική περιεκτικότητα ατόµων 4 C σε σχέση µε αυτά του C είναι / ενώ ϐρήκαµε ότι το ξύλο της σαρκοφάγου περιέχει /.7 άτοµα 4 C, έχουµε ότι:.7 = exp(.t) = t = 4434 years 4. Στο Παλαιό Βασίλειο (686-8 πχ.) που πρωτεύουσα είχε την Μέµφιδα. Είναι ϐαθµιδωτές πυραµίδες µε χαρακτηριστική αυτή του ϐασιλιά Ζοζέρ. 5. 6% µόλυνση σηµαίνει ότι το τελικό ποσοστό 4 C που µετράµε είναι (/.7 ) είναι κατά 6% µεγαλύτερο από το αµόλυντο ποσοστό που αντιστοιχεί στην διαδικασία διάσπασης του 4 C, που σηµαίνει ότι πρέπει να το διαιρέσω µε.6 για να ϐρω το αµόλυντο ποσοστό 4 C µε το οποίο µπορώ τελικά να κάνω την ορθή χρονολόγηση:.7.6 = exp(.t) = t = 495 years 4
Άσκηση 5: Ενα σωµατίδιο κινείται σε ευθεία τροχιά µε την συντεταγµένη του, x, να µεταβάλλεται σύµφωνα µε την εξίσωση: Βρείτε: x(t) = t 4 4t 3 +t +3t+6 Την ϑέση του µετά από δευτερόλεπτο Την ταχύτητα του µετά από δευτερόλεπτα Την επιτάχυνση του µετά από 3 δευτερόλεπτα Την µεταβολή της επιτάχυνσης του µετά από δευτερόλεπτο Σχεδιάστε το δίαγραµµα µεταβολής της επιτάχυνσης µε τον χρόνο. Λύση: x() = 8 /dt() = 4t 3 4t +4t+3 = γ = d x/dt (3) = t 8t+4 = 8 dγ/dt = 4t 8 = 6 Άσκηση 6: Αν η κίνηση ενός σώµατος καθορίζεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x(t) = t, y(t) = t 3 t µε t >. Να ϐρείτε τα σηµεία της τροχιάς στα οποία η εφαπτόµενη είναι παράλληλη µε τον άξονα Ox. Λύση: Πρώτα υπολογίζουµε την εξίσωση της τροχιάς του λύνοντας ως προς την πρώτη και αντικαθιστώντας στην δεύτερη: t = +x = y(t) = (+x) 3/ (+x) / Η παράλληλη εφαπτόµενη προς τον άξονα των x είναι αυτή για την οποία η κλίση της συνάρτησης έχει τιµή. Εποµένως υπολογίζω την κλίση της εφαπτόµενης της συνάρτησης y: m = dy = 3 (+x)/ (+x) / και την µηδενίζω: m = = m = 3x+ (+x) / = και ϐρίσκω ότι µηδενίζεται για x = /3. 5
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Ενδεικτικές Λύσεις των ασκήσεων της Οµάδας 4-5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Υπάρχει τιµή του b για την οποία η συνάρτηση: g(x) = { x 4 +exp(x )+ b, αν x < 3 tan(x +bx), αν x γίνεται συνεχής στο x = ; Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο x = ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Σχεδιάστε την g(x) µεταξύ < x < χρησιµοποιώντας όποιο πρόγραµµα γραφικών ϑέλετε (πχ., Mathematica, Matlab, IDL, gnuplot, κα). Από το γράφηµα σας ϕαίνεται λογικό το αποτέλεσµα στο οποίο καταλήξατε ιερευνήστε το ϑέµα. Λύση: Για να είναι συνεχής αυτή η συνάρτηση στο x = πρέπει το όριο από τα αριστερά και αυτό από τα δεξιά του να συµπίπτουν, πρέπει δηλαδή: Εχουµε λοιπόν ότι: και lim x lim x g(x) = lim x g(x) = lim +g(x) = g() x (x 4 +exp(x )+ 3 ) b = + 3 b lim x +g(x) = tan() = Αρα για b = 3 τα δύο πλευρικά όρια στο x = είναι ίσα µεταξύ τους και επίσης ίσα µε g(), και εποµένως η συνάρτηση είναι συνεχής για b = 3. Για να είναι παραγωγίσιµη στο x = πρέπει οι πλευρικές παράγωγοι να είναι ίσες, δηλαδή πρέπει η παράγωγος: d (x 4 +exp(x )+ 3 ) b x= = 8x 3 +xexp(x ) x= =
Σχήµα : Το αριστερό γράφηµα είναι αυτό που σας Ϲητά η άσκηση, και παρατηρώντας γύρω από το x = ϕαίνεται ότι η συνάρτηση είναι και συνεχής και αναγωγήσιµη σε αντίθεση µε αυτό που ϐγάλατε από τις πράξεις. Οµως αυτό το συµπέρασµα δεν είναι σωστό, γεγονός που ϕαίνεται αν Ϲουµάρει κάποιος πολύ κοντά στο x = ϐλέπει πράγµατι ότι η συνάρτηση ενώ είναι συνεχής δεν είναι αναγωγήσιµη, όπως ορθά υπολογίσατε. να είναι ίση µε την: d tan( x +bx ) = (4x+b)sec(x +bx) x= = 4x+b x= = b Βλέπουµε λοιπόν ότι οι δύο πλευρικές παράγωγοι είναι ίσες στο x = έαν b =, αλλά πρέπει να είναι και συνεχείς στο x = το οποίο όπως δείξαµε συµβαίνει µόνο εάν b = 3, οπότε η g(x) δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Άσκηση : ίδεται η καµπύλη: y = [ x 4 +x (exp(x) )+3x cos(xy) ] g(x) όπου g() = 6 και lim z [(g(z) 6)/z] = 4. Χρησιµοποιήστε την µέθοδο παραγώγισης πεπλεγµένης συνάρτησης και να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης και η κάθετος επί αυτής στο σηµείο x =. Λύση: Χρησιµοποιούµε την µέθοδο παραγώγισης πεπλεγµένης συνάρτησης και παίρνου- µε: [ ( dy = 8x 3 +x(exp(x) )+x exp(x)+3 x dy ) ] +y sin(xy) g(x) + [ x 4 +x (exp(x) )+3x cos(xy) ] dg(x) = dy x=x = 3g() dg(x) x=x
Παρατηρούµε ότι lim z [(g(z) 6)/z] είναι ο ορισµός της παραγώγου της συνάρτησης g(x) στοx = x =, οπότε dg(x) x= = 4. Η κλίση της εφαπτοµένης στο σηµείοx = x = είναι: m = dy x= = 8 4 = 4 και η εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας είναι (γιατί y(x ) = 6): y = 4(x )+6 = 4x+6 ενώ της καθέτου σε αυτή στο σηµείο x = x = είναι: y = 4 x+6 Άσκηση 3: Να υπολογιστεί η δεύτερη παράγωγος της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις x(t) = 4t +3t+a και y(t) = tln(t) όπου a σταθερά και να υπολογιστεί η τιµή της για t =. Λύση: Και για t = έχουµε B = 3/33 A = dy = dy/dt /dt = ln(t)+ 8t+3 B = d y = da = da/dt /dt = 3/t 8ln(t) (8t+3) 3 /t(8t+3) 8(+ln(t)) (8t+3) 8t+3 = Άσκηση 4) Σύρµα κρέµεται, σε σχήµα παραβολής, από δύο κολώνες ύψους m που απέχουν 4m. Αν το χαµηλότερο σηµείο του σύρµατος ακουµπά στο έδαφος, να προσδιοριστεί η γωνία σύρµατος - κολώνας. Λύση: Με ϐάση την εκφώνηση συµπεραίνουµε ότι µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης του σύρµατος ϑα είναι y(x) = (x/), x [,]. Υπολογίζουµε την εφαπτοµένη στο σηµείο (,) και ϐρίσκουµε ότι η Ϲητούµενη γωνία ϑα είναι 45. (ϐλέπε Σχ. ) Άσκηση 5) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις x(t) = t t και y(t) = 3t 4t, στο σηµείο Ρ µε t =. Λύση: Το σηµείο Ρ έχει συντεταγµένες (3,7). Βρίσκουµε ότι dy της εφαπτοµένης είναι y = 5 x. 3 = 6t 4 t, οπότε η εξίσωση
Σχήµα : Η γραφική παράσταση για την άσκηση 4 Άσκηση 6) Σε ένα αµµόλοφο σχήµατος ορθού κώνου ϱίχνουµε άµµο µε ϱυθµόm 3 /min, µε τέτοιο τρόπο ώστε η διάµετρος της ϐάσης να παραµένει πάντοτε ίση µε τα (3/) του ύψους. Να ϐρεθεί ο ϱυθµός µε τον οποίο ϑα αυξάνεται η ακτίνα της ϐάσης όταν ο αµµόλοφος ϑα ϕτάσει το ύψος των δύο µέτρων. Λύση: Ο όγκος είναι και τότε Εχουµε όπου dv dt V = (π/3)r h r = (3/)h h = (4/3)r V = (π/3)r h = (4π/9)r 3 ( ) dv = dt ( ) ( 4π dr r 3 dt =. Οταν h = m r = 3/ ϑα έχουµε ) ( dr dt ) = 4 π m/min. 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Ενδεικτικές Λύσεις των ασκήσεων της Οµάδας 3 4-5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να εξεταστεί εάν η συνάρτηση y = f(x) = x + x +exp(a x ) όπου a είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο σηµείο x =. Λύση: Για να είναι συνεχής αυτή η συνάρτηση στο σηµείο που ϑέλουµε πρέπει το όριο από τα αριστερά και αυτό από τα δεξιά του σηµείου να συµπίπτουν, πρέπει δηλαδή: lim x f(x) = lim +f(x) = f() x Επίσης παρατηρούµε ότι f() =. Εχουµε λοιπόν ότι: ( lim x f(x) = lim x x+exp(ax ) ) ( = lim (a+)x x+exp( ax ) ) = x x ( lim x +f(x) = lim x +x+exp(ax ) ) ( = lim (a+)x +x+exp(ax ) ) = x + x Άρα εφόσον ισχύει ότι lim x f(x) = lim +f(x) = f() συνεπάγεται ότι η συνάρτηση µας είναι συνεχής στο x =. Για να είναι παραγωγίσιµη ϑα πρέπει να ισχύει: (df/) + = (df/). λοιπόν: df = xa +axexp( ax ) = df = xa++axexp(ax ) = + x Εχουµε Άρα (df/) + (df/) και εποµένως η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο x =. Άσκηση : ίδεται η καµπύλη: Αν η συνάρτηση y = f(x) ορίζεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x(t) = a ( t+ t) και y(t) = a ( t t) µε t,,, αποδείξτε ότι: y 3d y = 4a
Λύση: Επειδή έχουµε ότι: και εποµένως: Οπότε τελικά: y 3d y +4a = a 3 (t /t) 3 dy (+ dt = a t ) ( dt = a t ) A(t) = dy = (dy/dt) (/dt) = a(+/t ) a( /t ) d y = da(t)/dt = 4t3 /dt a(t ) 3 [ ] 4t 3 a(t ) 3 +4a = 4a +4a = Άσκηση 3: Να ϐρείτε την παράγωγο dy/ των πεπλεγµένων συναρτήσεων y y(x) που ορίζονται από τις εξισώσεις:. arcsin(x/y) arctan(y/x) =. xy ln(y) = x+sin(x) Λύση: Εχουµε και df = /y x /y y/x +x /y = df = ± y x + y x +y df dy = x/y x /y /x +x /y = ( ) df dy = x y ± y x + y x +y Εποµένως dy = df/ df/dy = y x
Εχουµε οπότε: g = xy ln(y) x sin(x) = dg = y +cos(x) dg dy = xy y και εποµένως (από το Θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων): dy = dg/ dg/dy = y3 +y +tcos(x) xy Άσκηση 4) Ενα έµβολο είναι συνδεδεµένο µε µια ϱάβδο µήκους 4cm µε ένα στροφαλοµφόρο σε ένα σηµείο 5cm µακρυά από τον άξονα περιστροφής του στραφαλοµφόρου. Υπολογίστε πόσο γρήγορα περιστρέφεται το στροφαλοµφόρο όταν το έµβολο είναι cm µακρυά από τον άξονα περιστροφής και κινείται προς τον άξονα µε ταχύτητα cm/sec (Βλέπε Σχήµα). Λύση: (Πρώτη Λύση) Το Ϲητούµενο είναι ο ϱυθµός µεταβολής της γωνίας dθ/dt όταν το a = cm. Από τις σχέσεις x +y = 5 () παραγωγίζοντας τις Εξ. (,) ϑα έχουµε (x a) +y = 4 () x dt +ydy dt = (3) ( (x a) dt da ) +y dy dt dt = (4) 3
Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (,, 3,4) γιαa = cm καιv = da/dt = cm/sec ϐρίσκουµε ότι x = 5/,y = 6/,/dt = (46/)v,dy/dt = (365/(4 6))v. Η γωνία θ υπολογίζεται από τη σχέση tanθ = y/x και dθ dt = xdy dt y dt = 46 6 x +y ( εύτερη Λύση) Από το τρίγωνο POQ ϑα έχουµε x +5 5cosθ = 4 και dθ dt = 5cosθ v 5sinθ για x =,cosθ = 5/,sinθ = 4 6/ ϑα υπολογίσουµε το Ϲητούµενο dθ/dt. Άσκηση 5) Αν y = x x + δείξτε ότι (+y ) d x dy +ydy = x 4. Λύση: Υπολογίζω τις παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης x = y x 3 +x x = (x3 +x) x (x +)(6x +) (x 3 +x) 3 (+y )x +yx = (+x 4 +x )x + x (x +) x 3 +x = x (x +) 8x(x +) = x 4 Άσκηση 6) Αν στις µετρήσεις της ακτίνας και του ύψους ενός κώνου κάνουµε λάθος % και % αντίστοιχα. Χρησιµοποιούµε αυτά τα δεδοµένα να υπολογίσουµε τον όγκο του κώνου. Υπολογίστε το ποσοστό του λάθους στον υπολογισµό του όγκου. Λύση: Αν r,h και V είναι η ακτίνα, το ύψος και ο όγκος του κώνου ϑα έχουµε V = π 3 r h και dv V = dr r + dh h dr r + dh h %+% = 4% 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Ενδεικτικές Λύσεις των ασκήσεων της Οµάδας 4 4-5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να ϐρεθεί για ποιο σηµείο P (x,y ) της έλλειψης x 8 + y 8 = το τρίγωνο που σχηµατίζεται απο την εφαπτοµένη της έλλειψης στο P και τους ϑετικούς ηµιάξονες έχει ελάχιστο εµβαδόν Λύση: Η εξίσωση της εφαπτοµένης και το εµβαδόν του τριγώνου xx 8 + yy 8 = E = 7 x y = 48 x 8 x έχει απόλυτο ελάχιστο στο x = και το Ϲητούµενο σηµείο είναι το P(,3). Άσκηση : Ενα εργοστάσιο µπορεί να κατασκευάσει x εκατοντάδες λάστιχα τύπου Α και y εκατοντάδες λάστιχα τύπου Β την ηµέρα όπου x 4 και y = 4 x. Το κέρδος 5 x ανά λάστιχο τύπου Α είναι διπλάσιο από το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Β. Ποιος είναι ο ιδανικός αριθµός παραγωγής (x,y) ώστε να µεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος; Λύση: Εάν το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Β είναι p, τότε το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Α είναι p και η συνάρτηση κέρδους γίνεται: P(x) = px + py = p x. Τα πιθανά 5 x ακρότατα µηδενίζουν την παράγωγο ή είναι σηµεία στα οποία δεν ορίζεται η παράγωγος ή είναι άκρα του διαστήµατος. Οµως, P (x) = p (x 5+ 5)(x 5 5) (5 x) οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σηµεία είναι ταx = 5 5,x = 5+ 5. Αφού x 4, το µόνο σηµείο
που µας ενδιαφέρει είναι το x = 5 5. Παρατηρούµε ότι η παράγωγος είναι ϑετική για < x < 5 5 (οπότε και η συνάρτηση είναι αύξουσα) και αρνητική για 5 5 < x < 4 (οπότε και η συνάρτηση είναι ϕθίνουσα). Άρα, στο σηµείο x = 5 5 έχουµε τοπικό µέγιστο µε P(5 5) = 4p(5 5),557p. Στα άκρα του διαστήµατος έχουµε P() = 8p και P(4) = 8p. Συµπεραίνουµε έτσι ότι το σηµείο (5 5,P(5 5)) είναι ολικό µέγιστο και η Ϲητούµενη λύση είναι x,76 και y 5,53 εκατοντάδες λάστιχα. Άσκηση 3: ύο πόλεις ϐρίσκονται στα νότια ενός ποταµού (ϐλέπε σχήµα). Για τις ανάγκες ύδρευσης των πόλεων πρόκειται να κατασκευαστεί στον ποταµό ένας σταθµός αντλήσεως ύδατος, άπ όπου ϑα ξεκινούν δύο αγωγοί που ϑα ϕέρουν το νερό στην κάθε πόλη. Κάθε αγωγός ϑα κατασκευαστεί επί της ευθείας που συνδέει τον σταθµό µε την αντίστοιχη πόλη. Να εκφραστεί το µήκος του αγωγού σαν συνάρτηση µιας µεταβλητής και να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή του. Λύση: Από το σηµείο Α ϕέρουµε την κάθετο (ΑΟ)=χιλ. και από το Β την κάθετό (ΒΚ)=Km. Η απόσταση (ΟΚ)=(ΟΡ)+(ΡΚ)=Km. Εστω x=(ορ). Τότε (ΡΚ)= x. Θέλουµε να ϐρούµε τη συνταγµένη x του σηµείου Ρ έτσι ώστε το µήκος L=(ΑΡ)+(ΡΒ) να είναι ελάχιστο. Επειδή L = +x + 5 +( x) () η άκρα τιµή (ή τιµές) του µήκους L ϑα είναι η ϱίζα(ή ϱίζες) που ϑα ϐρεθεί(ή ϐρεθούν) από την µηδενισµένη πρώτη παράγωγο του L ως προς x και η οποία(η οποίες) καθιστά(ή καθιστούν) τη τιµή (ή τις τιµές) της δευτέρας παραγώγου του αρνητική ή ϑετική αν έχουµε µέγιστο ή ελάχιστο, αντίστοιχα. Πράγµατι dl = x 5 +( x) +( x) +x +x = () 5 +( x) ή ή x 5 +( x) = (x ) +x (3) x (5 +( x) ) = (x ) ( +x ) (4)
ή 5 x = 4(x ) 5x = ( x) x = 7 (5) Η τιµή του µήκουςlγίνεται ελάχιστη όταν η συντεταγµένη του σηµείου Ρ είναι(x = /7) και αυτή είναι: L = L(x = /7) = 49. Άσκηση 4) Υγρό εισρέει σε κωνική δεξαµενή µε ϱυθµό 9 m 3 /min. Η δεξαµενή είναι κατακόρυφη µε την µύτη προς τα κάτω. Εχει ύψος m και κυκλική ϐάση ακτίνας 5m. Πόσο γρήγορα ανεβαίνει η στάθµη του νερού όταν το νερό που υπάρχει µέσα στη δεξαµενή κατά τυχούσα χρονική στιγµή t έχει ϐάθος 6m Λύση: Εστω: x είναι η ακτίνα της υδάτινης επιφάνειας κατά την χρονική στιγµή t, y το ϐάθος του νερού κατά την χρονική στιγµήt(y = 6m),V ο όγκος νερού µέσα στη δεξαµενή, επίσης έχουµε από την εκφώνηση ότι dv/dt = 9m 3 /min και Ϲητάµε το dy/dt. Ο όγκος του νερού µέσα στην δεξαµενή είναι: V = π 3 x y και εποµένως η χρονική µεταβολή του δίδεται από την: dv dt = π [ xy ] 3 dt +xdy dt Βλέπουµε όµως ότι δεν έχουµε τιµές για τις παραµέτρους x και /dt. Βλέπουµε όµως ότι από τα όµοια τρίγωνα που σχηµατίζονται από την προβολή του κώνου στο κάθετο επίπεδο της ευθείας οράσεως, ότι x/y = 5/ και εποµένως Άρα έχουµε: dt = 5 dy dt dv dt = π [ y 5 ] dy 3 dt + 5 ydy dt Αντικαθιστώντας τις τιµές των dv/dt και y και λύνοντας ως προς dy/dt ϐρίσκουµε dy dt =.3m/min Άσκηση 5: Υπολογίστε τις διαστάσεις (ύψους h και ακτίνας r) κυλινδρικού δοχείου α- λουµινίου χωρητικότητας 5cm 3 ώστε να ελαχιστοποιήσετε το κόστος µιας και τα αποκόµµατα αλουµούνιο δεν ξαναχρησιµοποιούνται. Θεωρήστε ξεχωριστά κοµµάτια για το 3
πλευρικό τοίχωµα και για τις ϐάσεις, ακτίνας r (οι ϐάσεις ϑα κοπούν από τετράγωνα ϕύλλα αλουµινίου). Βρείτε ποια η συνολική ποσότητα (ελαχίστου κόστους) αλουµινίου που ϑα χρειαστεί για την κατασκευή. Λύση: Τα πλευρικά κυλινδρικά τοιχώµατα µπορούν να κοπούν χωρίς απώλειες και ϑα έχουν επιφάνεια πrh, ενώ τα κυκλικά από τετράγωνα ϕύλλα επιφάνειας το κάθε ένα: (r) Άρα η συνολική επιφάνεια αλουµινίου που χρειαζόµαστε αρχικά, και που ϑέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε, είναι: A = πrh+8r Χρειαζόµαστε να απαλείψουµε τον άγνωστο h. Το πρόβληµα µας δίδει τον όγκο: V = 5 = πr h = 5 οπότε h = 5/(πr ). Άρα A = 5 +8r () r Παραγωγίζουµε και µηδενίζουµε για να ϐρούµε κρίσιµα σηµεία: da dr = 5 r +6r = = r 3 = 3.5 = r = 6.79. Εποµένως το r = 6.79 είναι κρίσιµο σηµείο και αφού η δεύτερη παράγωγος του A είναι ϑετική (d A/ = 6+/r 3 > ) σε όλο το πεδίο ορισµού, σηµαίνει ότι στο r = 6.79 έχουµε ολικό ελάχιστο και εποµένως η αντίστοιχη ελάχιστη ποσότητα αλουµινίου που ϑα χρειαστούµε ϐρίσκεται από την () και είναι: A 6. Η άλλη διάσταση του κυλίνδρου (ύψος) για την οποία έχουµε το ελάχιστο κόστος κατασκευής ϐρίσκεται από την: h = 5/(πr ) = 7.8. Άσκηση 6) Βρείτε τα διαφορικά ως προς x των συναρτήσεων: () ( ) cos(x) sin(x) f(x) = ln cos(x) + sin(x) () g(x) = sin(x cos(x) ) Λύση: () () df = cos(x) ( ) dg cos(x) = xcos(x) cos(x cos(x) ) sin(x) ln(x) x 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 5 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Ενδεικτικές Λύσεις) Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί η κλίση της καµπύλης r = sinθ στο σηµείο θ = π/3 και να υπολογισθούν τα σηµεία που η καµπύλη r(θ) έχει εφαπτόµενες παράλληλες και κάθετες στον άξονα Ox. (ϐ) Να σχεδιαστεί η καµπύλη r = cosθ. Λύση: Το Ϲητούµενο σχήµα είναι το καρδιοειδές. Οι εφαπτόµενες υπολογίζονται αρκεί να υπολογίσουµε τα x(θ),y(θ) και x(θ) = r(θ)cosθ = cosθ + sinθ y(θ) = r(θ)sinθ = sinθ+sin θ dy dy = dθ dθ = cosθ+sinθ sinθ+cosθ για dy/ = θ = π/,3π/,7π/,π/ και για /dθ = θ = 3π/,π/6,5π/6 (ϐ) Η καµπύλη r = cosθ είναι ο κύκλος (x ) + y = και υπολογίζεται µε το πολλαπλασιασµό και των δύο µελών της συνάρτησης r = cosθ µε το r. Άσκηση : ύο ακτίνες L, M (ϐλέπε σχήµα) συναντιόνται σε ένα σηµείο σχηµατίζοντας σταθερή γωνία φ. Μία ϱάβδος µε σταθερό µήκος c κινείται µε τη µία άκρη να παραµένει στην ακτίνα L και η άλλη άκρη στην M. Να υπολογισθούν τα a,b,θ σαν συνάρτηση των σταθερών c,φ όταν το b γίνεται µέγιστο.
Λύση: Ξεκινάµε µε τον κανόνα των συνηµιτόνων: c = a +b abcosφ () Μπορούµε να ϑεωρήσουµε το b ως συνάρτηση του a: Στην πραγµατικότητα υπάρχουν δύο τέτοιες συναρτήσεις, ωστόσο τα µέγιστα που παρουσιάζουν είναι τα ίδια και στο ίδιο σηµείο. ιαφορίζοντας την ως προς το a, παίρνουµε = a+b db da bcosφ adb da cosφ Για b = b(a), αναζητώντας τα ακρότατα εχουµε db da Συνδέοντας αυτό µε την, παίρνουµε εποµένως το µέγιστο b είναι και ισχύει =. Εποµένως = a bcosφ a = bcosφ c = b (cos φ+) b cosφ = b ( sin φ) = b sin φ b = c sinφ a = bcosφ = ccotφ Επιπλέον πρέπει να ϐρούµε µία σχέση για το θ όταν το b είναι µέγιστο. Ονοµάζουµε A την αντίστοιχη γωνία στην κορυφή b του τριγώνου abc, έπειτα σύµφωνα µε το ϑεώρηµα των ηµιτόνων έχουµε b sina = c sinφ Σύµφωνα µε την αυτό σηµαίνει ότι sina = και ως εκ τούτου A = π/. Από τη σχέση φ+θ+a = π, ϐρίσκουµε ότι θ = π φ στην περίπτωση που το b είναι µέγιστο. ()
Άσκηση 3: α) Υπολογίστε το όριο lim x +( + sin4x) cotx και (ϐ) και ότι tanh x = sech x. Λύση: Ξεκινώντας απο τη συναρτηση y = (+sin4x) cotx ϑα έχουµε ln(+sin4x) lim x +cotxln(+sinx) = lim x + tanx µε τη χρήση του κανόνα του L Hospital ϑα έχουµε lim x + 4cos4x +sin 4x sec x = 4 και το Ϲητούµενο όριο ϑα είναι e 4. (ϐ) Αποδεικνύουµε πρώτα οτι cosh x sinh x = και διαιρώντας κατά µέλη µε το cosh x ϕτάνουµε στη Ϲητούµενη ταυτότητα. Άσκηση 4: Να µετασχηµατίσετε σε Καρτεσιανίες συντεταγµένες τις κάτωθι, και ερµηνεύστε τι αντιπροσωπεύει κάθε µια:. r = cos(θ). r 3 = 4r sin(θ) 3. r = csc(θ)e rcos(θ) Λύση:. Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό από πολικές σε Καρτεσιανές συντεταγµένες, δηλαδή x = rcos(θ), y = rsin(θ): x +y = x x +y = x +y x = x +y ( x +y ) = x +y x = (x +y x) = x +y = x 4 +y 4 +x y x 3 xy y = Η καµπύλη αυτή είναι η Καρδιοειδής.. Εχουµε: r 3 = 4r sin(θ) = r = 4rsin(θ) = x +y = 4y = x +y 4y +4 = 4 = x +(y ) = Άρα είναι κύκλος ακτίνας και κέντρου (,). 3
3. Εχουµε: r = csc(θ)e rcos(θ) = r csc(θ) = ercos(θ) = rsin(θ) = e rcos(θ) = y = e x Η εκθετική συνάρτηση. Άσκηση 5: Αποδείξτε ότι:.. coth x = ( ) x+ ln x csch x = ln ( x + ) +x ) x Λύση:. Εχουµε: y = coth x = ex +e x z +z = e x e x z z όπου z = e x > (z,x ). Εποµένως έχουµε: z (y ) = +y µε λύση z = ± +y y και λόγω του ότι z > Άρα z = x = ln +y +y y = ex = y ( ) +y = ( ) +y y ln y και αλλάζοντας αµοιβαία το x και y, έχουµε: y = ( ) +x ln = coth x = ( ) +x x ln x. y = csch x = e x e x = z z όπου z = e x > (z,x ). Εχουµε: 4
z y z y = µε λύση z = ± +y y. Εποµένως έχουµε τις για τις λύσεις: z = y + +y y > if y > Άρα και εποµένως z = y +y y z = y + +y y x = ln = y + +y y > if y < = e x = y + +y ( y + ) +y και αλλάζοντας αµοιβαία το x και y, έχουµε: ( ) y = csch +x x = ln x + x y y Άσκηση 6: Βρείτε τα όρια δύο των κάτωθι συναρτήσεων χρησιµοποιώντας τον κανόνα l Hopital (Προσοχή: των πρώτων δύο όταν x και του τρίτου όταν x 3).. f(x) = ex e sinx x sinx. f(x) = (e x +x) x 3. Λύση: f(x) = xx 3 3 3 x x 3. lim x e x cosxe sinx limf(x) = / = lim x x cosx = / = e x +sinxe sinx cos xe sinx lim = / = x sinx e x +sinxcosxe sinx +cosxe sinx cos 3 xe sinx +cosxsinxe sinx cosx e x +3sinxcosxe sinx +cosxe sinx cos 3 xe sinx lim = x cosx = 5
. Εποµένως: Οπότε έχουµε ότι: limf(x) = x limf(x) = lim x x elnf(x) = e lim x lnf(x) ln(e x +x) limlnf(x) = lim x x x e x + = / = lim x (e x +x) = + limf(x) = lim x x elnf(x) = e 3/ = 3/ = 3. lim x 3 x x 3 3 = / = lim 3 x x3 x 3 x x (lnx+) 3 x ln3 3x 3 = 33 (ln3+) 3 3 ln3 3 3 = ln3+ ln3 =,8 r = (rcosθ) α x α + y β = + (rsinθ) β = β α β (cosθ) +α (sinθ) 6
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Ενδεικτικές Λύσεις) Άσκηση : Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια lim ( )n n n 7n lim 3 8n+3 [ lim ( n+ )( n+ ] n lim( 3 n+ n) Λύση: lim ( )n n n ( ) n n = lim = = n lim 3 7n = 3 lim 7n = 3 7 = 3 8n+3 8n+3 8 [ lim ( n+ )( n+ ] n = n+ ( n+) ( n) n++ n = n+ n++ n = Εδώ χρησιµοποιούµε την ταυτότητα: x y = x3 y 3 x +xy+y, όπου x = 3 n+ και y = 3 n. Εχουµε:
lim( 3 n+ 3 ( 3 n+) 3 ( 3 n) 3 n) = lim ( 3 n+) + 3 n+ 3 n+( 3 n) = (n+) n = lim ( 3 n+) + 3 n +n+( 3 n) = lim ( 3 n+) + 3 n +n+( 3 n) = ( ) lim 3 n = ( = 3 lim + n) +lim 3 + n + = lim Άσκηση : Να υπολογισθεί το όριο [ ] lim n + + n + +...+ n +n 3 n ( 3 n+ 3 n ) + 3 n +n 3 n + = ( 3 +) + 3 ++ =. Λύση: [ ] lim n + + n + +...+ lim n +n n +n + n +n +...+ n +n = }{{} n times [ ] lim n + + n + +...+ lim n +n n + + n + +...+ n + = }{{} n times µε ϐάση το κριτήριο της παρεµβολής το όριο ϑα είναι η µονάδα. Άσκηση 3: (α) Να εξεταστεί η µονοτονία της ακολουθίας a n που ορίζεται από τις σχέσεις a n+ = a n 3a n +3 και a = 4. Λύση: Σχηµατίζουµε τη διαφοράa n+ a n = a n 4a n+3. Το τριώνυµοx 4x+3 έχει ϱίζες,3. Εφόσον < 3 < a = 4, προκύπτει ότι a a > a > a. Για να δείξουµε ότι η ακολουθία (a n ) είναι γνησίως αύξουσα, αρκεί να δείξουµε ότι 3 < a n για κάθε n =,,... Γιαn = προφανώς ισχύει. Εστω ότι3 < a k. Τότεa k+ = a k 3a k+3 = a k (a k 3)+3 > 3 εφόσον a k 3 >. Άσκηση 4: Μελετήστε την σύγλιση των κάτωθι σειρών: n + n=
n= n n n n! ( n 3 n= ) n Λύση: Αφού είναι σειρά µη-αρνητικών όρων, έχουµε n= n + n= n +n = n= n Και αφού η αρµονική σειρά αποκλίνει: n= n έχουµε από το κριτήριο της Άµεσης Σύγκρισης ότι και η Ϲητούµενη αποκλίνει. Αφού είναι σειρά µη-αρνητικών όρων, έχουµε a n+ = ( ) n n+ = ( + ) n > ( + n n = a n n n n) Άρα από το κριτήριο λόγου η Ϲητούµενη σειρά αποκλίνει. Χρησιµοποιήσαµε ότι: (+a) n +na Αφού είναι σειρά µη-αρνητικών όρων, έχουµε lim n n an = lim n n n (/3) n = /3 < οπότε από το κριτήριο ν-οστής ϱίζας έχουµε ότι η Ϲητούµενη σειρά συγκλίνει. Άσκηση 5: είξτε ότι το ολοκλήρωµα: x(lnx) p p > συγκλίνει µόνο αν p >. Τι συνεπάγεται η απάντηση σας για την σύγλιση της σειράς: Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Λύση: x(lnx) = p x(lnx) p (lnx) (lnx) p = lnx (lnx) p 3 lnx x ( p)(lnx) (p+) =
= (lnx) p +p x(lnx) = p ( p) x(lnx) = p (lnx) p = x(lnx) = p p (lnx) p Βλέπουµε πως µόνο αν p > το ολοκλήρωµα συγκλίνει στο: ( p)(ln) p Επειδή ισχύει το κριτήριο του ολοκληρώµατος για την αντίστοιχη σειρά (συνεχής, ϑετική και ϕθίνουσα η συνάρτηση f = x (lnx) p ), ϑα συγκλίνει και η σειρά. Άσκηση 6: Μελετήστε την σύγκλιση των ακολουθιών: a n = + n n a n = 4n n a n = 5n+ lnn 5 n n Λύση: a n = + n = n + n n n a n = 4n+ +3 n 4 n = 4+ ( 3 a n = 5n+ lnn 5 n n = 5lnn n ) n 4 = lim a n = = lim n a n = 5/n n / n = / n 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 7 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Ενδεικτικές Λύσεις) Άσκηση Υπολογίστε το όριο του x της κάτωθι συνάρτησης χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα Taylor: ln( +x x f(x) = ) arctan(3x) sin x (ϐ) Βρείτε αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά (χρησιµοποιήστε κριτήρια σύγκλισης): nsin n n= ( ) n 3 Λύση: Από τα γνωστά αναπτύγµατα Taylor προσαρµοσµένα στις µεταβλητές των συναρτήσεων που µας δίδονται στο πρόβληµα αυτό, έχουµε ότι: arctan(3x) = 3x (3x)3 3 + (3x)5 5... sinx = x (x)3 + (x)5... 3! 5! ( ) ] +x ln = [x+ x3 x 3... Ο παρανοµαστής της συνάρτησης δίνεται από: arctan(3x) sinx = 3x (3x)3 + (x (3x)5 3 5... (x)3 3! ( ) 4 = x+ 3 9 x 3... + (x)5 5! )... =
Και τελικά έχουµε: limf(x) = lim x x x+/3x 3... x+(4/3 9)x 3... = lim x +/3x... +(4/3 9)x... =. Το x n είναι ϑετικό. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας. ( ) lim x n /n = lim n /n sin /n n = x x 3 3 < Άρα συγκλίνει. Άσκηση Βρείτε την σειρά MacLaurin της συνάρτησης: f(x) = ln( + 3x a ) και το διάστηµα σύγλισης της. Ποια η προσεγγιστική τιµή της εάν χρησιµοποιήσουµε τους πρώτους όρους του αναπτύγµατος MacLaurin για x =.3 και a =. Η τιµή αυτή του x είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης; Εκτιµήστε και το σχετικό σφάλµα της προσέγγισης αυτής, δηλαδή το R (x). Λύση: Θα χρησιµοποιήσουµε το γνωστό ανάπτυγµα: ln(+y) = y y + y3 3 +...+( )n yn n που έχει διάστηµα σύγλισης το < y. Για την περίπτωση µας ϑέτοντας y = 3x a παίρνουµε ln(+3x a ) = 3x a 3 x a + 33 x 3a 3 +...+( ) n 3 nxan n που τώρα ϐέβαια το διάστηµα σύγκλισης είναι το x a /3. Θέλουµε να δούµε ποιό είναι το σφάλµα της προσέγγισης της συνάρτησης αυτής (για a = ) εάν χρησιµοποιησουµε µόνο τους πρώτους όρους του αναπτύγµατος στο x =.3. Καταρχάς έχουµε ότι < x < /3 οπότε το σηµείο µας αυτό είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης. Ο γενικός τύπος της απόκλισης µιας προσέγγισης στον νιοστό όρο δίδεται στην άσκηση (µε την µόνη διαφορά που εδώ αντί για x η µεταβλητή µας είναι 3x). Στην περίπτωση µας έχουµε λοιπόν: R n (x) = x n+ f(n+) (c) (n+)! = ( ) n 3 n+ n! x n+ (+3c) n+ (n+)! Οπότε το σφάλµα της προσέγγισης στο ανάπτυγµα µέχρι και ο όρο δίδεται από την: R (x) = f(3) (c) x3 3! = 54 x 3 (+3c) 3 3!
όπου το c παίρνει τιµή µεταξύ του και του x =.3. R (.3) = 54.3 3 (+3c) 3 3! 54.33 3! = 9.3 3.43. Άρα η απόκλιση από την ορθή τιµή της συνάρτησης ϑα είναι κατά µέγιστο.43 µε µια προσέγγιση των πρώτων όρων. Πράγµατι εάν υπολογίσουµε την συνάρτηση µας µε την αριθµοµηχανή έχουµε: ln(.9) =.6485 Με την δε προσέγγιση των πρώτων όρων έχουµε: 3.3 (3.3 )/ =.495. Άρα η απόκλιση είναι:.468 < R. Άσκηση 3 Τεχνικός σε απόσταση x = 3 µέτρα από κτίριο µετρά ότι γωνία υπό την οποία ϐλέπει την ταράτσα του κτιρίου, ύψους h, είναι 75 µοίρες. Αν ϑέλουµε η εκτίµηση ύψους να έχει σφάλµα < 4%, µε πόση ακρίβεια πρέπει να µετρηθεί η γωνία; Λύση: Εχουµε tanθ = h/x = h = 3tanθ = dh = sec θdθ Η κατά προσέγγιση ποσοστιαία µεταβολή είναι: ενώ η πραγµατική µεταβολή είναι: dh h = 4 = 3sec θdθ = 4 = dθ = 3tanθ h(θ+dθ) h(θ) h(θ) = 4 = tan(75+dθ) tan(75) =.4 = tan(75+dθ) = 3.73.4 = dθ = arctan(3.88) 75 =.55 Άρα η ακρίβεια πρέπει να είναι.55 µοίρες ανάλογα µε ποιά µέθοδο ϑα την υπολογίσουµε. Άσκηση 4 Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση το ηµίτονο γωνίας, ακτινίων µε τη χρήση όρων µέχρι τρίτης τάξεως του αναπτύγµατος Taylor της συνάρτησης f(x) = sin(x) στο σηµείο x =. Εκτιµήστε επίσης το σφάλµα στον υπολογισµό του sin(,). Λύση: Από τη σειρά Taylor του ηµιτόνουsinx x x3 έχουµε την προσέγγισηsin(,) 3!, (,)3, 9867. Η εκτίµηση του σφάλµατος αυτής της προσέγγισης είναι R = 6 f (4) (ξ) (,) 4 = sin(ξ) (,) 4 (,)4 =,6,67, όπου ξ τυχαίος αριθµός στο 4! 4! 4! 4 διάστηµα (,,). Άσκηση 5 Να υπολογισθεί η σειρά που ϑα έχει τη συνάρτηση xsin(x 3 ) ως άθροισµα. Λύση: Η συνάρτηση sinu = n= ( ) n u n+ (n+)! 3
άρα και sin(x 3 ) = ( ) n (x3 ) n+ (n+)! = n= xsin(x 3 ) = n= n= ( ) n (x)6n+4 (n+)! ( ) n (x)6n+3 (n+)! Άσκηση 6 Πόσοι όροι χρειάζονται στο ανάπτυγµα MacLaurin για να προσεγγίσουµε το e µε ακρίβεια /8; Λύση: Γνωρίζουµε ότι και το λάθος άρα ϑα χρειαστούµε n = 3. R n+ = e = n k= k! +R n+ M (n+)! n+ = 3 (n+)! 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Ασκηση : Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα. A = (x 3)e x (x ). I = sin x cos 3 x Λύση :. x 3 (x ) = (x )e x e x = (x ) Το τελευταίο ολοκλήρωµα δίδεται από : Εποµένως : e x (x ) = A = e x x + e x x e x (x ) ( ) e x = ex x x + e x x ex x e x x = A = ex x = + e. I = sin x( sin x) cos x = sin xd(sin x) sin 4 x)d(sin x) = sin3 x 3 sin x( sin x)d(sin x) = sin5 x 5 + C
Ασκηση : Να ϐρεθεί το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται µεταξύ των καµπύλων g(x) = x και f(x) = x 3 x. Κατασκευάστε το σχετικό σχήµα πρώτα. Λύση : Βρίσκουµε καταρχάς τα σηµεία τοµής των δύο συναρτήσεων µε το να ϑέσουµε f(x) = g(x) δηλαδή : x = x 3 x = x 3 x x + = = (x )(x )(x + ) = Άρα οι ϱίζες της, και εποµένως τα σηµεία τοµής των συναρτήσεων, είναι τα x =, x = και x = (όπως είναι ϕανερό και από το σχετικό σχήµα). Βλέπουµε ότι στο διάστηµα [, ] η g(x) f(x) ενώ στο διάστηµα [, ] f(x) g(x) εποµένως για να υπολογίσω το εµβαδό του χωρίου µεταξύ των δύο καµπύλων χωρίζω το διάστηµα ολοκλήρωσης σε µέρη ([, ] και [, ]), υπολογίζω τα εµβαδά σε κάθε ένα από αυτά και αθροίζω στο τέλος. Εχουµε λοιπόν στο [, ] ότι g(x) f(x) = x 3 x Σχήµα : x +, άρα το εµβαδό του χωρίου µεταξύ των καµπύλων σε αυτό το διάστηµα είναι : A = (x 3 x x + ) = x 4 /4 x 3 /3 x / + x = 8/3. Και στο διάστηµα [, ] έχουµε ότι f(x) g(x) = x x 3 + x, άρα : A = ( x 3 + x + x ) = x 4 /4 + x 3 /3 + x / x = /3 Άρα το συνολικό χωρίο µεταξύ των δύο καµπύλων είναι : A = A + A = 8/3 + /3 = /3 Ασκηση 3: Υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
(α ) (ϐ ) I = I = x 6 + x(x + ) cosh x cos x Λύση : (α ) Το κλάσµα είναι καταχρηστικό, οπότε διαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρανο- µαστή : x 6 + x(x + ) = x3 x + x + x 3 + x = x x3 x + (x + ) + x(x + ) Το τελευταίο κλάσµα το αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα : x(x + ) = A x + Bx + C x + = x x x + Η αρχική συνάρτηση γράφεται τελικά : x 6 + x(x + ) = x3 x + x x + + x x x + = x3 x + x x x + και εποµένως έχουµε το ολοκλήρωµα : I = x 3 x + x x = x + I = x4 4 x + ln x + ln(x + ) + C (ϐ ) cosh x cos x = cosh x(sin x) = cosh x sin x sin x sinh x Το τελευταίο ολοκλήρωµα δίνεται από : sin x sinh x = sinh x(cos x) = sinh x cos x + cos x cosh x Συνδυάζοντας τα ϐρίσκουµε : I = (cosh x sin x + sinh x cos x)/ + C Ασκηση 4: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα : (α ) ln(tan x) sin x 3
(ϐ ) x x Λύση : ln(tan x) (α ) sin x = cot x ln(tan x) + cos x (cot x) ln(tan x) = cot x ln(tan x)+ sin x sin = cot x ln(tan x) cot x + c. x (ϐ ) Θέτουµε : t = x x = t = tdt. Εποµένως έχουµε : t t tdt = e t ln dt = ln et ln + c = ln t + c. cos x sin x x x = cos x = 5 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα (α ) sin(ln x) x (ϐ ) cos x Λύση : (α ) I = sin(ln x) = (x) sin(ln x) = x sin(ln x) x(sin(ln x)) = x sin(ln x) cos(ln x) = x sin(ln x) (x) cos(ln x) = (ϐ ) x sin(ln x) x cos(ln x) I I = [x sin(ln x) x cos(ln x)] + c. x cos x = x(tan x) = x tan x tan x = x tan x (cos x) x tan x + = x tan x + ln cos x + c. cos x sin x cos x = 6) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα (α ) cos x sin 3 x (ϐ ) tan 6 x sec x Λύση : (α ) cos x sin 3 x = cot x + c (ϐ ) tan 6 x sec x = tan7 x 7 + c 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να χρησιµοποιήσετε κριτήρια σύγκλισης για να ϐρείτε αν τα κάτωθι ολοκλη- ϱώµατα συγκλίνουν:.. Λύση:. Εχουµε ότι x (, ) ότι: e x+ x 3 x+lnx < x = x x 3 < x+ x 3 Εχουµε επίσης ότι x / αποκλίνει (επειδή η δύναµη του x είναι ). Άρα µε το κριτήριο άµεσης σύγκρισης έχουµε ότι και το x+ x 3 αποκλίνει.. Επειδή x+lnx > (x+)lnx > (x+)ln(x+)
παίρνω ως f(x) = (x+)ln(x+) & g(x) = Τότε έχω x [e, ) ότι: < f(x) < g(x) και εποµένως: b e Οπότε (x+)ln(x+) = b e [ln(x+)] ln(x+) και συνεπώς η f(x) δεν συγκλίνει. x+lnx = ln(ln(x+)) b e = ln(ln(b+)) ln(ln(e+)) lim b e (x+)ln(x+) = Άσκηση : Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα αφού διερευνήσετε και συζητήσετε την µεθοδολογία στην οποία ϑα στηριχτείτε:.. 3. I = I 3 = I = x 5 x 4 x+ arctan x x Λύση:. Βλέπουµε ότι στο υπόριζο έχουµε µια από τις µορφές για τις οποίες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αλλαγή µεταβλητών µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Επιπλέον η συνάρτηση µας δεν ορίζεται στο x = ± και εποµένως η τριγωνοµετρική συνάρτηση που ϑα χρησιµοποιήσω για την αλλαγή µεταβλητών (sinθ) ορίζεται στο π/ < θ < π/ (για να εξασφαλίσω ότι υπάρχει η αντίστροφή της). Κάνουµε λοιπόν την εξής αλλαγή µεταβλητών: x = sinθ = x = sin θ = cos θ = x = cosθ = cosθ (αφού το πεδίο ορισµού είναι το π/ < θ < π/). Επίσης έχουµε ότι = cos θdθ. Εποµένως I = lim a π/ + a I = lim a + a x 5 b + lim x 5 = +x b +x sinθ( cos θ) cosθ dθ lim cosθ b π/ b sinθ( cos θ) cosθ dθ cosθ =
I = lim a π/ + I = lim a π/ + a ( cos θ) d(cosθ) lim b π/ [ cosθ cos3 θ + cos5 θ 3 5 = I = cos+ cos3 cos5 3 5 Άρα το ολοκλήρωµα συγκλίνει στο µηδέν.. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I = ] a b lim b π/ +cos cos3 3 b = lim 4x+ b 4 x+ ( cos θ) d(cosθ) = [ cosθ cos3 θ + cos5 θ 3 5 + cos5 5 κάνουµε την εξής ϐολική αλλαγή µεταβλητών: 4 (x+) = y = dy = 4 (x+) (ln4) οπότε τα όρια του ολοκληρώµατος αλλάζουν σε: x = = y = 4 x = b = y = 4 (b+) και έχουµε: 4 (b+) I = lim b /4 4 (x+) dy ln4 4 = 4 (b+) (x+) ln4 lim dy = b /4 I = ( ln4 lim b 4 ) = b+ 4 4ln4 3. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I 3 = arctan x x b arctan x = lim b x που ορίζεται στο [, ), ακολουθούµε την διαδικασία ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, µε u = arctanx και dv = /x. Εποµένως έχουµε: [ ( I 3 = lim arctan x ) b ] b b x x(x +) Το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέρος απλοποιείται µε την µέθοδο των µερικών κλασµάτων: x(x +) = A x + Bx+C x + και παίρνουµε τελικά: A =, B =, C = = x(x +) = x x x + 3 = ] b
Άρα το ολοκλήρωµα µας γίνεται: [ arctan x I 3 = lim b ( ) b b x + b x ] x x + Για να λύσουµε το δεύτερο ολοκλήρωµα στο δεξί µέρος, κάνουµε τον εξής µετασχη- µατισµό µεταβλητών: y = x + = dy = x και παίρνουµε: ( ) x x + = ln(x +) = ln x + Οπότε το ολοκλήρωµα µας λύνεται και παίρνουµε: [ ( I 3 = lim arctan x ) ( )] b x +ln = b x x + [ ( I 3 = lim arctan b ) +ln b b ( )] b b + ( ) +arctan ln όπου το όριο της λογαριθµικής συνάρτησης δίδεται από: ( ) ( ) lim ln b = lim ln = ln = b b + b +/b και καταλήγουµε τελικά στην λύση: I 3 = π ++ π 4 +ln( ) = π 4 +ln( ) Άσκηση 3: Χρησιµοποιήστε τα κριτήρια σύγκλισης για να διερευνήσετε εάν το κάτωθι ολοκλήρωµα συγκλίνει, αφού ξεκαθαρίσετε την συµπεριφορά του στα άκρα ολοκλήρωσης: I = xsin (/x) ln(+x) Λύση: Η συνάρτησηf(x) = xsin (/x) δεν ορίζεται στο κάτω άκρο του διαστήµατος[, ) ln(+x) άρα για να ϐρούµε αν συγκλίνει ή αποκλίνει το γενικευµένο ολοκλήρωµα I πρέπει να ϐρούµε αν συγκλίνουν τα γεκικευµένα ολοκληρώµαταi καιi c (, ) (µεi = I +I ) όπου: c xsin (/x) I = lim a + ln(+x) a b I = lim b c xsin (/x) ln(+x) 4
Ας ξεκινήσουµε από το I. Εχουµε x (,c] ότι x < f(x) ln(+x). Άρα χρησιµοποιώντας το κριτήριο άµεσης σύγκρισης αρκεί να αποδείξω ότι το c x ln(+x) συγκλίνει (ή ότι η f(x) αποκλίνει). Παρατηρώ ότι η συνάρτηση x g(x) = ln(+x) και η h(x) = / x είναι ϑετικές x (, c] και εποµένως µπορώ να χρησιµοποιήσω το οριακό κριτήριο λόγου, σε µια προσπάθεια να αποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της h(x) συγκλίνει (στο c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. της g(x) ϑα συγκλίνει και εποµένως και το Γ.Ο. της f(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: g(x) lim x + h(x) = lim x x + ln(+x) = = lim x +(+x) = που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, g(x) και h(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της h(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό τηςg(x). Άρα τελικά και το Γ.Ο. τηςf(x) συγκλίνει. Στην περίπτωση του γενικευµένου ολοκληρώµατος I, χρησιµοποιώ απευθείας το οριακό κριτήριο λόγου. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιώ την συνάρτηση x g(x) = και την f(x) που είναι ϑετικές x [c, ) και εποµένως ϑα προσπαθήσω να α- ποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της g(x) συγκλίνει (στο / c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. τηςf(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: f(x) lim x g(x) = lim x xsin (/x) xln(+x)(/x) = lim x x ln(+x) lim x ( ) sin(/x) = = (/x) που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, f(x) και g(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της g(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό της f(x). 5
Αποδείξαµε λοιπόν ότι και τα δύο γενικευµένα ολοκληρώµατα I και I συγκλίνουν και εποµένως και το I(= I +I ) ϑα συγκλίνει. Άσκηση 4: Να ϐρεθεί αναδροµικός τύπος, ως προς n, για το ορισµένο ολοκλήρωµα I n = e (lnx)n, n N, και στη συνέχεια να υπολογιστεί το I 3. Λύση: Χρησιµοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε γιαn : I n = e x (lnx) n = [x(lnx) n ] x=e x= e e (lnx) n = xn(lnx) n x = e ni n. Άρα ο αναδροµικός τύπος είναι I n = e ni n και ισχύει για n µε I = e = e. Εποµένως έχουµε I = e I = e (e ) =, I = e I = e, I 3 = e 3I = e 3(e ) = 6 e. Άσκηση 5: Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα / x. arcsin(x) / +x. / / 3. Λύση: x+ x +e x. Ξαναγράφουµε το ολοκλήρωµα / x / / +x arcsinx = / / arcsinx+ x / x x arcsinx Υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα για το δεύτερο µέρος µε u = arcsinx και dv = x x και προκύπτει du = και v = x x : / / x / arcsin x = [arcsinx x ] / x / / = π 3 Εποµένως: / / x +x arcsinx = π 3 6
. Αλλάζουµε τις µεταβλητές: t = sinθ,dt = cosθdθ. / / x+ x = = = π/6 π/6 π/6 π/6 π/6 π/6 π/6 cos θdθ sinθ+cosθ cosθ(cosθ sinθ) cos θ sin dθ θ +cosθ sinθ dθ cosθ = (secθ+ tanθ)dθ π/6 = [ lntanθ+secθ +θ ] π/6 ln secθ π/6 = ln( 3+)+ π 6 3. Εχουµε u = e x +,du = e x. Επειτα e x +e = du x e x + = u = lnu +C = ln(+e x )+C και από το παραπάνω παίρνουµε +e x = lim c c +e x = lim c [ln(+e x )] c = lim c (ln(+e c ) ln) = ln Άσκηση 6:Αν f(x) είναι µια συνεχής συνάρτηση και g(x) = εκφράστε την g (x) σαν συνάρτηση της f(x). f(t) x t dt Λύση: Για < x < υπολογίζουµε τη συνάρτηση g(x): g(x) = x = x f(t)dt x x f(t)(x t)dt+ f(t)tdt+ x x f(t)tdt x f(t)(t x)dt x f(t)dt 7
ιαφοροποιούµε την παραπάνω συνάρτηση για να πάρουµε: = x g (x) = x f(t)dt+x d + d x f(t)tdt x f(t)dt+xf(x) f(x)x f(x)x x = f(t)dt d f(t)dt x d x x x x f(t)tdt f(t)dt f(t)dt+xf(x) f(t)dt Χρησιµοποιώντας την FTC υπολογίζουµε το g (x) και ϐρίσκουµε: για < x <. g (x) = d x f(t)dt d f(t)dt x = f(x)+f(x) = f(x) x f(t)dt 8
Ask seic Genikˆ Majhmatikˆ I Omˆda (lôseic) Loukˆc Blˆqoc kai Man lhc Plei nhc 'Askhsh : (a) Jewr ste mða sfaðra me aktðna b kai kèntro thn arq twn axìnwn kai èna kôlindro me aktðna a( < a < b). UpologÐste ton ìgko thc sfaðrac an afairèsoume ton kôlindro. (b) Na upologisjeð o ìgkoc tou stereoô pou prokôptei apì thn peristrof thc kampôlhc y = x x gôrw apì ton ˆxona Ox. LÔsh: (a) b (b) V = π (x x ) a πx(y) = b a = 4π/3 ( b a ) 3/ πx ( ) b x [ ] e 'Askhsh : Na upologisjeð to m koc thc kampôlhc y = x e x + ìtan x b. LÔsh: b L = (e x + e x ) = (ex e x ) b = (e b e b )/ Upìdeixh: [ ] e x e x ( e x + e x + = ) 'Askhsh 3: (a) Na upologisjeð h epifˆneia tou stereoô pou sqhmatðzetai ìtan h kampôlh x /3 + y /3 = a /3 peristrafeð gôrw apì ton ˆxona OX. (b) Na upologisjeð to embadìn thc epifˆneiac sto eswterikì thc kampôlhc r = 5 3 cos θ, θ [, π]
LÔsh: (a) Apì th sqèsh ds = A = a + x /3 (a /3 x /3 = a /3 x /3 π [ a /3 x /3] 3/ a /3 x /3 = (π/s)a. (b) H grafik parˆstash thc kampôlhc eðnai (blèpe Sq. ) 4 8 6 4 4 Sq ma : H epifˆneia thc ˆskhshc 7 [ E = π ] (5 3 cos θ) dθ = 59π.
'Askhsh 4: BreÐte to m koc thc kampôlhc f(x) = + e x sto x [, ]. LÔsh: H kampôlh aut èqei parˆgwgo suneq sto zhtoômeno diˆsthma (df/ = e x ) kai ˆra eðnai leða. To m koc thc dðdetai epomènwc apì to: L = + ( ) df = + e x QrhsimopoioÔme ton metasqhmatismì y = + e x e x = y e x = ydy, opìte to m koc thc kampôlhc dðdetai apì: L = +e y +e ( y dy = + ) ( dy = + e ) +e + y y dy To teleutaðo olokl rwma to lônoume, qrhsimopoi ntac thn mèjodo merik n klasmˆtwn, wc ex c: b b a x = a (x )(x + ) = b a x b a x + = ln x ln x + = a ln x x + = [ ] ln a b a + ln b b + = b x = ln (a )(b + ) (a + )(b ) a Antikajist ntac ìpou a = kai b = + e kai paðrnontac upìyin mac ìti y > èqoume metˆ apì algebrikèc prˆxeic ìti: [ +e e( ] + ) dy = ln y + e + 'Ara to m koc thc zhtoômenhc kampôlhc eðnai: ( L = + e ) + ln [ e( ] + ) + e + 'Askhsh 5: To sq ma miac dexamen c neroô (morf c mpol) mporeð na paraqjeð eˆn peristrèyoume wc proc ton ˆxona Oy to tm ma thc kampôlhc y = x / apì y = èwc y = 5. (a) BreÐte thn exðswsh tou ìgkou thc dexamen c, (b) breðte thn tim tou ìgkou thc se kubikèc monˆdec, kai (g) breðte ton rujmì anìdou thc stˆjmhc tou neroô ìtan to nerì èqei 3
Sq ma : Sto diˆgramma faðnetai h kampôlh, h peristrof thc opoðac gôrw apì ton ˆxona Oy sqhmatðzei thn dexamen. bˆjoc 4 monˆdec m kouc kai gemðzoume thn dexamen me stajerì rujmì 3 kubik n monˆdwn m kouc anˆ deuterìlepto (qrhsimopoi ste sunafèc rujmì). LÔsh: O ìgkoc thc dexamen c mporeð na brejeð me thn mèjodo twn kuklik n dðskwn. Sthn eikìna faðnetai h sqetik kampôlh, h peristrof thc opoðac gôrw apì ton ˆxona Oy dðdei ton ìgko thc dexamen c. To qwrðo tou sqetikoô kuklikoô dðskou (kˆjetou ston ˆxona peristrof c) eðnai: A(y) = πr (y) me R(y) thn aktðna tou, pou dðdetai apì thn x = y / kai y to Ôyoc tou. O ìgkoc thc dexamen c dðdetai apì thn: V = 5 A(y)dy = 5 πydy = πy 5 = 5π 'Ara o ìgkoc thc dexamen c dðnetai san sunˆrthsh tou Ôyouc, y, wc: V = πy kai èqei tim : 5π 4
O rujmìc metabol c tou ìgkou sunart sei tou qrìnou eðnai: dv dt = d ( ) πy = πy dy dt dt 'Eqoume loipìn ìti dv/dt = 3 kai dv/dt = πydy/dt kai zhtˆme na broôme to dy/dt ìtan y = 4. 'Ara èqoume: 8π dy dy = 3 = dt dt = 3 8π 'Askhsh 6: UpologÐste ton ìgko tou stereoô (tìroc) pou parˆgetai eˆn peristrèyte ton kuklikì dðsko x + y a wc proc thn eujeða x = b (ìpou a < b). O ìgkoc na upologisteð qrhsimopoi ntac dôo mejìdouc, aut thc daktulioeidoôc diatom c allˆ kai aut twn kulindrik n floi n. LÔsh: (a) Mèjodoc daktulioeidoôc diatom c: JewroÔme ìti h diˆmetroc tou kuklikoô dðskou pou eðnai parˆllhlh me ton ˆxona peristrof c qwrðzei ton dðsko se dôo hmikôklia. H aktðna pou xekinˆ apì ton ˆxona peristrof c èwc thn exwterik perðmetro tou kuklikoô dðskou eðnai R(y) = b + a y en aut pou r(y) = b a y. Epomènwc sômfwna me thn mèjodo thc daktulioeidoôc diatom c o ìgkoc tou torou dðdetai apì thn: a V = π a a V = π a [ R(y) r(y) ] dy = π a a [(b + a y ) (b a y ) ] dy = [ b + b a y + (a y ) b dy + b a y (a y ) a V = 4πb a ( ) πa a y dy = 4πb = π ba to teleutaðo prokôptei kˆnontac ton metasqhmatismì: ] dy = a y = a sin θ apì ton opoðo prokôptei: y = a cos θ kai ydy = a sin θ cos θdθ dy = a sin θdθ epomènwc èqoume: a π [ ] π θ a y dy = a sin θdθ = a sin θdθ = a sin θ = πa a π 4 (a) Mèjodoc kulindrik n floi n: Xekinˆme me to na zwgrafðsoume eujôgrammo tm ma (pˆqouc ) parˆllhlo proc ton ˆxona peristrof c to opoðo diatrèqei ton kuklikì dðsko. Autì eðnai to Ôyoc kai isoôtai (apì orjog nio trðgwno me upoteðnousa thn aktðna kuklikoô dðskou) me: a x. H aktðna isoôtai me b + x kai epomènwc o ìgkoc tou stereoô ek peristrof c dðdetai apì: a V = π a a x (b + x) = 4π 5 a a [b a x + x a x ] =
Sq ma 3: To aristerì diˆgramma antistoiqeð sth qr sh thc mejìdou thc daktulioeidoôc diatom c, ìpou faðnetai h exwterik, R(y), kai eswterik, r(y), aktðna twn antðstoiqwn kuklik n dðskwn. To dexð diˆgramma antistoiqeð sth mèjodo twn kulindrik n floi n, ìpou faðnontai h aktðna kai to Ôyoc tou kulindrikoô floioô. Sto sugkekrimèno diˆgramma, ìpwc eðnai fanerì, h timèc twn (a, b) eðnai antðstoiqa (, 3). EpÐshc faðnetai me mple grammèc to trðgwno mèsw tou opoðou upologðzoume to misu tou Ôyouc tou floioô. Kai sta diagrˆmmata h kìkkinh eujeða antistoiqeð ston ˆxona peristrof c. a a V = 4πb a x + 4πb x a x a a To pr to ek twn oloklhrwmˆtwn to gnwrðzoume apì thn prohgoômenh mèjodo, kai isoôtai me π ba, kai epomènwc to deôtero olokl rwma ja prèpei na isoôtai me mhdèn. Prˆgmati, kˆnontac thn allag metablht n a x = y x = dy a a x a x = ydy = 'Ara kai me aut thn mèjodo, ìpwc fusikˆ ja èprepe, brðskoume ton ìgko tou tìrou na eðnai: V = π ba me b thn apìstash tou ˆxona peristrof c apì to kèntro thc kuklik c diatom c tou, kai a thn aktðna thc kuklik c diatom c tou. 6