ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Κωνσταντίνα Νικήτα, Ph.D., M.D. Αναπλ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Βιοϊατρικών Προσοµοιώσεων και Απεικονιστικής Τεχνολογίας
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ! Εισαγωγή! Πρόβληµα Ανακατασκευής Εικόνας! Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Εικόνας "Συνελικτικοί "Επαναληπτικοί! Ατέλειες στις Ανακατασκευασµένες Εικόνες 2
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σύγχρονες τοµογραφικές µέθοδοι παρέχουν τοµογραφικές εικόνες f(x,y) που εξαρτώνται από τις ιδιότητες και την αλληλεπίδραση του σώµατος µε τη χρησιµοποιούµενη µορφή ενέργειας. Τοµογραφική Μέθοδος Είδος Ακτινοβολίας f(x,y) Αξονική Τοµογραφία (X-Ray CT) Μαγνητική Τοµογραφία (MRI) Τοµογραφία Υπερήχων (Ultrasound CT) Toµογραφία Εκποµπής Ποζιτρονίου (PET) Tοµογραφία Εκποµπής Φωτονίου (SPECT) Ακτίνες Χ Ηλεκτροµαγνητική RF Υπέρηχοι Ακτίνες γ Ακτίνες γ Συντελεστής Εξασθένησης Πυκνότητα πρωτονίων Χρόνοι Αποκατάστασης είκτης ιάθλασης Συντελεστής Εξασθένησης Συγκέντρωση Ραδιενεργού Ιχνηθέτη Συγκέντρωση Ραδιενεργού Ιχνηθέτη 3
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανακατασκευή Εικόνας (Image Reconstruction) : Μαθηµατική επεξεργασία µιας οµάδας δεδοµένων προβολής προερχόµενων µε µη καταστρεπτικό τρόπο από την προς απεικόνιση περιοχή µε σκοπό την παραγωγή τοµογραφικής εικόνας υψηλής ποιότητας και διαγνωστικής αξίας Στόχοι κάθε µεθόδου Ιατρικής Απεικόνισης: εγκυρότητα διάγνωσης µικρότερη δυνατή επιβάρυνση του οργανισµού περιορισµός χρονικής διάρκειας εξέτασης και χρήσης υπολογιστικών συστηµάτων 4
5 f(x,y): Η συνάρτηση περιγραφής ενός δισδιάστατου αντικειµένου Ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων (t,s) το οποίο έχει στραφεί ως προς το σύστηµα (x,y) κατά γωνία φ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ = y x s t ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos x t y s φ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ Τοµογραφική Ακτίνα : Γραµµή L παράλληλη προς τον άξονα s σε απόσταση t. Ορίζεται από τις παραµέτρους (φ,t) x cosϕ + y sinϕ = t Γραµµικό ολοκλήρωµα : Το ολοκλήρωµα της f(x,y) κατά µήκος µιας τοµογραφικής ακτίνας P (ϕ, t) = f ( x, y) ds + + L P ( ϕ, t) f ( x, y) δ ( x cosϕ + y sinϕ t) dxdy = P ( ϕ, t) = f ( r) δ ( t µ r) dr, µ = (cosϕ,sinϕ), r = ( x, y) s y t L Μετασχηµατισµός Radon της f(x,y) t φ x 6
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ Προβολή : Συνδυασµός γραµµικών ολοκληρωµάτων. Η απλούστερη προβολή αποτελείται από σύνολο γραµµικών ολοκληρωµάτων κατά µήκος παράλληλων τοµογραφικών ακτίνων, P(φ,t) για σταθερή γωνία φ. Μια πηγή και ένας ανιχνευτής µετακινούνται κατά µήκος παράλληλων γραµµών στις δύο πλευρές του αντικειµένου (παράλληλη προβολή). Μια πηγή τοποθετείται σε σταθερή θέση σε σχέση µε µια γραµµική διάταξη ανιχνευτών (προβολή αποκλίνουσας δέσµης). 7
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ P(φ 2,t) P(φ 1,t) Παράδειγµα : Παράλληλες προβολές φ1 φ 1 φ 2 8
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ P(β 1,t) P(β 2,t) Παράδειγµα : Προβολές αποκλίνουσας δέσµης (όλες οι ακτίνες συναντώνται σε ένα σηµείο) φ 1 φ1 φ 2 β 1 β 2 9
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ O 2D µετασχηµατισµός Radon απεικονίζει τον πραγµατικό χώρο (x,y) στο χώρο Radon (φ,t). Ενδιαφέρουσες ιδιότητες αυτής της απεικόνισης Κάθε σηµείο του χώρου Radon αντιστοιχεί σε µια ευθεία στον πραγµατικό χώρο Ένα σηµείο του πραγµατικού χώρου αντιστοιχεί σε ένα ηµίτονο στο χώρο Radon Σηµειακή ανοµοιογένεια στη θέση r 0 =(x 0,y 0 ) R{ Aδ ( r r0 )} = Aδ ( r r0 ) δ ( t µ r) dr = Aδ ( t µ r0 ) = Aδ ( x0 cosϕ + y0 sinϕ t) Αντιπροσωπεύει σύνολο κρουστικών πάνω σε µια ηµιτονοειδή καµπύλη στο επίπεδο (t,φ) 2 2 y0 t = x0 cosϕ + y0 sinϕ = r0 cos( ϕ ϕ0), r0 = x0 + y0, ϕ0 = arctan( ) x0 Γι αυτό, η 2D συνάρτηση που δηµιουργείται µε την υπέρθεση όλων των προβολών που λαµβάνονται διαδοχικά κατά την ακτινική κατεύθυνση λέγεται Ηµιτονόγραµµα 10
Ηµιτονόγραµµα Αντικείµενο προς απεικόνιση Ο ανιχνευτής περιστρέφεται γύρω από το αντικείµενο Σε κάθε γωνία ο ανιχνευτής συλλέγει διαφορετική πληροφορία Η εκάστοτε 3D 3 προβολή εξαρτάται από τη σχετική θέση ανιχνευτή-αντικειµένου αντικειµένου Σε ένα εγκάρσιο επίπεδο (2D) η πληροφορία προέρχεται από την τοµή κάθε 3D προβολής Προβολές στις 0,, 30,, 60,, 90, 120,, 150,, 180, και 210. Σηµεία που χρησιµοποιούνται στο ηµιτονόγραµµα 11
Ηµιτονόγραµµα Η γραφική απεικόνιση όλων των τοµών αυτών συναρτήσει της γωνίας δίνει το ηµιτονόγραµµα της εικόνας Χρησιµοποιείται ως είσοδος σε όλους τους αλγορίθµους ανακατασκευής Στο σχήµα φαίνεται η διαδοχική κατασκευή του καθώς ο ανιχνευτής συλλέγει πληροφορίες γύρω από ένα αντικείµενο µε 5 γραµµικές (3D) ανοµοιογένειες 12
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΜΗΣ FOURIER Ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης f(x,y) Ο µετασχηµατισµός Fourier της προβολής στη διεύθυνση φ : S ( ϕ, ω ) Το απλούστερο παράδειγµα για το ΘΤF αντιστοιχεί στην προβολή φ=0 F ( u,0) = = + P( ϕ = + + Γενικά αποδεικνύεται : S ( ϕ, ω ) = 0, x) e F ( u, v) = f ( x, y) e j 2πux + + + j 2 ω t = P( ϕ, t) e π dt j 2πux dx dx f ( x, dy F ( ω cos ϕ, ω sin ϕ ) = = y) e + F ( u,0) = + + j 2π + S ( ϕ = f ( x, ( ux + vy ) y) e dx 0, u) dy f ( x, y) dy e j 2π ω j 2πux dx ( x cos ϕ + y sin ϕ ) dx dy 13
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΜΗΣ FOURIER φ φ Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας παράλληλης προβολής µιας εικόνας f(x,y) που λαµβάνεται υπό γωνία φ δίνει µια τοµή του δισδιάστατου µετασχηµατισµού F(u,v), που σχηµατίζει γωνία φ µε τον u άξονα. Ο µετασχηµατισµός Fourier της προβολής P(φ,t) δίνει τις τιµές του F(u,v) κατά µήκος της ευθείας ΒΒ 14
ιαδικασία ανακατασκευής εικόνας από προβολές # Μέτρηση των προβολών P(φ,t) σε διευθύνσεις φ 1, φ 2,..., φ k # Υπολογισµός µετασχηµατισµού Fourier S( ϕ, ω) καθεµιάς από αυτές που αντιστοιχεί στο µετασχηµατισµό Fourier F(u,v) κατά µήκος ακτινικών ευθειών. Για άπειρο αριθµό προβολών προκύπτουν οι τιµές F(u,v) σε όλα τα σηµεία στο επίπεδο uv # Αντίστροφος δισδιάστατος µετασχηµατισµός Fourier για τον προσδιορισµό της χωρικής κατανοµής του αντικειµένου f ( x, y) + + F ( u, v) e j 2π ( ux + vy ) # Χρήση ΙFFT για υπολογιστικούς λόγους. Αν A A A < x <, < y < 2 2 2 m = N / 2 n = N / 2 1 m n f ( x, y) = 2 F (, ) e A A A = m = N / 2 n = N / 2 A 2 j 2π du dv (( m / A) x + ( n / A ) y ) # Χωρική διακριτική ικανότητα καθορίζεται από το πλήθος N των συνιστωσών Fourier 15
Συνιστώσες Fourier Oµετασχηµατισµός Fourier επιτρέπει την προσέγγιση της συνάρτησης µε το άθροισµα ενός αριθµού ηµιτονοειδών συναρτήσεων Τα ηµίτονα χαµηλής συχνότητας και µεγάλου πλάτους προσεγγίζουν γρήγορα το γενικό σχήµα της συνάρτησης Τα ηµίτονα υψηλής συχνότητας και µικρού πλάτους δίνουν τις λεπτοµέρειες 16
ιαδικασία ανακατασκευής εικόνας από προβολές # Για τον υπολογισµό του ΙFFT Ι απαιτείται η γνώση των συντελεστών Fourier F(m/A,n/A) σε σηµεία που κατανέµονται σε διάταξη τετραγωνικού πλέγµατος # Η µέτρηση των προβολών ενός αντικειµένου σε πολλές γωνίες παρέχει εκτιµήσεις του µετασχηµατισµού Fourier του αντικειµένου σε διακριτές θέσεις κατά µήκος ακτινικών γραµµών. # Απαιτείται κάποιου είδους παρεµβολή των ακτινικών σηµείων, ώστε να βρεθούν τα σηµεία του τετραγωνικού πλέγµατος # Το πρόβληµα επιλύεται συνήθως µε γραµµική παρεµβολή # Μεγαλύτερο σφάλµα παρεµβολής για µεγάλες ακτινικές αποστάσεις Μεγαλύτερο σφάλµα ανακατασκευής για υψηλές συχνότητες 17
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Επίδραση του πλήθους των προβολών στην κάλυψη του χώρου Fourier και στη διακριτική ικανότητα 8 προβολές 180 προβολές 18
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Αν και το ΘΤF παρέχει ένα απλό µοντέλο της τοµογραφικής διαδικασίας, λόγοι πρακτικής υλοποίησης απαιτούν διαφορετική προσέγγιση Αλγόριθµοι ανακατασκευής # Απλή Οπισθοπροβολή (Simple Backprojection) # Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) # Eπαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής 19
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Ποιοτική ερµηνεία Η µοναδική κοινή πληροφορία που περιέχεται στους MF δύο διαφορετικών προβολών είναι ο όρος dc. Η διαδικασία µέτρησης µιας προβολής µπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία 2D φιλτραρίσµατος Μια προβολή και ο ΜF αυτής 2D ΜF του αντικειµένου κατά µήκος ακτινικής γραµµής Αν οι τιµές του MF τοποθετηθούν στη σωστή θέση τους στο 2D χώρο Fourier του αντικειµένου, µπορεί να προκύψει µια απλή (αλλά σχετικά παραµορφωµένη) ανακατασκευή, υποθέτοντας µηδενικές τις υπόλοιπες προβολές και υπολογίζοντας το 2D αντίστροφο ΜF Αυτή η ανακατασκευή ισοδυναµεί µε πολλαπλασιασµό του αυθεντικού ΜF του αντικειµένου µε απλό τετραγωνικό φίλτρο 20
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Ποιοτική ερµηνεία Απαίτηση από οποιονδήποτε απλό αλγόριθµο ανακατασκευής: Άθροιση προβολών του αντικειµένου φιλτραρισµένων µε φίλτρα σχήµατος σφήνας. Η άθροιση µπορεί να γίνει είτε στο χώρο Fourier ή στον πραγµατικό χώρο. Η άθροιση στον πραγµατικό χώρο συνιστά τη διαδικασία οπισθοπροβολής. Ο απλούστερος τρόπος φιλτραρίσµατος αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό του ΜF S(φ,ω) της προβολής µε το πλάτος της σφήνας στη συγκεκριµένη συχνότητα. Αν υπάρχουν k προβολές σε 180 o, τότε σε συγκεκριµένη συχνότητα ω, κάθε σφήνα θα έχει πλάτος 2π ω /k Η τελική ανακατασκευή προκύπτει από την άθροιση των 2D αντίστροφων µετασχηµατισµών Fourier κάθε φιλτραρισµένης προβολής 21
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Βήµατα Άθροιση για καθεµιά από τις k γωνίες µεταξύ 0 και 180 o Μέτρηση της προβολής P(φ,t) Υπολογισµός ΜF, S(φ,ω) Πολλαπλασιασµός µε τη συνάρτηση βαρύτητας 2π ω /k Άθροιση στο χώρο της εικόνας των 2D αντίστροφων µετασχηµατισµών Fourier κάθε φιλτραρισµένης προβολής (οπισθοπροβολή) 22
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή : Μαθηµατική ερµηνεία + + ( ) j 2π ux + vy Αντίστροφος ΜF f ( x, y) = F ( u, v) e du dv Αλλαγή ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων (u,v) µε σύστηµα πολικών συντεταγµένων (ω,φ): u=ωcosφ, v=ωsinφ, οπότε dudv=ωdωdφ f ( x, π + 0 0 + π + y) = 2π + F ( ω, ϕ ) e 0 0 0 0 F ( ω, ϕ ) e j 2πω F ( ω, ϕ + π ) e ( x cos ϕ + y sin ϕ ) j 2πω j 2πω ( x cos ϕ + y sin ϕ ) ω dω dϕ ( x cos( ϕ + π ) + y sin( ϕ + π ) ) ωdω dϕ = ω dω dϕ 23
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Μαθηµατική ερµηνεία Με χρήση της ιδιότητας προκύπτει π + πω f x y j t F ω ϕ ω e dω dϕ όπου 2 (, ) = (, ) t = x cos ϕ + y sin ϕ 0 Αντικατάσταση µε το ΜF S(φ,ω) της προβολής (ΘΤF) π + πω f x y j t S ϕ ω ω e dω dϕ 2 (, ) = (, ) 0 Εισάγοντας την έννοια της φιλτραρισµένης προβολής Q ( ϕ, t) προκύπτει + j 2 = S ϕ ω ω e πω t (, ) dω π f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + F ( ω, ϕ + π ) = F ( ω, ϕ ) y sin ϕ ) dϕ 0 24
Οπισθοπροβολή π f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + 0 y sin ϕ ) dϕ Σε κάθε σηµείο (x,y) της εικόνας αντιστοιχεί µια τιµή t=xcosφ+ysinφ για συγκεκριµένη τιµή φ και η φιλτραρισµένη προβολή Q(φ,t) συνεισφέρει την τιµή της στη θέση t. Για κάθε γωνία φ, η τιµή t είναι ίδια για όλα τα σηµεία (x,y) κατά µήκος της τοµογραφικής ακτίνας (φ,t). Οπότε η φιλτραρισµένη προβολή έχει την ίδια συνεισφορά στην ανακατασκευή για όλα αυτά τα σηµεία (διαδικασία οπισθοπροβολής). 25
Απλή Οπισθοπροβολή Πολλές φορές χρησιµοποιούνται απευθείας τα δεδοµένα προβολών, χωρίς προηγουµένως να φιλτραριστούν Η εικόνα ανακατασκευάζεται οπισθοπροβάλλοντας κάθε προβολή P(φ j,t) κατά µήκος της τοµογραφικής ακτίνας (φ j,t) και αθροίζοντας για όλες τις κατευθύνσεις φ j f m ( x, y) = P( ϕ, x cosϕ + y sinϕ ) ϕ j= 1 j j j j 26
Απλή Οπισθοπροβολή Οκτώ προβολές δύο απλών σχηµάτων Η πληροφορία σε κάθε γωνία είναι διαφορετική 27
Απλή Οπισθοπροβολή Οπισθοπροβάλλοντας κάθε προβολή λαµβάνεται µία ικανοποιητική εκτίµηση του αντικειµένου ηµιουργία ακτινικών τεχνικών σφαλµάτων (star artifacts) Αυξάνοντας το πλήθος των προβολών, ο θόρυβος κατανέµεται οµοιόµορφα στην εικόνα και αναδεικνύεται το πραγµατικό αντικείµενο 28
Απλή Οπισθοπροβολή # Η ανακατασκευασµένη εικόνα αποτελεί µία πρώτη προσέγγιση της πραγµατικής # Οι αιχµές της εικόνας δεν είναι σαφώς καθορισµένες # Σε περιοχές οµοιοµορφίας της εικόνας, η ανακατασκευασµένη εικόνα παρουσιάζει µη πραγµατική ενίσχυση προς το κέντρο. # Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή βελτιώνει την ποιότητα της εικόνας 30
Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: Υπολογιστική υλοποίηση Η εξίσωση ανακατασκευής Φιλτραρισµένη προβολή f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + Q ( ϕ, t) Η ολοκλήρωση θεωρητικά πρέπει να εκτείνεται σε όλες τις χωρικές συχνότητες ω. Ωστόσο στην πράξη η ενέργεια που περιέχεται στο ΜF συνιστωσών υψηλής συχνότητας είναι πρακτικά αµελητέα Οι προβολές µπορεί να θεωρηθούν ζωνοδιαβατές. Αν W είναι συχνότητα µεγαλύτερη από τη µέγιστη συχνότητα του φάσµατος Fourier των προβολών, µπορεί να γίνει δειγµατοληψία των προβολών µε βήµα Τ=1/2W, χωρίς την εισαγωγή σφάλµατος. π 0 + y sin ϕ ) dϕ j 2 = S ϕ ω ω e πω t (, ) dω 31
32 Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: Υπολογιστική υλοποίηση είγµατα προβολών P(φ,mT), m=-n/2,,0,,n/2-1 Χρήση FFT για την προσέγγιση του ΜF S(φ,ω) Ψηφιακή εκτίµηση φιλτραρισµένης προβολής Q(φ,t) ( ) = = = = 1 2 / 2 / / 2 ) 2, ( 2 1 ) 2, ( ), ( N k N k N mk j e W k P W N W m S S π ϕ ϕ ω ϕ t N W m j m W W t j e N W m N W m S N W d e S t Q ) / ( 2 2 2 2 ) 2, ( 2 ), ( ), ( π πω ϕ ω ω ω ϕ ϕ = = + ) / ( 2 2 ) 2, ( 2 ) 2, ( N mk j m e N W m N W m S N W W k Q π ϕ ϕ =
FBP: Ιδανικό φίλτρο Η(ω)= ω Το φίλτρο ενισχύει τις υψηλές συχνότητες 33
Τροποποίηση Φίλτρου παράθυρο Φάσµα συχνοτήτων των προβολών Οι χαµηλές συχνότητες έχουν µεγάλα πλάτη και αντίστροφα Ο θόρυβος είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος σε όλες τις συχνότητες Στις υψηλές συχνότητες είναι ισχυρότερος του σήµατος Το φίλτρο Η(ω)= ω ενισχύει τις υψηλές συχνότητες και άρα το θόρυβο Πολλαπλασιασµός του φίλτρου µε µία συνάρτηση παραθύρου που αποκόπτει τις υψηλές συχνότητες (τροποποιηµένο φίλτρο Η (ω)) 34
Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή Εργασία στο πεδίο της συχνότητας......όπου το φιλτράρισµα των προβολών (συνέλιξη µε κατάλληλο φίλτρο στον πραγµατικό χώρο) µεταφράζεται σε απλό πολλαπλασιασµό στο χώρο Fourier Σκοπός του φιλτραρίσµατος είναι η τροποποίηση της προβολής, ώστε κατά τη διαδικασία της οπισθοπροβολής οι αρνητικοί λοβοί του φίλτρου να εξουδετερώνουν τα σφάλµατα της οπισθοπροβολής των πραγµατικών δεδοµένων Συνέλιξη Απλή Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή 35
ιαδικασία Φιλτραρισµένης Οπισθοπροβολής # Εφαρµογή κατάλληλου φίλτρου στις προβολές. " Μετασχηµατισµός Fourier των προβολών µε χρήση µεθόδου FFT " Πολ/σµός µε τη συνάρτηση τροποποιηµένου φίλτρου Η (ω) " Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier των φιλτραρισµένων δεδοµένων # Οπισθοπροβολή των φιλτραρισµένων προβολών για τη δηµιουργία της εικόνας. 36
Πλεονεκτήµατα FBP σε σχέση µε σχήµατα παρεµβολής στο χώρο της συχνότητας 1. Η διαδικασία ανακατασκευής µπορεί να ξεκινήσει αµέσως µετά τη συλλογή των µετρήσεων της πρώτης προβολής Επιτάχυνση διαδικασίας ανακατασκευής Ελάττωση όγκου δεδοµένων που πρέπει να αποθηκεύονται σε κάθε στιγµή 2. ιαδικασία οπισθοπροβολής στον πραγµατικό χώρο Εισαγωγή µικρότερου σφάλµατος για την παρεµβολή δεδοµένων στον πραγµατικό χώρο σε σχέση µε την απευθείας παρεµβολή δεδοµένων στο χώρο Fourier 37
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ # Τεχνικό σφάλµα (Artifact) : Ατέλεια ανακατασκευής που είναι εµφανώς ορατή στην εικόνα # Σφάλµα ανακατασκευής (reconstruction error) : απόκλιση της υπολογισθείσας τιµής από την αναµενόµενη. # Επαρκής όγκος πληροφοριών για ανακατασκευή υψηλής ακρίβειας µε χρήση µεγάλου αριθµού προβολών και µετρήσεων ανά προβολή. 38
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση του πλήθους των µετρήσεων ανά προβολή 180 προβολές Μερήσεις ανά προβολή a)25 b)49 c)75 d)99 Εικόνα 100x100 pixels Σε κάθε προβολή ο απαιτούµενος αριθµός γραµµικών ολοκληρωµάτων : 141 Λιγότερες µετρήσεις : Υποβάθµιση της διακριτικής ικανότητας 39
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση της κάλυψης του αντικειµένου µέσω των µετρούµενων προβολών Ανοµοιόµορφα κατανεµηµένες γωνίες προβολής a) 150 ο κάλυψη b) 120 ο κάλυψη c) 90 ο κάλυψη d) 90 ο διαφορετική κάλυψη 40
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση του πλήθους των προβολών 8 προβολές 180 προβολές 41
Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: a) 1 όψη (προβολή) b) ) 2 όψεις c) 4 όψεις d) 8 όψεις e) 16 όψεις f) ) 32 όψεις g) ) 180 όψεις 42
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ # Η διαδικασία της ανακατασκευής ενισχύει την επίδραση του θορύβου στις προβολές. # Οι στατιστικές διακυµάνσεις διαφέρουν τυχαία από σηµείο σε σηµείο και συνεπώς παρουσιάζονται στα δεδοµένα υψηλών συχνοτήτων. # Η επιβολή φίλτρου για τον περιορισµό του υψηλής συχνότητας θορύβου στα δεδοµένα προβολών µειώνει τις διακυµάνσεις του θορύβου στην εικόνα αλλά συγχρόνως χάνονται και τα υψηλής συχνότητας δεδοµένα π.χ. περιγράµµατα, ακµές 43
ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Χρησιµοποιούµενα Φίλτρα 44
Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Το πρόβληµα της επίλυσης ως προς την f(x,y) αντιµετωπίζεται ως µία οµάδα εξισώσεων που προκύπτουν από τα ολοκληρώµατα κατά µήκος των τοµογραφικών ακτίνων. # Ο αριθµός των αγνώστων ισούται µε τον αριθµό των pixels της εικόνας της τοµής. # Ο αριθµός των εξισώσεων ισούται µε τον αριθµό των ολοκληρωµάτων κατά µήκος των τοµογραφικών ακτίνων επί τον αριθµό των όψεων (προβολών). # Η λύση βασίζεται σε επαναληπτικές µεθόδους και στατιστικά κριτήρια. 45
Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Αρχική εκτίµηση της χωρικής συνάρτησης κατανοµής της φυσικής ποσότητας f(x,y) βάσει της οποίας εκτιµάται ένα σύνολο δεδοµένων προβολής. # Η εκτίµηση των δεδοµένων συγκρίνεται µε τις µετρήσεις στις ίδιες γωνίες προβολής και υπολογίζονται οι διαφορές τους. # Με την εφαρµογή αλγορίθµων βασισµένων σε ειδικά στατιστικά κριτήρια (Μinimum Μean Square Error, Maximum Entropy), οι διαφορές χρησιµοποιούνται για τη διόρθωση της αρχικής εκτίµησης της εικόνας. # Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου η διαφορά της εκτίµησης και των µετρήσεων να γίνει πολύ µικρή. 46
Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Ανάγκη εκτεταµένων υπολογισµών και µεγάλης χρονικής διάρκειας επεξεργασίας. # Χρησιµοποίηση εκ των προτέρων γνωστών πληροφοριών ώστε να είναι εφικτή η παραγωγή αποδεκτών εικόνων από περιορισµένο αριθµό όψεων σε περιπτώσεις όπου η συλλογή των δεδοµένων δεν είναι εφικτή λόγω φυσικών περιορισµών. 47
ιατύπωση αλγεβρικού προβλήµατος Έστω: µια περιοχή διαστάσεων 3x3 pixels 3 ανιχνευτές που περιστρέφονται γύρω από την περιοχή οι διαστάσεις των ανιχνευτών καθορίζουν το µέγεθος του pixel H τιµή των ανιχνευτών d 1, d 2, και d 3 στις 0 ο είναι: Αντίστοιχα στις 90 ο είναι: Σε µία ενδιάµεση γωνία θ κάθε ανιχνευτής βλέπει ένα τµήµα των pixels. Ορίζοντας ως s θ d,p το ποσοστό του εµβαδού του pixel p, p που ο στοιχειώδης ανιχνευτής βλέπει υπό γωνία θ, τότε για τον ανιχνευτή d 2 στη γωνία θ ισχύει: 48
ιατύπωση αλγεβρικού προβλήµατος H γενική εξίσωση που δίνει την τιµή σε ένα στοιχειώδη ανιχνευτή d k υπό γωνία θ, δίνεται από τη σχέση: Γενικά για D ανιχνευτές και Ν θ γωνίες προβολών, µπορούν να σχηµατιστούν Dx Ν θ εξισώσεις. Στο παράδειγµα οι άγνωστοι είναι 9 (pixels), και για 36 γωνίες περιστροφής οι εξισώσεις 3x36=108. 36=108. Θεωρητικά το πρόβληµα υπολογισµού των τιµών στα pixels της εικόνας µπορεί να λυθεί αλγεβρικά. Είναι συνήθως υπερκαθορισµένο Η µοναδικότητα της λύσης δεν είναι εξασφαλισµένη Οι ι άγνωστοι προσεγγίζονται συνήθως µε κάποια αλγεβρική επαναληπτική µέθοδο. 49
Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής w w.. 11 21 f f 1 1 + + w w 12 22 Ν: πλήθος των pixels w M 1 f1 + w M 2 f 2 +... + w MN f N = d M Μ: πλήθος των γραµµικών ολοκληρωµάτων W: πίνακας των στατιστικών βαρών που αντιστοιχούν στη συνεισφορά κάθε pixel σε κάθε ακτίνα f: οι τιµές των pixels d: οι µετρήσεις f f 2 2 +... +... + + w w 1N 2 N f f N N = = d 1 d 2 Κάθε σύνολο τιµών υπολογίζεται από τις προηγούµενες βάσει της σχέσης: Όπου r w = i r f ( i ) = r f ( wi1, wi 2,..., win r ( i 1) ( i 1) ( f wi d i ) ) r w i r r w i r w i 51
52 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Ή ισοδύναµα Όπου ij N k ik i i i j i j i j w w q d f f f = = = 1 2 1) ( ) ( ) ( = = = N k ik i k i i i w f w f q 1 1) ( 1) r ( r
Γεωµετρική ερµηνεία f 2 G H, αρχική εκτίµηση w = 21 f1 + w22 f2 d2 f (2) f (1) f (0) f 1 w = 11 f1 + w12 f2 d1 53
Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Αλγεβρική Τεχνική Ανακατασκευής Τα στοιχεία w ik παίρνουν τιµές 1 ή 0, ανάλογα µε το αν το κέντρο του k-pixel βρίσκεται στην i-τοµογραφική ακτίνα στην οποία αντιστοιχεί η i- εξίσωση Η διόρθωση στο j- pixel από την i- εξίσωση γράφεται f ( i ) j = d q N i i i όπου Ν i το πλήθος των pixels που συµµετέχουν στην i-ακτίνα 54
Επαναληπτικοί αλγόριθµοι µεγίστης πιθανοφάνειας Ο αλγόριθµος Μεγιστοποίησης Προσδοκώµενης Πιθανοφάνειας «Maximum Likelihood Expectation Maximization»» (ML( ML-EM) 1979, L. Shepp Υ. Vardi Εφαρµόζεται κυρίως στην τοµογραφία εκποµπής (PET, SPECT) Το µαθηµατικό µοντέλο λαµβάνει υπόψη τη στατιστική φύση της εκποµπής ακτινοβολίας από µία πηγή Σε κάθε επανάληψη υπάρχει ένα βήµα πρόβλεψης (expectation), το οποίο χρησιµοποιεί τις τρέχουσες τιµές των pixels Ακολουθείται από ένα βήµα µέγιστης πιθανοφάνειας, το οποίο και τις ανανεώνει Το επαναληπτικό βήµα δίνεται από τη σχέση: I k + 1 = I k J p j = 1 i ij d p j k ijii όπου... 56
Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Ι : το τρέχον pixel Ι k+1 : το τρέχον pixel στην k+1 επανάληψη του αλγορίθµου d j : η πληροφορία στον ανιχνευτη j ij : η πιθανότητα ο ανιχνευτής j να «βλέπει» το pixel i p ij Παρατηρήσεις I k + 1 = I k J p j = 1 i ij d p j k ijii Το j παίρνει τιµές από 1 έως (## ανιχνευτών)x(#γωνιών), δηλαδή ο κάθε ανιχνευτής σε άλλη γωνία θεωρείται ως άλλος ανιχνευτής (εκτός αν η ανιχνευτική διάταξη δεν περιστρέφεται και υπάρχει δακτύλιος) Η πιθανότητα µε την οποία το pixel i είναι «ορατό» από τον ανιχνευτή j αποτελεί το στοιχείο p ij του πίνακα πιθανοτήτων του συστήµατος Η αρχική εικόνα είναι οµοιόµορφη, ΜΗ µηδενική και θετική Η εικόνα που προκύπτει από κάθε επανάληψη χρησιµοποιείται ως είσοδος στην επόµενη 57
Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Για τον ανιχνευτή 3 στη γωνία θ ισχύει: d θ 3=I 1 *P 1,3 +I 2 *P 2,3 + I 3 *P 3,3+ + I 64 *P 64,3 Οι περισσότεροι συντελεστές είναι µηδενικοί, αφού κάθε ανιχνευτής «βλέπει» λίγα pixels σε κάθε γωνία Ο πίνακας έχει µεγάλο µέγεθος (έως και 100ΜΒ για εικόνα 64x64 x64) Μέχρι πρόσφατα δεν ήταν δυνατή η αποθήκευσή του και κάθε στοιχείο του υπολογιζόταν κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου Τα στοιχεία του δεν υπολογίζονταν γεωµετρικά, αλλά προσεγγιστικά Με σύγχρονους υπολογιστές είναι δυνατή η αποθήκευσή του στη µνήµη και η ανάκληση των στοιχείων του σε πραγµατικό χρόνο 58
Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Ανακατασκευή εικόνας διαστάσεων 40x40 Ακριβής ανακατασκευή µετά από 100 επαναλήψεις Χρόνος ανακατασκευής ~120 sec (Pentium III, 700MHz) Χρησιµοποιούνται δεδοµένα προσοµοίωσης 59
Επιτάχυνση ανακατασκευής Ένα µειονέκτηµα του ML-EM είναι ο µεγάλος χρόνος ανακατασκευής Αυξάνει σηµαντικά για εικόνες διαστάσεων 64x64 ή 128x128 κ.λπ λπ. εν είναι δυνατή η κλινική εφαρµογή Τεχνικές παράλληλης επεξεργασίας. Κάθε pixel ανανεώνεται ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα. Εποµένως η παραλληλοποίηση είναι εύκολη Αλγόριθµος OSEM 60
Ordered Subsets Expectation Maximization (OSEM) (1994, Hudson και Larkin) Βασίζεται στην ίδια ιδέα µε τον ML-EM EM, αλλά συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα Χωρίζει το σύνολο των προβολών σε υποσύνολα (subsets) και εφαρµόζει τον MLA σε καθένα από αυτά Έστω 36 προβολές στις 0 ο, 10 ο, 20 ο,...350 ο Χωρίζονται σε π.χ 6 υποσύνολα {0 ο, 10 ο,..., 50 ο }, {60 ο, 70 ο,..., 110 ο },... {300 ο, 310 ο,..., 350 ο } Μία επανάληψη του ML-EM EM, εκτελείται για το πρώτο υποσύνολο Η εικόνα που προκύπτει χρησιµοποιείται ως είσοδος για την ανακατασκευή στο εποµένο υποσύνολο κ.ο.κ. Μία πλήρης επανάληψη (level) ολοκληρώνεται µόλις χρησιµοποιηθούν όλα τα υποσύνολα I k + 1 = S ( n) k j = 1 όπου S (n) περιέχει όλες τις προβολές του υποσυνόλου n I p i ij d p j k ijii 61
Ordered Subsets Expectation Maximization (OSEM) I k + 1 = I k S ( n) p j = 1 i ij d p j k ijii Τα υποσύνολα µπορεί να είναι διαδοχικά, επικαλυπτόµενα ή µη επικαλυπτόµενα Η επιλογή τους εξαρτάται και από το είδος της απεικόνισης (PET, SPECT) και τη γεωµετρία του ανιχνευτή Ο αριθµός τους επηρεάζει το χρόνο ανακατασκευής Αποδεικνύεται και µαθηµατικά ότι οι δύο αλγόριθµοι συγκλίνουν στην ίδια λύση Σταδιακά ο OSEM χρησιµοποιείται στην κλινική πράξη! 62
Σύγκριση ανακατασκευής µε ML-EM και OSEM ML-EM 100 iterations 120sec OSEM 4 subsets & 8 iterations 20sec Πρακτικά δεν εµφανίζεται διαφορά στην ποιότητα της ανακατασκευαζόµενης εικόνας 63
Σθεναρότητα επαναληπτικών αλγορίθµων στο θόρυβο Στις εξετάσεις Πυρηνικής Ιατρικής (PET, SPECT),, ο θόρυβος είναι ανάλογος προς την τετραγωνική ρίζα των ανιχνευοµένων φωτονίων Ο FBP ενισχύει το θόρυβο (κυρίως σε PET, SPECT) Οι ML-EM και OSEM,, είναι ανθεκτικότεροι απέναντι στο θόρυβο Ανακατασκευή µε δεδοµένα προσοµοίωσης στα οποία έχει προστεθεί θόρυβος FBP ML-EM (50 iterations) Noise level 5% 10% 25% 64
Σθεναρότητα επαναληπτικών αλγορίθµων στο θόρυβο Ανακατασκευασµένες εικόνες και γραµµικές προβολές FBP ML-EM/OSEM sinogram εικόνα 0% 5% 10% 25% 40% 50% ποσοστά θορύβου 65
Ενίσχυση θορύβου για µεγάλο πλήθος επαναλήψεων Όταν αυξηθεί υπερβολικά το πλήθος των επαναλήψεων, η ποιότητα της ς εικόνας δεν βελτιώνεται αλλά αντιθέτως χειροτερεύει Ο αλγόριθµος συγκλίνει σε µη αποδεκτές λύσεις Η διαδικασία βελτιστοποίησης αντιµετωπίζει γεγονότα οφειλόµενα σε θόρυβο, ως πραγµατικές πηγές και συγκλίνει σε µη αποδεκτές λύσεις 1 5 10 20 50 100 επαναλήψεις Ανακατασκευή οµοιώµατος διακεκριµένων περιοχών µε θόρυβο 10% µε χρήση του OSEM µε 6 υποσύνολα. Παρουσία θορύβου η ποιότητα της εικόνας χειροτερεύει µετά τις 20 πρώτες επαναλήψεις Αν και έχουν προταθεί αρκετά κριτήρια τερµατισµού του αλγορίθµου,, στην πράξη οι επαναλήψεις σταµατάνε µόλις (εµπειρικά) η ποιότητα της εικόνας είναι ικανοποιητική 66
Σύγκριση συνελικτικών & επαναληπτικών αλγορίθµων Χαρακτηριστικά: Συνελικτικοί Μετασχηµατισµός Fourier Filtering /Processing Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier ιαδικασία οπισθοπροβολής Πλεονεκτήµατα: Ανακατασκευή σε πραγµατικό χρόνο Μειονεκτήµατα: Ακτινικά παράσιτα (star artifacts) Ευαισθησία στο θόρυβο Ευαισθησία στο χαµηλό αριθµό δεδοµένων και τον πεπερασµένο αριθµό προβολών Περαιτέρω επεξεργασία για επιπλέον διορθώσεις Επαναληπτικοί Χαρακτηριστικά: Η εικόνα διακριτοποιείται σε pixels Η τιµή σε κάθε pixel θεωρείται ως άγνωστη µεταβλητή Σύστηµα γραµµικών εξισώσεων, το οποίο εξαρτάται από τη φυσική και τη γεωµετρία του συστήµατος Λύση µε επαναληπτικό αλγόριθµο Πλεονεκτήµατα: Ανθεκτικότητα στο θόρυβο των προβολών Ενσωµάτωση φυσικών διεργασιών Μειονεκτήµατα: Μεγάλος χρόνος ανακατασκευής 67