Príklady doporučené na prepočítanie žiakom ZŠ k prijímacím skúškam pre šk. rok 2O13/2O14 Hrdina - Maxian : Matematika - Príklady na prijímacie skúšky na SŠ 1. Počítanie s racionálnymi číslami 16/46 Nájdite číslo, ktorého sú o 4 menšie než jeho dvojnásobku. 16/49 Určte dve tretiny čísla, ktoré sa rovná dvom tretinám z 99. 17/51 Na raňajky vypil Milan šálku zrnkovej kávy, matka šálky kávy doplnila mliekom, sestra šálky kávy doplnila mliekom a brat vypil šálky kávy a ostatok mlieka. Čoho sa vypilo viac? 17/52 Kuchár pripravil lečo pre väčšiu spoločnosť. V kuchárskej knihe boli uvedené suroviny na prípravu leča pre 41 osôb takto: 22 vajec, 3 lyžice soli, 6 kg rajčín, 2 lyžice korenia, 7 kg papriky. Aké množstvo surovín sa potrebuje na prípravu leča pre 119 ľudí? Kde treba, zaokrúhlite výsledky na 1 desatinné miesto. 17/53 Objem pohára je litra. Koľko pohárov potrebujeme na naplnenie päťlitrovej fľaše? 17/55 Štyria žiaci nazbierali 9,25 kg lesných rastlín. Druhý nazbieral dvakrát toľko ako prvý, tretí o O,35 kg viac ako druhý, štvrtý o O,1 kg menej ako prvý. Koľko kg nazbieral každý? 2. Percentá 26/43 Cena pozemku vzrástla o 17 %. Aká bola pôvodná cena, ak pozemok stojí 234O eur? 26/44 Peter zo svojich ušetrených peňazí 25 % daroval mladšiemu bratovi, za 2/3 zostávajúcej sumy kúpil pre matku dar a zvyšujúcich 25 eur odložil na učebné pomôcky. Koľko peňazí mal ušetrených? 27/49 Nádrž na vodu má tvar kvádra. Vnútorná dĺžka je 5,2 m, šírka 2,4 m a hĺbka 1,5 m. Koľko litrov vody obsahuje nádrž, ak je naplnená na 86 % svojho objemu? 28/56 Studňa má tvar valca s priemerom 12O cm. Od povrchu po hladinu je hĺbka 2 m. Hĺbka vody je 4 m. Koľko m 3 zeminy sa muselo vykopať pri hĺbení studne? Koľko % objemu studne zaberá voda? 28/59 Zomletím pšenice dostaneme 81,5 % múky. Koľko pšenice treba zomlieť aby sme získali 2,5 t pšeničnej múky? 28/61 Prvý robotník prekročil plán o 1O %, druhý o 5 % a tretí zaostal za plánom o 3 %. Spolu vyrobili 624 výrobkov. Koľko výrobkov mal vyrobiť každý robotník podľa plánu? 29/62 Tri podniky mali rovnaký plán výroby televízorov. Podnik A prekročil plán o 2O %, podnik B o 15 % a podnik C o 1O %. Takto spolu vyrobili 4 14O televízorov. Koľko televízorov mal vyrobiť každý podnik podľa plánu a koľko skutočne vyrobil? 29/63 Traja robotníci dostali za spoločnú prácu odmenu 1434 eur. Prvý dostal o 2O % menej ako druhý a tretí o 2O eur menej ako druhý. Akú odmenu dostal každý z nich? 30/70 Stavebný pozemok má dĺžku 3O m a šírku 2O m. O koľko % sa zmenší jeho obsah, ak zmenšíme dĺžku pozemku o 2O % a šírku o 1O %? 31/76 Pri čistení zemiakov v jarnom období musíme počítať s väčším odpadom. V sledovanom období navyše nebola kvalitná odroda a aj nevhodné skladovanie spôsobilo, že odpad z pôvodných 2O kg zemiakov bol až 6,5 kg. Koľko kg zemiakov musíme použiť, aby sme získali 31 kg očistených? Aké bolo percento odpadu? 1
32/83 Zliatina obsahuje 64,8 % medi, 32,8 % zinku, 2,4 % olova. Koľko každého kovu treba na výrobu 3OO kg tejto zliatiny? 32/85 Vo veľkosklade stáli šaty 32 eur. Predavač zvýšil ich cenu o 2O %. Keďže nešli na odbyt, v letnom výpredaji klesla ich cena o 3O %. Aká je cena šiat vo výpredaji? 32/86 Oprava lietadla bola plánovaná na 15O hodín. Opravárom sa podarilo skrátiť tento čas o 28 %. Koľko hodín trvala oprava? 33/96 V triede 4O % žiakov dochádza z iných obvodov. Z nich polovica dochádza autobusom, pätina na bicykli a 3 žiaci chodia pešo. Koľko žiakov má trieda? 3. Priama a nepriama úmernosť 21/6 Koľko ton škváry, piesku, vápna a cementu v pomere 1O : 1 : 2 : 2 sa spotrebuje na výrobu 1 5OO tvárnic, ak jedna váži 3O kg? 21/7 Tri skupiny žiakov získali za zber liečivých bylín 1 32 eur. Vypočítajte koľko dostala každá skupina, ak si podľa práce rozdelili túto odmenu v pomere 2 : 1 : 3. 22/11 Z 50 litrov mlieka sa vyrobí 6,25 litra smotany. Koľko litrov mlieka treba na 25 litrov smotany? 22/13 Z 5 kg zelenej kávy dostaneme 4,25 kg praženej kávy. Koľko kg zelenej kávy musíme upražiť, aby sme dostali 6,8 kg praženej kávy? 22/15 Z 3 kg čerstvých jabĺk získame 39O g sušených. Koľko čerstvých jabĺk potrebujeme na získanie 1 kg sušených? 22/17 Stroj vyrobí za štvrť hodiny 6O súčiastok. Koľko ich vyrobí za 75 minút? 24/26 Pri obnove cesty 12 robotníkov upraví 15O m za 1,5 dňa. Za koľko dní (pri rovnakom výkone) upraví 9 robotníkov 9O m cesty? 4. Úprava výrazov 44/6 Vynásobte a umocnite výrazy a) (x-y).(2x-3y)-(3x+2y) 2 + 4y 2 = b) (n+1).(6n+3)+(2n+1).(3n+5)= c) (3x 3-1) 2 -(x-1).(9x 2-1)= 44/7 Zjednodušte výrazy a) (2a-3b) 2 +(2a+b).(2a-b)-4b.(2b-3a)-a 2 = b) 2x(5-2y)-4y(2x-1)+5(xy-2y+y)= c) 5.(a-2b)-3(a-4b).(-2a)= 44/8 Zjednodušte výrazy a) 8x-[3(2x+1)-4(x-3)]= b) y3-(4x2-y3)+(-2,5y3+5x2)+12= c) (7a-4)(b-3)-(2a+5)(3b-1)= d) (4a 2 +2ab-b 2 )-(-a 2 +b 2 +3a 2 )= 2
5. Riešenie rovníc a slovných úloh 71/5 5a - 4 1 + 16a 7x - 5 5x + 3 2x - 7 a) = d) - = 2 7 6 7 3 1 5x - 2 x - 1O b) 3 (2x - 3) - 4 (x + 1) = (x + 1) e) 2 - = 2 7 2 1 1 x - 2 x x - 3 c) -2 (z - 1) - (1 + z) = - z f) x - - + = 5 4 2 3 4 5 72/6 3x + 1 5x + 1 17 - x 5 3x - 2 x - O,1 a) + 15 = - d) - = 8 3 2 2 O,2 O,3 3y + 1 16 - y 9y + 1 5x + 1 7x - 3 3x - 1 b) - = + 3 e) - = 1-3 6 7 6 8 3 3 1 c) [1O.(x - 5) + x] = 4x - 6 8 4 3 2 5 f) (x - 1) - (2x - 1) = 2 - (x + 1) 4 3 6 72/7 1 1 a) -2 (z - 1) - (1 + z) = - z 4 2 3x - 1 1 + x 3x + 1 b) - = 1 + 2 3 4 9x + 7 x - 2 c) - ( x - ) = 36 2 7 5 2 3 d) 3 - (a - 2) = (2a - 1) - (a - 1) 4 5 2 1 1 e) 2 ( x - 3) - ( x - 4). 3 = O 4 3 1 4 3x f) 2 (x - ) + 3x = (18 - ) - 4 2 3 2 73/8 3x - 17 x + 17 3 (x + 2) 7x - 2 4 (x + 3) a) 2 - = d) - 6 = - 4 5 2 3 5 x - 4 2x - 41 7x - 5 5x + 3 2x - 7 b) = 9 - e) - = 5 9 6 7 3 x - 2 x - 3 x (2x + 1) x (5x + 1) 3x + 1 c) x - + 3 = f) - = 2 3 2 5 1O 3
75/11 x 4x - 7 1O 3 + 5x x - 1 1 5 3x + 5 a) - = x + b) - - = - 6 9 3 2 6 3 2 3 2 85/45 Janko a Miško zarobili spolu 35O eur. Keby Miško dal Jankovi 5O eur, mali by obaja rovnakú sumu peňazí. Koľko korún zarobil Janko a koľko Miško? 86/46 Traja brigádnici dostali za svoju prácu 285 eur. Rozdelili sa podľa svojich výkonov tak, že prvý dostal o 2O% menej ako druhý a tretí o 33 eur viac ako druhý. Koľko korún dostal každý? 86/51 Meter látky zlacnel o 4,2 eura, takže 4 metre látky za novú cenu boli o 2 eurá lacnejšie ako 3 metre látky za pôvodnú cenu. Aká bola pôvodná cena látky? 87/57 Štyria spolužiaci ušetrili za rok spolu 370 eur. Druhý usporil dvakrát toľko ako prvý, tretí o 14 eur viac než druhý a štvrtý o 1O eur menej než prvý. Koľko korún usporil každý z nich? 87/58 Záhradník predal jablká, hrušky a čerešne. Z celkového množstva predaného ovocia bola polovica jabĺk, šestina hrušiek a 15O kg čerešní. Koľko kg predal jabĺk a koľko hrušiek? 89/66 4 chlapci si rozdelili 1OO guliek. Druhý dostal o 2O % viac ako prvý, tretí o 2O guliek viac ako prvý a štvrtý dostal O,8-krát viac guliek ako prvý. Koľko guliek dostal každý chlapec? 89/71 Na 172 m dlhé potrubie použili spolu 23 vodovodných rúr, ktoré mali dĺžku 47O cm a 825 cm. Koľko rúr z ktorého druhu použili? 94/96 V turistickej ubytovni je ubytovaných 42 žiakov v ôsmich izbách, z ktorých niektoré sú 4-miestne a ostatné 6-miestne. Koľko izieb je 4-miestnych a koľko 6-miestnych, ak dve miesta v ubytovni zostali voľné? 94/100 V školskej jedálni kúpili za 119 eur dva druhy limonád po jednej fľaške pre každého z 25O stravníkov. Jedna fľaška citrusovej limonády stála 45 centov a malinovej 50 centov. Koľko fľašiek citrusovej a koľko malinovej limonády kúpili? 97/113 V dopravnom závode spotrebovali prvý deň pätinu zásob benzínu, druhý deň tretinu zo zvyšku. Tretí a štvrtý deň spotrebovali zvyšok, ktorý bol 64O litrov. Akú zásobu benzínu mal dopravný závod pôvodne? 100/131 Traktor ide priemernou rýchlosťou 2O km/h z Nitry do Banskej Bystrice. Súčasne s ním ide nákladné auto priemernou rýchlosťou 3O km/h. Nákladné auto prišlo do B. Bystrice o 2 hodiny skôr ako traktor. Aká je vzdialenosť medzi Nitrou a B. Bystricou? 101/136 Kedy a kde sa stretnú dva vlaky, ktoré vyšli súčasne oproti sebe zo staníc A, B vzdialených 6O km, keď prvý vlak išiel rýchlosťou 75 km/h, a druhý išiel rýchlosťou 45 km/h? 6. Štvoruholníky 125/13 Vypočítajte obsah štvorca vpísaného do kruhu s polomerom r=4 cm. Koľko % plochy kruhu zaberá štvorec? 126/16 Záhrada má tvar rovnoramenného trojuholníka so stranami 80 m, 5O m a 5O m. Majiteľ túto záhradku vymenil za štvorcovú záhradku, ktorej obsah je 3/2 obsahu trojuholníkovej záhradky. Koľko metrov pletiva potrebuje na oplotenie štvorcovej záhradky? 126/18 Z obdĺžnikovej platne dlhej 2 m a širokej 1 m sa zhotovili tri plechové podložky tvaru lichobežníka so základňami 1 m a O,8 m a výškou O,65 m. Koľko % plochy obdĺžnikovej platne sa využilo? 4
127/24 Vypočítajte dĺžku strany štvorca a dĺžky strán obdĺžnika, ktorý má jednu stranu o 5cm dlhšiu a druhú o 2cm kratšiu ako je strana štvorca. Obsah obdĺžnika je o 11 cm 2 väčší ako obsah štvorca. 127/25 Záhrada tvaru obdĺžnika má obvod 28O m. Dĺžka záhrady je k šírke v pomere 3:2. Vypočítajte výmeru (obsah) záhrady. Koľko ovocných stromov môžeme do záhrady vysadiť, ak sa na jeden strom počíta 16 m 2 plochy? 128/29 Keď zväčšíme jednu stranu obdĺžnika o 4cm a druhú o 1cm, zväčší sa obsah o 32 cm 2. Keď zmenšíme prvú stranu o 2 cm a druhú o 3 cm, zmenší sa obsah o 28 cm 2. Vypočítajte strany obdĺžnika. 128/31 Obdĺžnikový pozemok upravili na park. Jeho rozmery sú 120m a 80m. Vybudovali v ňom aj kruhový bazén s polomerom 5 m, dve štvorcové pieskoviská so stranou 4 m. 2O % rozlohy celého pozemku tvoria ihriská a cesty. Zvyšnú plochu zatrávnili. Vypočítajte výmeru trávnatej časti parku. 131/47 Pozemok má tvar pravouhlého lichobežníka so základňami dlhými 52m, 42 m a kolmé rameno má 24 m. Okolo pozemku je ohrada s bránou z latiek vysokých 1,8m postavených tesne vedľa seba. Koľko plechovíc farby spotrebujeme na natretie oboch strán ohrady aj brány, keď jedna plechovica vystačí na 7 m 2? 133/52 Vypočítajte obsah a obvod rovnoramenného lichobežníka, ak základne sú 4O cm, 24 cm a rameno je o 4 cm väčšie ako výška. 134/61 Záhrada tvaru rovnoramenného lichobežníka má základne dĺžky 44 m a 16 m. Ramená majú dĺžku 25 m. Koľko m 2 plochy ostane na výsadbu stromov, ak a chatu? plochy je určená na cestu 7. Kružnica a kruh 142/4 Kruh má taký istý obsah ako štvorec, ktorého obvod je 338,4 m. Vypočítajte priemer kruhu. 147/20 Pravidelnému šesťuholníku je opísaná kružnica s polomerom r = 4 cm. Vypočítajte obsah útvaru, ktorý vznikne vyrezaním šesťuholníka z kružnice. 147/22 Tetiva je od stredu S kružnice k(s; 5 cm) vzdialená 3 cm. Vypočítajte jej dĺžku. 148/30 Kruhový zavlažovač s dostrekom 5 m je umiestnený 3 m od priameho chodníka. Akú dĺžku chodníka poleje voda? 149/36 Koleso bicykla má polomer 5O cm. Koľkokrát sa otočí na dráhe 314 m? 149/37 Na hriadeli s kolesom je upevnené lano s vedrom. Priemer hriadeľa je 4O cm. O koľko metrov klesne vedro, ak koleso otočíme 7-krát? 8. Povrchy a objemy telies 163/8 Z plnej kovovej kocky s hranou dlhou 6 cm sa má vykovať kváder, ktorého prvé dva rozmery sú 3 cm a 6 cm. Vypočítajte povrch kvádra. 164/13 Koľko m 2 plechu treba na vyhotovenie plechovej nádoby, ktorá má tvar kvádra, ak na záhyby a prekrývanie vrchnáka treba pridať 15 % plechu. Rozmery kvádra sú: O,3 m x 45 cm x O,8 m. 166/26 Do uzavretej nádrže tvaru pravidelného štvorbokého hranola sa má zmestiť 2O hl vody. Výška nádrže je 1,26 m. Koľko štvorcových metrov plechu sa spotrebuje na jej vyhotovenie, keď pridáme 5 % plechu na spoje a odpad? 166/31 Vypočítajte dĺžku telesovej uhlopriečky kvádra s rozmermi a=5 cm, b=9 cm, c= 15 cm. 5
171/57 Ktoré teleso vytlačí väčší objem kvapaliny, ak sú úplne ponorené: kváder s rozmermi a = 6,4 cm, b = 8 cm, c = 3,75 cm, alebo ihlan, ktorého podstava je štvorec so stranou a = 7 cm. Päta výšky je v strede podstavy a bočná hrana má veľkosť h = 13 cm. 174/76 Splav na umývanie repy má tvar hranola s podstavou rovnoramenného trojuholníka, ktorého základňa je 6,8 m a výška 4,8 m. Splav je dlhý 35 m. Vypočítajte objem splavu v hektolitroch. 177/89 Vypočítajte povrch a objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak je hrana podstavy dlhá 6 cm a veľkosť výšky bočnej steny je 5 cm. 177/91 Nad pavilónom so štvorcovým pôdorysom so stenou dĺžky a = 12 m je strecha tvaru ihlana s výškou v = 4,5 m. Vypočítajte, koľko m 2 plechu treba na zakrytie tejto strechy, ak na spoje a odpad treba pričítať 5,5 % plechu. 177/92 Do nádoby tvaru valca s priemerom 14 cm nalejeme 3 l oleja. Do akej výšky siaha hladina? 177/95 Koľko kubických metrov piesku treba na vyplnenie pieskoviska na ihrisku, ak pieskovisko má tvar kruhu s priemerom 3 m a je hlboké 25 cm. 178/97 Vo fľaši tvaru valca s vnútorným priemerom 8 cm sú 3 dl džúsu. Vypočítajte plochu džúsom zmáčanej časti fľaše. 179/103 Vypočítajte, koľko plechu treba na zhotovenie valcovitej nádoby s polomerom dna 8,5 cm a výškou 2 dm, ak pripočítame 5 % na odpad. 179/105 Váza tvaru valca je vysoká 28 cm. Jej vnútorný priemer d = 1,1 dm. Koľko litrov vody sa do nej vmestí, ak hrúbka dna je 1,5 cm. 180/113 Miestnosť hradnej veži má tvar valca s priemerom 4,6 m a výškou 2,9 m. Vypočítajte, koľko bude stáť vybielenie stropu a stien tejto miestnosti, ak za 1 m 2 sa platí 2,5 eura a na okná a dvere pripadá 15 % z celej plochy. 181/117 Plynojem má tvar gule s priemerom 14 m. Koľko m 3 plynu sa do nej vmestí? Koľko kg farby bude treba na natretie plynojemu, ak sa natiera 2-krát a 1 kg farby stačí na natretie 7 m 2? 182/123 Cestný valec má priemer 1,2 m a dĺžku 18O cm. a) koľkokrát sa otočil, keď počas práce prešiel 2 km, b) koľko m 2 cesty urovná, keď sa otočí 85-krát, c) koľko km prejde, keď 1O5O m cesty urovnáva 3-krát? 182/125 Cestný valec má priemer 1,4 m a šírku 2OO cm. Koľko m 2 cesty urovná, keď sa otočí 25-krát? 185/145 Hrniec na polievku má tvar valca s priemerom dna 3O cm a výškou 36 cm. Pre koľkých hostí nám vystačí polievka, ak je naplnený do 2/3 výšky a na osobu sa počíta O,25 l? 185/147 Vypočítajte objem a povrch rotačného kužeľa s polomerom podstavy r = 2,3 dm a výškou v = 46 mm. Matematika pre 8. r. II. diel SPN 1991 /stará/ 72/6 Oplotenie obdĺžnikovej záhrady stálo 134,4 eur, 1 m pletiva stál 2,8 eura a dĺžka záhrady je 2-krát väčšia ako šírka. Narysujte plán tejto záhrady v mierke 1:200. 134/5 Akú hmotnosť má betónový príklop na studňu kruhového tvaru s priemerom 1,2 m, ak hrúbka príklopu je 9 cm? (1 m 3 betónu má hmotnosť 2 200kg)? 135/13 Z tabule tvaru štvorca (a = 0,75 m) máme stočiť rúru, pritom počítame 2 cm na spoj. Vypočítajte priemer d rúry a jej hmotnosť, keď je plech 0,8 mm hrubý a hustota materiálu je ρ = 7800 kg/m 3. 6
Jaroslav Eisler: Matematika v kocke 9. Percentá, úrok 54/76, 55/77, 78, 56/79, Televízor stál 360 eur. V akcii bol zlacnený o 15%. Koľko stojí teraz? Fotoaparát stál 420 eur. Najskôr bol zlacnený o 12%, neskôr zdražel o 12%. Koľko stojí teraz? Aká by bola súčasná cena, keby najskôr zdražel o 12% a potom by bol zlacnený o 12%? Motocykel bol zlacnený o 300 eur, čo bolo 12% z pôvodnej ceny. Koľko eur stál pôvodne a koľko eur po zlacnení Z 1200 súčiastok bolo 6 chybných. Koľko % predstavujú chybné súčiastky? Elektrické vedenie meria 8,4 km. Na spoje a roztiahnutie drôtu treba pridať 3,5 % dĺžky. Koľko metrov drôtu bude treba pripraviť, keď vedenie má mať 4 drôty? 7,8 % hmotnosti ľudského tela tvorí hmotnosť krvi. Vypočítajte koľko kg krvi je v tele dospelého človeka, ktorého hmotnosť je 84 kg? Liečivá rastlina stráca pri sušení asi 72 % svojej hmotnosti. Koľko kg treba na získanie 0,8 kg sušenej rastliny? Klíčivosť semien zeleniny je rôzna, pri mrkve je to asi 85 %. Koľko semien vyklíči, keď zasejeme 5 g semena (1 000 semien = 2,5 g)? 10. Mocniny 61/88 a 2 bx 2 2a 2 b 2 x + 5a 2 bx 2 = 2a 2 b + 3ab 3 4a 2 b 7ab 3 = 2y 2 + 3y 3 5x 2 y + 6y 3 y 2 = 61/89 61/90 x 2. x 3 y 2 = 2m 3 p 4. 3mp 2 = -3u.(-2u 3 ).u 2 =. a 8 :a 2 = 8 5 :8 2 = 2c 3 d 4 : c 3 d 5 = 2xy 3 z : 4x 2 yz = 81/109 11. Pomer 63/92 Rozdeľte 120 m na 3 časti tak, aby ich dĺžky boli v pomere 3:4:8. V akom pomere bol rozdelených 160 kg na tri časti, keď jednotlivé časti boli 32 kg, 48 kg a 80 kg? Hmotnosť ovocia na troch paletách bola v pomere 3:5:8. Na prvej palete bolo 24 kg ovocia. Koľko kg bolo na druhej a tretej palete? Koľko kg bolo spolu na všetkých troch paletách? Koľko cm budú merať štyri časti 3 m laty, ktorá bola rozrezaná na časti v pomere 5:8:3:4? 7
12. Trojčlenka 65/93 5 brigádnikov zasadilo za deň 420 stromčekov. Koľko stromčekov by pri rovnakom výkone zasadilo 7 brigádnikov? Zo 6 kg čerstvých húb sa sušením získa asi 0,9 kg sušených húb. Koľko kg sušených húb môžeme získať usušením z 10 kg čerstvých húb? Pri rýchlosti 60 km/h by auto prešlo určitú vzdialenosť za 3,5 h. Za aký dlhý čas prejde rovnakú trať, keď pôjde priemernou rýchlosťou 90 km/h? 13. Mierka plánu a mapy 66/94 Vzdialenosť miest A a B na mape s mierkou 1:25 000 je 12 cm. Určte skutočnú vzdialenosť miest A a B, Aká je vzdušná vzdialenosť medzi dvomi mestami, keď ich vzdialenosť je 18 cm na mape s mierkou 1:50 000? Aká bude skutočná dĺžka mosta, ktorého dĺžka na pláne s mierkou 1:500 je 24 cm? Aké rozmery na pláne s mierkou 1:100 bude mať pôdorys domu, ktorý má dĺžku 15 m a šírku 12 m? V akej mierke je vypracovaný plán obce, keď futbalové ihrisko má v skutočnosti dĺžku 100 m a na pláne má 10 cm? 14. Nerovnice 77/106 Riešte nerovnice: 2x + 8 > 3x 4 5(x+1) + 6(x+2) > 9 (x+3) 7x 3(2x+3) > 2(x-18) 8