ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ. Να βξεζνύλ νη κεηαζρεκαηηζκνί Ε ησλ θάησζη ζπλαξηήζεσλ: Α) f ( 0 γηα 0 θαη άξηηνπο αθέξαηνπο. f ( γηα θ=πεξηηηνύο αθέξαηνπο. Β) f ( γηα θ=0 θαη άξηηνπο αθέξαηνπο f ( γηα θ=πεξηηηνύο αθέξαηνπο. Γ) f ( e in Γ) T f ( T) Te. Να βξεζνύλ νη κεηαζρεκαηηζκνί Ε ησλ ζπλαξηήζεσλ: Α) F ( )
Β) 5 F ( ) Γ) F ( ) 0 3. Να βξεζεί ν κεηαζρεκαηηζκόο Ε ησλ ζπλαξηήζεσλ: Α) f ( Β) f ( Γ) f ( a 4. Να απνδεηρζεί νηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Ε ηεο θάησζη ζπλαξηεζεο είλαη : Z h 0 x( h) X ( ) 5. Να βξεζεί ν κεηαζρεκαηηζκόο Ε ησλ ζπλαξηήζεσλ: Α) f ( t) in t co t Β) f ( t 3T ) Γ) f ( t) ( t) ( t T)
Γ) f ( t) in t 6. Να βξεζεί ν αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο ησλ ζπλαξηήζεσλ: Α) F ( ) 3 Β) F ( ) at bt e e Γ) F ( ) 5 4 Γ) F ( ) Δ) F( ) at e Σ) 3 F ( ) 7. Να ιπζνύλ νη θάησζη εμηζώζεηο δηαθνξώλ: Α) x ( 3x( ) x( ) e(
Οπνπ e (, 0, 0, θαη x ( ) x( ) 0 Β) x ( x( ) x( ) e( νπνπ e (, 0 0,,,3,... x ( ) x( ) 0 Ζ εθαξκνγή ηνπ ζεσξήκαηνο ηειηθήο ηηκήο δίλεη ηελ ζσζηή ηηκή γηα ην x ( όηαλ ; 8. Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηξαπεδνεηδή θαλόλα γηα ηελ αξηζκεηηθή νινθιήξσζε, πξνζεγγίδνπκε ην νινθιήξσκα κηαο ζπλάξηεζεο αζξνίδνληαο ηα γξακκνζθηαζκέλα εκβαδά, νπσο ζην ζρήκα: Αλ (t) y είλαη ην νινθιήξσκα ηεο x (t) Α) γξάςηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ πνπ ζρεηίδεη ηα y [( ) T], y( T), x( T), x[( ) T] γηα απηόλ ηνλ θαλόλα νινθιήξσζεο.
Β) Γείμηε νηη ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο απηνύ ηνπ νινθιεξσηή δίλεηαη απν ηε ζρέζε: Y( ) X ( ) T 9. Να βξεζεί ε E * ( ) ησλ θάησζη ζπλαξηήζεσλ: at Α) e ( t) e Β) E( ) e T a Γ) E ( ) Γ) E( ) e T 0. Να βξεζεί ε E () γηα ηηο δύν θάησζη ζπλαξηήζεηο: Α) e ( t) co(4 ) t Β) e ( t) co(8 ) t
Γηαηί νη δύν κεηαζρεκαηηζκνί είλαη ηδηνη; Δμεγήζηε.. α) Σν ζήκα e ( t) co(5t ) ππόθεηληαη ζε δεηγκαηνιεςία κε * ζπρλόηεηα 0. Γώζηε ηηο ζπρλόηεηεο πνπ πεξηιάκβάλεη ε E ( ). β) Σν ίδην λα γίλεη γηα ην ζήκα e ( t) co(5t). πγθξίλαηε ηα απνηειέζκαηα.. Τπνζέηνπκε νηη ην ζήκα e( t) co t εθαξκόδεηαη ζ έλα ηδαληθό δεηγκαηνιήπηε, αθνινπζνύκελν από έλα κεδεληθό αλαθαηαζθεπαζηή. Να δεηρζεί νηη ην πιάηνο ηεο ζπλάξηεζεο ζην ρξόλν πνπ βγαίλεη ζαλ έμνδνο απν ηνλ αλαθαηαζθεπαζηή, είλαη ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο θάζεο. 3. Να κειεηεζεί ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ κεδεληθνύ αλαθαηαζθεπαζηή θαη λα ζρεδηαζζνύλ ηα δηαγξάκκαηα Bode. 4. Να ππνινγηζηνύλ νη έμνδνη C () ησλ θάησζη ζπζηεκάησλ:
G ( ) G ( ) D() G() H ( ) D * ( ) H() G ( ) G ( ) H ( ) H ( )
5. Σν ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο είλαη ην απινπνηεκέλν κνληέιν ηνπ ζπζηήκαηνο ειέγρνπ ηνπ ελόο άμνλα θίλεζεο ηνπ βιήκαηνο Perhing. Δθθξάζηε ηελ ζπλάξηεζε εμόδνπ m () ζαλ ζπλάξηεζε ηεο εηζόδνπ. G D () D() G h () G a () 6. Γίλεηαη ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Να βξεζνύλ νη ζρέζεηο E( ) R( ) θαη C( N ). R( )
7. Θεσξείζηε ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Να δεηρζεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Ε ηεο εμόδνπ είλαη: C m ( ) 0 c m T 8. Ζ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ θαησηέξσ ζρήκαηνο είλαη: 7,8 G ( ), T ec 6 48,6 Να βξεζεί ε έμνδνο c (nt ) θαζώο θαη νη ηηκέο ηεο εμόδνπ γηα θάζε 0.5Σ, δειαδή, νη c ( 0.5T ), c(0.5t ), c(0.75t ),...
9. Θεσξείζηε ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Να βξεζεί ε C(). 0. Να ιπζνύλ νη θάησζη εμηζώζεηο δηαθνξώλ ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, (ρσξίο ηε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε): Α) y ( y( y( u( Β) E E y(. Γηα ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ y( ) 3y( y( ) a α) Να ιπζεί κε ηε βνήζεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Ε β) Μα γίλεη ην δηάγξακκα εμνκνίσζεο γ) Να ιπζεί ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ
. Να βξεζεί ην πξόηππν θαηαζηαηηθώλ εμηζώζεσλ γηα ην ζύζηεκα ζπδεπγκέλσλ εμηζώζεσλ δηαθνξώλ: x ( ) x( ) 3u( ) e ( e ( u ( ) u( 3x( e ( y ( u( ) x( ) 3. Γηα ην θαηαζηαηηθό πξόηππν : 0 x ( ) x( u( 3 y ( x( α) Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο β) Να ππνινγηζζεί ην κεηξών δηειεύζεσο 4. Να βξεζεί ην πξόηππν θαηαζηαηηθώλ εμηζώζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο:
5. Δζησ ην αθόινπζν ζύζηεκα ελόο ηαιαλησηή: Y( ) X ( ) Βξείηε ην ζπλερνύο ρξόλνπ πξόηππν θαηαζηαηηθώλ εμηζώζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο. Καηόπηλ, βξείηε ην δηαθεθξηκέλνπ ρξόλνπ πξόηππν, δηαθξηηνπνηώληαο ην ζύζηεκα. Τπνινγίζηε ηε δηάθξηηε ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο απηνύ. 6. Ζ θάησζη εμίζσζε πεξηγξάθεη ην ζύζηεκα ειέγρνπ ύςνπο ελόο δνξπθόξνπ: J u v όπνπ J είλαη ε ξνπή αδξαλείαο, ζ ε γσλία ύςνπο (αδηκνύζην), u ε ξνπή ειέγρνπ θαη v ε ξνπή δηαηαξαρήο. Θεσξώληαο ην v 0 θαη νξίδνληαο J y, ην ζύζηεκα γίλεηαη: y u Να δνζεί ην πξόηππν θαηαζηαηηθώλ εμηζώζεσλ θαη λα δηαθξηηνπνηεζεί ην ζύζηεκα.
7. Να ππνινγηζζεί ην θαηαζηαηηθό δηάγξακκα ξνήο ζήκαηνο θαη ην αληίζηνηρν πξόηππν κεηαβιεηώλ θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο: Y( ) G ( ) 3 X ( ) 0.5 8. Γίλεηαη ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Αλ ε είζνδνο είλαη κηά βεκαηηθή ζπλάξηεζε, λα γξαθηνύλ νη εμηζώζεηο κεηαθνξάο θαηάζηαζεο ζηηο ζηηγκέο t T, 0,,,... 9. Γηα ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Να γξαθνύλ νη θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη νη εμηζώζεηο κεηαθνξάο θαηάζηαζεο.
30. Γίλεηαη ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο: Πξνζδηνξίζηε ηελ πεξηνρή επζηαζείαο ηνπ Κ. 3. Γίλεηαη ε θάησζη ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε: P ( ) 3.3 0.08 0.4 0 Πξνζδηνξίζηε άλ ηπρόλ θάπνηα από ηηο ηδηνηηκέο ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο βξίζθεηαη έμσ από ηνλ κνλαδηαίν θύθιν ζην πεδίν Ε. (Υξεζηκνπνηείζηε ηνλ δηγξακκηθό κεηαζρεκαηηζκό θαη ην θξηηήξην Routh). 3. Γηα ην ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη κε ηελ εμίζσζε : x ( ) 0.3679x( 0.63u( ζέινπκε λα έρεη έλα επζηαζέο ζεκείν ηζνξξνπίαο ζην x d. Aπηό ζπκβαίλεη άλ εθαξκόζνπκε θάπνην θαηάιιειν λόκν ειέγρνπ. Γείμηε όηη κε ηνλ έιεγρν u d ( a x ax(
ην ζύζηεκα ζηαζεξνπνηείηαη ζην x d, κε ηελ πξνππόζεζε νηη ε ζηαζεξά α βξίζθεηαη ζε κηά ζπγθεθξηκέλε πεξηνρή. Πξνζδηνξίζηε ηελ πεξηνρή επζηαζείαο γηα ηελ ζηαζεξά α. 33. To θάησζη ζύζηεκα έρεη ζρεδηαζζεί έηζη ώζηε ε έμνδόο ηνπ λα δηαηεξείηαη κεδέλ παξά ηελ παξνπζία δηαηαξαρώλ f (t). Γηα ηελ f (t) = βεκαηηθή, ηεο (T) Α) γηα D (), βξείηε ηελ ηηκή κόληκεο θαηάζηαζεο ηεο (t) c. Β) Γηα λα κήλ έρεη ε f (t) θακκία επίδξαζε ζηελ κόληκε θαηάζηαζε c, ε D () πξέπεη λα έρεη έλα πόιν ζην. Δζησ D ( ) 0. Βξείηε ηελ ηηκή κόληκεο θαηάζηαζεο ηεο c (T). 34. Γηα ην πξνεγνύκελν ζύζηεκα έζησ νηη ε f (t) 0. Βξείηε ηα ζθάικαηα κόληκεο θαηάζηαζεο γηα βεκαηηθή είζνδν θαη είζνδν κνλαδηαίαο ξάκπαο γηα ηελ D (), ηνπ β) εξσηήκαηνο.
35. Γηα ην απινπνηεκέλν ζύζηεκα ελόο δηαζηεκηθνύ νρήκαηνο νπσο απηό ηνπ ζρήκαηνο, βξείηε : Α) ηελ ζηαζεξά ζθάικαηνο ζέζεσο. Β) ηελ ζηαζεξά ζθάικαηνο ηαρύηεηαο Γ) ηελ ζηαζεξά ζθάικαηνο επηηάρπλζεο 36. Να κεηαζρεκαηηζζεί ε G ( ), T ec ζύκθσλα κε ηελ : Α) όπηζζελ δηαθνξά Β) δηγξακκηθό κεηαζρεκαηηζκό 4 3 37. Ο αλαινγηθόο P.I.D. έρεη ζπλάξηεζε κεηαθνξάο G( ) K p K I K D
Να βξεζεί ην ςεθηαθό αλάινγν κε ηελ όπηζζελ δηαθνξά. 38. Γηα ηηο πεξηνρέο ηνπ ζρήκαηνο ζην -επίπεδν, ζρεδηάζηε ηηο αληίζηνηρεο πεξηνρέο ζην -έπίπεδν. (Σ=0.3 ec). 39. Γηα ην ζύζηεκα : ρσξίο αληηζηάζκηζε, ην πεξηζώξην θάζεο είλαη πεξίπνπ 30 0. Α) ζρεδηάζηε έλα θαζπζηεξεηή θάζεο πνπ ζα απμάλεη ην πεξηζώξην θάζεο ζηηο 50 0. Β)ζρεδηάζηε έλα πξνεγεηή θάζεο γηα ηόλ ίδην ζθνπό.
40. Γηα ην ζύζηεκα ηνπ πξνεγνύκελνπ ζρήκαηνο κε ην Σ=0.ec, ην πεξηζώξην θάζεο είλαη πεξίπνπ 50 0. Απαηηείηαη ε ζηαζεξά κόληκεο θαηάζηαζεο γηα είζνδν κνλαδηαίαο ξάκπαο λα είλαη K v 4. K v Α) απμήζηε ην θέξδνο κόληκεο θαηάζηαζεο έηζη ώζηε λα παξακέλεη 4. Καηόπηλ ππνινγίζηε ην πεξηζώξην θάζεο. Β) ζρεδηάζηε έλα αληηζηαζκηηή πξνήγεζεο θάζεο πνπ δίλεη πεξηζώξην θάζεο 50 0 θαη K v 4. 4. Γηα ην θάησζη ζύζηεκα ειέγρνπ ζεξκνθξαζίαο έρνπκε: κε Σ=0.5 ec, ην ζθάικα κ νληκεο θαηάζηαζεο πξέπεη λα είλαη κηθξόηεξν ηνπ %, γηα ζηαζεξή είζνδν Α) Βξείηε ην % ζθάικα κόληκεο θαηάζηαζεο γηα ζηαζεξή είζνδν κε D (). Παξαηεξείζηε νηη γηα λα αιιάμεη ε έμνδνο θαηα 0 C, ην κέγεζνο ηεο εηζόδνπ πξέπεη λα είλαη 0.04.
Β) Δζησ D ( ) K, θαζαξό θέξδνο. Βξείηε ηελ ηηκή ηνπ Κ πνπ δίλεη % ζθάικα ζε βεκαηηθή είζνδν. Δίλαη επζηαζέο ην ζύζηεκα γηα απηή ηελ ηηκή ηνπ Κ; Γ) ζρεδηάζηε έλα θαζπζηεξεηή θάζεο γηα ην ζύζηεκα ηνπ εξσηήκαηνο Β, έηζη ώζηε ην ζθάικα % λα ηθαλνπνηείηαη, ην πεξηζώξην θάζεο λα είλαη κεγαιύηεξν από 40 0 θαη ην πεξηζώξην θέξδνπο κεγαιύηεξν από 6dB. Πνηά είλαη ε ηειηθή ζπλάξηεζε κεηαθνξάο ηνπ D () ; Γ) Μπνξεί λα επηηεπρζεί ε αληηζηάζκηζε ηνπ εξσηήκαηνο Γ, κε έλα πξνεγεηή θάζεο ; Δμεγήζηε γηαηί. 4. Γηα ην ζύζηεκα ηνπ ζρήκαηνο, ρσξίο αληηζηάζκηζε, ην πεξηζώξην θάζεο είλαη 30 0. Α) ζρεδηάζηε έλα αληηζηαζκηηή θαζπζηέξεζεο θάζεο πνπ ζα απμήζεη ην πεξηζώξην θάζεο ζηηο 50 0. Β) ζρεδηάζηε έλα Ρ.Η. ειεγθηή γηα λα επηηύρεηε πεξηζώξην θάζεο 60 0. Γ) ζεσξήζηε έλα θέξδνο Κ ζηνλ αξηζκεηή ηεο ζπλάξηεζεο κεηαθνξάο:. ρξεζηκνπνηώληαο ηερληθέο ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ξηδώλ, βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ Κ γηα ηηο νπνίεο έρνπκε θξηηηθή απόζβεζε ζην ζύζηεκα.. βξείηε ηελ ζηαζεξά ρξόλνπ ησλ ξηδώλ ηνπ ηκήκαηνο. 3. ρεδηάζηε έλα πξνεγεηή θάζεο πνπ λα επηηπγράλεη θξηηηθή απόζβεζε, κε ξίδεο ησλ νπνίσλ ε ζηαζεξά ρξόλνπ λα είλαη κηθξόηεξε ή ίζε, ηνπ κηζνύ ηεο ηηκήο πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα.
43. Γηα ην θάησζη ζύζηεκα : 0.095 0.0048 x ( ) x( u( 0 0.90 0.095 Βξείηε ηνλ πίλαθα θέξδνπο Κ πνπ απαηηείηαη έηζη ώζηε ην ζύζηεκα θιεηζηνύ βξόρνπ λα πινπνηεί ηελ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε κε ιόγν απόζβεζεο δ=0.46 θαη ζηαζεξά ρξόλνπ η=0.5 ec. 44. Γίλεηαη ην ζύζηεκα : x ( ) 0.6.6 x( u( 0.6.6 y ( x( Πξνζδηνξίζηε ηνλ πίλαθα Κ έηζη ώζηε νη πόινη ηνπ ζπζηήκαηνο θιεηζηνύ βξόρνπ λα είλαη : 0.6 j0.4
0.6 j0.4 Να ζρεδηαζζεί ηέινο έλαο παξαηεξεηήο γηα ην ζύζηεκα απηό. 45. Γίλεηαη ην ςεθηαθό θίιηξν πνπ νξίδεηαη από ηελ ζπλάξηεζε κεηαθνξάο: Y( ) 4 G ( ) X ( ) 0.. 0.3 0.8 Να πινπνηεζεί ππν κνξθή δηαγξάκκαηνο, ελ ζεηξά θαη ελ παξαιιήισ. 46. α) Να ππνινγηζζεί ν αληηζηαζκηηήο πνπ ζηαζεξνπνηεί ην θάησζη ζύζηεκα: D() oh β) Να πινπνηεζεί ζαλ ςεθηαθό θίιηξν ( ν αληηζηαζκηηήο, κόλν ) κε δύν από ηηο κεζόδνπο πνπ γλσξίδεηε.