VAJE IZ MATEMATIKE 2 za smer Praktična matematika. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za smer Praktična matematika Martin Raič Datum zadnje spremembe:. maj 4

Kazalo. Ponovitev elementarnih integralov. Metrični prostori 4 3. Fourierove vrste 9 4. Funkcije več spremenljivk 4 5. Krivulje 6 6. Ploskve 3 7. Integrali s parametrom 37 8. Dvojni in trojni integral 43 9. Vektorska analiza 5.Kompleksna števila 59 REŠITVE 7. Ponovitev elementarnih integralov 7. Metrični prostori 75 3. Fourierove vrste 83 4. Funkcije več spremenljivk 9 5. Krivulje 7 6. Ploskve 7. Integrali s parametrom 7 8. Dvojni in trojni integral 9. Vektorska analiza 37.Kompleksna števila 48

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA). Ponovitev elementarnih integralov Ponovitev tehnik integriranja(substitucija, per partes) pri nedoločenih in določenih integralih. Pasti pri substituciji v določeni integral in pri posplošenih integralih. V nalogah od. do. izračunajte integrale. (. x + ) xdx. x. 3. x +3 +3x dx. (x +x)e x+7 dx. 4. 5 x x dx. 5. Izračunajte določeni integral 6. 7. 8. dx x. x dx. π (x 3 4x+)cos(x 4 8x +8x+3) x 4 8x +8x+3 sinx dx. Naj bo R racionalna funkcija. Z naslednjimi substitucijami v integrale: R ( x, a x ) dx : x = asint, t = arcsin x a, a x = acost dx. (a ) R ( x, x +a ) dx : x = asht, t = Arsh x a, x +a = acht (a ) R ( x, x a ) dx : x = acht, t = Arch x a, x a = asht (x a ) R ( x, x +b ) dx : x = t b t, t = x+ x +b, (x bpri b < ) x +b = t + b t se le-ti prevedejo na integrale trigonometrijskih, eksponentnih oz. racionalnih funkcij.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 9. 9 x dx.. x +9dx... x 9dx. π dx 6+9cos x.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4. Metrični prostori Preverjanje aksiomov metrike. Krogle. Odprtost, zaprtost. Aksiomi metrike: d(x,y) d(x,y) = x = y d(y,x) = d(x,y) d(x,z) d(x,y)+d(y,z). Dana je naslednja mreža poznanstev: Jože Marija Ferdinand Neža Janez Micka Tanja Franček Ludvik Manca Iz množice ljudi iz zgornje mreže naredimo metrični prostor, in sicer tako, da je razdalja d med dvema človekoma najmanjše število poznanstev, ki so potrebna, da pridemo od enega do drugega. Izračunajte razdalje: d(janez, Micka), d(janez, Janez), d(franček, Marija), d(franček, Manca), d(franček, Tanja) in preverite, da d izpolnjuje aksiome metrike.. Kateri izmed podanih predpisov predstavljajo metriko na R: a) d (x,y) := x y? b) d (x,y) := x y? c) d 3 (x,y) := min{, x y }? d) d 4 (x,y) := max{, x y }? Odgovore utemeljite!

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 5 Uveljavljenemetrikena R n ( d p (x,...x n ),(y,...y n ) ) [ n ] /p = x i y i p d ( (x,...x n ),(y,...y n ) ) = max { x y,... x n y n } Metriki d pravimomanhattanska,metriki d evklidska,metriki d pa maksimum metrika. i= 3.Vevklidskiinmanhattanskimetrikina R določitemnožicotočk,kisoenakooddaljeneodtočk T (,)in T (,). 4.Vevklidski,manhattanskiinmaksimummetrikina R poiščitetočkonapremici y = x+,kijenajbližjeizhodišču. Odprtakrogla: K(x,r) = {y ; d(x,y) < r}. Zaprtakrogla: K(x,r) = {y ; d(x,y) r}. 5.Pokažite,dapredpis d(x,y) := x y predstavljametrikona [, ). Določite odprtiinzaprtikrogliokolitočke spolmeroma 3in 5. 6. Pokažite, da predpis: d ( (x,y ),(x,y ) ) := x x + y 3 y 3 predstavljametrikona R.Vtejmetrikiskicirajteodprtokroglo K ( (,), ). 7. Poštarsko metriko na ravnini definiramo po predpisu: { x y ;česta xin yvzporedna d( x, y) = x + y ;sicer, kjerje evklidskanorma.pokažite,dajetoresmetrika,indoločitekrogliokrog točk A(4,3)in B(,)spolmerom3. 8. Naj bo A poljubna množica. Primerjalna metrika na množici: A N = { (a,a,a 3,...) ; a,a,a 3,... A } vseh zaporedij elementov množice A je definirana tako, da je razdalja med zaporedjema (a,a,a 3,...)in (b,b,b 3,...)enaka /k,kjerje kprviindeks,zakateregaje a k b k ;razdaljamedenakimazaporedjemajesevedaenekanič.pokažite,dajeto res metrika, ter določite odprto in zaprto kroglo okoli danega zaporedja s polmerom /5.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 6 Naj bo A podmnožica metričnega prostora. Notranjost množice A sestavljajo tiste točke a, za katere obstaja krogla K(a,r),kijevsebovanavA. Zunanjost množice A sestavljajo tiste točke a, za katere obstaja krogla K(a,r),kiimazAprazenpresek. Zunanjostmnožice Ajetorej notranjost njenega komplementa. Rob množice A sestavljajo točke, ki niso niti notranje niti zunanje, t. j. točke a,prikaterihvsakakrogla K(a,r)vsebujetakotočke,kisovA, kottočke,kinisova. Množica Ajeodprta,česovsenjenetočkenotranje,torejčenevsebuje nobene svoje robne točke. Množica je zaprta, če vsebuje vse svoje robne točke. 9.Narealniosi,opremljenizobičajnometriko,gledamomnožice: A = {}, A = {/n ; n N}, A 3 = A {}, A 4 = Z (,), A 5 = Z (3/,)in A 6 = R\Z, A 7 = R\Q, A 8 = Q (,). Zavsakoodnjihdoločitenotranjostinrobterše, alijeodprtainalijezaprta. Določitetošezainterval (, ),kigagledamokot podmnožico metričnega prostora R\{} z običajno metriko. Zaporedje x,x,x 3,...vmetričnemprostoru (M,d)konvergiraprotitočki x,čezavsak ε > obstajatak n N,dazavsak n n velja d(x n,x) < ε. Zdrugimibesedami,tojenatankotedaj,koje lim n d(x n,x) =. Pravimo,daje xlimitazaporedja x n,inpišemo x = lim n x n. Zaporedje x,x,x 3,...vmetričnemprostoru (M,d)jeCauchyjevo,čeza vsak ε > obstajatak n N,dazapoljubna m,n n velja d(x m,x n ) < ε. Vsako konvergentno zaporedje je Cauchyjevo. Metrični prostor je poln, če je vsako Cauchyjevo zaporedje konvergentno..najbo ϕ > ϕ > ϕ 3 >...in lim n ϕ n =. Alijezaporedjetočk x n = (cosϕ n,sinϕ n )konvergentnooz.cauchyjevo: a) v evklidski metriki? b) v poštarski metriki?

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 7 Metrike na funkcijskih prostorih Najbo p in a < b. Integralskametrika d p naprostoru C[a,b]zveznih funkcij na intervalu [a, b] je definirana po predpisu: ( b d p (f,g) = f(x) g(x) /p dx) p. a Definiramotudi d,insicerjetopodogovorumaksimummetrika: d (f,g) = max f(x) g(x). a x b Če funkcijsko zaporedje konvergira v maksimum metriki, konvergira tudi po točkah.vtejmetrikijedaniprostortudipoln. Za p < q jemetrika d q enakomernomočnejšaodmetrike d p,kar pomeni,dazavsak r > obstajatak s >,daje K q (f,s) K p (f,r)za vsefunkcije f;s K p in K q smooznačiliodprtikroglivustreznihmetrikah. Odtodsledi,dajevsakozaporedje,kijekonvergentnooz.Cauchyjevovd q, konvergentnooz.cauchyjevotudivd p..danojezaporedjefunkcij f n (x) = Cauchyjevo: nx nx+. Alijetozaporedjekonvergentnooz. a)vprostoruzveznihfunkcijna [,],opremljenemzmaksimummetriko? b)vprostoruzveznihfunkcijna [,],opremljenemzintegralskometriko d? c) v prostoru zveznih funkcij na [, ], opremljenem z maksimum metriko? d)vprostoruzveznihfunkcijna [,],opremljenemzintegralskometriko d?.danojezaporedjefunkcij f n (x) = innajbo < a <. Določite,alije +enx zaporedje konvergentno oz. Cauchyjevo: a) v prostoru zveznih funkcij na [a, ], opremljenem z maksimum metriko? b) v prostoru zveznih funkcij na [, a], opremljenem z maksimum metriko? c)vprostoruzveznihfunkcijna [,],opremljenemzintegralskometriko d? 3. Dano je zaporedje funkcij na prostoru C[, ]: { n n f n (x) = 3 x ;x /n ; x /n. Dokažite,datozaporedjevmetriki d konvergiraproti (čepravpotočkahne konvergira).dokažiteše,datozaporedjevmetriki d nekonvergiraproti.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 8 Banachovo skrčitveno načelo Preslikava f: M Mjeskrčitevgledenametriko d,čeobstajatak q <, daje d ( f(x),f(y) ) qd(x,y)zavse x,y M. Čeje fskrčitevnapolnemmetričnemprostoru,imaenačba f(x) = xnatanko enorešitev x.le-todobimokotlimitozaporedja: x, x = f(x ), x 3 = f(x ),... zapoljubenzačetnipribližek x.bržkoizračunamovsajdvapribližka,lahko ocenimo tudi napako: d(x n,x ) q q d(x n,x n ). Bržkoje M zaprtinterval,zaprtpoltrakalicelarealnaos,jetovobičajni metrikipolnprostor.odvedljivapreslikava f: M Mjeskrčitev,bržkoje zveznana M,odvedljivavnotranjostiintervala Minkoobstajatak q <,da je f (x) qzavsak xiznotranjostimnožice M. Čejetudi f (x) zavse x,zaporedjepribližkovbodisinaraščaproti x bodisipadaproti x.čepaje f (x) zavse x,pa x ležimedpoljubnima zaporednima približkoma. 4.Izračunajtevserešitveenačbe x = arctgx+3na5decimalknatančno. 5.Izračunajtevserešitveenačbe x = 3+ x 4na7decimalknatančno. 6.Izračunajtevserešitveenačbe x = lnx+na5decimalknatančno. Enačbo F(x) = lahko s pomočjo Banachovega skrčitvenega načela rešujemo tako, da jo zapišemo kot: x kf(x) = x, kjerje kprimernoizbranoštevilo. Postopekdeluje,čezavse xnaintervalu, kjeriščemoničlo,velja kf (x) q,kjerje q <. Tak ksedavedno dobiti, če se odvod giblje na omejenem zaprtem intervalu, ki ne vsebuje ničle (v takem primeru je funkcija seveda strogo monotona). 7.Na5decimalknatančnorešiteenačbo x 3 +x = 3.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 9 3. Fourierove vrste Razvoj v trigonometrijsko Fourierovo vrsto. Sinusna in kosinusna Fourierova vrsta. Parsevalova enačba. Zavsakofunkcijo f,kijeintegrabilnanaintervalu ( π,π),lahkodefiniramo klasično(trigonometrijsko) Fourierovo vrsto: kjer je: a = π π f(x) = a + a n cos(nx)+ n= πf(x)dx, a n = π b n = π π π π π b n sin(nx), n= f(x)cos(nx)dx, f(x)sin(nx)dx; n N. Funkcija fjeperiodičnasperiodo πinninujno(povsod)definirana(vrsta lahko divergira). Čeje fodsekomazveznoodvedljivanaintervalu ( π,π)(t.j.intervalseda razdelitinapodintervale,kjerje fvnotranjostizveznoodvedljiva, f paima vkrajiščihlevooz.desnolimito),je fpovsoddefinirana:vtočkahiz ( π,π), kjerje fzvezna,je f = f,sicerpavelja: f(x) = [ ] limf(y)+limf(y) y x y x inše: f( π) = f(π) = Velja Parsevalova enačba: π π [ ] limf(y)+ lim f(y). y π y π [ ] dx πa f(x) = +π (a n +b n). n= V nalogah od. do 7. razvijte funkcije v Fourierove vrste, zapišite njihove dejanske vsotenaintervalu [ π,π]innarišitenjihovegrafenacelirealniosi. Čejenavedeno, zapišite številske vrste, ki nastanejo, ko vstavimo ustrezne vrednosti. Zapišite še številsko vrsto, ki nastane iz Parsevalove enačbe.. f(x) = π +x,vstavite x = π/. { ; x <. f(x) =,vstavite x = π/. ; x

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) Čeje fliha,sovsikoeficienti a n enaki. Čeje fsoda,sovsikoeficienti b n enaki. 3. f(x) = x,vstavite x = in x = π. 4. f(x) = e ax,vstavite x = in x = π. 5. f(x) = sin x. 6. f(x) = cos(ax), a / Z.Vstavite x = in x = π. 7. f(x) = sin(ax), a / Z.Vstavite x = π/. Zavsakofunkcijo f,kijeintegrabilnanaintervalu (,π),lahkodefiniramo kosinusno Fourierovo vrsto: kjer je: a = π π f(x) = a + a n cos(nx), f(x)dx, a n = π n= π f(x)cos(nx)dx; n N. Funkcija fjesoda,periodičnasperiodo πinninujnopovsoddefinirana. Čeje fodsekomazveznoodvedljivanaintervalu (,π),je fpovsoddefinirana: vtočkahiz (,π),kjerje fzvezna,je f = f,sicerpavelja: f(x) = lim y xf(y)+lim y x f(y) inše f() = lim y f(y), f(π) = lim y π f(y). Velja Parsevalova enačba: π [ f(x) ] dx = πa 4 + π a n. n= 8.Razvijtefunkcijo f(x) = xvkosinusnofourierovovrstonaintervalu (,π).zapišite njeno vsoto na intervalu[ π, π] in narišite graf na celi realni osi. Zapišite še številsko vrsto, ki nastane iz Parsevalove enačbe. 9.Razvijtefunkcijo f(x) = sinxvkosinusnofourierovovrstonaintervalu (,π). Zapišitenjenovsotonaintervalu [ π,π]innarišitegrafnacelirealniosi.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) Zavsakofunkcijo f,kijeintegrabilnanaintervalu (,π),lahkodefiniramo sinusno Fourierovo vrsto: kjer je: b n = π f(x) = π b n sin(nx), n= f(x)sin(nx)dx; n N. Funkcija fjeliha,periodičnasperiodo πinninujnopovsoddefinirana. Čeje fodsekomazveznoodvedljivanaintervalu (,π),je fpovsoddefinirana: vtočkahiz (,π),kjerje fzvezna,je f = f,sicerpavelja: f(x) = lim y x f(y)+lim y x f(y) inše f() = f(π) =. Velja Parsevalova enačba: π [ f(x) ] dx = π b n. n=.razvijtefunkcijo f(x) = cosxvsinusnofourierovovrstonaintervalu (,π). Zapišitenjenovsotonaintervalu [ π,π]innarišitegrafnacelirealniosi.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) Trigonometrijska Fourierova vrsta na simetričnem intervalu poljubne dolžine. Če je f integrabilna na intervalu ( l, l), je trigonometrijska Fourierova vrsta na tem intervalu oblike: kjer je: f(x) = a + a n cos nπx l n= + n= b n sin nπx l, a = l l lf(x)dx, a n = l b n = l l l l l f(x)cos nπx l f(x)sin nπx l dx, dx; n N Funkcija fjeperiodičnasperiodo linninujnopovsoddefinirana. Čeje fodsekomazveznoodvedljivanaintervalu ( l,l),je fpovsoddefinirana in velja: { [ limy x f(y)+lim y x f(y) ] ; l < x < l f(x) = [ limy l f(y)+lim y l f(y) ] ; x { l,l}. Vnotranjihtočkah,kjerje fzvezna,jeseveda f = f. Velja Parsevalova enačba: l l [ f(x) ] dx = l a +l (a n +b n). Funkcijo lahko razvijemo tudi po samih kosinusih ali samih sinusih na intervalu (,l). n=. Razvijte funkcijo: f(x) = v Fourierovo vrsto na intervalu [, ]. { ; x x ; x

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 Trigonometrijska Fourierova vrsta na poljubnem intervalu. Če je f integrabilna na intervalu (a, b), je trigonometrijska Fourierova vrsta na tem intervalu oblike: kjer je: a = b a f(x) = a + a n cos πnx b a + b n sin πnx b a, b a n= f(x)dx, a n = b a b n = b a b a b a n= f(x)cos πnx b a dx, f(x)sin πnx b a dx; n N Funkcija fjeperiodičnasperiodo b ainninujnopovsoddefinirana. Čeje fodsekomazveznoodvedljivanaintervalu (a,b),je fpovsoddefinirana in velja: { [ limy x f(y)+lim y x f(y) ] ; a < x < b f(x) = [ limy a f(y)+lim y b f(y) ] ; x {a,b}. Vnotranjihtočkah,kjerje fzvezna,jeseveda f = f. Velja Parsevalova enačba: b a [ f(x) ] dx = (b a) 4 a + b a (a n +b n). n=.razvijtefunkcijo f(x) = xvfourierovovrstonaintervalu (,).Zapišitedejansko vsototevrstena [,]. 3.Funkcijof(x) = x razvijemovtrigonometrijskofourierovovrstonaintervalu(,3). Določitedejanskivrednostitevrstev8in 9.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4 4. Funkcije več spremenljivk.določiteinnarišitedefinicijskoobmočjefunkcije f(x,y) = y 4x+8..Določiteinnarišitedefinicijskoobmočjefunkcije f(x,y) = ln( x y ). xy 3.Narišitenekajnivojnicploskve z = x y. 4.Narišitenekajnivojnicploskve z = (x )y. 5.Narišitenekajnivojnicploskve z = x +y.katerageometrijskaploskevjeto? Zveznost funkcij več spremenljivk Funkcija fdvehspremenljivkjezveznavtočki (a,b),čevelja lim (x,y) (a,b) f(x,y) = f(a,b),t.j.čezavsak ε > obstajatak δ >,daza vsakotočko (x,y),kijetočki (a,b)bližjekot δ,velja f(x,y) f(a,b) < ε. Ekvivalentno, fjezveznav(a,b)natankotedaj,kozavsakopot x = x(t),y = y(t), x(t ) = a,y(t ) = b,velja lim t t f ( x(t),y(t) ) = f(a,b). Dovoljjevzeti en interval s krajiščem in gledati vse poti, definirane na njem. Analogno velja za funkcije več kot dveh spremenljivk. Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. Zlepek dveh funkcij je zvezen v dani točki iz unije definicijskih območij, brž ko sta funkciji zvezni, točka pa je bodisi notranja bodisi zunanja točka katerega od definicijskih območij ali pa pripada obema definicijskima območjema(seveda se morata funkciji na preseku ujemati). 6. Za funkcijo: f(x,y) = raziščite, v katerih točkah je zvezna. 7. Dana je funkcija: { ; x +y x+y ;sicer { x +y f(x,y) = ; x +y 4 a ;sicer. Dokažite, da obstaja taka konstanta a, da je f povsod zvezna. Določite jo.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 5 Funkcija f dveh spremenljivk je zvezna v točki (a, b) natanko tedaj, ko obstaja takafunkcija g: (,δ) [, )zlim r g(r) =,davelja: f(x,y) f(a,b) g ( x +y ), brž ko so zgornji izrazi definirani. Karakterizacijo lahko razširimo tudi na več spremenljivk. Zafunkcijevnalogahod8.do.raziščite,alisedajozveznorazširitinaceloravnino. 8. f(x,y) = xy x +y. 9. f(x,y) = x y x 4 +y. f(x,y) = x ysiny x +y sin(x+y). Izračunajte limito lim (x,y) (,) x+y +x y. Parcialni odvodi Parcialni odvod funkcije več spremenljivk po določeni spremenljivki pomeni, da po tisti spremenljivki odvajamo, preostale spremenljivke pa obravnavamo kot konstante. Pisava parcialnih odvodov funkcij temelji na tem, da se za vsako spremenljivko(t. j. mesto funkcijskega argumenta) dogovorimo, katera črka jo označuje. Če je npr. f funkcija dveh spremenljivk in se dogovorimo, da prvo označimozx,drugopazy,parcialniodvodpoprvispremenljivkioznačimozf x ali f,parcialniodvodpodrugispremenljivkipazf x yali f.dogovornavadno y sprejmemokarskupajzdefinicijofunkcije:čefunkcijodefiniramozf(x,y) =,privzamemo,da f x označujeodvodpoprvi, f y papodrugispremenljivki. Kasneje pa lahko za argumente vstavimo tudi kaj drugega, kar pomeni, da so vsiizrazi f x (x,y), f x (4,34)in f x (u,v)smiselni. Vrednostslednjegajeenaka vrednostiizraza g (u),kjerje gfunkcija,definiranapopredpisu g(x) = f(x,v). Tako definirani parcialni odvodi dane funkcije ali izraza so parcialni odvodi prvega reda..izračunajteparcialneodvodeprvegaredafunkcije f(x,y) = x +3xy + y. 3.Izračunajteparcialneodvodeprvegaredafunkcije f(x,y) = e x +3lny x y.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 6 Parcialno lahko odvajamo tudi izraze. Za ta namen moramo izraz predstaviti kot funkcijo. Pri tem se moramo dogovoriti, funkcija katerih spremenljivk je dani izraz(t. j. katere spremenljivke so neodvisne) in katere spremenljivke so odvisne(glej 5. nalogo). Parcialni odvod izraza u po spremenljivki x označujemoz uali u. x x Če v izrazu nastopa funkcija, se lahko zgodi, da je v argumentu spremenljivka, ki ni enako označena kot mesto funkcijskega argumenta za parcialno odvajanje. Čejenpr. f funkcijadvehspremenljivkinjeprvapodogovoruoznačenaz x, drugapazy, je f (y,x) = f(y,x). Navadnosetakšnimsituacijam x y izogibamo. 4.Najbo z = x+x y +ln(y +).Izračunajte z x 5.Medspremenljivkami u, xin yveljazveza u = xy. a)poiščiteparcialnaodvoda u x in u y. in z y. b)najbo z = x+y.izrazite uzxin ztergledenataparspremenljivkpoiščite parcialnaodvoda u u in x z. Pri parcialnih odvodih se moramo ves čas zavedati, v kakšni funkcijski zvezi so spremenljivke. Imenovalec v parcialnem odvodu se ne nanaša le na spremenljivko, po kateri odvajamo, temveč tudi na vse ostale spremenljivke, katerih funkcija je odvajana spremenljivka. Posredno odvajanje(verižno pravilo za funkcije ene spremenljivke, zapisano za parcialne odvode). Če je u funkcija spremenljivke z, le-ta pa je nadaljnja funkcija spremenljivk x in y, velja: u x = du dz z x, u y = du z dz y. Podobno velja tudi za funkcije več spremenljivk. Če u in njena parcialna odvoda jemljemo kot funkcijo spremenljivk x in y, moramosevedapriodvodu du dz gledatiustreznikompozitum. 6.Najbo: Izračunajte u x in u y. u = ln ( ) x y + + x. y

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 7 7.Najbo: Izračunajte u x in u y. u = arctg xy x y. 8.Najbospremenljivka uodvedljivafunkcijaspremenljivke z = x +y.izračunajte y u u x x y. Posredno odvajanje(totalni odvod). Če je w funkcija spremenljivk x in y, le-ti pa sta nadaljnji funkciji spremenljivke t, velja: dw dt = w x Izrazu na levi pravimo totalni odvod. dx dt + w y dy dt. 9.Najbo w = x 3 y +xy 3 ternajbonadalje x = costin y = sint.izračunajte dw/dt neposredno in še s pomočjo verižnega pravila..najsespremenljivka wizražasspremenljivkama xin y,le-tipanadaljestpo formulah: x = e t +e t, y = e t e t. Izrazite dw dt z w x in w y. Posredno odvajanje(zamenjava koordinat). Če je w funkcija spremenljivk xin y,le-tipastanadaljnjifunkcijivečspremenljivk(recimodveh, uin v),velja: w u = w x x u + w y y u. w v = w x x v + w y v v.. Spremenljivka z naj bo funkcija spremenljivk r in θ, ki predstavljata polarne koordinate:kartezijskekoordinate,t.j. xin y,seznjimiizražajosformulama: x = rcosθ, y = rsinθ. Izrazite parcialna odvoda po polarnih koordinatah s kartezijskimi koordinatami in parcialnimaodvodoma,t.j. z z z z in izrazitezx, y, in r θ x y.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 8 Totalni diferencial: Če je u funkcija spremenljivk x in y, se njen totalni diferencial izraža s formulo: du = u u dx+ x y dy. Zgornja zveza predstavlja približno(ali, natančneje, ustrezno limitno) zvezo med majhnimi spremembami spremenljivk u, x in y..danajefunkcija f(x,y) = 3 x y. Zapišitenjentotalnidiferencialinznjegovopomočjo približno izračunajte 3 8. 6 4. 5. Pravila za odvajanje v diferencialni obliki Čeje akonstanta, uin vspremenljivki, fpafunkcija,velja: da =, d(au) = adu, d(u m ) = mu m du, ( u d(uv) = udv +vdu, d = v) vdu udv, v d ( f(u) ) = f (u)du 3.Izračunajtetotalnidiferencializraza u = arcsin xy x +y. Gradient spremenljivke u kot funkcije recimo spremenljivk x, y in z je vektor iz njenih parcialnih odvodov po kartezijskih koordinatah: gradu = Totalni diferencial lahko torej zapišemo kot skalarni produkt gradienta z vektorjem (dx, dy, dz). Smerni odvod po enotskem vektorju v se izraža s formulo: u x u y u z. u v = gradu, v. Smerni odvod v smeri danega vektorja je smerni odvod po ustreznem normiranem vektorju. 4.Najbo u = xy +xz +yz.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 9 a) Zapišite gradient spremenljivke u kot funkcije spremenljivk x, y in z in še totalni diferencial du. b)izračunajtesmerniodvodtespremenljivkepri x = 5,y = 4,z = vsmeri vektorja (3, 4, ). Višji parcialni odvodi Parcialne odvode prvega reda lahko nadalje parcialno odvajamo: parcialni odvodi reda n(n-tega reda) so parcialni odvodi prvega reda parcialnih odvodov reda n. Parcialniodvodpo yparcialnegaodvodapo x(kjerstaspremenljivki xin y lahkorazličnialienaki)označimozf xy ali f (zafunkcijo)oziromaz u y x y x ali u(zaizraz).vjezikuoperatorjevjetorej =. y x y x y x Bržkosta f xy in f yx obazvezna,staenaka. Podobno označujemo parcialne odvode višjih redov. Pri tem lahko namesto x x x }{{} pišemo x k. k 5. Izračunajte vse parcialne odvode prvega in drugega reda funkcije: f(x,y) = x 3 e x+5y. 6.Danajefunkcija f(x,y,z) = sin(xy z ).Izračunajte f xyz. 7. Dana je funkcija: f(x,y) = xy(x y ) x +y ; (x,y) (,) ;sicer. Dokažite, da je f povsod zvezna ter da povsod obstajata prva dva parcialna odvoda in sta zvezna(t. j. f je zvezno diferenciabilna). Nadalje dokažite še, da mešana odvoda: f xy (x,y) = y ( ) x f(x,y) vtočki (,)obstajata,anistaenaka.kajsledi? in f yx (x,y) = ( ) x y f(x,y)

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) Taylorjeva vrsta za funkcije več spremenljivk Poseben primer razvoja drugega reda za funkcijo dveh spremenljivk: f(a+h,b+k) = f(a,b)+f x (a,b)h+f y (a,b)k + +! f xx(a,b)h +!! f xy(a,b)hk +! f yy(a,b)k +R, kjer je: R = 3! f xxx(a+ϑh,b+ϑk)h 3 +!! f xxy(a+ϑh,b+ϑk)h k + +!! f xyy(a+ϑh,b+ϑk)hk + 3! f yyy(a+ϑh,b+ϑk)k 3 zaprimeren ϑ [,]. 8.Danajefunkcija f(x,y) = 3 x y. ZapišiteTaylorjevrazvojdrugegareda(brezeksplicitne oblike ostanka) in z njegovo pomočjo približno izračunajte 3 8. 6 4. 5. 9.Danajefunkcija f(x,y) = ln(+xy ).Izračunajte f xxyyyy (,)in f xxxxyy (,). 3.Danajefunkcija f(x,y) = sin(x+y ).Izračunajte f xyyyy (,). Globalni ekstremi Na zaprtem in omejenem območju vsaka zvezna funkcija f vedno doseže globalni minimum in maksimum. Če to območje omejuje končno mnogo krivulj oblike x = x(t), y = y(t),selahkotozgodikvečjemu: vogliščih; nadelihroba,kjerfunkcija t f ( x(t),y(t) ) niodvedljivaalipaima d stacionarno točko, t. j. f( x(t),y(t) ) = ; dt v notranjosti, kjer funkcija f ni odvedljiva ali pa ima stacionarno točko, t.j. f x (x,y) = f y (x,y) =. 3.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y) = xye x y naobmočju: D = { (x,y) ; x,y,x+y 3 } 3.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y) = x y naobmočju: D = { (x,y) ; x y x } 33.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y) = ( + 3x )ynakrogus središčemv(,)inpolmerom.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 34.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y) = (x + y + 4)e x/ na območju: D = { (x,y) ; (x+) +y 6,x }. Lokalni ekstremi Funkcija doseže v točki a lokalni minimum, če obstaja taka okolica točke a, dazavsak xizteokolice,kinienak a,velja f(x) > f(a). Funkcija doseže v točki a lokalni maksimum, če obstaja taka okolica točke a,dazavsak xizteokolice,kinienak a,velja f(x) < f(a). Vsi lokalni ekstremi parcialno odvedljive funkcije v notranjih točkah definicijskega območja so stacionarne točke, t. j. vsi prvi parcialni odvodi morajo bitienakinič.čeimatorejfunkcija fdvehspremenljivkvnotranjitočki (a,b), kjerjeparcialnoodvedljiva,lokalniekstrem,morabiti f x (a,b) = f y (a,b) =. Pri klasifikaciji lokalnih ekstremov si lahko pomagamo s Hessejevo matriko in njeno determinanto: [ ] fxx f H = xy, K = deth = f f xy f xx f yy f yy xy. Naj bo f dvakrat parcialno zvezno odvedljiva in naj bo v (a, b) stacionarna točka. Čevelja K(a,b) > in f xx (a,b) >,jetamlokalniminimum. Čevelja K(a,b) > in f xx (a,b) >,jetamlokalniminimum. Čevelja K(a,b) <,tamnilokalnegaekstrema(pojavise sedlo ). Čeje K(a,b) =,selahkopriistihessejevimatrikizgoditako,daekstremje,kottudi,dagani.zatotakeprimereobravnavamozdrugačnimi prijemi. V nalogah od 35. do 39. je potrebno poiskati in klasificirati lokalne ekstreme funkcij. 35. f(x,y) = (x+y)e x y. 36. f(x,y) = x 4 +4xy +y 4 +. 37. f(x,y) = e x (x y ).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) Klasifikacija lokalnih ekstremov funkcij več kot dveh spremenljivk Dana naj bo funkcija n spremenljivk. V stacionarni točki izračunamo naslednje poddeterminante Hessejeve matrike: f x x f x x r K r =..... f xrx r f xrx Čeje K r > zavse r =,,...n,grezaminimum. Čeje K r < zavselihe rin K r > zavsesode r,grezamaksimum. Čezadoločen mvelja K m indeterminante K,...K m neustrezajo nobenemu od prejšnjih dveh vzorcev, ekstrema ni. Prav tako ni ekstrema, če ima Hessejeva matrika neničelna diagonalca z nasprotnima predznakoma. Splošneje, ekstrema ni, brž ko ima Hessejeva matrika dve neničelni lastni vrednosti z nasprotnima predznakoma. Pri formiranju Hessejeve matrike lahko vzamemo poljuben vrstni red spremenljivk. Česeponobeniodprejšnjihtočknemoremoopredeliti,aliekstremje aligani,selahkopriistihessejevimatrikizgodioboje. 38. Poiščite in klasificirajte lokalne ekstreme funkcije f(x,y,z) = (3x +y +z xy yz)e x. 39. f(x,y) = x y.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 Strategijaiskanjavezanegaekstremafunkcije f(x,...,x n )pripogojih: g (x,...,x n ) = a, g (x,...,x n ) = a, g m (x,...,x n ) = a m, kjerprivzamemo,dasofunkcije f,g,...,g m dovoljlepe. Najprej definiramo Lagrangeovo funkcijo: Natorešimosistem m+nenačb: F = f λ g λ g... λ m g m. F x (x,...,x n ) =,. F (x,...,x n ) =, x m g (x,...,x n ) = a, g m (x,...,x n ) = a m, pričemersoneznankeštevila x,...,x n in λ,...,λ m.dobljene n-terice (x,...,x n )sokandidatizavezanekstremfunkcije (vkolikorjemožno,seizognemoračunanjuštevil λ,...,λ m )... 4. Kateri kvader z dano telesno diagonalo ima največji volumen? 4. Na ravninski krivulji, podani z enačbo: (x +y ) = (x y ) poiščite točko, ki leži najbolj levo. Tako kot pri funkcijah ene spremenljivke tudi funkcija več spremenljivk zavzame ekstremne vrednosti kvečjemu v: robnih točkah definicijskega območja; točkah neodvedljivosti; stacionarnih točkah. Rob navadno razdelimo na več krivulj, pri čemer moramo posebej obravnavati oglišča.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4 4.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y,z) = xyznaobmočju,določenemzneenačbo x +y +3z. 43.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(x,y) = x ynakrogussrediščem v (,)inpolmerom. 44. Iz sosednih vogalov pravokotnika z dano ploščino S izrežemo dva enaka kvadratka. Nato iz dobljenega lika sestavimo kvader brez dveh ploskev (glej sliko). Določite razmerje stranic kvadrata (a in b) ter izrezanega kvadratka(x), pri katerem bo imel dobljeni kvader največjo prostornino. x x a x b 45.Vpuščavistakraja Ain B. Kraj Aležioblokalni,kraj Bpaobglavnicesti. Le-tisesekata podpravimkotom,insicer5kmodkraja Ain kmodkraja B(glejsliko). Po lokalni cesti je možno voziti 5 km/h, po glavnicesti8km/h,možnopajevozititudipo puščavi s hitrostjo 4 km/h. Kako naj čim hitreje pridemoizkraja Avkraj B? B A Izrek o inverzni preslikavi Naj bosta f in g zvezno diferenciabilni funkciji dveh spremenljivk, naj bo x = f(z,w)in y = g(z,w)innajtoveljatudiza x = x, y = y, z = z in w = w.čejejacobijevamatrikaparcialnihodvodovfunkcij fin gvtejtočki obrnljiva,sevokolicitetočkespremenljivki zin wenoličnoizražatazxin y in velja: ] ] =. [ z x w x z y w y Podobno velja tudi za več spremenljivk. [ x z y z x w y w 46. Pokažite, da ima sistem enačb: (+w )lnz = x z 3 +zw = y v okolici točke x =, y = 5 enolično rešitev. V tej točki izračunajte parcialne odvode z, z, w w in.natopribližnorešitesistemza x =. 7in y = 5.. x y x y

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 5 Izrek o implicitni funkciji Najbomnožicatočkvravninidanazenačbo F(x,y) = ainnajjipripada tuditočka (x,y ).Čeje Fvokolicitetočkeparcialnozveznoodvedljivainje F y (x,y ),lahkodanomnožicotočkvnekiokolicitočke (x,y )zapišemo veksplicitniobliki y = f(x)(kjerjeseveda f(x ) = y ).Polegtegaje fpri x odvedljiva in velja: f (x ) = F x(x,y ) F y (x,y ). Podobno velja tudi za funkcije več spremenljivk(če je x večrazsežna, je posplošitevpremočrtna le f zamenjamozustreznimiparcialnimiodvodi;sicer pa je potrebna uporaba matričnega računa. 47.Danajeenačba y 5 +xy = 3. a)rešiteenačbona ypri x =. b)pokažite,daobstajatakaokolicaizhodišča,dajeenačbazavse xizteokolice enolično rešljiva na y. Tako postane y funkcija spremenljivke x. Zapišite Taylorjev razvoj te funkcije do vključno drugih odvodov. c)približnorešiteenačbona ypri x =. 48.Danajeenačba e xz y z =. a)rešiteenačbona zpri x = y =. b)čese zkotrešitevteenačbeizražakotfunkcijaspremenljivk xin y,zapišite njenaparcialnaodvodapri x = y =. c)približnorešiteenačbona zpri x =.,y =.. 49.Danjesistemenačb: y 3 +xz = 8, xy +z = 9. a)rešitesistemna yin zpri x = in z >. b) Če se y in z kot rešitvi tega sistema izražata kot funkcija spremenljivke x, zapišitenjunaodvodapri x = in z >. c)približnorešitesistemna yin zpri x =., z >. 5. Poiščite in klasificirajte stacionarne točke funkcije z = z(x, y), določene z zvezo e xz xy z = 3.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 6 5. Krivulje. Dana je ravninska krivulja: x = t +t, y = t ; t. +t Zapišite jo v eksplicitni obliki. Katera znana krivulja je to? Naklonski kot ravninske krivulje α = arctg dy dy dx +kπ = arctg dt dx dt +kπ = arctg ẏ dx +kπ = arcctg ẋ dy +k π Celoštevilo k(oz. k )lahkosicerizberemopoljubno.ačegledamo αvfiksni točki,kotnavadnodoločimotako,daležinaintervalu [ π, π ] ;čepagledamo spreminjanje kota s točko na krivulji(oz. parametrom), pa kot določimo tako, da se spreminja zvezno. Tangenta in normala na ravninsko krivuljo Čez(x,y)označimotočkonakrivulji,z(X,Y)patočkonatangentioz.normali skozi točko (x, y), se enačbi teh dveh premic lahko zapišeta takole: Tangenta: Normala: (Y y)ẋ = (X x)ẏ (X x)ẋ+(y y)ẏ =. Dana je krivulja: x = t, y = t t3 3. Narišitejoterizračunajtenjennaklonskikot,tangentoinnormalopri t = 3in t =.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 7 Orientacija, naravni parameter, tangentni in normalni vektor, ukrivljenost in krivinski polmer ravninske krivulje Navsakikrivulji(ki,čejodefiniramozgoljkotmnožicotočkvravnini,ne sme sekati same sebe) lahko definiramo dve orientaciji, t. j. linearni urejenosti točk. Vsaka parametrizacija nam krivuljo tudi orientira. Če je krivulja parametriziranastin uinjepovsod du/dt >,parametrizacijidoločataisto orientacijo; če je du/dt <, določata nasprotno orientacijo. Naravni parameter ravninske krivulje, ki ga navadno označimo z s, je določenzzvezo: ṡ = ẋ +ẏ. Zgornjipogojjeneodvisenodparametrizacije. Čeje ṡ = ẋ +ẏ,izbrana naravna parametrizacija krivuljo orientira enako kot izvirna. Odvodeponaravnemparametrunavadnooznačujemosčrtico( ).Čejekrivulja že prej parametrizirana in ne določimo drugače, vzamemo naravni parameter, ki določa isto orientacijo kot prvotni. Tangentnivektor: t = (x,y ) = (ẋ,ẏ) ẋ +ẏ Normalnivektor: n = ( y,x ) = ( ẏ,ẋ) ẋ +ẏ Ukrivljenost ravninske krivulje lahko definiramo kot: κ = dα ds = α, krivinskipolmerpajeenak ρ = κ. Pritisnjena krožnica v dani točki je krožnica s polmerom ρ, katere središče dobimotako,daseoddanetočkevzdolžvektorja npomaknemoza /κ. 3.Danajekrivulja x = e t cost, y = e t sint. a) Narišite jo. b) Izrazite njen naklonski kot s parametrom t. c) Naravno jo parametrizirajte in pri tem ohranite orientacijo. Izrazite naklonski kot še z dobljenim naravnim parametrom. d) Pri t = izračunajte ukrivljenost in krivinski polmer.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 8 Ravninske krivulje, podane eksplicitno Če je ravninska krivulja podana eksplicitno, se odvod poljubne količine u po naravnem parametru izraža s formulo: u = du dx + ( dy dx ). Ukrivljenost pa se izraža s formulo: κ = [ d y dx + ( dy dx ) ] 3/ 4.Danajeravninskakrivulja y = lnx x 8. a) Določite ukrivljenost, krivinski polmer in pritisnjeno krožnico pri x =. b) Kje je ukrivljenost po absolutni vrednosti največja? Opomba: točkam, kjer ukrivljenost doseže lokalni minimum ali maksimum, pravimo temena. Ukrivljenost ravninske krivulje, podane parametrično κ = ẋÿ ẍẏ (ẋ +ẏ ) 3/ 5.Določiteminimalnikrivinskipolmernakrivulji x = t, y = t t3 3. Tangentni vektor in tangenta na prostorsko krivuljo Tangentnivektornakrivuljo r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) : t = r r = (ẋ,ẏ,ż) ẋ +ẏ +ż Tangenta je premica, ki gre skozi dano točko na krivulji, smerni vektor pa se ujema s tamkajšnjim tangentnim vektorjem. Če krajevni vektor točke na tangentioznačimo R = (X,Y,Z),imatangentaenačbo R = r+u t.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 9 6. Parametrizirajte krivuljo: x +y +z = 4 (x ) +y = indoločitetangentnivektorpriz =,y <,čeznarašča.tamdoločitešetangento. 7.Najbo v: (a,b) R n odvedljivavektorskafunkcija,katerevrednostisoenotski vektorji.za t,s (a,b)najbo ϕ(t,s)kotmedvektorjema v(t)in v(s).izrazitelevi indesniodvodfunkcije s ϕ(t,s)vdanitočki tz v(t). Naravni parameter(s) prostorske krivulje, podane parametrično, je določen z zvezo: ṡ = ẋ +ẏ +ż. Zgornji pogoj je neodvisen od parametrizacije. Če je ṡ = ẋ +ẏ +ż, izbrana naravna parametrizacija krivuljo orientira enako kot izvirna. 8. Na krivulji: x = t, y = t, z = t3 3 vizhodiščuizračunajte u,kjerje u = x + 4y + 9z,sčrtico ( )pajeoznačen odvod po naravnem parametru. Ukrivljenosti in spremljajoči trieder naravno parametrizirane prostorske krivulje Tangentni vektor lahko zapišemo tudi kot odvod krajevnega vektorja točke na krivuljiponaravnemparametru: t = r. Fleksijskaukrivljenost(upognjenost): κ = t = r Glavninormalnivektor: n = t Binormalnivektor: b = t n κ = r κ Torzijskaukrivljenost(zvitost): ω, b = ω n Enotskivektorji t, nin btvorijospremljajočitrieder.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 Spremljajoče premice in ravnine Tangenta: R = r+u t Glavnanormala: R = r +u n Binormala: R = r+u b Pritisnjena(oskulacijska)ravnina: R r, b = Normalnaravnina: R r, t = Rektifikacijskaravnina: R r, n = 9. Dana je prostorska krivulja: a) Poiščite naravni parameter. x = e t cost, y = e t sint, z = e t. b) V vseh točkah določite spremljajoči trieder in obe ukrivljenosti. c)pri t = določiteševsespremljajočepremiceinravnine. Spremljajoči trieder in ukrivljenosti pri splošnem parametru Če parameter ni naraven, si lahko pomagamo z naslednjimi dejstvi: rimasmertangente: t = r. r r rimasmerbinormale: b = r r. r r ( r r ) ) ( r r r rimasmerglavnenormale: n = r r κ = r 3.... [ r, r, r ] ω = r r. ( r r ) r = b t.. Dana je krivulja: x = t4 4, y = t3 3, z = t. a) V vseh točkah določite spremljajoči trieder in obe ukrivljenosti. b)pri t = določiteševsespremljajočepremiceinravnine.. Parametrizirajte krivuljo: x +y +z =, z = x x+y indoločitefleksijskoukrivljenostpri z = /, y <.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 6. Ploskve Zapis ploskve. Koordinatne krivulje. Normalni vektor, normala, tangentna ravnina. Prva in druga fundamentalna forma. Ukrivljenost normalnega preseka v dani smeri, glavni ukrivljenosti, glavni smeri. Gaussova in povprečna ukrivljenost. Klasifikacija točk na ploskvi glede na ukrivljenost. Ploskev lahko zapišemo: Zapis ploskve eksplicitno: z = f(x,y); implicitno: F(x,y,z) = ; parametrično: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)alitudivektorsko r = r(u,v). Če pri parametričnem zapisu enega od parametrov fiksiramo, dobimo koordinatne krivulje. Koordinatne krivulje pripadajo parametričnemu zapisu ploskve, ne ploskvi sami..danajeparametričnozapisanaploskev r = ( ucosv,usinv, u ). a) Zapišite jo v eksplicitni obliki. b)kateraploskevjeto? c) Pokažite, da so koordinatne krivulje pravokotne povsod, kjer ima to smisel. d)pokažite,daje x = costcostcosw costsintsinw, y = costcostsinw+costsintcosw, z = sint zapis ploskve, ki vsebuje prejšnjo ploskev. Zapišite novo ploskev v implicitni obliki. Katera ploskev je to? e) Izračunajte kot med koordinatnima krivuljama glede na novo parametrizacijo vtočki ( /, 3/, ). f) Dokažite, da koordinatne krivulje glede na novo parametrizacijo niso pravokotne nikjer, kjer ima to smisel.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 3 Normalni vektor, normala, tangentna ravnina Normalnivektor Nvdanitočkinaploskvijeenotskivektor,čigarsmerse glede na zapis ploskve: ( če je ekspliciten, ujema s smerjo vektorja ); z x, z, y čejeimpliciten,ujemassmerjovektorja (F x,f y,f z ); čejeparametričen,ujemassmerjovektorja r u r v. Pri različnih zapisih iste množice točk, ki je ploskev, sta v posamezni točki možna dva normalna vektorja. Kateri vektor bo normalni, določa orientacija ploskve. Ekspliciten, impliciten ali parametričen zapis ploskve nam torej ne določa le množice točk, temveč tudi njeno orientacijo. Eksplicitni zapis ploskve nam da orientacijo, pri kateri normalni vektor kaže navzgor. Normalanaploskevvdanitočkijepremica,kigreskozitotočkoinkatere smerni vektor se ujema z normalnim vektorjem ploskve. Tangentnaravninanaploskevvdanitočkijeravnina,kigreskozitotočko in katere normalni vektor se ujema z normalnim vektorjem ploskve..določitenormalnivektorinnormalonaploskev z = x + 8 y vtočki T(,3,z). 3.Določitetangentnoravninonaploskev e xz 3y z = vtočki T(,,z). ucosv 4.Danajeploskev r = u sinv. u 3 u a) Določite, kje so koordinatne krivulje pravokotne. b)pri u = 3in v = π/3določitetočkointangentnoravnino. 5.Poiščitetangentnoravninonaelipsoidu x +4y +z = 36,kijevzporednaravnini x+y z =.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 33 Tangentni vektorji, prva in druga fundamentalna forma Vsivektorji,kisovdanitočkitangentninaploskev(t.j.ležijovtangentni ravnini), so večkratniki totalnega diferenciala krajevnega vektorja: d r = r u du+ r v dv, torejjihlahkoopišemosparom (α,β) = (du,dv). Navektorjih,kipripadajo tem parom, sta definirani dve pomembni kvadratni formi. Prva fundamentalna forma meri dolžine na ploskvi: kjer je: d r = E(du) +F dudv +G(dv), E = r u, r u, F = r u, r v, G = r v, r v. Potrebovali jo bomo tudi pri računanju površin. Drugo fundamentalno formo zapišemo v obliki: L(du) +M dudv +N (dv), kjer je: L = [ ruu, r u, r v ] EG F, M = [ ruv, r u, r v ] EG F, N = [ rvv, r u, r v ] EG F Ta forma v kombinaciji s prvo meri ukrivljenosti na ploskvi.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 34 Ukrivljenosti na ploskvah Ukrivljenost normalnega preseka orientirane ploskve v dani tangentni smeri je enaka predznačeni fleksijski ukrivljenosti preseka ploskve in ravnine, ki jo v dani točki pravokotno seka tako, da se smer tangentnega vektorja dobljene krivulje(v eni ali drugi orientaciji) ujema z dano tangentno smerjo. Predznak je pozitiven, če ploskovni normalni vektor kaže v isto smer kot vektor glavne normalekrivulje,innegativen,čekaževnasprotnosmer.čejesmer,vkateri iščemo ukrivljenost, podana s smerjo (du, dv) v parametričnem prostoru, se ukrivljenost normalnega preseka izraža s formulo: λ = L(du) +M dudv +N (dv) E(du) +F dudv +G(dv) Minimalno in maksimalno ukrivljenost imenujemo glavni ukrivljenosti ter jihoznačimozλ in λ.ukrivljenost λnormalnegapresekavsmerineničelnega vektorja (du, dv) = (α, β) na parametričnem prostoru je glavna natanko tedaj, kovelja: [ L M M N ][ ] α = λ β [ E F F G ][ ] α, β topalahkoveljale,čeje: ([ ] [ ]) L M E F det λ =. M N F G Tako dobimo smeri v parametričnem prostoru, kjer sta glavni ukrivljenosti doseženi(dve ali vse možne). Pripadajoči smeri na ploskvi dobimo s pomočjo totalnegadiferenciala α r u +β r v injuimenujemoglavnismeri. LN M Gaussovaukrivljenost: K = λ λ = Povprečnaukrivljenost: H = λ +λ EG F = EN +GL MF (EG F ) Klasifikacija točk na ploskvi Točkajeeliptična,čeje [ ] [ ] LN M > ;čejepolegtegaše λ = λ,t.j. L M E F = λ, je točka krogelna. M N F G Točkajehiperbolična,čeje LN M <. Točkajeparabolična,čejeLN M = ;čejepolegtegašel = M = N =, je točka planarna. ucosv 6.Danajeploskev r(u,v) = u(cosv +sinv), u >. u

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 35 a)dokažite,dananjejobstajanatankoenatočka,kiimakoordinati x = in y =.Izračunajtešekoordinato ztetočke. b)določiteparameter ttako,dabovektor w = (,,t)vprejomenjenitočki tangenten na ploskev. c) Izračunajte ukrivljenost normalnega preseka v smeri tega vektorja. d) Klasificirajte točko ter izračunajte glavni ukrivljenosti in še Gaussovo in povprečno ukrivljenost. Prva in druga fundamentalna forma za ploskve v eksplicitni obliki Čejeploskevpodanaveksplicitniobliki z = f(x,y)inoznačimo: velja: p = f x, q = f y, r = f xx, s = f xy, t = f yy, E = +p, F = pq, G = +q, EG F = +p +q, r L = +p +q, M = s +p +q, N = t +p +q. 7.Naploskviz = x 3 y klasificirajtetočko,kjerjex = y =,tertamdoločitegaussovo in povprečno ukrivljenost. 8.Dokažite,dasovsetočkenaploskvi z = x +xy +y eliptične.kateresokrogelne in koliko tam znaša ukrivljenost? 9.Določiteglavniukrivljenostiploskve e xz xy z = 3vtočki, kjerjenormala vzporedna osi z. Ukrivljenost poševnega preseka Ukrivljenost poševnega preseka orientirane ploskve P z ravnino Π v dani točki je predznačena fleksijska ukrivljenost krivulje, ki je njun presek, pri čemer se predznak ujema s predznakom skalarnega produkta med ploskovnim normalnimvektorjem N P inglavnimnormalnimvektorjemkrivuljevdanitočki. Enakaje /ρ,kjerje ρ = Rcosϑ, /Rjeukrivljenostnormalnegapreseka v smeri tangente dobljene krivulje, ϑ pa je kot med ploskovnim normalnim vektorjem in glavnim normalnim vektorjem krivulje v dani točki. Smer tangente ustreza smeri (α, β) v parametričnem prostoru, pri kateri je vektor α r u + β r v pravokotenna N Π,normalnivektorravnine Π. Nadaljeje ϑ = π ϕ,kjerje ϕkotmednormalamanadanoploskevinravnino,torej je ρ = Rsinϕ. Kot ϕvednovzamemoizintervala [,π/],torejjetudi ρ = R N P, N Π.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 36.Izračunajteukrivljenostpresekaorientiraneploskve z = x + y zravnino z = x+y +a,kinajsekaploskevvtočki T( 4,,z ).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 37 7. Integrali s parametrom Odvajanje integralov s parametrom, konvergenca posplošenih integralov. Funkciji gama in beta.. Izračunajte integral s parametrom: F(x) = x 3y dy. Zveznost in odvajanje integralov Naj bo f zvezna realna funkcija dveh spremenljivk. Tedaj je integral: b a f(x,y)dy zvezen kot funkcija spremenljivk a, b in x. Čestafunkciji uin vzveznoodvedljiviin f(x,y)parcialnozveznoodvedljiva na x,velja: d dx v(x) u(x) f(x,y)dy = v(x) u(x) f x (x,y)dy +f( x,v(x) ) v (x) f ( x,u(x) ) u (x).izračunajte d x e y /x dy. dx x y 3. Dokažite, da je integral: neodvisen od x. e /(x+) e /(x+) y x lny dy Namig. Najprejpokažite,datoveljanapoltrakih (, )in (, ). Nato passubstitucijo z = /ypokažiteše,dasevrednostnaprvempoltrakuujemaz vrednostjo na drugem poltraku. 4.Določite,kateraodfunkcij f a (x) = axjenajbližjafunkciji f(x) = x vmetriki: [ ] ( ) / dx d (g,h) = g(x) h(x).

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 38 Posplošeni integrali Najbo a < b innajbofunkcijaf,definiranana(a,b),integrabilna vklasičnem(riemannovem)smislunavsehintervalih [u,v],kjerje a < u v < b(spomnimose,daje fvklasičnemsmisluintegrabilnana [u,v],bržko je tam zvezna). Integral: b a f(x)dx v posplošenem smislu je definiran kot vsota limit: c lim u a u v f(x)dx+lim f(x)dx v b c pod pogojem, da ti dve limiti obstajata. Definicija je neodvisna od števila c (a, b). Če posplošeni integral obstaja, pravimo, da konvergira, sicer pa pravimo, da divergira. Čeje f vklasičnemsmisluintegrabilnanavsehintervalih [u,b],seintegral b (tudigledeobstoja)ujemazlimito lim u a f(x)dx. u Čeje f vklasičnemsmisluintegrabilnanavsehintervalih [a,v],seintegral v (tudigledeobstoja)ujemazlimito lim v b f(x)dx. a Če je f v klasičnem smislu integrabilna na [a, b], posplošeni integral obstaja in se ujema s klasičnim. V nalogah od 5. do. je potrebno določiti, za katere x konvergirajo dani integrali. 5. 6. 7. dy y x. dy y x. e xy y dy.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 39 Če integrala b a b a Posplošeni integrali vsot f(x)dxin b ( f(x)+g(x) ) dxkonvergirainvelja: b a ( ) b f(x)+g(x) dx = f(x)dx+ a a a g(x) dx oba konvergirata, tudi integral b g(x)dx. Če integral b b a f(x) dx konvergira, integral ( f(x)+g(x) ) dxdivergira. b a g(x) dx pa divergira, a Čeje f,g terčeintegrala g(x) dx oba divergirata, tudi integral b a b a f(x)dxin b ( f(x)+g(x) ) dxdivergira. a 8. 9. ( y x + y 3 x ( y x + y 3 x ) dy ) dy Če integral konvergira. b a Majorizacija f(x)dxkonvergirainje g f,tudiintegral b a g(x) dx.. dy y x +y 3 x. lny y x dy.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4 Množenje integranda s funkcijo Naj bo f nenegativna funkcija na intervalu [a, b]. Naj bo g omejena funkcija. Če integral integral b a f(x) g(x) dx konvergira. b a f(x) dx konvergira, tudi Čejefunkcija gnavzdolomejenaznekokonstanto m > inintegral b a f(x) dx divergira, tudi integral b a f(x)g(x)dxdivergira. Čeje g omejenastranod inodneskončno(četorejobstajatataki konstanti < m M <,dazavsak x [a,b]velja m g(x) M), integral b a b a f(x)dx. f(x) g(x) dx konvergira natanko tedaj, ko konvergira integral. 3. 4. e y +e y dy y x. dy y (y x +a) e xy y x+3 dy. (a > ). Konvergenca integralov in eksponentna funkcija Če je f algebraična funkcija na intervalu [a, ), integral x < konvergira,za x > padivergira. a f(y)e xy dyza 5. 6. 7. 8. 9. e y dy y x. e y dy y x. e xy dy y. e xy dy. y e xy dy. y

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4... 3. 4. 5. 6. e xy dy y. e y dy. y x V nalogah od. do 6. določite definicijska območja integralov in jih izračunajte. x +x y dy. e ax sinx dx. x Lahko privzamete, da je definicijsko območje zaprta množica in da je integral zvezna funkcija spremenljivke a. sin(ax) x dx. cos(bx) cos(ax) dx. x Lahko privzamete, da je integral zvezna funkcija spremenljivk a in b. dx (x +a). 7.Najbo y = e xz +z dz.izračunajte y +y. Funkcija gama Γ(x) = n! = Γ(n+) = t x e t dt Γ(x+) = xγ(x) Γ ( ) = π t n e t dt 8. Izračunajte 9. Izračunajte 3. Izračunajte x 7 e x / dx. e 9x dx. (lnx) 4 lnxdx.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 4 B(x,y) = Funkcija beta t x ( t) y dt = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) 3. Izračunajte 4 4 x 6 x dx. B(x,y) = u x du (+u) x+y 3. Izračunajte x 5 dx. +x B(x,y) = π/ sin x ϕcos y ϕdϕ 33. Izračunajte π sin 4 ϕcos ϕdϕ.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 43 8. Dvojni in trojni integral Prevedba na dvakratni oz. trikratni integral, zamenjava vrstnega reda integracije. Vpeljava novih koordinat. Polarne, cilindrične in sferične koordinate. Uporaba: volumen, masa, težišče, vztrajnostni moment. Dvojni integral Čejeravninskoobmočje Dpodanospogojema a < x < b, g (x) < y < g (x), kjerje g (x) < g (x), bržkoje a < x < b, dvojniintegralspremenljivke u = f(x,y)prevedemonadvakratnegananaslednjinačin: D udp = D f(x,y)dxdy = = b g (x) a g (x) a<x<b g (x)<y<g (x) f(x,y)dydx. f(x,y)dxdy = Čeneboizrecnodoločenodrugače,sebooznaka dpvednonanašalanaspremenljivki xin y.. Izračunajte dvojni integral: (x +y)dp, D kjerje D območje, kigaomejujetakrivulji y = x/in x = y (t.j.območje je neprazno, omejeno, njegov rob je sestavljen iz delov teh dveh krivulj in vsaka krivulja ima svoj nezanemarljiv del na robu območja).. Izračunajte dvojni integral: D xydp, kjerje Dštirikotnikzoglišči A(,), B(,), C(3,)in D(,). 3. Izračunajte e x dp. 4. Izračunajte x> y> x>y> e x dp. 5.Za a,b > izračunajte x>y> y a (x y) b e x dp. V nalogah od 6. do. zamenjajte vrstni red integriranja. 6. x+ f(x,y)dydx.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 44 7. 8. 9... x+ x x +lnx lnx 4 x 3 x f(x,y)dydx. f(x,y)dydx. x f(x,y)dydx. f(x,y)dydx. f(x,y)dydx. Vpeljava novih spremenljivk Najbo G = (g,h): D,kjerje D, R,bijektivnapreslikava. Tedaj velja: f(x,y)dxdy = f ( g(u,v),h(u,v) ) J dudv, D kjer je J Jacobijeva determinanta ali jacobiana: g g J = u v h h. u v Zakaj moramo pri Jacobijevi determinanti vzeti absolutno vrednost, nam ilustrira naslednji primer: če v integral x 3 7xdxvpeljemo substitucijo u = 3 7x, x = (3 u )/7,dobimo: 3 3 u 4 7 ( 7 udu ) = 7 V duhu integrala, s katerim delamo sedaj, pa bi substitucijo uvedli takole:. Izračunajte D (,) x 3 u 3 7xdx = (3,4) 7 4 (3 u )udu. 3 7 u du = (3 u )udu. 7 (3,4) xdp,kjerje Dobmočje,kileživkvadrantu x >,y > inga omejujejokrivulje x = y, x = 9y, xy = in xy = 4. 3. Izračunajte: D y dp, kjer je D območje, ki ga omejujejo krivulje: y = e x, y = 3e x, y = e x in y = e x. Namig: uporabite primerne nove koordinate. 4. Izračunajte e (x+y) dydx.

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 45 5. Izračunajte x,y> x +y <4 Polarne koordinate x = rcosθ r > y = rsinθ J = r θ < π Namesto mej od do π lahko vzamemo kateri koli interval dolžine π. xy ( +(x +y ) ) dp. 6. Izračunajte ploščino območja v ravnini, določeno s pogoji: 7. Izračunajte polmerom. D 8. Prevedite integral < x < y 3, (x +y ) 3 < 4xy(x y ). (x+) +(y +) dp,kjerje Dkrogssrediščemvizhodiščuin Volumen telesa, podanega s pogoji: ( y ) f dydxnavsotoenojnihintegralovfunkcije f. x x (x,y), h (x,y) < z < h (x,y), kjerje ravninskamnožicain h (x,y) h (x,y),bržkoje (x,y) D,jeenak: [ V = h (x,y) h (x,y) ] dp. 9.Izračunajtevolumentelesa,kigaomejujejoravnine z =, z = y, y = x in y = x.. Izračunajte volumen telesa, ki je določeno s tem, da leži na pozitivni strani vseh koordinatnihravnintergaomejujetašeravnina x+y = 4inploskev z = 4 x.. Izračunajte volumen telesa, ki ga določajo neenačbe: x >, y < z < x..najbo < a < b.izračunajtevolumentorusa,t.j.telesa,kigaopisujeparametrizacija: x = (a+tcosϕ)cosθ θ < π y = (a+tcosϕ)sinθ z = tsinϕ ; ϕ < π. t < b

M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE (PRAKTIČNA MATEMATIKA) 46 Trojni integral Če je prostorsko območje D podano s pogoji: (x,y), h (x,y) < z < h (x,y), h (x,y) < h (x,y), bržkoje (x,y), trojniintegralspremenljivke u = f(x, y, z) po danem območju prevedemo na trikratnega na naslednji način: udv = f(x,y,z)dxdydz = f(x,y,z)dxdydz = D = D h (x,y) h (x,y) f(x,y,z)dzdxdy. (x,y) D h (x,y)<z<h (x,y) Seveda moramo v nadaljevanju zunanji dvojni integral prevesti na dvakratnega, kar lahko storimo na več načinov(lahko tudi z vpeljavo novih spremenljivk). Čeneboizrecnodoločenodrugače,sebooznaka dv vednonanašalanaspremenljivke x, yin z. 3. Izračunajte x< x <y<x 3 y<z<xy z dv. Alternativni razcep trojnega integrala Če je prostorsko območje D podano s pogoji: a < x < b, (y,z) x, kjerje x ravninskamnožicazavsak a < x < b,setrojniintegralizražav obliki: b f(x,y,z)dxdydz = f(x,y,z)dydzdx. a x D 4.Najbo a >.Izračunajtetrojniintegral spogoji: < x < a, y +z < xz. Volumen kot trojni integral D xdxdydz,kjerje Dtelo,določeno Volumen prostorskega območja D je trojni integral konstante po tem območju: V = dv = dydydz. D D