Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 7.Περισσότερες μεταβλητές. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8.Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση 9.Δεύτερο διαφορικό. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θα χαρακτηρίσουμε τα στάσιμα σημεία ως ακρότατα, χρησιμοποιώντας τις μερικές παραγώγους ης τάξης, όπως και για τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Οι γραμμικές συναρτήσεις δεν έχουν στάσιμα σημεία. Οι απλούστερες συναρτήσεις με στάσιμα είναι οι τετραγωνικές τις οποίες και θα μελετήσουμε πρώτα. 1. Τετραγωνικές μορφές δύο μεταβλητών καλούνται οι ομογενείς τετραγωνικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών: Q(, ) = α + β + γ Το μηδενικό (,) είναι στάσιμο σημείο με μηδενική τιμή της συνάρτησης: Q(,) = Επομένως ο χαρακτηρισμός του ως ακρότατου καθορίζεται από τα πρόσημα της τετραγωνικής μορφής στα μη μηδενικά σημεία. Θεωρώντας τα πρόσημά της μόνο στα μη μηδενικά σημεία, λέμε ότι η τετραγωνική μορφή είναι: 1α. Θετικά ορισμένη Q>, τιμές γνήσια θετικές. Το (,) είναι γνήσιο ολικό ελάχιστο 1β. Θετικά ημιορισμένη.. Q, τιμές θετικές ή μηδενικές. Το (,) είναι ολικό ελάχιστο α. Αρνητικά ορισμένη Q<, τιμές γνήσια αρνητικές. Το (,) είναι γνήσιο ολικό μέγιστο β. Αρνητικά ημιορισμένη.. Q, τιμές αρνητικές ή μηδενικές. Το (,) είναι ολικό μέγιστο 3. Αόριστη Q><, τιμές και θετικές και αρνητικές. Το (,) δεν είναι ακρότατο Γραφήματα. Δίνουμε παρακάτω τα γραφήματα των επιφανειών που ορίζονται από τις συναρτήσεις των τετραγωνικών μορφών, καθώς και τις αντίστοιχες ισοσταθμικές τους σε κάποιες απλές περιπτώσεις: Q < Q> + > Q + Q< Q Q > Q>< 1α 1β α β 3 Q < >< Q > Αν δεν υπάρχει ο μεικτός όρος, διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις, σε αντιστοιχία με τα παραπάνω σχήματα: Χαρακτηρισμός της τετραγωνικής μορφής με β = Q = α + γ 1α. αγ > με {α>,γ > } Q>, θετικά ορισμένη. 1β. αγ με {α,γ } Q, θετικά ημιορισμένη 1α. αγ > με {α<,γ < } Q<, αρνητικά ορισμένη 1β. αγ > με {α,γ } Q, αρνητικά ημιορισμένη 3. αγ < με {α>,γ < } ή {α<,γ > } Q><, αόριστη Όπως φαίνεται και στο τελευταίο γράφημα παραπάνω, στην περίπτωση 3 της αοριστίας, στο σημείο (,) η συνάρτηση εμφανίζει γνήσιο μέγιστο προς κάποιες κατευθύνσεις, και γνήσιο ελάχιστο προς κάποιες άλλες. Λόγω του σχήματος της επιφάνειας το καλούμε σαγματικό σημείο. Ειδικά δεν είναι ακρότατο. 1
Γενικότερα, παρατηρούμε ότι: Στα γνήσια ακρότατα οι ισοσταθμικές είναι κλειστές ελλειπτικές καμπύλες, ενώ στο ίδιο το γνήσιο ακρότατο η ισοσταθμική είναι ένα σημείο. Στα σαγματικά οι ισοσταθμικές είναι ανοιχτές υπερβολικές καμπύλες, ενώ στο ίδιο το σαγματικό αποτελείται από τεμνόμενες ευθείες. Χαρακτηρισμός. Στην γενική περίπτωση μπορούμε να μελετήσουμε το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής, γράφοντάς την ως τριώνυμο: Q= α + β + γ = α + β + γ = (αu + βu+ γ) όπου: u= Χρησιμοποιώντας την παράσταση: Δ = αγ β, διακρίνουσα και την γνωστή θεωρία για το πρόσημο τριώνυμου, βρίσκουμε τον παρακάτω χαρακτηρισμό: Χαρακτηρισμός τετραγωνικών μορφών 1α. Δ = αγ β > αγ > β με {α>,γ > } Q>, θετικά ορισμένη. 1β. α. β. 3. = αγ > β με {α,γ } Q Δ αγ β = > αγ > β με {α,γ } Q Δ αγ β = αγ β με {α,γ } Q Δ αγ β = < αγ < β Q Δ αγ β, θετικά ημιορισμένη. < < <, αρνητικά ορισμένη., αρνητικά ημιορισμένη. ><, αόριστη. Παρατήρηση. Στις περιπτώσεις {1α, α} τα {α,β} έχουν γνήσια το ίδιο πρόσημο λόγω της πρώτης ανισότητας, οπότε αρκεί να εξετάσουμε το ένα από τα δύο, π.χ. α > και α< αντίστοιχα Παράδειγμα 1. Q= + {α = 1>, γ = 1>,β = Δ = 1> } Θετικά ορισμένη, το στάσιμο είναι γνήσιο ολικό ελάχιστο.. Q = {α = 1<, γ = 1<, β = 1 Δ = } Αρνητικά ημιορισμένη, όχι ορισμένη. Τα στάσιμα σημεία σχηματίζουν ευθεία και δίνουν όλα μέγιστο: Πράγματι: Q = (+ ), με Q = + =, όλα δίνουν την ελάχιστη τιμή 3. Q = {α = 1, γ = 1, β = Δ = 1< } Αόριστη, με Q > όταν <, Q< όταν >, Q = όταν =. Το στάσιμο είναι σαγματικό. 4. Q = {α=,γ =,β = 1/ Δ = 1/ 4< } Αόριστη, με Q > όταν > δηλαδή στο πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο, Q< όταν < δηλαδή στο δεύτερο και τέταρτο τεταρτημόριο, Q= όταν = δηλαδή στους άξονες. Το στάσιμο είναι σαγματικό.. Χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων Θεωρούμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ τετραγωνικών μορφών δύο μεταβλητών και συμμετρικών πινάκων, και μεταφέρουμε τον παραπάνω χαρακτηρισμό στους συμμετρικούς πίνακες: α β α β Q= α + β + γ S = με Δ = S = = αγ β β γ β γ Ένας συμμετρικός πίνακας χαρακτηρίζεται ως: 1α. Θετικά ορισμένος S > Q> : {Δ >,α >,γ > } 1β. Θετικά ημιορισμένος.. S Q : {Δ,α,γ } α. Αρνητικά ορισμένος S< Q< : {Δ >,α <,γ < } β. Αρνητικά ημιορισμένος.. S Q : {Δ,α,γ } 3. Αόριστος S >< Q>< : Δ< 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας Ο χαρακτηρισμός των ακρότατων στη γενική περίπτωση απαιτεί την χρήση των δεύτερων μερικών παραγώγων. Παρατηρούμε σχετικά ότι οι πρώτες μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης (,) είναι επίσης συναρτήσεις δύο μεταβλητών και μπορούμε να τις παραγωγίσουμε εκ νέου ως προς την κάθε μεταβλητή. Προκύπτουν έτσι 4 μερικές παράγωγοι ης τάξης, ως εξής:
=, = ή =, = Οι απλές μερικές παράγωγοι ης τάξης: {, }, αναφέρονται στην εξάρτηση της συνάρτησης από την κάθε μεταβλητή χωριστά, και έχουν την γνωστή ερμηνεία όπως για συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Οι μεικτές μερικές παράγωγοι ης τάξης: {, }, αναφέρονται στην μεταβολή αμφοτέρων των μεταβλητών, όπου εξετάζουμε την μεταβολή του όταν μεταβάλλεται το ή την μεταβολή του όταν μεταβάλλεται το αντίστοιχα. Υποθέτοντας ότι είναι συνεχείς, αποδεικνύεται ότι είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή δεν παίζει ρόλο η σειρά παραγώγισης: =, θεώρημα Young Παράδειγμα 1. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν όλες τις δεύτερες παραγώγους μηδενικές: = α =, = L = α+ β+ γ = β =, =. Οι τετραγωνικές (παραβολικές) συναρτήσεις, έχουν σταθερές δεύτερες παραγώγους: = α + β = α, = β Q = α + β + γ + δ+ ε+ ζ = β + γ = β, = γ = + =, = 3. = + = =, = 1/ 1/ 4 3/ 1/ 4 1/ 3/ 4 1/ 1/ 4 = / α = / 4, = / 8 4. = α β 1/ 3/ 4 1/ 3 / 4 1/ 7/ 4 = / 4 β = / 8, = 3 /16 Θεωρούμε τώρα μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: (,), και με τις δεύτερες παραγώγους ως στοιχεία, σχηματίζουμε συμμετρικό πίνακα τον οποίο παριστάνουμε μένα από τα σύμβολα: Η ή D ή = Καλείται δεύτερη παράγωγος ή εσσιανός (Hessian) πίνακας δεύτερων παραγώγων. Είναι συμμετρικός και χαρακτηρίζεται ως προς το πρόσημό του σύμφωνα με τα κριτήρια για συμμετρικούς πίνακες που δώσαμε προηγουμένως. Η αντίστοιχη ορίζουσα καλείται εσσιανή ορίζουσα: Δ ή H ή = = 4. Συνθήκες για ακρότατα Ένα ακρότατο θα είναι το ίδιο ακρότατο ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά. Από τη θεωρία ακρότατων για συναρτήσεις μιας μεταβλητής συμπεραίνουμε ότι: Ένα εσωτερικό ακρότατο της συνάρτησης (,) θα είναι καταρχήν στάσιμο, δηλαδή θα ικανοποιεί τις εξισώσεις: { =, = } Επιπλέον οι απλές δεύτερες παράγωγοι θα ικανοποιούν: 1.,, αν είναι μέγιστο,., αν είναι ελάχιστο. Οι παραπάνω απλές συνθήκες ης τάξεως είναι ελλιπείς διότι αφορούν μεταβολές μόνο της μιας μεταβλητής κάθε φορά, δηλαδή για μετατοπίσεις στις κατευθύνσεις των δύο αξόνων. Για να χαρακτηρίσουμε τα στάσιμα ως ακρότατα πρέπει να πάρουμε υπόψη και μεταβολές αμφότερων των μεταβλητών, δηλαδή για μετατοπίσεις προς όλες τις κατευθύνσεις στο πεδίο ορισμού. 3
Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για εσωτερικά ακρότατα Ένα εσωτερικό ακρότατο, τοπικό ή ολικό της συνάρτησης (,) είναι καταρχήν στάσιμο: J = = { =, = } Επιπλέον: 1. Αν είναι ελάχιστο (είτε ολικό είτε τοπικό) τότε ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος: = H : {,,Δ = } Αντίστροφα, είναι γνήσιο τοπικό ελάχιστο αν ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος: = H > : { >, >,Δ = > }. Αν είναι μέγιστο (είτε ολικό είτε τοπικό) τότε ο εσσιανός πίνακας είναι αρνητικά ημιορισμένος: = H : {,,Δ = } Αντίστροφα, είναι γνήσιο τοπικό μέγιστο αν ο εσσιανός πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος: = H < : { <, <,Δ = > } 3. Δεν είναι ακρότατο αν ο εσσιανός πίνακας είναι αόριστος: = H >< :Δ = < Στην τελευταία περίπτωση η συνάρτηση παρουσιάζει γνήσιο τοπικό ελάχιστο προς κάποιες κατευθύνσεις και γνήσιο τοπικό μέγιστο προς κάποιες άλλες. Επομένως δεν είναι ακρότατο. Στάσιμα σημεία αυτής της κατηγορίας τα ονομάσαμε σαγματικά ή σελλοειδή, διότι στη γειτονιά τους η επιφάνεια έχει την μορφή σέλλας όπως και στις αόριστες τετραγωνικές μορφές που συναντήσαμε προηγουμένως = 4 4 = Παράδειγμα. = + 4 + 1 ( = 1, = 1) = = { = 4 >, = > } { = Δ = 8 > } = H > Ο εσσιανός πίνακας είναι σταθερός θετικά ορισμένος επομένως το στάσιμο είναι γνήσιο τοπικό ελάχιστο με τιμή της συνάρτησης: =. Με πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο όλα τα σημεία είναι εσωτερικά. Επομένως η ολικά ελάχιστη τιμή είναι είτε η παραπάνω στάσιμη είτε βρίσκεται στο άπειρο. Θα διαπιστώσουμε παρακάτω στα πλαίσια της θεωρίας Κυρτού Προγραμματισμού ότι το παραπάνω στάσιμο είναι πράγματι γνήσιο ολικό μέγιστο. Εξάλλου συμπληρώνοντας τα τετράγωνα βρίσκουμε: = + 4 + 1= + ( 1) + ( 1) Συμπεραίνουμε ότι είναι ολικό ελάχιστο διότι παντού αλλού προσθέτουμε ένα γνήσιο θετικό μέγεθος. Όσον αφορά το μέγιστο, άλλο στάσιμο δεν υπάρχει, οπότε το μέγιστο θα βρίσκεται στο άπειρο. Η συνάρτηση δεν είναι πάνω φραγμένη. 1/ 1/4 1/ 1/4 1/ 1/4 = / 1= = Παράδειγμα. ma{ =, } 1/ 3/4 1/ 3/4 = / 4 1= = 4 Λύση. Για να λύσουμε το σύστημα απαλείφουμε το πολλαπλασιάζοντας κατά μέρη. Με τον ίδιο τρόπο απαλείφουμε το αφού πρώτα υψώσουμε την 1 η εξίσωση στην 3η δύναμη. Βρίσκουμε: 1/ 1/4 1/ 1/4 1/ 3/4 /4 3 5 = ( )( ) = 4 = = 1/ 3/4 3/ 3/4 1/ 3/4 3 / 5 6 = 4 ( )( ) = 4 = = Εναλλακτικά μπορούμε να πάρουμε λογαριθμους και να το λύσουμε ως γραμμικό σύστημα: 5 5 ln / + ln / 4 = ln ln + ln = 4ln ln = 5ln = ln = 6 6 ln / 3ln / 4 = ln4 ln 3ln = 8ln ln = 6ln = ln = Βρήκαμε ένα στάσιμο σημείο. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις δεύτερες παραγώγους: 3 / 1/ 4 1/ 3 / 4 = ( 1/ 4), = (1/ 8) 1/ 3 / 4 1/ 7 / 4 = (1/ 8), = ( 3 /16) Στο συγκεκριμένο σημείο βρίσκουμε τον εσσιανό πίνακα: 15/ 6/4 5/ 18/4 8 4 / 4 / 8 H = 5/ 18/4 5/ 4/4 = 4 4 / 8 3 / 16 3 Έχουμε: 8 4 1 8 = <, = 3 <, Δ = 6 > 4
Ο εσσιανός πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος και επομένως το στάσιμο είναι γνήσιο τοπικό μέγιστο. Το ολικό μέγιστο θα είναι είτε το παραπάνω, είτε στο σύνορο, είτε στο άπειρο. Αλλά, στο σύνορο βρίσκουμε αρνητικές τιμές: { = = }, { = = } ενώ στο στάσιμο έχουμε γνήσια θετική τιμή: 5/ 6/4 5 6 4 5 6 6 = = = Θα διαπιστώσουμε παρακάτω στα πλαίσια της θεωρίας Κυρτού Προγραμματισμού ότι το παραπάνω στάσιμο είναι γνήσιο ολικό μέγιστο. = p v = = v / p Παράδειγμα. (,) = p v w = p w = = w / p =, = p =, =,Δ = p < = p, = Το στάσιμο σημείο δεν είναι ακρότατο. Είναι σαγματικό. Δεν έχουμε σύνορο, οπότε τα ακρότατα βρίσκονται στο άπειρο, και το μέγιστο και το ελάχιστο. 5. Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις Θεωρούμε μια συνάρτηση (,) με κυρτή περιοχή ορισμού, και λέμε ότι η συνάρτηση είναι: κυρτή αν ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος σε όλα τα σημεία στην περιοχή: = H : {,,Δ = } κοίλη αν ο εσσιανός πίνακας είναι αρνητικά ημιορισμένος σε όλα τα σημεία στην περιοχή: = H : {,,Δ = } Επιπλέον θα είναι γνήσια κυρτή/κοίλη αν ο εσσιανός πίνακας είναι ορισμένος θετικά/αρνητικά σε όλα τα σημεία στην περιοχή, εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων σε κάθε κατεύθυνση. Παρατήρηση. Γεωμετρικά, η κυρτότητα της (,) χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες κυρτότητας των κατακόρυφων τομών της επιφάνειας: z = (,), θεωρούμενες ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Οι γραμμικές συναρτήσεις θεωρούνται και κυρτές και κοίλες, αλλά όχι γνήσια. = 6, 3 3 = Παράδειγμα. (,) 3, 3 } = + = =, Δ = 36 =, = 6 Ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος στη θετική περιοχή: {, }, όπου και η συνάρτηση είναι κυρτή. Επίσης είναι θετικά ορισμένος στη γνήσια θετική περιοχή: { >, > }, όπου και είναι γνήσια κυρτή. r r Παράδειγμα. (, ) = + με r, στη γνήσια θετική περιοχή: { >, > } Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι: 1. γνήσια κυρτή αν r > 1 ή r <.. γνήσια κοίλη αν < r < 1 Για r = 1 είναι γραμμική. Λύση. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: r 1 r = r = r(r 1), = r r,δ r 1 r r (r 1) = = r =, = r(r 1) Για r > 1 έχουμε: { >, >,Δ > }, οπότε ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος και η συνάρτηση γνήσια κυρτή. Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζονται και οι άλλες περιπτώσεις. α β Παράδειγμα. Η συνάρτηση C-D: (,) = με α >, β> στη θετική περιοχή: {, } Θα δείξουμε ότι είναι κοίλη α+ β 1. Λύση. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: = α(α 1), = αβ = β = αβ, = β(β 1) α 1 β α α 1 β 1 = α α β 1 α 1 β 1 α β Δ = [α(α 1) ][β(β 1) ] [αβ ] α β α β α 1 β 1 = α(α 1)β(β 1) αβ = (1 α β) α β α β α β 5
Ο εσσιανός πίνακας θα είναι αρνητικά ημιορισμένος και επομένως η συνάρτηση θα είναι κοίλη { :α 1}, { :β 1}, {Δ :α+ β 1} ή ισοδύναμα: α+ β 1, διότι τα {α,β} είναι θετικά Παρατήρηση. Για α+ β = 1η συνάρτηση είναι κοίλη αλλά όχι γνήσια. Για α+ β< 1 η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη στην γνήσια θετική περιοχή: { >, > } Παρατήρηση. Οι ιδιότητες κυρτότητας μιας συνάρτησης δεν μεταβάλλονται αν προσθέσουμε μια γραμμική συνάρτηση διότι οι δεύτερες παράγωγοι παραμένουν ίδιες. Επομένως τα παρακάτω ζεύγη συναρτήσεων έχουν τις ίδιες ιδιότητες κυρτότητας: α β α β r r r r {(,) =, g(,) = + γ+ δ+ ε}, {(,) = +, g(,) = + + γ+ δ+ ε} 6. Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Το παρακάτω αποδεικνύεται στα πλαίσια της γενικής θεωρίας Κυρτού Προγραμματισμού (CP): Θεωρούμε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού κυρτή περιοχή. Ένα στάσιμο σημείο της είναι: ολικό ελάχιστο αν η συνάρτηση είναι κυρτή ολικό μέγιστο αν η συνάρτηση είναι κοίλη Το ακρότατο θα είναι γνήσιο αν στο εσωτερικό της περιοχής η συνάρτηση είναι γνήσια κυρτή και γνήσια κοίλη αντίστοιχα. 1/ 1/ 4 Παράδειγμα. = Σύμφωνα με τα παραπάνω η συνάρτηση είναι κοίλη στη θετική περιοχή και γνήσια κοίλη στη γνήσια θετική περιοχή. Επομένως το εσωτερικό στάσιμο που βρήκαμε προηγουμένως είναι γνήσιο ολικό μέγιστο: 5 6 { =, = } Παράδειγμα. = α + β + γ + δ+ ε+ ζ = α + β + δ = α+ β = δ / α β α β α β με Δ = = αγ β, = = β + γ+ ε = = β+ γ = ε / β γ β γ β γ 1. Αν Δ = αγ β τότε το γραμμικό σύστημα έχει μια και μοναδική λύση, οπότε το στάσιμο θα είναι ένα και μοναδικό. Ο χαρακτηρισμός του καθορίζεται από τους συντελεστές των τετραγωνικών όρων, όπως ακριβώς για την αντίστοιχη ορισμένη τετραγωνική μορφή: Q= α + β + γ Εξάλλου όπως αναφέραμε και προηγουμένως ο χαρακτηρισμός δεν επηρεάζεται από τους προσθετικούς γραμμικούς όρους. Αν Δ = αγ β =, τότε το σύστημα δεν έχει λύση, επομένως δεν έχει στάσιμα, εκτός αν: α β δ = = β γ ε Τότε θα έχει πολλά στάσιμα, μια ολόκληρη ευθεία, και ο χαρακτηρισμός τους εξαρτάται από τους συντελεστές των τετραγωνικών όρων, όπως ακριβώς για την αντίστοιχη ημιορισμένη, όχι ορισμένη, τετραγωνική μορφή. 7. Περισσότερες μεταβλητές. Μια συνάρτηση τριών μεταβλητών (,,z) έχει 3 παραγώγους 1ης τάξης: D = J = = (,, ) z και 3 = 9 παραγώγους ης τάξης, εκ των οποίων μόνο οι 6 είναι διαφορετικές, διότι η σειρά παραγώγισης δεν παίζει ρόλο. Σχηματίζουν έναν συμμετρικό πίνακα διάστασης 3, που καλείται δεύτερη παράγωγος ή εσσιανός πίνακας δεύτερων παραγώγων: z D = = H = z, όπου: =, z = z, z = z z z zz Τα εσωτερικά ακρότατα, μέγιστα ή ελάχιστα, θα είναι στάσιμα: ma/ min{(,, z) D} { =, =, = } ή σε διανυσματική μορφή: = z Τα στάσιμα χαρακτηρίζονται ως ακρότατα από το πρόσημο του παραπάνω εσσιανού πίνακα, σύμφωνα με την γενική θεωρία χαρακτηρισμού συμμετρικών πινάκων που παρουσιάζεται σε ειδικό κεφάλαιο της 6
Γραμμικής Άλγεβρας, χρησιμοποιώντας την αντιστοιχία με τις τετραγωνικές μορφές 3 μεταβλητών, και τους αντίστοιχους συμμετρικούς πίνακες 3 3 : α δ ζ Q(,,z) = α + β + γz + δ+ εz+ ζz S= δ β ε ζ ε γ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8. Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση μιας συνάρτησης (, ) σε κάποιο σημείο (, ) καλείται η παραβολική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και τις ίδιες μερικές παραγώγους μέχρι ης τάξης στο σημείο. Έχει την παράσταση: 1 z = + [ ( ) + ( )] + [ ( ) + ( )( ) + ( ) ] με = (, ), όπου οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο συγκεκριμένο σημείο. Είναι μια συμπλήρωση της γραμμικής που συναντήσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση είναι οι πρώτες δύο μιας ακολουθίας προσεγγίσεων που αναφέρονται ως πολυώνυμα Talor. Παράδειγμα. Θα δώσουμε την γραμμική και την παραβολική προσέγγιση της παρακάτω συνάρτησης: 3 = 3 + = 3 = 6 = 6, = 1 = + +, στο ( = 1, = ) = 1,, = + = 1 = 1, = γραμμική προσέγγιση: 1 + [3( 1) + ] 1 παραβολική προσέγγιση: 1 + [3( 1) + ] + [6( 1) + ( 1) + ] 9. Δεύτερο διαφορικό Ο χαρακτηρισμός των στάσιμων που δώσαμε παραπάνω μπορεί να εξηγηθεί και να αποδειχτεί χρησιμοποιώντας την θεωρία του ου διαφορικού. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: z = (, ) Αν τα {,} μεταβληθούν κατά {Δ,Δ} τότε η τιμή της συνάρτησης θα μεταβληθεί κατά: Δz = Δ = (+ Δ, + Δ) (, ) Σε αντιστοιχία με την γραμμική προσέγγιση, μια πρώτη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης δίνεται από το πρώτο διαφορικό: Δz d = (,)d + (,)d, όπου: {Δ = d, Δ = d} Σε αντιστοιχία με την παραβολική προσέγγιση, μια καλλίτερη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης βρίσκεται αν στο πρώτο διαφορικό προσθέσουμε και το μισό του δεύτερου διαφορικού: 1 1 Δz d + d = [d+ d] + [d + dd + d ] Ειδικά στα στάσιμα σημεία όπου έχουμε = d =, μας μένει μόνο η εκτίμηση με το δεύτερο διαφορικό: 1 1 Δ d = [d + dd + d ] Οι παραπάνω προσεγγίσεις μας επιτρέπουν να καθορίσουμε το πρόσημο της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης για μικρές μεταβολές των {,}, ως εξής: Για μικρές μεταβολές των {, }, το πρόσημο της μεταβολής: Δz = Δ συμπίπτει: στα μη στάσιμα σημεία με το πρόσημο του 1ου διαφορικού d, αν είναι μη μηδενικό στα στάσιμα σημεία με το πρόσημο του ου διαφορικού d, αν είναι μη μηδενικό Το παραπάνω μας δίνει και τον χαρακτηρισμό των στάσιμων ως ακρότατων με βάση το πρόσημο του ου διαφορικού που είναι ακριβώς μια τετραγωνική μορφή των {d,d} : d = d + dd + d με πίνακα συντελεστών τον εσσιανό πίνακα της συνάρτησης. 7
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Ασκήσεις 1. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω ελεύθερες τετραγωνικές μορφές Q(,), ως προς το πρόσημο. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας S. + 4, + 4, + 4 3,, 4 +, + + z, + z, 4 + z +, 3,, +,. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω συμμετρικοί πίνακες S ως προς το πρόσημό τους. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή Q. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,,,,,, 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 3. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων: 3 3 3 3 3 + 5 + 1, 4 6 +, + + 3 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση: (, ) = ep( 4 + ). α) Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. β) Στο στάσιμο σημείο της να βρεθεί η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση. γ) Να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της καθώς και το γράφημα της αντίστοιχης επιφάνειας. 5. Να χαρακτηριστούν ως προς την κυρτότητά τους οι παρακάτω συναρτήσεις. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί το ελεύθερο στάσιμο και να χαρακτηριστεί ως τοπικό ή ολικό ακρότατο: 4, 1/ 1/4 4+ + 4, 1 +, 1/ 1/4 1+ + + α, 3 4 +,, +, 3 + 1, 1+ + + z 4 z 6.Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης στη θετική περιοχή: ma{ = p( + ) w v, }, με γνήσια θετικές παραμέτρους: {w,v,p}. ln(+ ) + Nα βρεθούν οι βέλτιστες ποσότητες: {, }, και η μέγιστη τιμή:, ως συναρτήσεις των παραμέτρων, και να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας, και κυρτότητας αυτών των συναρτήσεων. 7. Να επαναληφθεί η προηγούμενη άσκηση για την συνάρτηση: 1/ 1/ 4 p w v 8. Να βρεθεί ο εσσιανός πίνακας δεύτερης παραγώγου για τις παρακάτω συναρτήσεις (,,z) : α β γ α + β + γz + δ+ ε+ ζz, z + δ+ ε+ ζz, g() + h() + e(z) 9. Ο αριθμητικός μέσος και ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών μεγεθών: { >, > }, ορίζεται ως εξής: 1 = (+ ), g= Μελετώντας το ολικό μέγιστο της συνάρτησης g να διαπιστωθεί ότι ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος από τον γεωμετρικό: g με ισότητα = 8