ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ.1 Σύντομη ανασκόπηση του κλασσικού υποδείγματος παλινδρόμησης συνήθων ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Leas Squares regression model).. Ένα παράδειγμα οικονομετρικού υποδείγματος χρονοσειρών: Η σχέση μεταξύ μισθών και παραγωγικότητας στις Η.Π.Α..3 Γραφικοί τρόποι ανίχνευσης της αυτοσυσχέτισης.4 Στατιστικοί έλεγχοι ανίχνευσης αυτοσυσχέτισης.4.1 Ο στατιστικός έλεγχος ροών (Runs es).4. Ο στατιστικός έλεγχος Durbin-Wason (DW-es).4.3 Ο στατιστικός έλεγχος Breusch-Godfrey (BG es).5 Διόρθωση αυτοσυσχέτισης: γενικευμένη εξίσωση διαφορών, εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα.6 Παρατηρήσεις Συμπληρώσεις.7 Ερωτήσεις - Ασκήσεις BETA 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ.1 Σύντομη ανασκόπηση του κλασσικού υποδείγματος παλινδρόμησης συνήθων ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Leas Squares regression model). Το κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης γράφεται συνοπτικά ως εξής: Y = Xβ + U (ΝΧ1) (ΝΧΚ)(ΚΧ1) (ΝΧ1) Στο υπόδειγμα αυτό η εξαρτημένη μεταβλητή Υ ερμηνεύεται με βάση τις K-1 ανεξάρτητες (ερμηνευτικές) μεταβλητές Χ 1, X,.,X( k-1). Οι διαταραχές U εκφράζουν το συνολικό αποτέλεσμα από ερμηνευτικές μεταβλητές για τις οποίες δε διαθέτουμε στοιχεία, ή ενδεχομένως δε γνωρίζουμε και υπεισέρχονται στο υπόδειγμα όχι άμεσα αλλά έμμεσα μέσω των διαταραχών. Αν οι μεταβλητές που υπεισέρχονται στο παραπάνω υπόδειγμα είναι χρονολογικές σειρές και χρησιμοποιείται η μέθοδος εκτίμησης OLS, συνήθως δημιουργούνται τεχνικά προβλήματα που έχουν να κάνουν με την ύπαρξη σειριακής αλληλεξάρτησης στις διαταραχές U. Υπενθυμίζεται ότι μεταξύ των βασικών προϋποθέσεων που πρέπει να πληρούνται ώστε ο OLS εκτιμητής βˆ να είναι σύμφωνα με το θεώρημα Gauss-Markov βέλτιστος μεταξύ των γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών, είναι η έλλειψη γραμμικής αλληλεξάρτησης στις διαταραχές U. Η γραμμική αλληλεξάρτηση για μία χρονοσειρά Υ εκφράζεται με το συντελεστή αυτοσυσχετίσεως (τάξεως κ) που ορίζεται με τη σχέση: ρ COV ( Y, Y [ VAR( Y ) VAR( Y ) )] Ε[( Υ µ )( Υ µ ) κ E[( Y µ ) ] k = = κ 1/ k (*) (*) Για ευκολία υποθέτουμε ότι η Υ είναι στάσιμη. BETA
Δηλαδή ο συντελεστής αυτοσυσχετίσεως κ τάξεως είναι ο γνωστός συντελεστής γραμμικής συσχετίσεως μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών, μόνο που στην περίπτωση του συντελεστή αυτοσυσχετίσεως το ρόλο της δεύτερης μεταβλητής παίζει η ίδια μεταβλητή μετατοπισμένη τόσες χρονικές περιόδους, όση είναι η τάξη του συντελεστή. Σύμφωνα με τα προηγούμενα: ρ κ = γ κ /γ 0. Προφανώς για το συντελεστή αυτοσυσχετίσεως δυνατόν να ισχύει 0< ρ κ 1, οπότε έχουμε θετική αυτοσυσχέτιση, όπως και 1 ρ < 0, οπότε έχουμε αρνητική αυτοσυσχέτιση. Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (θετική ή αρνητική) στο διαταρακτικό όρο, οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών βi είναι μεν αμερόληπτες και συνεπείς αλλά όχι αποτελεσματικές. Το πρόβλημα γίνεται εντονότερο όταν μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών περιλαμβάνονται και υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Όπως αποδεικνύεται, σε αυτή την περίπτωση όταν η αυτοσυσχέτιση εξακολουθεί να παραμένει στις διαταραχές, οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος είναι μεροληπτικές και ασυνεπείς. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να χρησιμοποιηθούν άλλες μέθοδοι εκτίμησης και οχι τα OLS. κ. Ένα παράδειγμα οικονομετρικού υποδείγματος χρονοσειρών. Η σχέση μεταξύ μισθών και παραγωγικότητας στις Η.Π.Α. (από D. Gujarai, Basic Economrics, McGraw Hill) Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα δεδομένα για το δείκτη ωριαίας αποζημίωσης σε πραγματικές τιμές (μεταβλητή Υ) και τον αντίστοιχο δείκτη παραγωγικότητας τα(μεταβλητή Χ) για την αμερικανική οικονομία για τα έτη 1960-83. BETA 3
Στη συνέχεια εκτιμάμε με τη μέθοδο OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υ =β 1 +β X +U, β >0 ( 1 ) και λαμβάνουμε τα εξής αποτελέσματα: 1 Σχετικά με τη συνθήκη β>0 μπορεί κάνεις να επικαλεστεί το θεώρημα της οριακής παραγωγικότητας των μικροοικονομικών, εφαρμοσμένο σε μακροοικονομικό ή εθνικό επίπεδο για να υποθέσει μια θετική σχέση μεταξύ των μεταβλητών. BETA 4
Ŷ =16.8978+0.854Χ r =0.9566 (3.3341) ( 0.0375) df= =(5.0681) (1.9956) F(1,)=483.808 Εξετάζοντας τα αποτελέσματα παρατηρούμε ότι το εκτιμώμενο β είναι θετικό, όπως αναμενόταν. Η τιμή της σταθεράς του υποδείγματος είναι θετική που σημαίνει ότι ακόμα και αν η παραγωγικότητα είναι 0 υπάρχουν θετικές απολαβές, αλλά όπως γνωρίζουμε αυτό είναι μια μηχανική ερμηνεία της τιμής της σταθεράς και δεν έχει κάποιο ιδιαίτερο οικονομικό νόημα. Στρεφόμενοι στην σημαντικότητα των συντελεστών β 1 και β, μπορεί να παρατηρηθεί ότι καθώς οι τιμές -raio είναι 5,068 και 1,996 αντίστοιχα, αν ανατρέξουμε στον πινάκα βλέπουμε ότι για βαθμούς ελευθερίας η κρίσιμη τιμή είναι,07, συνεπώς αμφότερες είναι στατιστικά σημαντικές. Όπως όμως ήδη αναφέρθηκε, η τυχόν παρουσία αυτοσυσχέτισης θα ήταν ένα σοβαρό πρόβλημα, και πρώτα απ όλα θα καθιστούσε τους ελέγχους με το στατιστικό μη έγκυρους. Επομένως θα πρέπει να ελέγξουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. Αυτό γίνεται στις ενότητες που ακολουθούν..3 Γραφικοί τρόποι ανίχνευσης της αυτοσυσχέτισης Θα πρέπει αρχικά να επισημανθεί ότι η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης του κλασικού προτύπου σχετίζεται με τις διαταραχές του πληθυσμού, οι οποίες δεν μπορούν να παρατηρηθούν άμεσα. Αυτό που έχουμε έναντι αυτών είναι, τα κατάλοιπα (δηλ. ένα είδος «αντιπροσώπων» των ) τα οποία μπορούν να ληφθούν από τη συνήθη διαδικασία OLS. Αν και τα δεν είναι ίδια με τα, πολύ συχνά μια μακροσκοπική εξέταση των μας δίνει κάποιες ενδείξεις σχετικά με την παρουσία αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές. BETA 5
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να εξετάσουμε τα κατάλοιπα. Ο απλούστερος είναι να τα σχεδιάσουμε σε σχέση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο σχήμα.1 το οποίο μας δείχνει τα κατάλοιπα από την παλινδρόμηση των μισθών με την παραγωγικότητα στις ΗΠΑ κατά την περίοδο 1960-1983. Εναλλακτικά, μπορούμε να σχεδιάσουμε τα τυποποιημένα κατάλοιπα σε σχέση με τον χρόνο, τα οποία βλέπουμε επίσης στο σχήμα.1. Τα τυποποιημένα κατάλοιπα είναι άπλα /, όπου το τυπικό σφάλμα εκτίμησης ( = ). Επισημαίνεται ότι το καθώς και το εκφράζονται στις ίδιες μονάδες στις οποίες μετράται η εξαρτημένη μεταβλητή Υ. Άρα τα θα είναι καθαροί αριθμοί και μπορούν επομένως να συγκριθούν άμεσα με τα τυποποιημένα κατάλοιπα άλλων παλινδρομήσεων. BETA 6
Τα τυποποιημένα υπόλοιπα, όπως τα, έχουν μέσο μηδέν, ενώ η διακύμανση τους είναι (περίπου) ίση με τη μονάδα. Επιπλέον, σε μεγάλα δείγματα τα ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μηδενική μέση τιμή και διακύμανση ίση με τη μονάδα. Εξετάζοντας το διάγραμμα της χρονικής ακολουθίας που φαίνεται στο σχήμα.1, παρατηρούμε ότι και τα δύο υπόλοιπα, και τυποποιημένο, δεν επιδεικνύουν ένα πρότυπο που θα μπορούσε να θεωρηθεί ως τυχαίο, και αυτό γιατί το πρόσημο για διαδοχικά κατάλοιπα αλλάζει μόλις φορές. Συνεπώς, τούτο υποδηλώνει ότι οι διαταραχές u μπορεί επίσης να μην είναι τυχαίες. Για να το δούμε αυτό ευκρινέστερα, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα τοποθετώντας τα στον κατακόρυφο άξονα και τα e -1 στον οριζόντιο άξονα. Έτσι παίρνουμε την εικόνα που φαίνεται στο Σχήμα.. Πράγματι, από το σχήμα αυτό βλέπουμε ότι, τα περισσότερα από τα σημεία του διαγράμματος είναι συγκεντρωμένα στο πρώτο (Norh-Eas) και στο τρίτο (Souh-Wes) τεταρτημόριο, γεγονός που υποδηλώνει έντονα ότι υπάρχει θετική συσχέτιση στα κατάλοιπα. Αργότερα, θα BETA 7
δούμε πώς μπορούμε να αξιοποιήσουμε αυτή τη γνώση για να απαλλαγούμε από το πρόβλημα αυτοσυσχέτισης. Η γραφικές μέθοδοι που συζητήσαμε παραπάνω είναι ουσιαστικά υποκειμενικού ή ποιοτικού χαρακτήρα. Αλλά υπάρχουν και αρκετές ποσοτικές δοκιμές (ess) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να συμπληρώσουν την καθαρώς ποιοτική προσέγγιση με περισσότερο αυστηρούς στατιστικούς ελέγχους. Στην επόμενη ενότητα θα εξετάσουμε τους συνηθέστερους από αυτούς τους στατιστικούς ελέγχους..4 Στατιστικοί έλεγχοι ανίχνευσης αυτοσυσχέτισης.4.1 Ο στατιστικός έλεγχος ροών (Runs es) Αν εξετάσουμε ξανά το σχήμα.1 παρατηρούμε μία ιδιάζουσα μορφή: Αρχικά έχουμε μερικά κατάλοιπα τα οποία είναι αρνητικά, μετά υπάρχει μία σειρά από θετικά κατάλοιπα και τέλος υπάρχουν μερικά κατάλοιπα τα οποία είναι πάλι αρνητικά. Εάν τα κατάλοιπα ήταν καθαρά τυχαία θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε μία τέτοια διάταξη; Διαισθητικά, αυτό φαίνεται απίθανο. Αυτή η διαίσθηση μπορεί να ελεγχθεί από τον λεγόμενο έλεγχο ροών (runs es), μερικές φορές επίσης γνωστό και ως «έλεγχο του Geary», ένα μη παραμετρικό τεστ. Για να εξηγήσουμε αυτό το τεστ, απλά ας προσπαθήσουμε να καταγράψουμε τα σύμβολα (+ ή -) των καταλοίπων από την παλινδρόμηση των μισθών παραγωγικότητας, όπως φαίνονται στο Σχήμα.1: Έτσι υπάρχουν 7 αρνητικά κατάλοιπα, που ακολουθούνται από 13 θετικά κατάλοιπα, τα οποία με τη σειρά τους ακολουθούνται από 4 αρνητικά κατάλοιπα. Ορίζουμε τώρα ως μία (στατιστική) ροή μία αδιάσπαστη ακολουθία ενός συμβόλου ή χαρακτηριστικού, όπως + ή -. Επιπλέον ορίζουμε το μήκος της ροής ως τον αριθμό των όμοιων στοιχείων στη ροή. Εν προκειμένω, φαίνεται ότι υπάρχουν 3 ροές: μία ροή των 7 αρνητικών συνεχόμενων προσήμων (δηλαδή, μήκους 7), μία ροή από 13 συνεχόμενα θετικά πρόσημα (δηλαδή, μήκους 13) και τέλος μία ροή από 4 αρνητικά Σε μη παραμετρικά τεστ δεν κάνουμε παραδοχές για την κατανομή από την οποία πάρθηκαν οι παρατηρήσεις. Στο τεστ του Geary, βλέπε R. C. Geary, Relaive Efficiency of Coun of Sign Changes for Assessing Residual Auoregression in Leas Squares Regression, Biomerika, vol. 57, pp. 13-17, 1970. BETA 8
πρόσημα (δηλαδή, μήκους 4). Για καλύτερο οπτικό αποτέλεσμα έχουμε θέσει τις ροές σε παρενθέσεις. Εξετάζοντας πως οι ροές συμπεριφέρονται σε μία αυστηρά τυχαία ακολουθία από παρατηρήσεις μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα τεστ τυχαιότητας των ροών. Θέτουμε αρχικά το ερώτημα: Είναι οι 3 ροές που παρατηρήθηκαν στο επεξηγηματικό παράδειγμά μας, αποτελούμενο από 4 παρατηρήσεις, πάρα πολλές ή πολύ λίγες σε σύγκριση με τον αριθμό των ροών που θα αναμένονταν σε μία αυστηρά τυχαία ακολουθία από 4 παρατηρήσεις; Αν υπάρχουν πάρα πολλές ροές, αυτό θα σήμαινε ότι στο παράδειγμα μας η ροή αλλάζει σύμβολο συχνά, υποδεικνύοντας έτσι την ύπαρξη αρνητικής συσχέτισης. Ομοίως εάν υπάρχουν πολύ λίγες ροές αυτό θα ήταν μία ένδειξη θετικής αυτοσυσχέτισης. Έστω τώρα: Τότε κάτω από τη μηδενική υπόθεση τα διαδοχικά αποτελέσματα (εδώ, τα κατάλοιπα) είναι ανεξάρτητα, και υποθέτοντας ότι το και, ο αριθμός των ροών είναι κατανεμημένος (ασυμπτωτικά) κανονικά με Μέσο: και Διακύμανση: Εάν η υπόθεση της τυχαιότητας είναι ανεκτή, τότε θα περιμέναμε n, τον αριθμό των ροών που λαμβάνεται σε ένα πρόβλημα, να περιέχεται μεταξύ με 95% εμπιστοσύνη. Ως εκ τούτου, διατυπώνουμε τον παρακάτω Κανόνα Αποφάσεως: Δεχόμαστε την μηδενική υπόθεση της τυχαιότητας με 95% εμπιστοσύνη εάν: BETA 9
συνεπώς απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση εάν το εκτιμώμενο n βρίσκεται έξω από αυτά τα όρια. Στο παράδειγμά μας, υπολογίζουμε:, και και Ως εκ τούτου, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης είναι: Ο αριθμός των ροών στο παράδειγμά μας είναι 3, επομένως βρίσκεται καθαρά έξω από αυτό το διάστημα. Ως εκ τούτου, μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση ότι η παρατηρούμενη ακολουθία των καταλοίπων που φαίνεται στο σχήμα.1 είναι τυχαία με 95% εμπιστοσύνη. Εάν και είναι μικρότερα από 10, οι Swed και Eisenhar έχουν αναπτύξει ειδικούς πίνακες που δίνουν κρίσιμες τιμές των ροών που αναμένουμε σε μία τυχαία ακολουθία Ν παρατηρήσεων..4. Έλεγχος αυτοσυσχέτισης με το στατιστικό Durbin-Wason (DW) Ως γνωστόν αντί για την πληθυσμιακή παλινδρόμηση: στοχαστικές διαταραχές Y = β 1 + β X + U (πληθυσμιακή παλινδόμηση) εκτιμάμε από τα δειγματικά δεδομένα, αρχικά με OLS, τη δειγματική παλινδρόμηση: κατάλοιπα Y ˆ + ˆ β X + e = 1 β (δειγματική παλινδρόμηση) Το στατιστικό DW χρησιμοποιεί τα κατάλοιπα e και υπολογίζεται από τη σχέση: BETA 10
DW N = = N ( e e ) = 1 e 1 όπου ο παρονομαστής στο β μέλος είναι το γνωστό RSS (Residual Sum of Squares) Προϋποθέσεις εφαρμογής για τον έλεγχο DW Επισημαίνεται με έμφαση ότι η χρήση του ελέγχου DW είναι δυνατή μόνο κάτω από τις εξής προϋποθέσεις: 1. Στο οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος.. Οι επεξηγηματικές μεταβλητές πρέπει να είναι μη-στοχαστικές. 3. Οι διαταραχές πρέπει να ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού δηλ. U = ρu -1 + ε με ε iid και 4. Δεν πρέπει μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών του υποδείγματος να περιλαμβάνονται χρονικές υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής όπως για παράδειγμα στο υπόδειγμα: Y = β 1 + β X + β 3 Y -1 + U 5. Οι στοχαστικές διαταραχές U πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Πλεονέκτημα : Ευκολία στον υπολογισμό της τιμής του DW Μειονεκτήματα : Πολλές προϋποθέσεις για να είναι δυνατή η χρήση του DW. Oχι ακριβής κατανομή πιθανότητας για το DW, καθώς τα e εξαρτώνται από τις εκάστοτε επεξηγηματικές μεταβλητές. Όρια τιμών για το DW DW = T = e + T = e 1 T = 1 e e e 1 ( e e e 1) T e = 1 = (1 ˆ) ρ Όπου ρˆ είναι η εκτίμηση της παραμέτρου του AR(1) υποδείγματος που έχουμε υποθέσει ότι περιγράφει την αυτοσυσχέτιση στις στοχαστικές διαταραχές. Επειδή 1 ˆ ρ 1 0 DW 4 Άρα: BETA 11
Για ρˆ =0 DW (καθόλου αυτοσυσχέτιση) Για ρˆ =+1 DW 0 (τέλεια θετική αυτοσυσχέτιση) Για ρˆ =-1 DW 4 (τέλεια αρνητική αυτοσυσχέτιση) Δεδομένου ότι δεν υπάρχει ακριβής κατανομή πιθανότητας για το DW οι Durbin Wason έδωσαν πίνακα τιμών για δύο παραμέτρους, τα λεγόμενα κατώτερα και ανώτερα όρια τιμών για το DW, d L και d u, με d L, d u = f(n,k) όπου: Κ= αριθμός επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα Ν= αριθμός παρατηρήσεων. Έτσι αν βρεθεί ότι: 0<DW<d L τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση (όχι αυτοσυσχέτιση) και δεχόμαστε ότι υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση, ενώ αν: 4-d L <DW<4 τότε και πάλι απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση (όχι αυτοσυσχέτιση) και δεχόμαστε την ύπαρξη αρνητικής αυτοσυσχέτισης. Αν όμως: d L < DW<d U ή 4-d U <DW<4-d L τότε δεν μπορεί να ληφθεί απόφαση για απόρριψη ή μη της μηδενικής υπόθεσης. Τα παρακάτω συνοψίζονται στον Πίνακα που ακολουθεί: (+) αυτοσυσχέτι ση Όχι απόφαση Όχι αυτοσυσχέτιση Όχι απόφαση (-) αυτοσυσχέτιση 0 d L d v 4-d u 4-d L 4 Για την εφαρμογή του ελέγχου D-W ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα : 1. Εκτιμάμε το υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα.. Από τα κατάλοιπα υπολογίζουμε την τιμή του DW. 3. Με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων και τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές d L, d u από το σχετικό πίνακα. 4. Αποφασίζουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης με βάση το παραπάνω σχήμα. BETA 1
Παράδειγμα: Για το υπόδειγμα μισθών-παραγωγικότητας που συζητήσαμε προηγουμένως η τιμή του DW που προκύπτει από τα κατάλοιπα είναι: DW=0,398 Από το σχετικό πίνακα για 4 παρατηρήσεις και μία επεξηγηματική μεταβλητή βρίσκουμε: d L =1,7 και d u =1,45 για 5% επίπεδο σημαντικότητας. Καθώς DW< d L απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση (όχι θετική αυτοσυσχέτιση) υπέρ της εναλλακτικής (δηλ. ότι υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση)..4.3 Ο στατιστικός έλεγχος Breusch-Godfrey (BG es). Πολλά από τα προβλήματα που συναντάμε στη χρήση του ελέγχου με το στατιστικό Durbin-Wason μπορούν να ξεπερασθούν με τη χρήση του στατιστικού ελέγχου που αναπτύχθηκε από τους T. Breusch και L. Godfrey. Ο έλεγχος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε περιπτώσεις με στοχαστικές επεξηγηματικές μεταβλητές. Επιπλέον τα κατάλοιπα είναι δυνατό να ακολουθούν υποδείγματα αυτοσυσχέτισης πολύ πιο σύνθετα από το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού. Ο έλεγχος BG γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο: Έστω ότι στο υπόδειγμα Y β + X + u (1) οι στοχαστικές διαταραχές ακολουθούν το παρακάτω AR(p) = 1 β υπόδειγμα: u = u 1 + ρ u + + ρ pu p ρ 1... + ε με ε NIID και u στάσιμη. Η μηδενική υπόθεση της μη ύπαρξης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές διατυπώνεται ως εξής: Η 0 : ρ 1 =ρ =...=ρ p = 0 Για τον έλεγχο της Η 0 ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμάμε το υπόδειγμα (1) με OLS και έχουμε τα κατάλοιπα û. BETA 13
. Εκτιμάμε τη λεγόμενη βοηθητική παλινδρόμηση στην οποία τα û παίζουν το ρόλο της εξαρτημένης μεταβλητής, ενώ ως ανεξάρτητες μεταβλητές εκτός της Χ χρησιμοποιούνται και οι û 1, û -,..., û -p, δηλ. το υπόδειγμα: u ˆ ˆ ˆ + w ˆ = a + a X + uˆ + uˆ +... + puˆ 1 ρ 1 1 ρ ρ p όπου û 1, û -,..., û -p είναι οι υστερήσεις των καταλοίπων του υποδείγματος (1) κατά 1,,..., p χρονικές περιόδους αντίστοιχα. Αν R είναι ο συντελεστής προσδιορισμού της βοηθητικής παλινδρόμησης, για μεγάλα δείγματα (ασυμπτωτικά) οι Breusch και Godfrey έδειξαν ότι: N Χ ( p) R p ( N p) R. Επομένως η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν η τιμή που βρεθεί στο δείγμα μας ξεπερνά την κρίσιμη τιμή της κατανομής chi-square με p βαθμούς ελευθερίας και προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας..5 Διόρθωση Αυτοσυσχέτισης Καθώς παρουσία αυτοσυσχέτισης οι OLS εκτιμητές των παραμέτρων του υποδείγματος είναι μη-αποτελεσματικοί χρειάζονται διορθωτικές κινήσεις ώστε οι εκτιμητές μας να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Μεθοδολογικά είναι χρήσιμο να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: α) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές είναι γνωστή. Συνήθως υποθέτουμε ένα αυτοπαλίνδρομο [AR(1)] σχήμα για τις διαταραχές: U = ρu -1 + ε με ρ < 1 και ε iid. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: BETA 14
Πολ/ζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης με ρ και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε: (*) Η εξίσωση αυτή καλείται Γενικευμένη Εξίσωση Διαφορών (Generalized difference equaion or Quasi difference equaion) Θέτοντας: Y ρ, * = = Y Y 1 * = = X X 1 X ρ, β β (1 1 * 1 ρ ) = και ε = U ρu 1 η γενικευμένη εξίσωση διαφορών γράφεται: Y = β + β + ε * * * * 1 X Καθώς το ε στην εξίσωση αυτή πληροί όλες τις προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο OLS ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι γράφοντας το υπόδειγμα σε χρόνο -1 και εν συνεχεία αφαιρώντας ένα ποσοστό (=ρ) των τιμών των μεταβλητών τη χρονική στιγμή -1 από τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών αυτών τη χρονική στιγμή, χάνεται η πρώτη παρατήρηση. Αυτό δυνατόν να έχει σοβαρές συνέπειες ιδιαίτερα σε μικρά δείγματα. Για να αποφύγουμε αυτές τις συνέπειες για τις πρώτες παρατηρήσεις των Y, X χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Prais-Winsen: BETA 15
β) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτησης στις διαταραχές δεν είναι γνωστή. Ακολουθούμε μία διαδικασία δύο σταδίων: 1. Γίνεται εκτίμηση του ρ (υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι αυτό το σκοπό, βλ παρακάτω). Χρησιμοποιούμε την εκτίμηση του ρ για να μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές μας και να γίνει η εκτίμηση των συντελεστών μέσω της γενικευμένης εξίσωσης διαφορών. Επειδή έχουμε την εκτίμηση των συντελεστών της τιμής του ρ και όχι την αληθή τιμή η μέθοδος είναι γνωστή ως Eφικτά Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (Feasible Generalized Leas Squares, FGLS) ή Εκτιμημένα Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα (Esimaed Generalized Leas Squares, EGLS). Σημαντική παρατήρηση: Όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή αντί της αληθούς τιμής οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά δηλαδή σε μεγάλα δείγματα. Το ίδιο ισχύει και για ελέγχους υποθέσεων. Εμπειρική εκτίμηση του ρ 1. Από την τιμή DW. Εκτίμηση από τα κατάλοιπα μέσω του υποδείγματος: e = ˆ ρe + ˆ 1 ε 3. Από Επαναληπτικές μεθόδους όπως για παράδειγμα οι: Gochrane-Orcu Hilber-Lu.6 Παρατηρήσεις - Συμπληρώσεις.6.1 Συνήθη προβλήματα με τη χρήση του στατιστικού Durbin Wason. Όπως παρατηρεί ο D. Gujarai (Basic Economerics, 4 h ediion, 003, McGraw Hill)...he Durbin Wason es has become so venerable ha praciioners ofen forge he assumpions underlying he es Συχνά οι ερευνητές παραβλέπουν κάποιες από τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται ώστε να είναι έγκυρη η χρήση του στατιστικού Durbin-Wason. Η υπόθεση που παραβιάζεται συχνότερα είναι αυτή των μη στοχαστικών επεξηγηματικών μεταβλητών. Τούτο διότι ιδιαίτερα στα οικονομικά υποδείγματα χρονικών σειρών οι επεξηγηματικές μεταβλητές είναι σχεδόν πάντα στοχαστικές (συμπεριλαμβανόμενης και της περίπτωσης της χρησιμοποίησης υστερήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής ως επεξηγηματικών). Αν αυτή η υπόθεση παραβιάζεται τότε ο έλεγχος με το στατιστικό Durbin-Wason δεν BETA 16
είναι απόλυτα έγκυρος ακόμη και σε μεγάλα δείγματα. Για το λόγο αυτό από ορισμένους ερευνητές έχει προταθεί να μη χρησιμοποιείται το στατιστικό Durbin- Wason σε οικονομετρικά υποδείγματα χρονικών σειρών (π.χ. F. Hayashi, Economerics, 000 Princeon Universiy Press). Ένα άλλο πρόβλημα εμφανίζεται όταν τα κατάλοιπα δεν είναι κανονικά κατανεμημένα. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο έλεγχος ροών για τη χρήση του οποίου δεν τίθεται καμία προϋπόθεση σχετικά με την κατανομή των καταλοίπων. Πάντως για μεγάλα δείγματα μπορεί να αποδειχθεί ότι: 1 N ( 1 d) N(0,1) όπου Ν το μέγεθος του δείγματος. Επομένως και για το συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης θα ισχύει: N ˆ ρ N(0,1).6. Καθαρή και επαγόμενη αυτοσυσχέτιση Η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές ενός υποδείγματος παλινδρόμησης μπορεί να διακριθεί σε «καθαρή» κα «επαγόμενη». Αυτό εξαρτάται από το κατά πόσον το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο. Για ένα σωστά ορισμένο υπόδειγμα η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές μπορεί να οφείλεται στο οτι η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε κάποιες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο υπόδειγμα δεν αντισταθμίζεται μέσω του υποδείγματος και έτσι μεταφέρεται στο διαταρακτικό όρο. Επιπλέον, είναι δυνατό η αυτοσυσχέτιση να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο, η εξαρτημένη μεταβλητή έχει μετρηθεί με σφάλμα. Αυτή η αυτοσυσχέτιση ονομάζεται καθαρή, και δεν είναι δυνατό να εξαλειφθεί όσο η εκτίμηση του υποδείγματος γίνεται με OLS. Περισσότερο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της εμφάνισης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές λόγω εσφαλμένης εξειδίκευσης του υποδείγματος. Το σφάλμα εξειδίκευσης μπορεί να οφείλεται: (i) Σε παράλειψη μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση αν η μεταβλητή που έχει παραληφθεί εμφανίζει αυτοσυσχέτιση, η αυτοσυσχέτιση αυτή μεταφέρεται στις διαταραχές. (ii) Σε λάθος συναρτησιακή μορφή. Για παράδειγμα αν η σωστή BETA 17
εξειδίκευση του υποδείγματος απαιτεί πολυωνυμική παλινδρόμηση και αντ αυτής χρησιμοποιηθεί γραμμική παλινδρόμηση τότε στις διαταραχές θα αποτυπωθεί η αδυναμία του υποδείγματος να ερμηνεύσει τις μη γραμμικές διακυμάνσεις της εξαρτημένης μεταβλητής με τη μορφή (θετικής στη συγκεκριμένη περίπτωση) αυτοσυσχέτισης. Η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επαγόμενη αυτοσυσχέτιση και είναι δυνατό να εξαλειφθεί στο πλαίσιο των OLS εκτιμήσεων των συντελεστών του υποδείγματος, εφόσον αναιρεθούν οι αιτίες που την προκαλούν..6.3. Εκτιμητές Newey-Wes (HAC esimaors) Οι Newey και Wes πρότειναν τους λεγόμενους συνεπείς ως προς αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα εκτιμητές (heeroscedasiciy and auocorrelaion consisen esimaors, HAC esimaors) οι οποίοι διορθώνουν το πρόβλημα που προκύπτει με τα τυπικά σφάλματα των εκτιμήσεων, αν χρησιμοποιήσουμε τους OLS εκτιμητές. Αρκετά οικονομετρικά λογισμικά προγράμματα (π.χ. E-Views version 4 και μεταγενέστερες) παρέχουν εκτιμήσεις των τυπικών σφαλμάτων κατά Newey-Wes. Θα πρέπει πάντως να τονισθεί ότι η διαδικασία εκτίμησης κατά Newey-Wes είναι έγκυρη μόνο σε μεγάλα δείγματα και δεν υπάρχει ακόμη επαρκής τεκμηρίωση για την καταλληλότητά τους για μικρά δείγματα..6.4 Eκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για μικρά δείγματα Στην περίπτωση μικρών δειγμάτων η προσέγγιση, όπου d η τιμή DW, δεν είναι ικανοποιητική. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την κατά Theil Nagar τροποποιήση για την εκτίμηση του που δίνεται από την σχέση: BETA 18
όπου Ν=μέγεθος δείγματος, Κ=αριθμός συντελεστών συμπεριλαμβανομένου και του σταθερού όρου. Για δεδομένο Κ για Ν έχουμε:.6.5 OLS-FGLS-HAC εκτιμητές Σχετικά με τη επιλογή του κατάλληλου εκτιμητή είναι σκόπιμο να γίνουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Αρχικά επισημαίνεται ότι όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή στη θέση της αληθούς τιμής μιας παραμέτρου, όπως στην περίπτωση των FGLS, οι παράμετροι που εκτιμάμε έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. σε μεγάλα δείγματα (το ίδιο ισχύει και με τους στατιστικούς ελέγχους). Άρα τόσο οι EGLS όσο και οι HAC εκτιμητές είναι αποτελεσματικοί μόνο σε μεγάλα δείγματα και σε μικρά δείγματα δεν είναι τεκμηριωμένο ότι οι εκτιμητές αυτοί είναι πάντα καλύτεροι των OLS εκτιμητών. Τίθεται επομένως το ερώτημα ποιοι είναι οι κατάλληλοι εκτιμητές όταν έχουμε μικρό δείγμα; Σύμφωνα με ένα πρόχειρο πρακτικό κανόνα που προέκυψε από μελέτες με πειράματα Mone Carlo των Griliches και Rao οι OLS εκτιμητές είναι προτιμότεροι σε μικρά δείγματα για τα οποία ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης έχει τιμή μικρότερη ή ίση του 0,3. BETA 19
.7 Ερωτήσεις - Ασκήσεις Κεφαλαίου 1) Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Δικαιολογείστε με συντομία τις απαντήσεις σας. α) Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση οι OLS εκτιμητές είναι μεροληπτικοί και ασυνεπείς. β) Η παράλειψη μίας σημαντικής ερμηνευτικής μεταβλητής από το υπόδειγμα μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντική τιμή στο στατιστικό DW. γ) Η διαδικασία των FGLS δίνει εκτιμητές που έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. για μεγάλα δείγματα. δ) Σε ένα υπόδειγμα με χρονικές σειρές 00 παρατηρήσεων αν χρησιμοποιήσουμε εκτιμητές HAC μπορούμε να αγνοήσουμε μία στατιστικά σημαντική τιμή για το στατιστικό DW. ε) Σε ένα σωστά ορισμένο οικονομετρικό υπόδειγμα με δύο επεξηγηματικές μεταβλητές και 0 παρατηρήσεις βρέθηκε DW= 1,6 και επομένως για την εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν FGLS εκτιμητές. στ) Η μέθοδος των GLS μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν η αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα είναι καθαρή. ) Από τα δεδομένα 30 παρατηρήσεων για τις μεταβλητές Υ, Χ 1, Χ εκτιμήθηκε με OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υ = - 1,8 + 0,7X 1 + 0,44X + e R ad = 0,96 DW = 0,5 () (,5) (3,5) (1,97) (α) Να ελεγχθεί η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. (β) Είναι δυνατό να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος; (γ) Να βρεθεί μια εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης. (δ) Με ποιό τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την παραπάνω εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ώστε οι εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος να είναι BLUE; 3) Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα δεδομένα για το συνολικό κόστος παραγωγής και την παραχθείσα ποσότητα για ένα αγαθό. BETA 0
Παραχθέν Προϊόν (Χ) Συνολικό κόστος (Υ) 1 193 6 3 40 4 44 5 57 6 60 7 74 8 97 9 350 10 40 Από την οικονομική θεωρία γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση κόστους ως προς το τελικό προϊόν είναι συνήθως κυβική. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα εκτιμήθηκαν τρία υποδείγματα παλινδρόμησης στα οποία η συνάρτηση συνολικού κόστους θεωρήθηκε ότι είναι: (1) γραμμική, () τετραγωνική (3) κυβική Τα αντίστοιχα αποτελέσματα φαίνονται παρακάτω: Υπόδειγμα (1) Y=166.476 +19,993X+e 1 (19,0) (3,06) R = 0,840, R ad = 0,81, DW = 0,716 : (8,75) (6,50) Υπόδειγμα () Y =,38-8,0X +,54X +e R = 0,93, R ad = 0,908, DW = 1,038 (3,44) (9,80) (0,86) : (9,47) (-0,81) (,9) Υπόδειγμα (3) Y = 141,76 + 63,48X 1,96X + 0,94X 3 +e 3 R = 0,998, R ad = 0,997, DW =,70 (6,37) (4,78) (0,98) (0,06) : (,) (13,3) (-13,1) (15,9) α) Σε ποιo(ά) από τα παραπάνω υποδείγματα υπάρχει πρόβλημα αυτοσυσχέτισης; (β) Εφόσον υπάρχει, είναι καθαρή ή επαγόμενη αυτοσυσχέτιση; BETA 1
(γ) Γενικότερα πως μπορεί ο ερευνητής να ξεχωρίσει την καθαρή από την επαγόμενη αυτοσυσχέτιση; (γ) Με ποιούς άλλους τρόπους θα μπορούσατε να την ανιχνεύσετε; BETA