Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 5 η : Απόκριση Συχνότητας Δυναμικών Συστημάτων. Παναγιώτης Σεφερλής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5 η : Απόκριση Συχνότητας Δυναμικών Συστημάτων Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Στόχοι του κεφαλαίου Κατανόηση απόκρισης συχνότητας δυναμικού συστήματος. Ανάλυση συστημάτων με την απόκριση συχνότητας. Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας. 4

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Περίληψη του κεφαλαίου Υπολογισμός απόκρισης συχνότητας. Ανάλυση συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας. Διάγραμμα Bode. Κριτήριο ευστάθειας Bode στο πεδίο της συχνότητας. Διάγραμμα Nyquist. Κριτήριο ευστάθειας Nyquist. 5

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Με την απόκριση συχνότητας ενός συστήματος εννοούμε την απόκριση του συστήματος σε μόνιμη κατάσταση σε μια ημιτονοειδή είσοδο. Σήμα εισόδου x(t)=asin(ωt) Σήμα εξόδου y(t) 3 1 Amplitude 0-1 - -3 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Time, t 6

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Θεωρείται το ακόλουθο δυναμικό σύστημα που υπόκειται σε ημιτονοειδή διέγερση. Σήμα εισόδου x(t)=asin(ωt) x(t)=sin(1/3t) 3 Σήμα εξόδου y(t) 3 1 3 1 3 y t sin t sin t dt 3sin 1 3t 3cos 1 3t 3 3 sin1 3t φ 1 1 4. 4 sin 1 3t 0. 785 φ tan 33 Η απόκριση του συστήματος είναι ημιτονοειδής με την ίδια συχνότητα όπως το σήμα εισόδου αλλά με διαφορετικό πλάτος ταλάντωσης και με διαφορά φάσης. 7

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Ποιο όχημα πιστεύεται ότι επηρεάζεται περισσότερο από μια ημιτονοειδή διαταραχή στο οδόστρωμα υψηλής συχνότητας; Ένα λεωφορείο, ένα αυτοκίνητο ή μια μοτοσικλέτα; Ποιο όχημα πιστεύετε ότι επηρεάζεται περισσότερο από μια ημιτονοειδή διαταραχή στο οδόστρωμα χαμηλής συχνότητας; Ένα λεωφορείο, ένα αυτοκίνητο ή μια μοτοσικλέτα; 8

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Διαταραχή: w=0.1sin(10t), Συχνότητα: 10 rad/s=1.59 s -1 Πλάτος ταλάντωσης μετατόπισης Λεωφορείο: 0.1 m Αυτοκίνητο: 0.17 m Μοτοσικλέτα: 0.35 m 9

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων ( ) = q ( s ) p( s) = q( s) ( s- p ) 1 s- p G s X(s) Ημιτονοειδής μεταβολή G(s) Y(s) ( ) s- p n ( ) = Y ( s ) X( s) Asinωt x t Aω X s s ω Gs X s Y s Aω q s pss ω jωt jωt 1 1 p t p t pnt n y t ae ae b e b e b e Οι εκθετικοί όροι εξασθενούν με το χρόνο. 1

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Aω AG jω a Gs s jω s ω j s jω Aω a Gs s jω s ω s jω j AG jω Η G(jω) γράφεται ως: Με φ το όρισμα: φ G jω G jω e jφ 1 Im G jω tan Re G jω a jφ A G jω e A G jω e a j j jφ 13

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων jωt y t ae ae A G jω y t jωt jωtφ e j j ωt φ y t A G jω sin ωt φ e Η απόκριση σε μόνιμη κατάσταση, κάθε ευσταθούς συστήματος που υπόκειται σε περιοδική ημιτονοειδή διέγερση με συχνότητα ω και πλάτος Α, είναι ημιτονοειδής με συχνότητα ω, πλάτος Α G(jω) και διαφορά φάσης φ (όρισμα της G(jω)). 14

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Λόγος πλάτους εξόδου/εισόδου: G jω Y jω X jω Μετακίνηση φάσης του ημιτονοειδούς σήματος εξόδου ως προς το ημιτονοειδές σχήμα εισόδου. Y jω G jω X jω Επομένως η απόκριση συχνότητας δίνεται από: G jω Y jω X jω 15

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Σήμα εισόδου x(t)=asin(ωt) Σήμα εξόδου y(t)=a G(jω) sin(ωt+φ) 3 διαφορά φάσης, φ 1 Amplitude 0-1 - -3 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Time, t 16

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Λεωφορείο: συχνότητα συντονισμού ~5 rad/s Αυτοκίνητο: συχνότητα συντονισμού ~6 rad/s Μοτοσυκλέτα: συχνότητα συντονισμού ~9 rad/s 17

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Σύστημα 1ης τάξης Να υπολογισθεί η απόκριση σε μόνιμη κατάσταση σε ημιτονοειδή είσοδο x(t)=asin(ωt). G s K τs 1 Βήμα 1ο: Αντικατάσταση s=jω. G jω K τjω 1 Βήμα ο: Φέρουμε την G(jω) στη μορφή Re+j Im. G jω j K τjω 1 K 1 τωj K Kτω τjω 1 τjω 1 1 τω 1 τω 1 τω 18

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Βήμα 3ο: Υπολογίζουμε το μέτρο και το όρισμα της G(jω). K G jω φ G jω tan τω 1 τω 1 Συνεπώς η απόκριση του συστήματος σε μόνιμη κατάσταση υπολογίζεται από τη σχέση: AK y t sin ωt tan τω 1 τω 1 19

Διαγράμματα Bode H γραφική απεικόνιση της απόκρισης συχνότητας γίνεται με τη βοήθεια του διαγράμματος Bode. To διάγραμμα Bode δείχνει τη μεταβολή του λόγου πλάτους, ΑR (amplitude ratio), και της διαφοράς φάσης, φ, με τη συχνότητα του σήματος εισόδου, ω. AR Σύστημα 1ης τάξης. AK A K 1τ ω 1τ ω 1 φ tan τω 0

Διαγράμματα Bode AR AK A K 1τ ω 1τ ω 1 φ tan τω Ασυμπτωτική συμπεριφορά συστήματος 1ης τάξης: ω<<1/τ (ω 0) ΑR K φ 0 ο ω>>1/τ (ω + ) ΑR 0 φ -90 ο ω=1/τ AR K φ=-45 ο Κλίση ασύμπτωτου χαμηλής συχνότητας για ω<<1/τ 0. Κλίση ασύμπτωτου υψηλής συχνότητας για ω>>1/τ +. 1 1 log AR log K log τ ω log K log log AR log K logαυτόματος 1Έλεγχος τ ω log K log ω 1

Διαγράμματα Bode Διάγραμμα Bode λόγου πλάτους. Γράφημα log(ar) ως προς log(ω). Magnitude (abs) 10 0 10-1 Bode Diagram Ασύμπτωτες Κλίση ασύμπτωτου υψηλής συχνότητας, -1. Διάγραμμα Bode φάσης. Γράφημα γωνίας φάσης, φ, ως προς log(ω). Phase (deg) 10-0 -45-90 10-10 -1 10 0 10 1 10 Frequency (rad/sec) ω=1/τ, κρίσιμη συχνότητα συστήματος.

Διαγράμματα Bode Διάγραμμα Bode λόγου πλάτους. Γράφημα 0log(AR) ως προς log(ω). Magnitude (db) 0-10 -0-30 Bode Diagram Ασύμπτωτες Κλίση ασύμπτωτου υψηλής συχνότητας -0 db/δεκάδα. -40 0 Phase (deg) -45-90 10-10 -1 10 0 10 1 10 Frequency (rad/sec) Εναλλακτικά το διάγραμμα λόγου πλάτους εκφράζεται σε 0log(AR) [db]. 3

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Σύστημα ης τάξης Να κατασκευασθεί το διάγραμμα Bode της με ζ<1. G s ωn n n s ζω s ω Βήμα 1ο: Αντικατάσταση s=jω. G s ωn n n jω ζω jω ω Βήμα ο, 3ο: Υπολογισμός μέτρου και ορίσματος G(jω). 4

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Μέτρο της G(jω), για 0<ζ<1. G jω ω n ω ω 1 ζ ωn ω n Όρισμα της G(jω), για 0<ζ<1. G jω tan 1 ω ζ ω n ω 1 ω n 5

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων ζ=0.1 ζ=0. ζ=0.3 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=1.0 6

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Συχνότητα συντονισμού ω ω 1ζ r n Μέγιστο μέτρου G(jω), για 0<ζ<0.707 1 1 G ω ζ ζ r 7

Απόκριση συχνότητας στο Matlab kp=1.0; taup=5.0; wstart=0.001; wend=100; wtimes=800; w=logspace(log10(wstart),log10(wend),wtimes); s=j*w; G=kp./(taup*s+1); AR=abs(G); phi=180*angle(g)/pi; figure(1) subplot(,1,1), loglog(w,ar) xlabel('frequency, rad/time') ylabel('amplitude ratio') subplot(,1,), semilogx(w,unwrap(phi)) xlabel('frequency, rad/time') ylabel('phase angle, deg') 8

Ερμηνεία απόκρισης συχνότητας G 1 s 1 s 1 G s 1 5s 1 1.5 1 0.5 Δυο συστήματα υποβάλλονται σε ένα σήμα εισόδου (σειρά από βηματικές μεταβολές με κάποια περιοδικότητα). Amplitude 0-0.5-1 Η συνάρτηση G είναι πιο αργή από την G 1. Κάθε σήμα μπορεί να εκφρασθεί σαν άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων διαφορετικής συχνότητας (μετασχηματισμός Fourier). u a ω sin ωt Amplitude -1.5 0 4 6 8 10 Time, sec 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6 y 1 y -0.8 0 4 6 8 10 Time, sec 9

Ερμηνεία απόκρισης συχνότητας Το ισοδύναμο του σήματος εισόδου ορίζεται με τη μορφή u(t)=sin(t)+1/3sin(3t)+1/5sin(5t)+ H απόκριση συχνότητας υπολογίζεται από την υπέρθεση των αποκρίσεων για κάθε ένα ημιτονοειδές σήμα. y 1 y sin(t) G sin(3t) G 0.5 0.4 Linear Simulation Results sin(5t) sin(7t) G G απόκριση συχνότητας Amplitude 0.3 0. 0.1 0-0.1-0. -0.3 sin(9t) G -0.4-0.5 0 4 6 8 10 Time (sec) 30

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων ( ) = K ( s- z ) s- z 1 ( s- p ) 1 s- p G s ( ) s- z m ( ) s- p n ( ) ( ) Με μηδενικά z 1, z,, z m και πόλους p 1, p,, p n. Γενικευμένη περίπτωση ( ) = K jw - z 1 jw - z jw - z m G jw jw - p 1 jw - p jw - p n arg ég ( jw ) é = arg( jw - z 1 )+arg( jw - z )+ arg( jw - z ) -arg( jw - p 1 )- arg( jw - p )- -arg( jw - p ) n 31

Κανόνες κατασκευής διαγράμματος Bode Παραγοντοποίηση πολυωνύμων αριθμητή και παρονομαστή. Υπολογισμός κρίσιμων συχνοτήτων (ριζών) για κάθε επιμέρους όρο. Υπολογισμός κλίσης ασυμπτώτου για ω. (-1) (βαθμός παρονομαστή-βαθμός αριθμητή) Υπολογισμός γωνίας φάσης για ω. (-90) (βαθμός παρονομαστή+μηδενικά ΔΗΕ-μηδενικά ΑΗΕ) Χρήση κριτηρίου μέτρου και φάσης για υπολογισμό ενδιάμεσων σημείων. 3

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Σταθερά κέρδους. Gs K G jω K G jω K 0 G jω Ποια η φυσική σημασία του αποτελέσματος; 33

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Καθυστέρηση χρόνου. Gs e θs G jω G jω G jω e 1 θjω θω Τι προκαλεί η καθυστέρηση χρόνου στο σύστημα; 34

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Δικτύωμα καθυστέρησης φάσης. τs 1 1 Gs, τ τ τs1 1 G jω τω 1 τω 1 1 1 1 G jω tan τ ω tan τ ω 1 Magnitude (db) 0-5 -10-15 0 Bode Diagram τ =10 s, τ 1 = s, ω =1/τ =0.1 rad/s ω 1 =1/τ 1 =0.5 rad/s Phase (deg) -30-60 10-3 10-10 -1 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 35

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Δικτύωμα προήγησης φάσης. G jω G jω 1 1 τ ωj 1 1 τ ωj 1 G jω τ ωj τ ωj τω 1 τω 1 1 1 1 1 G jω tan τ ω tan τ ω τ = s, τ 1 =10 s, 1 ω =1/τ =0.5 rad/s ω 1 =1/τ 1 =0.1 rad/s τs 1 1 Gs, τ τ τs1 Magnitude (db) Phase (deg) 14 1 10 8 6 4 0 60 30 1 Bode Diagram 0 10-3 10-10 -1 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 36

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Ολοκληρωτής. G s 1 s 5 Bode Diagram G jω G jω 1 jω j jω jω ω 1 ω 1 G jω tan 1 ω 0 90 o Magnitude (db) Phase (deg) 0-5 -10-15 -0-89 -89.5-90 -90.5-91 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 37

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Μηδενικό στο δεξί ημι-επίπεδο. G jω G jω 0. ωj 1 ωj 5 1 5 G jω ωj ωj ω 1 1 1 0 0. ω 1 G jω tan ω tan. ω Καθυστέρηση φάσης από το μηδενικό στο ΔΗΕ. Σύστημα μη-ελάχιστης φάσης (non-minimum phase). phase angle, deg -0-40 -60-80 -100-10 -140-160 0 G s -180 10-3 10-10 -1 10 0 10 1 10 frequency, rad/time s 1 s 5 38

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Ελεγκτής PI. G s K c 1 1 τs I G jω K c 1 ωτ 1 1 I 1 G jω tan ωτ I Magnitude (db) 80 70 60 50 40 30 0 0 Bode Diagram Phase (deg) -45-90 10-4 10-3 10-10 -1 10 0 1/τ Ι Frequency (rad/sec) 39

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Ελεγκτής PD. Gs K 1τ s c D G jω K ωτ c D 1 G jω tan ωτ 1 D Magnitude (db) 55 50 45 40 35 30 5 0 90 Bode Diagram Phase (deg) 45 0 10-1 10 0 10 1 10 1/τ D Frequency (rad/sec) 40

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Ελεγκτής PID. 1 G s K τ τ s τ s τ s c I D I I 80 Bode Diagram Magnitude (db) 70 60 50 40 30 0 90 Phase (deg) 45 0-45 -90 10-4 10-10 0 10 Frequency (rad/sec) 41

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Παράδειγμα: Διάγραμμα Bode για σύνθετο σύστημα. G s. s 5 0 1 1 s 0. 5s 1 1 50 s 1. 50s 1 Ασυμπτωτική συμπεριφορά: Κλίση λόγου πλάτους για ω : -1, -1, -, +1 = -3 Γωνία φάσης για ω : -90 ο, -90 ο, -180 ο, +90 ο, -70 ο Κρίσιμες συχνότητες: ω=, ω=10 rad/s 1 g1 s 5 g s 0. 1s 1 g3 s s 1 1 g4s g5s 0. 5s 1 1 50 s 1. 50 s 1 4

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων g g 1 g 4 g 5 g 3 g g 1 g 4 g 3 g 5 G s Αυτόματος Έλεγχος 5 0. 1s1 s 0. 5s 1 1 50 s 1. 50s 1 43

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων G s. s 5 0 1 1 s 0. 5s 1 1 50 s 1. 50s 1 44

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Άσκηση: Να εκτιμηθεί η συνάρτηση μεταφοράς 1 ης τάξης από τα ακόλουθα πειραματικά δεδομένα. AR=, φ=0 ο, ω=π/τ=0.01 rad/s AR=0.5, φ=90 ο, ω=1 rad/s 45

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων AR=, φ=0 ο, ω=π/τ=0.01 rad/s AR=0.5, φ=90 ο, ω=1 rad/s 46

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων Άσκηση: Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς της οποίας το διάγραμμα Βοde εικονίζεται παρακάτω: 47

Απόκριση δυναμικών συστημάτων Κέρδος = 1.0 10 1 G s - 10s1 10s1 ή G s s1 s1 πόλοι ω=1 rad/s +1 amplitude ratio 10 0 1 μηδενικό ω=0.1 rad/s 10-1 10-3 10-10 -1 10 0 10 1 10 frequency, rad/time Βήμα 1ο: Από το διάγραμμα λόγου πλάτους υπολογίζεται η κλίση των ασύμπτωτων και οι κρίσιμες συχνότητες του συστήματος. -1 48

Απόκριση συχνότητας Απορρίπτεται G s - 10s1 10s1 ή G s s1 s1 Ασύμπτωτος στα 70 ο μηδενικό στο ΔΗΕ χωρίς καθυστέρηση χρόνου Βήμα ο: Από το διάγραμμα φάσης διαπιστώνεται η ύπαρξη μηδενικών στο δεξιό ημιεπίπεδο ή καθυστέρησης χρόνου. 49

Απόκριση συχνότητας F 1 F F 3 u m 1 k 1 m k m 3 c 1 c z z z 1 3 z 1 z z 3 3 m s mks k mks k k 4 1 4 mks k m s mks k mks k F 4 F3 k mks k m s 3mks k 3 4 s m s 4m ks 3mk 0. 6 j, 1. 6j j j j, j j j 0. 6j, 1. 6j 0, 0, 1j, 1. 73 j F 50

Απόκριση συχνότητας F 1 F F 3 u m 1 k 1 m k m 3 c 1 c Magnitude (db) 150 100 50 0-50 -100-150 -180 z 1 z z 3 Bode Diagram πόλοι συστήματος μηδενικά συστήματος Phase (deg) -5-70 -315-360 10-1 Αυτόματος 10 0 Έλεγχος 10 1 Τμήμα Μηχανολόγων Frequency (rad/sec) Μηχανικών 51

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας Κριτήριο ευστάθειας Bode. Ελέγχει την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου από τη συμπεριφορά του συστήματος ανοικτού βρόχου. Περιορισμοί. 1. Σύστημα ανοικτού βρόχου ΕΥΣΤΑΘΕΣ.. Μονότονα φθίνουσα συμπεριφορά γωνία φάσης. 5

1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας R(s) + E(s) G C (s) U(s) G v (s) G P (s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Υ(s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Υ m (s) G S (s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Σε συνθήκες ανοικτού βρόχου θέτουμε μια ημιτονοειδή μεταβολή στο σημείο αναφοράς. Μετά από ικανό χρόνο τα μεταβατικά δυναμικά χαρακτηριστικά της διεργασίας αποσβένονται και παραμένει μονάχα η ημιτονοειδής μεταβολή. 53

1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας R(s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 + E(s) G C (s) U(s) Υ m (s) G v (s) G P (s) G S (s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Υ(s) -1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Μηδενίζουμε το σημείο αναφοράς και ταυτόχρονα θέτουμε το σύστημα σε κλειστό βρόχο. Καταγράφουμε την ελάττωση ή αύξηση του πλάτους του σήματος λόγω ανάδρασης. Αν ο λόγος πλάτους μειώνεται σταδιακά με κάθε πέρασμα από το βρόχο ανάδρασης τότε το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές. Στο πεδίο της συχνότητας εξετάζουμε το λόγω πλάτους του συστήματος ανοικτού βρόχου στη συχνότητα που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης -180 ο. Γιατί επιλέγετε αυτό το σημείο; Αν είναι μικρότερος του 1 ή 0 db τότε το σύστημα ΚΛΕΙΣΤΟΥ βρόχου είναι ΕΥΣΤΑΘΕΣ. 54

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας ΑR<1 ευσταθές Magnitude (abs) 10 5 10 0 10-5 10-10 -90 Bode Diagram Phase (deg) -180-70 10-1 10 0 10 1 10 10 3 G s Frequency (rad/sec) 5 0. 1s1 s 0. 5s 1Αυτόματος 1 50Έλεγχος s 1. 50s 1 Κρίσιμη συχνότητα 55

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας Το κριτήριο ευστάθειας Bode δηλώνει ότι ένα σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές όταν ο λόγος πλάτους για τη συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού βρόχου είναι μικρότερος της μονάδας (ή μικρότερο από 0 db) στην κρίσιμη συχνότητα ω c (που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης -180 ο ). Το σύστημα είναι ασταθές αν ο λόγος πλάτους είναι μεγαλύτερος της μονάδας στην κρίσιμη συχνότητα. 56

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας Magnitude (abs) Phase (deg) ΠΦ=180+φ(ω c ) 10 5 10 0 10-5 10-10 -90 περιθώριο φάσης, ΠΦ -180 Bode Diagram περιθώριο κέρδους, ΠΚ ΠΚ=1/ΑR G s -70 10-1 10 0 10 1 10 10 3 Frequency (rad/sec) 5 0. 1s1 s 0. 5s 1Αυτόματος 1 50Έλεγχος s 1. 50s 1 κρίσιμη συχνότητα, ω c 57

Περιθώριο κέρδους To περιθώριο κέρδους (ΠΚ) δηλώνει πόσο περισσότερο στατικό κέρδος (π.χ. κέρδος ελεγκτή) μπορεί το σύστημα να ανεχθεί προτού προκληθεί αστάθεια στη δυναμική συμπεριφορά του κλειστού βρόχου. 1. Υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα, ω c, για την οποία η γωνία φάσης είναι -180 ο.. Υπολογίζουμε το λόγο πλάτους στην κρίσιμη συχνότητα ω c, ΑR(ω c ). 3. ΠΚ=1/ΑR(ω c ). 58

Περιθώριο φάσης To περιθώριο φάσης (ΠΦ) δηλώνει πόσο περισσότερη καθυστέρηση φάσης (π.χ. λόγω καθυστέρησης χρόνου) μπορεί το σύστημα να ανεχθεί προτού προκληθεί αστάθεια στη δυναμική συμπεριφορά του κλειστού βρόχου. 1. Υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα, ω c, για την οποία ο λόγος πλάτους είναι 1.0.. Υπολογίζουμε τη γωνία φάσης στην κρίσιμη συχνότητα ω c, φ(ω c ). 3. ΠΦ=180+φ(ω c ). 59

Άσκηση στην ευστάθεια R(s) + E(s) G C =Κ C U(s) G v =1 5 10s 1 Υ(s) Υ m (s) G S =1 Ζητούμενο: Να προσδιορισθεί το εύρος τιμών για τη σταθερά Κ c του ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. H συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G s K c είναι 1ης τάξης και δεν υπάρχει συχνότητα ώστε το διάγραμμα φάσης να τέμνει τη γωνία -180 ο. 5 10s 1 Συνεπώς το σύστημα είναι ευσταθές για κάθε τιμή του Κ c. 60

Άσκηση στην ευστάθεια R(s) + E(s) G C =Κ C U(s) 1 0. s 1 5 10s 1 Υ(s) Υ m (s) 1 0. 1s 1 Ζητούμενο: Να προσδιορισθεί το εύρος τιμών για τη σταθερά Κ c του ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. Το σύστημα δεν έχει αμελητέα δυναμικά χαρακτηριστικά για τον ενεργοποιητή και τον αισθητήρα. H συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου 5 1 1 Gs K c 10s 1 0. s 1 0. 1s 1 είναι 3 ης τάξης και το διάγραμμα φάσης προσεγγίζει ασυμπτωτικά τις -70 ο. Συνεπώς απαιτείται η κατασκευή του διαγράμματος Bode. 61

Άσκηση στην ευστάθεια Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου δίνεται από τη σχέση: 1 1 1 Gs 5K c 100ω 1 0. 04ω 1 0. 01ω 1 Η γωνία φάσης της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου δίνεται από τη σχέση: -1-1 -1 -tan 10 -tan 0 -tan 0 1 G s ω. ω. ω H συχνότητα που η γωνία φάσης γίνεται -180 ο υπολογίζεται ω c =7.18 rad/s. Για να είναι ο λόγος πλάτους στην κρίσιμη συχνότητα ω c μικρότερος από μονάδα πρέπει η παράμετρος του ελεγκτή να είναι Κ c <1/0.033=30.94. π.χ. για περιθώριο κέρδους (ΠΚ)= πρέπει ο λόγος πλάτους AR=1/ΠΚ=0.5 και άρα το Κ Τμήμα c =0.5/0.033=15.47. Μηχανολόγων Μηχανικών 6

Άσκηση στην ευστάθεια K c =1 : Το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές με ΠΚ=9.8 db και ΠΦ=93.3 ο. 63

Διάγραμμα Nyquist Εναλλακτικά η απόκριση συχνότητας μπορεί να παρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο. Σε πολική μορφή η απόκριση συχνότητας εκφράζεται ως: G jω e jωφ Im G jω G jω G jω Re G jω 64

Διάγραμμα Nyquist Σύστημα 1 ης τάξης: G s K τs 1 G jω K τjω 1 G jω K 1 τω 1 φ G jω tan τω G jω K j 1 1 Kτω τω τω G s 10s 1 65

Σύστημα ης τάξης: G s G s Διάγραμμα Nyquist ωn n n jω ζω jω ω ωn n n s ζω s ω G jω ω n ω ω 1 ζ ωn ω n 1 ζ ω ω n 1 ωωn G jω tan 1 4 1 4 G s. s s. 66

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Το κριτήριο ευστάθειας Bode περιορίζεται σε συστήματα όπου ο ανοικτός βρόχος είναι ευσταθής (όλοι οι πόλοι του ανοικτού βρόχου είναι στο ΑΗΕ). Επίσης η γωνία φάσης πρέπει να είναι μονοτόνως φθίνουσα κοντά στην κρίσιμη συχνότητα. Οι περιορισμοί αυτοί επιβάλλουν τη χρήση ενός πιο γενικευμένου κριτηρίου ευστάθειας στο πεδίο της συχνότητας. Το κριτήριο ευστάθειας Nyquist στηρίζεται στο θεώρημα του Cauchy για μιγαδικές συναρτήσεις. 67

Μαθηματικό υπόβαθρο Θεωρούνται μια συνάρτηση F(s) της μιγαδικής μεταβλητής s και μια κλειστή καμπύλη C του μιγαδικού επιπέδου. Επίσης θεωρείται ότι η καμπύλη C περικλείει Ζ μηδενικά και Ρ πόλους της συνάρτησης F(s) (οι πόλοι και τα μηδενικά δεν ανήκουν πάνω στην καμπύλη). Όταν η C διαγράφεται από τη μεταβλητή s, τότε η συνάρτηση F(s) τη μετασχηματίζει σε μια κλειστή τροχιά Τ στο μιγαδικό πεδίο. Im C Im T x F(s) x Re Re x pole zero 68

Μαθηματικό υπόβαθρο Ο αριθμός Ν των κυκλώσεων (μετρούμενες θετικά αν η κύκλωση γίνεται με την ίδια φορά με την οποία διαγράφει η μεταβλητή s την καμπύλη C και αρνητικά αν ισχύει το αντίθετο) της αρχής των αξόνων Ο από την απεικόνιση της συνάρτησης F(s) είναι ίσος με τη διαφορά Ζ-Ρ: N=Z-Ρ. Im C Im T x F(s) x Re Re x pole zero 69

Μαθηματικό υπόβαθρο Im C Im T x F(s) x Re Re x pole zero N=Ζ-Ρ=4-=. Άρα η F(s) μετασχηματίζει τη C σε κλειστή τροχιά Τ που κυκλώνει δύο φορές την αρχή των αξόνων με τη φορά που διαγράφεται η C. 70

Im x C Μαθηματικό υπόβαθρο Αυτό συμβαίνει διότι η γωνία (όρισμα) των διανυσμάτων (s-p) και (s-z) όταν τα p και z βρίσκονται εντός της καμπύλης C καθώς η μεταβλητή s διαγράφει τη C είναι π. Λαμβάνοντας υπόψιν ότι arg( G( s) ) = arg( s- z)-arg( s- p) η συνολική γωνία περιφοράς θα είναι π-π=0. Οι πόλοι και τα μηδενικά εκτός της καμπύλης δε συνεισφέρουν στη συνολική γωνία περιφοράς της απεικόνισης της F(s). F(s) Im Τ x Re Re x pole zero 71

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Για την ευστάθεια συστημάτων κλειστού βρόχου αρκεί να επιλέξουμε ως συνάρτηση την F(s)=1+G OL (s) (δηλαδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστού βρόχου). Μετατοπίζοντας οριζοντίως το σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται ως συνάρτηση η G OL (s) με το σημείο (-1,0) να αντικαθιστά την αρχή των αξόνων. Αυτό ονομάζεται σημείο Nyquist. Για να υφίσταται ευσταθής δυναμική συμπεριφορά πρέπει η 1+G OL (s) να μην έχει μηδενικά με θετικό πραγματικό μέρος (δηλαδή μηδενικά στο ΔΗΕ), άρα Ζ=0. 7

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Η καμπύλη C περικλείει λοιπόν όλο το δεξιό ημι-επίπεδο του μιγαδικού χώρου. Αυτό επιτυγχάνεται λαμβάνοντας τη C ως ημικύκλιο με ακτίνα r με κέντρο την αρχή των αξόνων (0,0). Im G OL (s) Im T C r Re Καμπύλη Nyquist * (-1,0) Re 73

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Ο αριθμός των κυκλώσεων Ν (θεωρούμενες θετικές αν διαγράφονται με την ίδια φορά που διαγράφεται η C και αρνητικές αν ισχύει το αντίθετο) του σημείου (-1,0) από την καμπύλη Τ της G OL (s), πρέπει να είναι αντίθετη με το πλήθος των πόλων της G OL (s) εντός της C (δηλαδή των πόλων του ανοικτού βρόχου που βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο): Δηλαδή να ισχύει Ν=-Ρ, ώστε τα μηδενικά της 1+G OL (s) να βρίσκονται στο αριστερό ημι-επίπεδο και το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. 74

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Ένα σύστημα ανάδρασης αυτόματου ελέγχου είναι ευσταθές αν και μόνο αν το πλήθος των κυκλώσεων του σημείου (-1,0) από την καμπύλη Τ, κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού (αρνητική) ισούται με το πλήθος των πόλων της G OL (s) οι οποίοι έχουν θετικό πραγματικό μέρος. Ένα σύστημα ανάδρασης αυτόματου ελέγχου είναι ευσταθές αν και μόνο αν η καμπύλη Τ δεν κυκλώνει το σημείο (-1,0) ενώ ταυτόχρονα το πλήθος των πόλων της G OL (s) στο δεξί ημι-επίπεδο είναι μηδέν (δηλαδή το σύστημα ανοικτού βρόχου είναι ευσταθές). 75

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Επιπλέον το πλήθος των μηδενικών της 1+G OL (s) στο δεξί ημι-επίπεδο θα ισούται με Ζ=Ν+Ρ. Ν: πλήθος των κυκλώσεων του (-1,0). Ρ: πλήθος των πόλων της G OL (s) στο δεξί ημι-επίπεδο. Για ευστάθεια το Ζ πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως για ευστάθεια Ν=-Ρ. 76

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Σε περίπτωση πόλων της G OL (s) στο φανταστικό άξονα τότε το σημείο αυτό δεν ανήκει στη C με την παράλειψή του μέσω ενός ημικυκλίου με ακτίνα r p 0. Im G s 10 s s 1 C r x r p 0 x Re 77

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Σύστημα με πραγματικούς πόλους. Ρ=0, Ν=0 και άρα Ζ=0. G s 10 s110s1 78

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Σύστημα με πόλο στην αρχή των αξόνων. G s 10 s s 1 Καμπύλη Nyquist Im C G(s) r x r p 0 x Re Ρ=0, Ν=0 και άρα Ζ=0 79

G jω Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Σύστημα με 3 πόλους. G s 1τ s 1 s τ s 1 1 1 1 1 4 K K τ τ jk ω ω τ τ jωτ jω 1τ jω 1 1 ω τ τ ω τ τ 1 1 1 K 1 G s 1 110s 1 s s Ρ=0, Ν=0 Ζ=0 ευσταθές G s 110s 1 s s Ρ=0, Ν= Ζ= ασταθές 80

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Παράδειγμα: Σύστημα με 3 πραγματικούς πόλους. G s 1τ s 1 s τ s K 1 Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει για να είναι το σύστημα ευσταθές προκύπτει από τον υπολογισμό της κρίσιμης συχνότητας όπου το διάγραμμα Nyquist τέμνει το σημείο (-1,0). Θέτοντας το φανταστικό μέρος ίσο με μηδέν: 1 1 1 1 4 1 ω τ1 τ ω τ1τ K τ τ jk ω ω τ τ G jω u jv 1 1 4 1 1 1 K ω ω τ τ v 0 0 1 ω τ τ ω 1 τ τ 1 ω τ τ ω τ τ τ 1 τ τ1 τ 1 1 ω 1 τ Τμήμα Μηχανολόγων 1τ Μηχανικών 1 1 Στη συχνότητα αυτή το πραγματικό μέρος υπολογίζεται ως: Ευσταθές K τ1 τ Kτ1τ Kτ1τ u 1 K 1. 1 4 1 ω τ τ ω τ τ 81

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Παράδειγμα: Σύστημα με 3 πραγματικούς πόλους. G s 1τ s 1 s τ s K 1 G s 11. 110s 1 s s Οριακά ευσταθές σύστημα. 8

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Παράδειγμα: Σύστημα με πόλο στο δεξί ημι-επίπεδο. G s K s s1 Bishop & Dorf, Κεφ. 9.3, Εκδόσεις Τζιόλα. Ρ=1 οπότε για ευστάθεια θα πρέπει Ν=-1 (δηλ. κύκλωση του (-1,0) κατά την αντίθεση φορά των δεικτών του ρολογιού). Για Κ=1 υπάρχει κύκλωση κατά τη θετική φορά οπότε Ζ= (δυο πόλοι του κλειστού βρόχου στο ΔΗΕ). 83

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Παράδειγμα: Σύστημα με πόλο στο δεξί ημι-επίπεδο. G jω G s 1 1 1 1 K11 Kjω K ω K jω K ω K jω 4 jω 1 ω ω K 1 K s 1 s s1 Μηδενισμός του φανταστικού μέρους συμβαίνει όταν: 1 K ω 0 ω 1 K Το πραγματικό μέρος στην κρίσιμη συχνότητα είναι: K ω u ω 1 1 K 4 Bishop & Dorf, Κεφ. 9.3, Εκδόσεις Τζιόλα. ω ω 1 K K K 1 Κ 1 =5, Κ =: Κύκλωση του (-1,0) με αρνητική φορά επομένως Ν=-1 και Ζ=1-1=0. 84

Κριτήριο ευστάθειας Nyquist Παράδειγμα: Σύστημα ης τάξης με ολοκληρωτικό πόλο. G s K s s s 14. Κ=, Ν= και επομένως Ζ=Ν+Ρ=+0=. Δυο πόλοι στο ΔΗΕ, άρα ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου. Ποια είναι η οριακή τιμή του κέρδους Κ για ευστάθεια; 85

Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Προσδιορίζει τη συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος στο πεδίο της συχνότητας. Σχεδιάζει το διάγραμμα Bode από τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Εξαγάγει τη συνάρτηση μεταφοράς ενός δυναμικού συστήματος από το διάγραμμα Bode. Εκτιμά την ευστάθεια του κλειστού βρόχου μέσω της απόκρισης συχνότητας του ανοικτού βρόχου. 86

Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Εφαρμόζει το κριτήριο ευστάθειας Bode για την εκτίμηση του εύρους των παραμέτρων ενός ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. Σχεδιάζει το διάγραμμα Nyquist από τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. 87

Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Εκτιμά την ευστάθεια ενός συστήματος κλειστού βρόχου με το κριτήριο ευστάθειας Nyquist. Εφαρμόζει το κριτήριο ευστάθειας Nyquist για την εκτίμηση του εύρους των παραμέτρων ενός ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές. 88

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Αθανάσιος Ι. Παπαδόπουλος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 014