ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση του, =,, = 0, II Ως προς τη βάση { ( ) ( )} (β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η απεικόνιση κανονική βάση του T (,) = (, 0) και ( 0,) (,) T T = και να βρείτε τον πίνακά της ως προς την (α) Έχουμε T(,) = T(, 0) + T( 0,) = T( e) + T( e) και T( 0,) = T( e ), έπεται ότι : T( e) = T( 0,) = (,) και T( e) = T(,) T( e) = (, 0) (,) = (, ) Άρα είναι: M T =, ως προς την κανονική βάση του e T e 0 0 Επιπλέον έχουμε: = = =Ρ, Ρ=, P =, 0 e e οπότε θα είναι 0 0 M ( T ) = P MTΡ= = 4 Θεωρούμε την ευθεία ε : x= t, y = t, z = t, t και την απεικόνιση T : απεικονίζει κάθε σημείο του στην ορθή προβολή του πάνω στην ευθεία ε (i) Να βρεθεί ο τύπος της T (ii) Να αποδείξετε ότι η T είναι γραμμική και να βρείτε τον πίνακά της ως προς την κανονική βάση του (iii) Να βρείτε μία βάση του πυρήνα της T Είναι η T ; (iv) Τι παριστάνει γεωμετρικά ο πυρήνας της T ; M α, βγ, και είναι κάθετο προς την Το επίπεδο Π που περνάει από το σημείο ( ) ευθεία ε έχει εξίσωση ( r rm ) = 0 ( ( xyz,, ) ( αβγ,, )) (,,) = 0 x+ y+ z α β γ= 0 Το σημείο M 0( α0, β0, γ 0) είναι η τομή του επιπέδου Π με την ευθεία ε, οπότε για την εύρεσή του επιλύουμε το σύστημα x = t, y = t, z = t x= t, y = t, z = t α + β + γ x+ y+ z α β γ = 0 t = 4 Άρα είναι που
T α + β + γ α + 4β + 6γ α + 6β + 9γ,, =,, 4 4 4 ( αβγ) (ii) Η γραμμικότητα της T προκύπτει με απλή εφαρμογή του ορισμού Επιπλέον έχουμε T (, 0, 0 ) =,, 4 4 4, 4 6 T ( 0,,0 ) =,, 4 4 4 Ο 6 9 T ( 0,0, ) =,, 4 4 4, οπότε θα έχουμε: x M T 4 4 4 4 6 e = = 4 6 4 4 4 4 6 9 6 9 4 4 4 ( ) z Σχήμα M ( α, βγ, ) M 0 ε y (iii) Άρα είναι = {( ) ( ) = ( )} = {( xyz,, ): x+ y+ z= 0,x+ 4y+ 6z= 0,x+ 6y+ 9z= 0} = {( x, yz, ) : x+ y+ z= 0 } = {( xyz,, ) : x= y z} = {( y zyz,, ): yz, } = { y(,,0) + z(,0, ) : yz, } = (,,0 ),(,0,) T = kert {( 0,0,0) } και η T δεν είναι - ker T xyz,, : T xyz,, 0,0,0 dim ker, οπότε (iv) Ο πυρήνας της T είναι το επίπεδο με εξίσωση x+ y+ z = 0 που περνάει από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετο προς την ευθεία ε Η γραμμική απεικόνιση f : απεικονίζει κάθε r = ΟΜ = xi+ yj ( x, y) στο διάνυσμα f () r = ΟΜ = x i+ y j ( x, y ), έτσι ώστε να ισχύουν: = k ΟΜ,ΟΜ = θ (σύνθεση στροφής ομοιοθεσίας) ΟΜ ΟΜ και ( ) (α) Να βρείτε τον πίνακά της ως προς την κανονική βάση του και τον τύπο της (β) Να αποδείξετε ότι η απεικόνιση f είναι σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας (α) Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: f () i = ( kco θ, ki θ), k > 0 και f ( j ) = ( ki θ, kco θ ), οπότε είναι: coθ iθ M f [ i, j ] = k iθ coθ (β) Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι:
coθ iθ k 0 coθ iθ M f [ i, j] = k iθ coθ = 0 k iθ co, θ δηλαδή είναι γινόμενο πίνακα ομοιοθεσίας με τον πίνακα στροφής 4 (α) Είναι r= OM = OK+ KM, OK =λ, οπότε r = λ + KM r = λ, αφού KM Άρα είναι r λ = και P () ε r = λr = (β) P ε () r = λr -λr = 0 () Ο y Μ Κ Ν ε x Αν είναι r, συγγραμμικά r = μ, μ * Σχήμα, τότε η ()γίνεται: ( μ λμ) r=0 λ =, αφού είναι 0και μ 0 Άρα ο λ = είναι ιδιοτιμή και το r= μ είναι ιδιοδιάνυσμα της P ε Αν τα r, είναι μη συγγραμμικά, τότε από την () προκύπτει ότι λ = 0 λ = 0 και r = 0 λ =0και r 5(α) Έχουμε Sε() r + r = Pε() r Sε () r = r+ r = 0 και (β) Sε () r = λr ( + λ) r+ = 0 () Αν r = μ, μ 0, τότε : () [ ( + λ) μ+ μ] =0 λ = 0 Άρα ο λ = 0 είναι ιδιοτιμή και το r = μ, μ 0 είναι ιδιοδιάνυσμα της S ε Αν r, μη συγγραμμικά, τότε () + λ = 0 r = 0 λ =, r 6(α) Πε ()+ r KM = r,όπου KM = α, α Άρα Πε () r + α= r, οπότε Π ε(r) + α = r Άρα είναι α = r z και Π ε(r) = r r (β) Κ Π ε(r) = λr ( λ) r =0 () Ο Αν r = μ, μ 0, τότε: x () [( λ ) μ+ μ] =0 λ = 0 Σχήμα Αν r, μη συγγραμμικά, τότε από την y
4 8 () έπεται ότι λ = και r =0 7 Όπως στην άσκηση 4 έχουμε P ε () r = και ιδιοτιμές λ =, λ = 0 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα r = μ, μ 0 και r Α λι = 0 ( λ)[( λ) ] = 0 λ = ήλ = 0ή = ιδιοδιανύσματα x = (, 0, ), x = (0,, 0), x = (, 0,) 0 ( ) ( ) 0 (διπλή) ή = λ με αντίστοιχα Β λι = λ λ = λ = λ με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x = (,0, ), x = (0,, ) και x = (,, 5) 0 ( λ ) 0 Γ λι = = λ =(τριπλή) με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα x = (0,,) Σχετικά με το πιθανό ερώτημα, αν διαγωνοποιούνται οι πίνακες Α, Β και Γ, έχουμε τα εξής: Οι πίνακες Α και Β διαγωνοποιούνται, ενώ ο Γ όχι Ισχύουν: 0 P P= diag(, 0, ), P = 0 0 και 0 0 P BP= diag(,, ), με P = 0, 5 ενώ ο πίνακας Γ δεν διαγωνοποιείται, αφού συνολικά αντιστοιχεί σε αυτόν ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα Λυμένες ασκήσεις Να βρεθούν οι πίνακες Μ ( ) που έχουν ιδιοτιμές λ =, λ =και λ = 0 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα: =(,,0), v=(,-,0) και w=(0,0,) Σύμφωνα με τη θεωρία, ο πίνακας οπότε λαμβάνουμε: 0 P = 0 διαγωνοποιεί τον πίνακα Α και ισχύει 0 0 P P= diag(,, 0), 0 0 = = = 0 0 0 Pdiag(,,0) P 0 0
5 Δίνεται ο πίνακας 4 4 4 = 6 6 5 6 6 5 (α) Να βρεθεί αντιστρέψιμος πίνακας Ρ, ο οποίος διαγωνοποιεί τον πίνακα Α (β) Να βρεθεί πίνακας Χ τέτοιος ώστε X = * (γ) Να υπολογιστεί ο πίνακας, (α) Ο πίνακας Α έχει ιδιοτιμές λ = 0, λ = και λ = 4 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x = (,, 0), x = (0,, ) και x = (,, ), οπότε ο πίνακας 0 P= [ x x x] = 0 με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του Α διαγωνοποιεί τον πίνακα Α, δηλαδή ισχύει ότι P P= diag(0,,4) D (β) Α= = Pdiag(0,,4) P P[ diag(0,,)] P = P diag P P diag P = X X = Pdiag P Ο πίνακας X δεν είναι μοναδικός (γ) Επαγωγικά αποδεικνύουμε ότι: 0 PD P = = P diag( 0,, 4 ) P, όπου P = 0 [ (0,,)] [ (0,,)],όπου (0,,) Αν ο πίνακας Μ ( C) είναι αντιστρέψιμος, να αποδείξετε ότι : ( ) (α) χ () t = t χ, t 0 det t (β) Αν λ είναι ιδιοτιμή του με αλγεβρική πολλαπλότητα a( λ ) =, να αποδείξετε ότι ο πολλαπλότητα λ είνα ι ιδιοτιμή του με αλγεβρική χ t Α t Αν t = λ 0 είναι ιδιοτιμή του Α πολλαπλότητας, τότε: χ () t = ( t λ) Π () t με και ( ) t () t = tι Α = tα Ι Α = ( t) Α t Ι Α = χ, t 0 Π ( λ) 0, οπότε θα είναι: χ = t t λ Π t με Π () t 0
6 αν ( ) t ( ) t λ χ () t = λ () t t t ϕ() t Π = Π =, Α t Α t λ t λ + ( ) λ όπου ϕ() t = t Π, που είναι πολυώνυμο ως προς t βαθμού Α t Άρα ο λ είναι ιδιοτιμή του Α με πολλαπλότητα 4 Να αποδείξετε ότι κάθε πίνακας Α Μ ( ) με det Α < 0 είναι διαγωνοποιήσιμος a b Αν είναι Α=, τότε c d () ( ) ( ) ( ) χ Α t = t a+ d t+ ad bc = t a+ d t+ det Α, το οποίο έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι ( ) 4det 0 Δ= a+ d Α> (λόγω της υπόθεσης det Α < 0 ) Επομένως ο πίνακας Α έχει δύο απλές ιδιοτιμές και σε αυτές αντιστοιχούν δύο γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, οπότε είναι διαγωνοποιήσιμος 5 Ο πίνακας = (a ) M ( ) λέγεται πίνακας κυρίαρχης διαγωνίου, ij aij < aii, για κάθε i =,,, j=,j i Να αποδείξετε ότι για κάθε ιδιοτιμή λ του Α ισχύει ότι: Έστω ( x x x ) [ x x x ] x = λ < maxa T i ιδιοδιάνυσμα του Α, αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ Τότε έχουμε Α x = λx a x + a x + + a x + + a x = λx, για κάθε i =,,, Άρα έχουμε Αν είναι i i ii i i i ax + ax= λ x, για κάθε i=,,, j=, j i ij j ii i i λx a x + a x a max x + a x i ij j ii i ij j ii i i j=, j i j=, j i < a max x + a x a max x, για κάθε i=,,, ii j ii i ii j i i xk : = max{ x j }, τότε η παραπάνω σχέση για i = k γίνεται j λx < a x λ x < a x λ < a max{ a } k kk k k kk k kk ii i ii
7 0 0 0 6 Να αποδείξετε ότι οι πίνακες Α= 0 0, Β= 0 0 0 0 0 0 ιδιοτιμές, αλλά δεν είναι όμοιοι έχουν τις ίδιες Ο πίνακας Β είναι διαγώνιος, ενώ ο πίνακας Α, όπως θα αποδείξουμε, δεν είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή όμοιος με διαγώνιο πίνακα Πράγματι, ο πίνακας Α έχει τον αριθμό διπλή ιδιοτιμή στην οποία αντιστοιχεί μόνο ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα, το (, 0, 0), οπότε δεν είναι διαγωνοποιήσιμος