μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0 y, B 0z πραγματικές σταθερές. Το ηλεκτρόνιο είναι αναγκασμένο να κινείται σε μια πολύ μικρή περιοχή του χώρου, με αμελητέες διαστάσεις, έτσι ώστε ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του είναι το σπιν του. Τη χρονική στιγμή t 0, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου αναπαρίσταται, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆz, δηλαδή στη βάση z;, z;, από τον σπίνορα 0. ) Υπολογίστε τον σπίνορα t που περιγράφει ακριβέστερα, που αναπαριστά την κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου τη χρονική στιγμή 0 0. t. Με άλλα λόγια, υπολογίστε τη χρονική εξέλιξη του σπίνορα ) Υπολογίστε τον σπίνορα t αν, τη χρονική στιγμή t 0, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή ˆz με ιδιοτιμή, δηλαδή η κατάσταση z;. Αν, επιπρόσθετα, το ομογενές μαγνητικό πεδίο βρίσκεται στο επίπεδο xy, υπολογίστε την πιθανότητα μιας πλήρους αντιστροφής του σπιν στον άξονα z τη χρονική στιγμή t 0. Λύση ) Θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες για να γράψουμε τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου, καθώς αυτό θα μας διευκολύνει, όπως θα διαπιστώσουμε παρακάτω. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου γράφονται B0 x B scos (1) B0 y B ss () B0 z B cos (3) όπου 0,, 0, η πολική και η αζιμουθιακή γωνία, αντίστοιχα. Τότε το μαγνητικό πεδίο B γράφεται B B s coseˆ s seˆ coseˆ (4) x y z Όμως το διάνυσμα s coseˆ s s eˆ cos eˆ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα x y z στην κατεύθυνση που ορίζουν οι γωνίες και. Αν συμβολίσουμε το μοναδιαίο αυτό διάνυσμα με ˆ, θα έχουμε ˆ s coseˆ s seˆ cos eˆ (5) x y z Με τη βοήθεια της (5), η (4) γράφεται

B B ˆ (6) Επειδή το ηλεκτρόνιο είναι πρακτικά σε ηρεμία, το σπιν του είναι ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του. Έτσι, η μαγνητική (διπολική) ροπή του ηλεκτρονίου οφείλεται μόνο στο σπιν του, δηλαδή ˆ ˆ (7) όπου είναι ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του ηλεκτρονίου. Η μαγνητική δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι ˆ ˆ ˆ U ˆ B B ˆ B ˆ B ˆ ˆ όπου ˆ ˆ είναι ο τελεστής του σπιν στον άξονα που ορίζει το διάνυσμα ˆ, είναι δηλαδή η προβολή του σπιν στον άξονα που ορίζει το διάνυσμα ˆ. Έτσι, λοιπόν, Uˆ B ˆ (8) Επειδή το ηλεκτρόνιο πρακτικά ακινητεί, η (8) είναι και η Χαμιλτονιανή του, δηλαδή Hˆ B ˆ (9) Από την (9) βλέπουμε ότι η ποσότητα ˆ, ως τελεστής στροφορμής, έχει διαστάσεις B έχει διαστάσεις 1. Πράγματι, ο τελεστής t, δηλαδή διαστάσεις ενέργειας επί χρόνο. Για να έχει το γινόμενο Bˆ διαστάσεις ενέργειας όπως πρέπει αφού ισούται με τη Χαμιλτονιανή θα πρέπει η ποσότητα Έτσι, η ποσότητα B να έχει διαστάσεις 1 t. B έχει διαστάσεις κυκλικής συχνότητας,. Η ποσότητα Bt είναι αδιάστατη και μπορούμε να τη θεωρήσουμε ως μια (χρονοεξαρτώμενη) φάση. Στη βάση z;, z;, οι τελεστές ˆ, ˆ x y, και ˆz αναπαριστώνται, αντίστοιχα, από τους πίνακες x 0 1, 1 0 y 0, 0 z 1 0 0 1 Στην ίδια βάση, ο τελεστής ˆ αναπαρίσταται από τον πίνακα cos s exp (10) s exp cos Για την απόδειξη της (10), δείτε το Παράρτημα στο τέλος της άσκησης. Στη βάση z;, z;, η Χαμιλτονιανή (9) αναπαρίσταται από τον πίνακα

H B (11) Με τη βοήθεια της (10), η (11) γράφεται B cos s exp H (1) s exp cos Ο πίνακας (1), όπως και ο πίνακας (10), είναι ερμιτιανός, αλλά δεν είναι διαγώνιος. Όπως αποδεικνύουμε στο Παράρτημα, οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι, και αυτές είναι οι ιδιοτιμές και του αντίστοιχου τελεστή ˆ., η προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα είναι ή, όπως συμβαίνει και στους κύριους άξονες x,y,z. B Από τη σχέση (11) συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του H είναι, και αυτές είναι οι ιδιοτιμές και του αντίστοιχου τελεστή Ĥ, δηλαδή της Χαμιλτονιανής. Επομένως, οι δυνατές τιμές της ενέργειας του σπιν του ηλεκτρονίου μέσα στο B ομογενές μαγνητικό πεδίο τυχαίας διεύθυνσης είναι. Τη χρονική στιγμή t 0, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου, στη βάση z;, z;, αναπαρίσταται από τον σπίνορα t όπου at bt a b (13) 1 Μάς δίνεται ότι ο αρχικός σπίνορας είναι χρονική εξέλιξη του σπίνορα 0 και μάς ζητείται να υπολογίσουμε τη 0 αν η Χαμιλτονιανή αναπαρίσταται από τον πίνακα (1). Η χρονική εξέλιξη μιας κβαντικής κατάστασης καθορίζεται, όπως ξέρουμε, από την εξίσωση του chrodger, η οποία για τον σπίνορα t γράφεται t H t t (14) Αν αντικαταστήσουμε τις (1) και (13) στη (14), καταλήγουμε σε ένα συζευγμένο ομογενές σύστημα δύο γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο δεν μπορούμε να αποσυζεύξουμε παραγωγίζοντας άλλη μια φορά, όπως κάναμε στην προηγούμενη άσκηση. Για να λύσουμε το σύστημα, πρέπει να διαγωνοποιήσουμε τον H πίνακα του συστήματος, ο οποίος, όπως βλέπουμε από τη (14), είναι ο πίνακας, Ht και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τον εκθετικό πίνακα exp, που δεν είναι

Ht ˆ άλλος από την αναπαράσταση του τελεστή της χρονικής εξέλιξης exp για την περίπτωση χρονοανεξάρτητης Χαμιλτονιανής, όπως είναι η Χαμιλτονιανή του συστήματός μας. Ο ζητούμενος σπίνορας t U t 0 όπου U t (15) Ht exp (16) t τότε γράφεται ο τελεστής (πίνακας) της χρονικής εξέλιξης του συστήματος. Με τη βοήθεια της (11), η (16) γράφεται U t exp (17) Για να υπολογίσουμε τον πίνακα (17), θα διαγωνοποιήσουμε πρώτα τον πίνακα. Οι ιδιοτιμές του είναι τα είναι cos (με ιδιοτιμή ) s exp s (με ιδιοτιμή cos exp και τα αντίστοιχα, κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα ) Για τον υπολογισμό των προηγούμενων ιδιοδιανυσμάτων, ανατρέξτε στο Παράρτημα στο τέλος της άσκησης. Ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον είναι ο πίνακας cos s P s exp cos exp Ο αντίστροφος του P είναι ο πίνακας P 1 (18) cos exp s 1 (19) P s exp cos

όπου P είναι η ορίζουσα του P, δηλαδή cos s P cos exp s exp s exp cos exp cos s exp exp P exp (0) 1 a b Θυμίζουμε ότι για έναν x πίνακα B με μη μηδενική ορίζουσα, c d 1 ad cb 0, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας B, ο οποίος είναι 1 1 d b B ad cb c a 1 1 Μπορούμε εύκολα, κάνοντας τις πράξεις, να διαπιστώσουμε ότι BB B B I. Με τη βοήθεια της (0), η (19) γράφεται P 1 cos exp s cos s exp 1 exp s exp cos s cos exp P 1 cos s exp (1) s cos exp Αφού ο P διαγωνοποιεί τον, ισχύει ότι 1 PP () όπου είναι ο διαγωνοποιημένος πίνακας, με στοιχεία τις ιδιοτιμές του, με τη σειρά που τοποθετήσαμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ως στήλες του πίνακα P. Επομένως 0 1 0 0 1 0 z

(3) z Οπότε, η () γράφεται 1 PzP (4) Με τη βοήθεια της (4) παίρνουμε P P P P P P 1 1 1 z z z I Έστω ότι Τότε P P z 1 P P P P P P 1 1 1 1 1 z z z I Επομένως 1 Pz P (5) * για κάθε Ο τελεστής χρονικής εξέλιξης (17) γράφεται U t Όμως exp t t πίνακας αριθμός (μεταβλητή) Επομένως 0! 1 U t Pz P!!! 0 0 0 P P z 0! 1

1 U t P z P (6) 0! Επειδή ο z είναι διαγώνιος, ο z z 1 0 0 1 1 0 0 1 Έστω ότι 1 0 0 1 z Τότε z υπολογίζεται εύκολα. Πράγματι 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 z 1 1 0 (7) 0 1 z για κάθε Για 0 *, η (7) ισχύει ταυτοτικά I I. Με τη βοήθεια της (7), η (6) γράφεται

1 0 1 0! 0 1 U t P P 1 1 0 0 0 1 0!! 0 1 0! P P P P 0 1 1 0 exp 0 0! 0 exp 0! P P P P 1 exp 0 0 exp U t P P (8) Όμως 1 exp 0 0 exp P P exp 0 cos s cos s exp s exp cos exp s cos exp 0 exp

exp cos exp s exp cos s s exp cos exp exp s exp cos exp Όμως cos exp s exp cos s cos cos s s cos s 1 cos cos s cos cos cos s s cos s cos exp s exp cos s cos Επίσης είναι (30)

s cos exp exp exp s cos exp s s exp s s cos exp exp exp s exp s (31) Από την (31) παίρνουμε s cos exp exp exp s exp s (3) Επίσης είναι s exp cos exp cos s cos s cos s cos s 1 cos cos s cos s cos s cos cos s s exp cos exp cos s cos Με τη βοήθεια των (30) (33), ο πίνακας (9) γράφεται (33)

U t cos s cos s exp s (34) s exp s cos s cos Ο πίνακας (34) είναι ο πίνακας της χρονικής εξέλιξης του συστήματός μας, δηλαδή ενός ακίνητου ηλεκτρονίου ουσιαστικά ενός σπιν 1 που βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης, που 0, και από την αζιμουθιακή γωνία καθορίζεται από την πολική γωνία 0, ή, ισοδύναμα, από το διάνυσμα ˆ s coseˆ s seˆ cos eˆ. Ο συζυγής πίνακας U t U είναι ο x y z cos s cos s exp s (35) s exp s cos s cos Από τις (34) και (35) μπορούμε να δείξουμε, κάνοντας τις σχετικές πράξεις, ότι ο πίνακας U είναι μοναδιακός, δηλαδή UU U U I Προτρέπουμε τον αναγνώστη να κάνει τις σχετικές πράξεις. Έχοντας υπολογίσει τον πίνακα U t από τη σχέση (34), υπολογίζουμε τη χρονική εξέλιξη του σπίνορα 0 από τη σχέση (15), t U t 0. ) Μάς δίνεται ότι, τη χρονική στιγμή t 0, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η κατάσταση ; z. Στη βάση z;, z; 0 αναπαρίσταται από τον σπίνορα. Επομένως 1 0 0 (36) 1, η κατάσταση z; Η χρονική εξέλιξη του σπίνορα (36) δίνεται από τη σχέση (15) με τη βοήθεια του πίνακα (34).

t U t 0 cos s cos s exp s 0 1 s exp s cos s cos Bt sexp s cos s cos t Bt sexp s (37) cos s cos Βλέπουμε ότι για t 0, η (37) μάς δίνει τον αρχικό σπίνορα Επίσης από την (37) παίρνουμε t t 0, όπως πρέπει. 1 Bt sexp s s exp s cos s cos cos s cos s exp s s exp s cos s cos cos s cos s s cos s cos s s cos cos s cos 1 1

t t 1 Ο σπίνορας (37) είναι κανονικοποιημένος. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού ο αρχικός 0 σπίνορας είναι κανονικοποιημένος και ο πίνακας χρονικής εξέλιξης (34) είναι 1 μοναδιακός, επομένως διατηρεί το μέτρο. Το ότι ο πίνακας της χρονικής εξέλιξης είναι μοναδιακός είναι απόρροια του γεγονότος ότι ο πίνακας της Χαμιλτονιανής, δηλαδή ο πίνακας (1), είναι ερμιτιανός. Αν, επιπρόσθετα, το μαγνητικό πεδίο B βρίσκεται στο επίπεδο xy, τότε B 0 0, B0 z 0 B cos 0 Για, ο σπίνορας (37) γράφεται t Bt exp s (38) Bt cos 0 Παρατηρήστε ότι για t 0, ο σπίνορας (38) μάς δίνει τον αρχικό σπίνορα, ως 1 οφείλει. Αν, μια χρονική στιγμή t 0, το σπιν αντιστραφεί στον άξονα z, δηλαδή αν η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η κατάσταση z;, τότε έχουμε πλήρη αντιστροφή του σπιν στον άξονα z. 1 Στη βάση z;, z;, η κατάσταση z; αναπαρίσταται από τον σπίνορα. 0 Το πλάτος της πιθανότητας, τη χρονική στιγμή t 0, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου να είναι η κατάσταση z;, δηλαδή να συμβεί πλήρης αντιστροφή του σπιν στον άξονα z, είναι Bt exp s Bt 1 0 exp s Bt cos Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι

Pz-flp exp s s P Αν z-flp s Bt (39) s 1 1 0 1 t 1, B Όταν t P 1 z-flp 1, το οποίο σημαίνει ότι το σπιν στον άξονα z B είναι πλήρως αντεστραμμένο. Παράρτημα - Η προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα Ορίζουμε την προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα (5), ως το εσωτερικό γινόμενο του τελεστή του σπιν με το μονάδιαιο διάνυσμα, δηλαδή ˆ όπου ˆ ˆ (1) ˆ s coseˆ s seˆ cos eˆ () και ˆ ˆ eˆ ˆ eˆ ˆ eˆ (3) x x y x z x x y z Με τη βοήθεια των () και (3), η (1) γράφεται ˆ ˆ s cos ˆ s s ˆ cos (4) x y z Στη βάση z;, z;, οι τελεστές ˆ, ˆ, ˆ x y z αναπαρίστανται από τους πίνακες 0 1 0 1 0 x, y, z 1 0 0 0 1 Επομένως, στη βάση z;, z;, ο τελεστής ˆ αναπαρίσταται από τον πίνακα

0 1 0 1 0 s cos s s cos 1 0 0 0 1 cos s cos s s s cos s s cos cos s cos s s cos s cos cos s exp s exp cos cos s exp (5) s exp cos Όπως βλέπουμε από την (5), ο πίνακας είναι ερμιτιανός, ως οφείλει, αφού παριστάνει παρατηρήσιμο μέγεθος (την προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα). Ας βρούμε τώρα τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. Η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα γράφεται cos s exp x x s exp cos y y cos s exp x x s exp cos y y cos s exp x 0 (6) y s exp cos x 0 x Πρέπει, διαφορετικά το διάνυσμα είναι γραμμικά εξαρτημένο και y 0 y επομένως δεν μπορεί να είναι ιδιοδιάνυσμα. Έτσι, η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος (6) πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή cos s exp s exp cos 0 cos cos s 0 cos cos s 0 cos cos s 0 s cos 1 cos s 0 1 0 1

, οι ιδιοτιμές του πίνακα, επομένως και του αντίστοιχου τελεστή ˆ είναι. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα μπορεί να έχει δύο τιμές, και, όπως στους άξονες x,y,z. Ας βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα. Για, το σύστημα (6) γράφεται cos 1 s exp x cos 1 x s exp y 0 0 s exp cos 1 y s exp x cos 1 y cos 1 x s exp y 0 (7) s exp x cos 1 y 0 Η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος (7) είναι μηδέν, οπότε οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Η πρώτη εξίσωση μάς δίνει 1 cos x y y x (8) s cos 1 s exp 0 exp Για να γράψουμε την (8) έχουμε σιωπηλά θεωρήσει ότι s 0, δηλαδή 0,. Θυμίζουμε ότι 0, τις περιπτώσεις όπου 0 ή.. Ωστόσο, τα ιδιοδιανύσματα που θα βρούμε καλύπτουν και Αν χρησιμοποιήσουμε τις γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες cos 1 s και s s cos η (8) γράφεται s s y exp x y exp x (9) s cos cos Επομένως, το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα με ιδιοτιμή είναι το x s exp x cos Από τη συνθήκη κανονικοποίησης θα πάρουμε

s cos 1 s s 1 1 x exp x 1 x x cos cos cos 0, x cos x cos Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x cos Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα με ιδιοτιμή είναι το cos cos s exp cos s exp cos Το προηγούμενο κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση z;, z;, την ιδιοκατάσταση του τελεστή ˆ με ιδιοτιμή (σπιν-πάνω στον άξονα ). cos ; (10) s exp Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα με ιδιοτιμή s cos exp (σπιν-κάτω στον άξονα ) είναι το s ; (11) cos exp

Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.c. sosta@hotmal.com