ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση στην υπενθύµιση µεθοδολογικών στοιχείων από την θεωρία Άσκηση µονάδες) a b c α) µονάδες) ίνεται ο ) πίνακας Α d e όπου a, b, c, d, e, f είναι πραγµατικοί f αριθµοί Αν γνωρίζουµε ότι : i) ο πίνακας Α απεικονίζει το σηµείο στο σηµείο και το σηµείο στο του τρισδιάστατου χώρου R και ότι ii) det A 8, να βρείτε τον πίνακα Α - β) 8 µονάδες) Να βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α - - - και στη συνέχεια µε την βοήθεια των ιδιοδιανυσµάτων του Α να διαγωνοποιήσετε τον πίνακα Α, α δηλαδή να βρείτε πίνακα Ρ έτσι ώστε Ρ - ΑΡ β και να βρείτε τις τιµές των α, β, γ) γ Παρατηρείτε κάποια ιδιότητα του πίνακα Α; Τι συνέπειες έχει για τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατά του; a b c α b c α) Από την i) έχουµε ότι d e και d e - f f Εκτελώντας τον πολλαπλασιασµό των πινάκων οι προηγούµενες σχέσεις δίνουν αντίστοιχα a c a b c e και d e οι οποίες καταλήγουν στο σύστηµα των εξισώσεων f f {a b c, a c, d e, e, f } που ισοδυναµεί µε το {a b c, a c, d, e, f } Από τη ii) όµως deta)8 και επειδή ο Α είναι άνω τριγωνικός έχουµε ότι deta)a d f το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του) οπότε a d f 8 και λόγω του ότι d - και f έχουµε a-) 8 δηλαδή a -/ Αντικαθιστώντας αυτήν την τιµή στο σύστηµα, από την δεύτερη εξίσωση έχουµε a c, άρα c/ και µε αντικατάσταση των τιµών του a και c στην abc έχουµε b-/ -/ -/ / Αρα Α - β) Οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του πίνακα Α που δίδεται από τον τύπο A λi το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α ορίζεται επίσης ως λi A, το οποίο διαφέρει το πολύ ως προς το πρόσηµο από το A λi και προφανώς οι ρίζες παραµένουν οι ίδιες): ΠΛΗ_-
- λ - A λi - - λ - αναπτύσσουµε ως προς την πρώτη γραµµή) - -λ λ - - λ) λ) [- λ)- λ)-] )- λ) κοινός παράγων) - - λ -λ λ) λ λ ) λ) λ ) λ ), µε ρίζες λ,, Στην συνέχεια βρίσκουµε µία βάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιµή λτα διανύσµατα για την βάση βρίσκονται λύνοντας το οµογενές γραµµικό σύστηµα µε πίνακα συντελεστών τον Α-λΙ Αρκεί να κάνουµε πράξεις στις γραµµές του Α-λΙ καθώς ο επαυξηµένος πίνακας για το οµογενές γραµµικό σύστηµα έχει την τελευταία στήλη µηδενική που παραµένει αµετάβλητη από τις πράξεις στις γραµµές) Καταλήγουµε σε κλιµακωτή µορφή απ όπου είναι εύκολο να βρούµε την γενική λύση του οµογενούς συστήµατος και να γράψουµε την ζητούµενη βάση ιδιοδιανυσµάτων: Για λ -, - - - Α--)Ι - - - - - - - - a - - Λύσεις a a, άρα e a Για λ, - - Α-)I - - - - a Λύσεις a, άρα e a Για λ, - - Α- Ι - - - - - - - - a - - Λύσεις a a a - άρα e Οπότε P -, D και ισχύει PDP A - δηλαδή P AP D ΠΛΗ_-
Παρατηρούµε τέλος ότι επειδή ο πίνακας Α είναι συµµετρικός πραγµατικός, από το φασµατικό θεώρηµα σελ 7 ) προκύπτει ότι έχει ιδιοδιανύσµατα τα οποία είναι ανα δύο ορθογώνια µεταξύ τους εφ όσον αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές), δηλαδή το εσωτερικό γινόµενο ανά των διανυσµάτων που αποτελούν τις στήλες του Ρ είναι µηδέν, όπως φαίνεται και από το ως άνω αποτέλεσµα Από τον Ρ προκύπτει ορθογώνιος πίνακας Q που διαγωνοποιεί τον Α κανονικοποιώντας τις στήλες του Ρ γράφοντας τον δηλαδή σαν / / / 6 T Q / - / 6 οπότε ικανοποιείται η σχέση QQ / -/ / 6 ένα ορθογώνιο πίνακα ως αυτόν που έχει ως αντίστροφο τον ανάστροφό του I, η οποία ορίζει ΠΛΗ_-
Άσκηση 8 µονάδες) f : R R ίνεται η απεικόνιση: :, y, z) y z, y z, y z) α) µονάδες) Αποδείξτε ότι είναι γραµµική και βρείτε τον πίνακά της ως προς τις κανονικές βάσεις του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών της β) 6 µονάδες) Βρείτε βάσεις του πυρήνα Kerf και της εικόνας Imf της f Λύση α) Σύµφωνα µε τον ορισµό αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε λ,µ και,, ) y z έχουµε: f λ, y, z ) µ, y, z )) λ f, y, z )) µ f, y, z )) Οντως,, ) y z, f λ, y, z ) µ, y, z )) f λ µ, λ y µ y, λ z µ z )) πράξεις στον λ µ ) λ y µ y) λ z µ z), λ µ ) λ y µ y) λ z µ z), από τον ορισµό της f ) λ µ ) λ y µ y ) λ z µ z )) λ [ y z] µ [ y z], λ [ y z] µ [ y z], λ [ y z ] µ [ y z ]) λ y z, y z, y z) µ y z, y z, y z ) πράξεις στις συνιστώσες) πράξεις στον R ) λ f, y, z )) µ f, y, z )) από τον ορισµό της f ) Το πεδίο ορισµού είναι ο R µε την συνήθη κανονική διατεταγµένη) βάση Β {e, e, e } όπου e,,), e,,), e,,) και το πεδίο τιµών ο ίδιος χώρος R ) R µε την ίδια βάση) Χρησιµοποιώντας την συνήθη βάση, έχουµε την ευκολία να βρίσκουµε τον πίνακα στήλη των συντελεστών του διανύσµατος, y, z ), ως προς αυτήν, άµεσα: [ ] B y z Ο πίνακας της f ως προς τις συνήθεις κανονικές) βάσεις του πεδίου ορισµού R ) και του πεδίου τιµών της επίσης ), f e ), f e ) Υπολογίζουµε: [ f e ] R ) είναι ο πίνακας µε στήλες [ f e ] [ ] [ ] ), B ) B [ f e ] και [ f e ] B ), B B B ΠΛΗ_-
οπότε ο πίνακας της f ως προς τις συνήθεις βάσεις είναι ο Α και έχει την ιδιότητα να ικανοποιεί την σχέση [ f yz,, )] B A[ ] B που επαληθεύουµε άµεσα y z από την y z y y z z β) Λόγω της προηγούµενης ιδιότητας του πίνακα της f για να βρούµε µία βάση του πυρήνα Kerf και µία βάση της εικόνας Imf αρκεί να µετασχηµατίσουµε τον Α σε κλιµακωτή µορφή χρησιµοποιώντας πράξεις στις γραµµές: Α 7 7 /7 7 7 /7 /7 Ετσι αφού ο πυρήνας της f είναι Kerf {, y, z) / f, y, z) } αρκεί να λύσουµε το γραµµικό οµογενές σύστηµα AX Από την παραπάνω κλιµακωτή µορφή του Α έχουµε ότι όλες οι λύσεις δίνονται από a/7 /7 y a/ 7 a / 7, z a Συνεπώς µία βάση του Kerf είναι {-/7,/7,)} Σηµείωση:Το διάνυσµα της βάσης -/7,/7,) µπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε µη µηδενικό πολλαπλάσιό του, πχ το -,,7) Για την εικόνα Imf: Επειδή f,y,z) f e y e z e ) fe ) y fe ) z fe ), έπεται ότι Imf παράγεται από τα fe ), fe ), fe ) Συνεπώς για να βρούµε µία βάση της Imf αρκεί να βρούµε µία βάση του χώρου στηλών του πίνακα Α Αυτό όµως είναι φανερό από την κλιµακωτή µορφή του πίνακα Α: οι πρώτες δυο στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητες και η τρίτη είναι γραµµικός συνδυασµός των δύο πρώτων στηλών τρίτη -/7) πρώτη /7) δεύτερη) Το ίδιο ισχύει και για τον πίνακα Α: οι δύο πρώτες στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητες και η τρίτη έχει την ίδια ακριβώς εξάρτηση από τις δύο πρώτες όπως και η αντίστοιχη της κλιµακωτής µορφής! Ετσι µία βάση της Imf δίνεται από το σύνολο {fe ), fe )} δηλαδή {,,), -, -, )} Σηµείωση: στην προκειµένη περίπτωση που ο πίνακας έχει µικρή διάσταση και έχουµε υπολογίσει την διάσταση του πυρήνα, µπορούµε να βρούµε πιο σύντοµα µία βάση της εικόνας έχοντας υπ όψιν ότι αφού dim Imf dim R - dim Kerf - και ελέγχοντας ότι τα δύο διανύσµατα fe ), fe ) δεν είναι παράλληλα µεταξύ τους ΠΛΗ_-
Άσκηση µονάδες) Θεωρείστε το παρακάτω σύστηµα: 6 y y 6y 6z z α z 6 β Βρείτε τις τιµές των α και β ώστε το σύστηµα αυτό: ι) Να µην έχει λύση ιι) Να έχει άπειρες λύσεις και ιιι) Να έχει µοναδική λύση Το σύστηµα έχει την µορφή A b ος τρόπος: Απαλοιφή Gass 6 6 6 6 α β 6 α β Γ Γ Γ Γ Γ Γ α β Γ Γ Γ α β 8 ) Αν a, δηλαδή a, το σύστηµα έχει µοναδική λύση ) Αν a, δηλαδή a, τότε α ) αν β 8, το σύστηµα δεν θα έχει καµία λύση είναι αδύνατο β )Για α - και για β -8 το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις Ετσι: ι) το συστηµα δεν έχει λύση όταν a και β 8 ιι) έχει άπειρες λύσεις όταν a και β 8 και ιιι) έχει µοναδική λύση όταν a Σηµείωση: Με χρήση οριζουσών έχουµε τα ακόλουθα: Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D,D y, D z Αν D τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση D, y D y D D, Dz z D Αν D τότε: Αν D ή Dy ή Dz το σύστηµα είναι αδύνατο Αν D και D y και D z, αυτό αποτελεί αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να είναι το σύστηµα αόριστο Πρέπει να ελεγχθεί τι ακριβώς συµβαίνει σε κάθε περίπτωση Στη δική µας περίπτωση, όπου α - σηµαίνει D, D Dy Dz ικανοποιούνται για β -8 και το σύστηµα είναι πράγµατι αόριστο, όπως προκύπτει και από την ως άνω απαλοιφή κατά Gass 6 ΠΛΗ_-
Άσκηση µονάδες) Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: α), β), γ)!, δ) ε) α) Ισχύει ότι < <, για κάθε και η σειρά σελ ) µε λόγο /, απολύτως µικρότερο της µονάδος Αρα η σειρά µε το κριτήριο σύγκρισης,σελ 6) συγκλίνει ως γεωµετρική σειρά συγκλίνει σύµφωνα β) Η σειρά είναι θετικών όρων ) a ) a ) Αρα σύµφωνα µε το κριτήριο του λόγου η σειρά συγκλίνει < γ) Η σειρά είναι θετικών όρων και σύµφωνα µε το κριτήριο του λόγου έχουµε: a )!! Αρα η σειρά a )!! συγκλίνει! δ) Επειδή >, από το κριτήριο σύγκρισης σελ 6) προκύπτει ότι η σειρά αποκλίνει, καθώς η σειρά αποκλίνει αρµονική σειρά σελ ) ε) Παρατηρούµε ότι < < / Άρα από το κριτήριο της σύγκρισης µε p -σειρά όπου p > σελ) προκύπτει ότι η σειρά συγκλίνει 7 ΠΛΗ_-
Άσκηση µονάδες) ίνεται η συνάρτηση ) ) ) f i) µονάδες) Να βρεθούν τα σηµεία όπου η συνάρτηση τέµνει τους άξονες X, Y ii) 8 µονάδες) Να βρεθούν και χαρακτηρισθούν τα ακρότατα και τα σηµεία καµπής και να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης i) Για η τιµή της f, y f ) Η f παίρνει την τιµή y, όταν - ή ½ Υπολογίζουµε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο: df ) ) ) ) ) ) d d f ) [ ) )] d Η πρώτη παράγωγος µηδενίζεται για τις τιµές ± d f ) Επειδή για ½, >, το σηµείο ½, ) είναι τοπικό ελάχιστο d d f ) Επειδή για - ½, <, το σηµείο -½, ) είναι τοπικό µέγιστο d d f ) Για τα σηµεία καµπής: οι τιµές του όπου µηδενίζεται η δευτερη παράγωγος d d f ) είναι και επειδή το πρόσηµο της αλλάζει εκατέρωθεν του το σηµείο, ) d είναι σηµείο καµπής f - - f - - f TM, ΣΚ, ) TE, 8 ΠΛΗ_-
Επιπλέον lim f ), lim f ) τώρα να γίνει εύκολα Άσκηση 6 8 µονάδες) και η γραφική παράσταση της συνάρτησης µπορεί Χρησιµοποιώντας τον κανόνα L Hospital, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια si t cos ) i) µονάδες) lim, lim t t si ii) µονάδες) Βρείτε τις τιµές των λ και µ για τις οποίες η συνάρτηση λ < f) είναι παραγωγίσιµη στο µ e > i) si t si t)' si tsi t)' si tcost lim lim lim lim t t t t )' t t t t si t si t) ' cos t lim lim lim lim cos t cos t t t t ' t t ) cos ) cos )' ' cos si lim lim lim si si )' ' cos si si cos si cos cos cos si lim lim lim si si cos cos si lim cos ii) Αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο θα πρέπει να είναι και συνεχής στο Συνεπώς: lim f ) lim f ) f) ηλαδή: e µ e µ µ µ µ / µ lim f ) lim lim e L' Hospital λ λ lim f ) lim lim µ f ) Για να είναι η f παραγωγίσιµη στο θα πρέπει οι πλευρικές παράγωγοι στο να είναι ίσες ηλαδή f )f -): 9 ΠΛΗ_-
e f ) f) lim lim e lim e e lim lim / / L ' Hospital L ' Hospital µ λ f ) f) lim lim λ lim ) λ lim λ ) f ' ) λ Παρατήρηση: Θα µπορούσαµε να λύσουµε την άσκηση χωρίς την εµπλοκή της συνέχειας απαιτώντας µόνο να ορίζονται οι πλευρικές παράγωγοι στο µηδέν, δηλαδή να είναι πεπερασµένοι αριθµοί και ίσες µεταξύ τους: µ e µ / µ f ) f) lim lim e µ e lim lim L ' Hospital Για να είναι το προηγούµενο όριο πραγµατικός αριθµός πρέπει και αρκεί µ Σε αυτή την περίπτωση / e e έχουµε lim lim L ' Hospital ηλαδή για µ, η από δεξιά παράγωγος στο υπάρχει και ισούται προς ½ Συνεχίζοντας έχουµε ότι η από αριστερά παράγωγος ισούται προς λ οπότε λ/ Μία παρατήρηση ακόµη: Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ανάπτυγµα Taylor για να βρούµε την συνθήκη ώστε το όριο να υπάρχει και να το υπολογίσουµε: ) µ µ µ µ e µ ) µ e o ) Αρα o ), οπότε το όριο, όταν!! µ, υπάρχει αν και µόνο αν µ και ισούται προς ΠΛΗ_-
ΠΛΗ_- Άσκηση 7 6 µονάδες) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: ) ) d I 9 d I d I Χρησιµοποιείστε την αντικατάσταση θ cos ) d I ) ) 9 Πριν από όλα παρατηρούµε ότι ο αριθµητής του κλάσµατος διαρείται ακριβώς µε το -) οπότε γράφουµε 9 -) 6 9) -) ), 9 6 ) ) ) ) ) ) 9 και εποµένως d d d d I 8 8 8 9 6 C d d d d I 6ta ) l ) Η παραπάνω ανάλυση του κλάσµατος έγινε επειδή µπορούσαµε να πάρουµε ένα ολοκλήρωµα του οποίου ο αριθµητής είναι η παράγωγος του παρονοµαστή οπότε παίρνουµε λογάριθµο, ενώ το δεύτερο είναι γνωστό από τους πίνακες d I ) Θέτουµε d d Έχουµε, c c d d d d I ) Θέτουµε w, οπότε dwd και το ολοκλήρωµα γίνεται c c d d d d I ) Παρατήρηση: Το ίδιο θα µπορούσαµε να παρατηρήσουµε και για το αρχικό κλάσµα ως προς : δηλαδή µε την αντικατάσταση w, έχουµε dw)d κλπ
I d Για θέτουµε cosθ, οπότε θ cos µε θ π ιαφορίζοντας έχουµε d siθ dθ Η ολοκληρωτέα ποσότητα γίνεται cos cos si si θ θ θ θ επειδή για θ π, siθ ) Αρα siθ siθ ) dθ si θdθ Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα cos θ si θ έχουµε cosθ si θ, οπότε cos Ι - θ si θ d θ θ c θ si θ c θ si θ cos θ c I θ cos θ) cos θ c cos c ΠΛΗ_-
Άσκηση 8 µονάδες) i) µονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα Ι d και Ι l d ii) µονάδες) Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης να αποδείξετε τον τύπο: l ) I I, όπου I l ) d iii) µονάδες) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Ι i) I d I l d l l l d d l l l ii) I l ) d l ) d l ) l ) d l ) I Αρα I l) I, iii) Χρησιµοποιώντας τον παραπάνω αναδροµικό τύπο παίρνουµε: Για I l) -I Για I l) -I Για I l-i 9 I l ) [l ) I] l ) [l ) l ] l ) 6l ) 6 l 9 Αρα I l ) l ) l 8 ΠΛΗ_-
Άσκηση 9 µονάδες) α) 7 µονάδες) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor κέντρου την συνάρτηση f ) Ποια είναι η ακτίνα σύγκλισης; Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε ότι, < ) β) 7 µονάδες) Αναπτύξτε σε σειρά Forier την συνάρτηση f), -π<<π 9α) Θεωρούµε γνωστό ότι η σειρά Taylor κέντρου για την συνάρτηση την σειρά που συγκλίνει για <, και αποκλίνει παντού αλλού και ότι, δίδεται από, < Στον προηγούµενο τύπο θέτουµε όπου το - και έχουµε: ) ) ) τότε και µόνον τότε όταν <,δηλαδή <, δηλαδή < Αρα, λόγω µοναδικότητας, η σειρά Taylor κέντρου για την συνάρτηση f ) έχει ακτίνα σύγκλισης ίση προς και δίδεται από την ) 9β) H λύση βρίσκεται στην σελ 97 βιβλίου «Λογισµός µίας µεταβλητής» µε µία επιπλέον παρατήρηση που διευκολύνει τους υπολογισµούς: Ο υπολογισµός των συντελεστών β είναι άµεσος καθώς η συνάρτηση που έχουµε να αναπτύξουµε είναι άρτια αφού για στο διάστηµα [-π, π], -) Ετσι έχουµε ότι β,,,, ΠΛΗ_-
Άσκηση µονάδες) α) µονάδες) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καµπύλες y και y β) µονάδες) Να βρεθεί ο όγκος εκ περιστροφής του µικρότερου χωρίου που ορίζεται από τον κύκλο y 6 και την ευθεία y γύρω από τον άξονα των χ α) Βρίσκουµε τα σηµεία τοµής των δύο καµπύλων λύνοντας το σύστηµα το δύο εξισώσεων: y y y y y y y y y ή y και ή και y y Συνεπώς το ζητούµενο εµβαδόν χωρίου είναι: ) ) ) y y dy y dy y dy y y β)βρίσκουµε τα σηµεία τοµής των δύο καµπύλων λύνοντας το σύστηµα το δύο εξισώσεων: y 6 και ή και y y y ο όγκος εκ περιστροφής του µικρότερου χωρίου που ορίζεται από τον κύκλο y 6 και την ευθεία y γύρω από τον άξονα των χ δίνεται από το ολοκλήρωµα: V π 6 ) ) d π 6 ) ) d π 6 6 8 ) d π 8 ) d π 8 6 8 9 8 6π π88 π 6 π ΠΛΗ_-