ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι επαγόµενοι αρακτήρες αποτελούν ένα θεµελιώδες και βαθύ τµήµα της θεωρίας αναπαραστάσεων οµάδων Εµείς εδώ θα περιοριστούµε στα πλέον απαραίτητα για το θεώρηµα του Frobenus Για περισσότερες πληροφορίες παραπέµπουµε στο βιβλίο του Serre, [] 9 Επαγόµενοι Χαρακτήρες Έστω (πεπερασµένη, όπως πάντα) οµάδα και Η υποοµάδα της Για κάθε αρακτήρα της Η θα κατασκευάσουµε ένα αρακτήρα της Αν φ : C είναι συνάρτηση, ορίζουµε µια συνάρτηση φ : C φ(, φ ( = 0, αν αν g g Ορίζουµε την επαγόµενη συνάρτηση κλάσεων φ : C g φ ( ) = φ ( x gx ) () x Ισύει φ cf (), γιατί αν g = y gy, y, έουµε φ ( g ) = φ ( x y gyx) = φ ( z gz) = φ ( x Έστω / { s,, s }, οπότε λέµε ότι οι s,, s είναι αντιπρόσωποι των συµπλόκων της Η στη Τότε αν φ cf ( ) ισύει z = m m φ ( φ ( s gs ) () = m Πράγµατι, από την ξένη ένωση = s s η () δίνει Τώρα φ = m m ( = φ ( h s gsh) () = h
9 φ ( h gs ) h) = φ gs ), (4) γιατί αν ) τότε s gs, τότε και τα δύο µέλη της (4) είναι µηδέν, ενώ αν ) φ ( h gs ) h) = φ( h gs ), φ gs ) = φ( s gs ) s gs φ( h gs ) h) = φ( s gs ), αφού φ cf ( ), οπότε πάλι ισύει η (4) Η () προκύπτει από τις () και (4) Παρατήρηση Έστω φ cf ( ) ) Για =, έουµε φ = φ ) Για τυαία Η ισύει φ ( ) = [ : ] φ() Με <,, <, συµβολίζουµε τα εσωτερικά γινόµενα στους διανυσµατικούς > > ώρου cf ( ), cf () αντίστοια, που µελετήσαµε στην 7 Αν θ cf (), µε θ συµβολίζουµε τον περιορισµό της συνάρτησης θ στο Η Βέβαια θ cf ( ) 9 Θεώρηµα Αµοιβαιότητας του Frobenous Με τους προηγούµενους συµβολισµούς έστω φ cf ( ) και θ cf () Τότε < φ, θ > =< φ, θ > Απόδειξη: Το αποτέλεσµα προκύπτει από έναν απλό υπολογισµό: < φ, θ > = φ ( g = φ ( x gx) (από ()) = g x φ ( y) xyx y x = φ( y) y) (γιατί θ cf ( )) = g x φ( y) y) y ) =< φ, θ > 9 Πόρισµα Αν φ είναι αρακτήρας της Η, τότε φ είναι αρακτήρας της
94 Απόδειξη: Γνωρίζουµε ότι φ cf () Επιπλέον η προηγούµενη παρατήρηση δίνει φ 0 Από την άσκηση 7 αρκεί να δείξουµε ότι < φ, > N για κάθε ανάγωγο αρακτήρα της Από το θεώρηµα αµοιβαιότητας του Frobenous έουµε < φ, πόρισµα 78) > => φ, >, και γνωρίζουµε ότι φ, > N (δες για παράδειγµα το < 9 Παράδειγµα και Σόλιο Έστω = D8, η διεδρική οµάδα του παραδείγµατος 7 Έστω ο αρακτήρας της αναπαράστασης ρ που κατασκευάσαµε εκεί το υπολογίστηκε στην αρή της 7: ( ) =, ( ) =, και ( = 0 g, a a Θεωρούµε τώρα τον αρακτήρα ψ της υποοµάδας < a > D, ψ ( ) =, ψ ( a ) =, 8 ψ( a ) =, ψ ( a ) = Ένα σύστηµα των αντιπροσώπων της < a > στη είναι D 8 Με ρήση της () υπολογίζουµε s =, s = b ψ () =, ψ ( a) = ψ ( a) + ψ ( bab) = ψ ( a) + ψ ( a ) = + ( ) = 0 ψ ( a ) = ψ ( a ) + ψ ( ba b) = ψ ( a ) + ψ ( a ) = + ( ) = Συνείζοντας, διαπιστώνουµε ότι ψ =, δηλαδή ο είναι επαγόµενος αρακτήρας Γνωρίζουµε ότι ο είναι ανάγωγος όπως είδαµε µετά το πόρισµα 76 Ο υπολογισµός του <, > µπορεί να γίνει και ως εξής: Από το θεώρηµα αµοιβαιότητας του Frobenus για =< a > έουµε <, > =< ψ, > Υπολογίζοντας έουµε < ψ, = 4 ( ψ() () + ψ( a) ( a) + ψ( a ) ( a ) ψ( a ) ( a ) ) > + = ( + 0 + ( )( ) + ( )0) = 4 Άρα <, =, και κατά συνέπεια ο είναι ανάγωγος (πόρισµα 76) Παρατηρήστε > ότι ο παραπάνω υπολογισµός δεν απαιτεί την a pror γνώση της αναπαράστασης ρ Εδώ έγκειται η σηµασία των επαγόµενων αρακτήρων: κατασκευάζουµε αρακτήρες της από αρακτήρες µικρών -για παράδειγµα κυκλικών- υποοµάδων (Αν είµαστε τυεροί οι ανάγωγες συνιστώσες θα είναι νέοι αρακτήρες της ) Φυσικά δεν είµαστε σίγουροι ότι λαµβάνονται έτσι όλοι οι αρακτήρες της (καθώς το Η διατρέει τις κυκλικές
95 υποοµάδες της ) ες όµως το θεώρηµα του Artn στο βιβλίο του Serre, [; 9 Corollary] 9 Θεώρηµα Συµπληρωµάτων του Frobenous Χρειαζόµαστε έναν τρόπο εντοπισµού κανονικών υποοµάδων ρησιµοποιώντας αρακτήρες (δες την άσκηση 77) 9 Λήµµα Έστω αρακτήρες της και K = { g, ( = ()} Τότε το Κ είναι κανονική υποοµάδα της Απόδειξη: Έστω ρ : L n ( C) αναπαράσταση της µε αρακτήρα Θα δείξουµε ότι Ker ρ = K Η σέση Kerρ K είναι προφανής Έστω ( = ( ) Τότε ρ( είναι διαγώνιος πίνακας της µορφής ωi (απόδειξη του πορίσµατος 85) Επειδή ( = () παίρνουµε ω = Άρα g Kerρ( και συνεπώς K = Kerρ Το K = { g ( = ()} = Keρρ συµβολίζεται µε Ker 9 Πόρισµα Ισύει Irr( ) Ker = Απόδειξη: Έστω g στοιείο του αριστερού σκέλους, οπότε ( = () για κάθε Irr() Για τον αρακτήρα της κανονικής αναπαράστασης έουµε reg reg = x () (λήµµα 7 )), οπότε ( = () 0 Άρα g = από το λήµµα 7 reg ) ιατυπώνουµε τώρα το θεώρηµα συµπληρωµάτων του Frobenus Μια υποοµάδα Η της ονοµάζεται συµπλήρωµα του Frobenus αν g g = για κάθε g Για παράδειγµα η < ( ) > S είναι συµπλήρωµα του Frobenus 9 Θεώρηµα Συµπληρωµάτων του Frobenus Έστω συµπλήρωµα του Frobenus Τότε το υποσύνολο
96 N = g g g v{} είναι κανονική υποοµάδα της Επιπλέον ισύει = N και N = Για την απόδειξη ρειαζόµαστε δύο λήµµατα που αφορούν συµπληρώµατα του Frobenus Ακολουθούµε τον Isaacs [8, σελ 7-9] 94 Λήµµα Έστω συµπλήρωµα του Frobenus Έστω φ, θ cf ( ) µε φ( ) = 0 Τότε ) ( φ ) = φ ) < θ, φ > =< θ, φ > Απόδειξη: ) Έστω h Πρέπει να δείξουµε ότι φ ( h) = φ( h) Για h = ισύει φ ( ) = [ : ] φ() = 0 = φ() Έστω h Γνωρίζουµε ότι φ ( h) = φ ( x hx) Αν x, τότε xx = από την υπόθεση Άρα h xx και συνεπώς x hx, οπότε φ ( x hx) = 0 Έτσι x h φ ( ) = φ( x hx ) x Επειδή φ cf ( ), η τελευταία ισότητα δίνει φ ( h) = φ( h) ) Έουµε < θ, φ > =< θ,( φ ) > από το ) Το θεώρηµα αµοιβαιότητας του Frobenus δίνει οπότε προκύπτει το ζητούµενο < θ,( φ ) > =< θ, φ > 95 Λήµµα Έστω συµπλήρωµα του Frobenus και Irr( ) Τότε υπάρει Irr() µε τις ιδιότητες ) =
97 ) Ker g g g Απόδειξη: Το λήµµα ισύει βέβαια αν = (ο τετριµµένος αρακτήρας της Η) Εστω Θέτουµε φ = ( ) cf ( ) Από το θεώρηµα αµοιβαιότητας του Frobenus έουµε < φ Oρίζουµε cf ( ) και παρατηρούµε οτι, > =< φ, > =<, > () <, >= () = ϕ + <, > () = 0 (5) Επιπλέον το είναι Ζ-γραµµικός συνδυασµός του Irr() γιατί το ίδιο συµβαίνει για το φ (πράγµα που προκύπτει από Επειδή φ( ) = 0 το λήµµα 94 ) δίνει φ = () και το πόρισµα 9) < φ Επίσης έουµε λόγω της (5) <, φ > =< φ, φ > =<, > + () = + () < φ, φ > =<, > + () Συνεπώς, > = Επειδή το είναι Ζ-γραµµικός συνδυασµός του Irr() συµπεραίνουµε από το θεώρηµα 75 ότι = ±ψ, όπου ψ Irr() Από το λήµµα 94 ) έουµε ( φ ) = φ, οπότε ( () ) = () πράγµα που δίνει ( ) = Συνεπώς = ψ Irr( ) ) Έστω x g g Τότε ( x) = 0, δηλαδή ( () = 0 Έτσι g φ g ( ) = () = () από το ) Άρα g Ker Απόδειξη του θεωρήµατος 9 Για Irr( ), έστω Irr( ) που δίνεται από το λήµµα 95 Γνωρίζουµε ότι N Ker Θέτουµε
98 M = Irr( ) Ker Τότε M (λήµµα 9), N M Επειδή = (λήµµα 95) ισύει M = Ker = από το πόρισµα 9 Επειδή M = και M ισύει Irr( ) M g g = για κάθε g Άρα M N Συνεπώς M = N και το Ν είναι κανονική υποοµάδα της Μένει να δειτεί ότι = N Ο πληθάριθµος του συνόλου { g g g } είναι ο δείκτης [ : N ( )], όπου N ( ) είναι η κανονικοποιούσα οµάδα της Η στη (Αυτό προκύπτει, για παράδειγµα, από δράσεις) Αλλά N ( ) = λόγω της υπόθεσης στο Η Έουµε N = ( g g { ]) = [ : ]( ) = [ : ] g Επειδή N = παίρνουµε N = N Οι δύο τελευταίες σέσεις δίνουν N = [ : ] =, και εποµένως N = Μέρι και σήµερα δεν υπάρει απόδειξη του θεωρήµατος των συµπληρωµάτων του Frobenus που να αποφεύγει αρακτήρες και αναπαραστάσεις Ασκήσεις Κάθε ανάγωγος αρακτήρας της περιέεται ως συνιστώσα σε κάποιον επαγόµενο αρακτήρα της, Στην απόδειξη του θεωρήµατος 9 ποια σέση συνδέει τους αρακτήρες και Έστω ψ ανάγωγος αρακτήρας της Η Τότε < ψ, ψ > [ : ] 4 Έστω [ : ] = Τότε για κάθε ανάγωγο αρακτήρα της Η ισύει είναι
99 ανάγωγος ή το άθροισµα δύο ανάγωγων του αυτού βαθµού 5 Έστω, αρακτήρας της Η και ψ αρακτήρας της Αποδείξετε ότι ( ) ψ = ( ψ ) 7 6 Έστω η οµάδα =< a, b a = b =, ab = ba > τάξης Οι κλάσεις συζυγίας 4 5 6 είναι, { a, a, a }, { a, a, a }, { a b = 0,,6}, { a b = 0,,6} Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα αρακτήρων, όπου ω + ω + = 0 g C( 4 5 a a 7 7 Υπόδειξη: Έστω b ω ω b ω ω =< a > και ε πρωταρική 7-ρίζα της µονάδας Έστω ψ Irr( ), ψ( a) = ε Υπολογίστε τον αρακτήρα ψ ρησιµοποιώντας την () από την 9 Υπολογίστε το < ψ ψ, > και συµπεράνετε ότι ο ψ είναι ανάγωγος 4 5 Θέτοντας = ψ, βρείτε τώρα τον από τις σέσεις ορθογωνιότητας Για επαλήθευση, οι τελευταίες δύο γραµµές του πίνακα αρακτήρων της είναι 4 ε + ε + ε 5 ε + ε + ε 6 5 ε + ε + ε 4 ε + ε + ε 6 0 0 0 0 7 Αφού αποδείξετε ότι ο µοναδικός ανάγωγος αρακτήρας της βαθµού ( 7) είναι επαγόµενος αρακτήρας από την A, βρείτε την ανάγωγη ανάλυση του n = S