Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1α 1β 1γ 2α 2β Σύνολο Κ Ε
ΑΜ: Σελ. 2 από 6 Θέμα 1α [Δεν παίρνει μονάδες, αλλά μόνο αν είναι σωστό θα βαθμολογηθούν τα υπόλοιπα ερωτήματα αυτού του θέματος]. Έστω τύποι ϕ, ψ, χ της Προτασιακής Λογικής, όπου ο ϕ είναι ταυτολογία, ψ αντιλογία (δηλαδή δεν είναι ικανοποιήσιμος) ενώ για τον χ γνωρίζουμε ότι αυτός και η άρνησή του είναι ικανοποιήσιμοι τύποι. Ποιος ή ποιοι από τους παρακάτω μεταγλωσσικούς ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Ο τύπος ((ψ ϕ) χ) είναι ταυτολογία. (II) Ο τύπος ((ϕ ψ) χ) είναι ταυτολογία. (III) O τύπος ((χ ψ) ψ) είναι ικανοποιήσιμος. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ο ισχυρισμός (Ι) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (2) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙ) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (3) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙI) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (4) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙII) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (5) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (6) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (ΙI) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (7) Ουδείς αληθεύει. (8) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό σε αυτό το φύλλο θεμάτων είναι το (6) (η αρίθμηση διαφέρει από φύλλο σε φύλλο).
ΑΜ: Σελ. 3 από 6 Θέμα 1β [2,5 μονάδες]. Να αποδείξετε προσεκτικά, σε δεκαπέντε το πολύ γραμμές ότι δεν υπάρχει τύπος της Προτασιακής Λογικής ο οποίος χρησιμοποιεί οκτώ ακριβώς σύμβολα και δεν περιέχει το σύμβολο της άρνησης. Απάντηση: Θα αποδείξουμε πρώτα ότι οποιοσδήποτε τύπος χωρίς άρνηση που δεν είναι είναι προτασιακό σύμβολο έχει πέντε ή περισσότερα σύμβολα. Πράγματι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι ένας τέτοιος τύπος πρέπει να έχει τη μορφή (ϕ ψ), όπου διμελής λογικός σύνδεσμος και ϕ, ψ τύποι οι οποίοι περιέχουν ένα τουλάχιστον σύμβολο. Έστω τώρα ότι υπήρχε τύπος με οκτώ σύμβολα. Όπως αναφέραμε πριν θα είχε τη μορφή (ϕ ψ), όπου τώρα οι ϕ, ψ έχουν μαζί πέντε ακριβώς σύμβολα. Αυτό όμως είναι αδύνατο αφού πέντε τουλάχιστον, ή ένα ακριβώς, σύμβολα έχει ο καθένας.
ΑΜ: Σελ. 4 από 6 Θέμα 1γ [2,5 μονάδες]. Έστω {ϕ 1,..., ϕ n } μη ικανοποιήσιμο σύνολο τύπων της Προτασιακής Λογικής. Να αποδείξετε, σε δέκα το πολύ γραμμές, ότι για οπoιοδήποτε τύπο ψ, ο τύπος είναι ταυτολογία. (ϕ 1 ( (ϕ n ψ) )) Απάντηση: Θεωρούμε οποιαδήποτε απονομή αληθοτιμών v. Επειδή {ϕ 1,..., ϕ n } δεν είναι ικανοποιήσιμο, υπάρχει i = 1,..., n τέτοιο ώστε v(ϕ i ) = F. Έστω i 0 το μικρότερο εξ αυτών. Τότε προφανώς v((ϕ i0 ( (ϕ n ψ) ))) = T, και v(ϕ j ) = T για κάθε j < i. Επομένως v((ϕ 1 ( (ϕ i0 (... (ϕ n ψ) ))))) = T.
ΑΜ: Σελ. 5 από 6 Θέμα 2α [3 μονάδες]. Έστω γλώσσα που περιέχει την ισότητα, ένα διθέσιο συναρτησιακό σύμβολο και ένα διθέσιο κατηγορηματικό σύμβολο <. Ορίστε το διάστημα (0, 1) στη δομή R, R, R, με σύμπαν τους πραγματικούς αριθμούς, ερμηνεία του τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πραγματικών αριθμών, και ερμηνεία του < την σχέση του «μικρότερος είτε ίσος» στους πραγματικούς αριθμούς. Η απάντησή σας να δοθεί σε δέκα το πολύ γραμμές, παραθέτοντας απλώς τύπους και τα σύνολα που ορίζουν, χωρίς άλλη εξήγηση. Απάντηση: Πρώτα ορίζουμε το {1} μέσω του τύπου: ϕ 1 (x) = y(x y = y). Έπειτα ορίζουμε το {0} μέσω του τύπου: ϕ 0 (x) = (x x = x) ϕ 1 (x). Οπότε ορίζουμε το (0, 1) μέσω του τύπου: ϕ (0,1) (x) = y z(ϕ 0 (y) ϕ 1 (z) (x = y) (x = z) (y < x) (x < z)).
ΑΜ: Σελ. 6 από 6 Θέμα 2β [2 μονάδες]. Θεωρούμε γλώσσα με ισότητα και ένα διθέσιο κατηγορηματικό σύμβολο <. Θεωρούμε τη δομή N < = N, < N με σύμπαν τους φυσικούς και ερμηνεία του < τη σχέση γνήσιας διάταξης μεταξύ φυσικών. Έστω A i, i = 0,, 1,... οικογένεια υποσυνόλων του N τέτοια ώστε η διμελής σχέση φυσικών (x, i) R ανν x A i είναι ορίσιμη στη δομή N < μέσω του τύπου ϕ(x, i). Να ορίσετε στη δομή αυτή το ελάχιστο στοιχείο του i=1 A i. Η απάντησή σας να δοθεί παραθέτοντας σε μία γραμμή τύπο (καθαρογραμμένο) που ορίζει το ελάχιστο, χωρίς άλλη δικαιολογία ούτε σχόλιο. Απάντηση: Η ϕ min (z) παρακάτω ορίζει το ζητούμενο: x i(ϕ(x, i) ((z < x) (z = x))) j(ϕ(z, j)).