Το θεώρηµα του Green

57

58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη Jordn Είναι ένα βαθύ τοπολογικό θεώρηµα που ανήκει τον Jordn ότι: Κάθε απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου απουνδέει το επίπεδο, δηλαδή το R είναι ένωη δύο ξένων ανοικτών και υνεκτικών υνόλων Α και Β ύνολο [ ] ώτε το ένα είναι φραγµένο και το άλλο µη φραγµένο Το φραγµένο ύνολο ονοµάζεται και εωτερικό και το µη φραγµένο εξωτερικό της καµπύλης Ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του R ονοµάζεται και χωρίο Jordn αν είναι το εωτερικό µιας καµπύλης Jordn του επιπέδου Είναι βέβαια αφές ότι ένα χωρίο Jordn είναι απλά υνεκτικό ( δηλαδή δεν έχει τρύπες) Υπενθυµίζουµε ότι όλες οι καµπύλες που θεωρούµε ( ειδικότερα ε χέη µε επικαµπύλια ολοκληρώµατα ) είναι κατά τµήµατα υνεχώς διαφορίιµες Ένα ανοικτό και φραγµένο υπούνολο R θα λέµε ότι έχει κατά τµήµατα οµαλό ύνορο, αν το ύνορο του αποτελείται από ένα πεπεραµένο πλήθος απλές κλειτές καµπύλες οι οποίες είναι ξένες ανά δύο Στην περίπτωη που το είναι επί πλέον υνεκτικό το ύνορο του αποτελείται από µια εξωτερική καµπύλη c και κάποιες εωτερικές καµπύλες c, c,, c N ( = c c cn ) Όταν ολοκληρώνουµε µια υνάρτηη πάνω το ύνορο του οι εωτερικές καµπύλες c, c,, c N προανατολίζονται αρνητικά και η εξωτερική καµπύλη c προανατολίζεται θετικά (αντιωρολογιακά), δηλαδή ούτως ώτε να αφήνουν το ύνολο τα αριτερά των Η ύµβαη αυτή δηλώνεται υµβολικά γράφοντας = c c c cn υπονοώντας µε τον τρόπο αυτό τον τρόπο που γίνεται η ολοκλήρωη επί του Παρατήρηη Με διαφορετική ορολογία ένα φραγµένο ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του επιπέδου µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο είναι ένα ανοικτό και υνεκτικό πολλαπλά υνεκτικό υπούνολο του R του οποίου το ύνορο αποτελείται από ένα πεπεραµένο ύνολο καµπύλων Jordn ηλαδή ένα ανοικτό υνεκτικό υπούνολο του R που φράεται από ένα πεπεραµένο ύνολο καµπύλων Jordn ιαιθητικά ένας τόπος του R ( ανοικτό και υνεκτικό ύνολο) είναι πολλαπλά υνεκτικός αν έχει ένα πεπεραµένο αριθµό από τρύπες Έτι διακρίνουµε τους πολλαπλά υνεκτικούς τόπους ε τόπους υνεκτικότητας n, n, αν έχουν n αριθµό από τρύπες Τόπος υνεκτικότητας Τόπος υνεκτικότητας 5 Τόπος υνεκτικότητας

59 Παραδείγµατα = Β= εξωτερικό της δηλ απλά υνεκτικός [ ] R :, καµπύλη Jordn Ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο Με τις παραπάνω υµβάεις το θεώρηµα του Green διατυπώνεται ως ακολούθως 5 Θεώρηµα ( του Green ) Έτω R ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο του οποίου το ύνορο είναι κατά τµήµατα οµαλό Αν p και q είναι πραγµατικές υναρτήεις οι οποίες είναι οριµένες και C ε µια περιοχή του, τότε ιχύει ο τύπος: q p ( pdx+ qdy) = dxdy Όπου, αν = c c cn, τότε το αριτερό µέλος της παραπάνω ιότητας ιούται µε ( pdx+ qdy) = ( pdx+ qdy) ( pdx+ qdy) c k= c k εν θα δώουµε πλήρη απόδειξη του θεωρήµατος του Green Θα αποδείξουµε όµως τον αναλυτικό πυρήνα αυτού του ηµαντικού αποτελέµατος ο οποίος εντοπίζεται την περίπτωη που το είναι ένα ανοικτό τοιχειώδες χωρίο Ένα N

6 ανοικτό τοιχειώδες χωρίο είναι βέβαια απλά υνεκτικός τόπος που φράεται από µια καµπύλη Jordn 5 Λήµµα Έτω R ένα ανοικτό χωρίο τύπου και Υποθέτουµε ότι η υνάρτηη p είναι C ε µια περιοχή του Τότε p pdx= dxdy y ( όπου pdx= pdx+ qdy µε q= ) Απόδειξη: το ύνορό του Υποθέτουµε ότι το περιγράφεται από τις χέεις x ϕ x y ϕ x, όπου,, :[, ] R είναι ( x) ϕ ( x) για κάθε x (, ) ϕ ϕ ϕ C υναρτήεις µε Το ύνορο του είναι µια θετικά προανατολιµένη καµπύλη η οποία ύµφωνα µε το χήµα γράφεται ως = + + + ( το πρόηµο δηλώνει την αντίθετη καµπύλη ), όπου,,, είναι οι καµπύλες: t ( t) = t, ϕ( t), t [, ], ( t) = (, t), t ϕ, ϕ, t t, ϕ t [, ], ( t) = ( t), t ϕ, ϕ, =, Από το θεώρηµα του Fuini µπορούµε να υπολογίουµε το διπλό ολοκλήρωµα ως ένα διαδοχικό ολοκλήρωµα και µετά να χρηιµοποιήουµε το θεµελιώδες θεώρηµα του Απειροτικού Λογιµού: p () ( x, y) dxdy (, ) x ϕ( x ) p = x y dy dx ϕ = (, ϕ) (, ϕ) Από την άλλη µεριά θα έχουµε: p x x p x x dx pdx= pdx+ pdx pdx pdx Αφού το x είναι ταθερό πάνω τα ίχνη των καµπύλων και θα έχουµε pdx= pdx= ϕ pdx= ( p, t,) (,) dt =, οµοίως Πράγµατι, ϕ pdx= ( Η φυική ερµηνεία του µηδενιµού αυτών των ολοκληρωµάτων είναι ότι αν πχ η p( x y ) (,,) θεωρηθεί ως δύναµη που µετακινεί το ηµείο εφαρµογής της κατά µήκος του κατακόρυφου ευθύγραµµου τµήµατος (, ϕ ),(, ϕ ) τότε δεν παράγει έργο αφού είναι κάθετη ε αυτό) ' pdx= ( p( t, t ),) (, ϕ( t) ) dt = (, ϕ) Επίης θα έχουµε: ϕ p t t dt =

6 (, ϕ) p x x dx ' ( (, ϕ),), ϕ pdx= p t t ( t ) dt = (, ϕ) p t t dt = p x, ϕ( x) dx Εποµένως, () (, ϕ) (, ϕ) ( ) pdx= p x x dx p x x dx = p x, ϕ( x) p x, ϕ x dx Έπεται από τις () και () ότι p pdx= dxdy y Σηµειώνουµε ότι µπορεί να αποδειχθεί και το ανάλογο του παραπάνω Λήµµατος µε τους ρόλους των x και y αντετραµµένους 5 Λήµµα Έτω ένα ανοικτό χωρίο τύπου µε ύνορο το Αν η q υνάρτηη q είναι C ε µια περιοχή του, τότε qdy = dxdy x Η απόδειξη αυτού του Λήµµατος είναι όµοια µε την προηγούµενη και έτι παραλείπεται Σηµειώνουµε µόνο ότι το αρνητικό πρόηµο απουιάζει την περίπτωη αυτή, εφόον η αντιτροφή των ρόλων των x και y ηµαίνει και αλλαγή του προανατολιµού του επιπέδου Ένα παράδειγµα χωρίου τύπου και η διάπαη του θετικά προανατολιµένου υνόρου του ε προανατολιµένες επί µέρους καµπύλες = {(, ) : < < και ψ < < ψ } ( t) = ( ψ ( t) t), t [ c, d], ( t) = ( t, c), t ψ ( c), ψ ( c) ( t) = ψ ( t) t, t [ c, d], ( t) = ( t d), t ψ ( d), ψ ( d) x y c y d y x y,, = + +, Από τα προηγούµενα λήµµατα λαµβάνοµε αµέως την ακόλουθη ειδική αλλά ηµαντική περίπτωη του θεωρήµατος του Green

6 5 Πρόταη ( Green) Έτω ένα ανοικτό χωρίο τύπου και το ύνορό του Υποθέτουµε ότι οι πραγµατικές υναρτήεις p και q είναι C ε µια περιοχή του Τότε q p pdx+ qdy= dxdy Παρατηρήεις ) Ο παραπάνω τύπος αποδεικνύεται µε λίγο περιότερη δουλειά και για τοιχειώδη χωρία που είναι είτε του τύπου ή του τύπου Περαιτέρω αποδεικνύεται µε µη τετριµµένα γεωµετρικά επιχειρήµατα ότι ένα ανοικτό υνεκτικό και φραγµένο ύνολο µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο ( που είναι για εµάς η γενική περίπτωη του θεωρήµατος του Green ) διαπάται ε ένα πεπεραµένο πλήθος από τοιχειώδη χωρία,, m, που το καθένα είναι είτε τύπου είτε τύπου κατά τέτοιο τρόπο ώτε, ( m = k= k και m = k= k ) Το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται το καθένα από τα k, k m και ο τύπος του Green έπεται την γενική περίπτωη προθέτοντας τα αποτελέµατα Σύµφωνα µε την παρατήρηη παρακάτω η διάπαη του αρκεί να γίνει την περίπτωη που το είναι χωρίο Jordn Οι παραπάνω δύο εξιώεις αποδεικνύονται εύκολα ( την περίπτωη της διάπαης του ε τοιχειώδη χωρία,, m ) Αρκεί να παρατηρήουµε αν τα k και λ µε k < λ m έχουν ένα κοινό τµήµα το ύνορό τους ( τα εωτερικά τους είναι βέβαια ξένα ) τότε το τµήµα αυτό εµφανίζεται µε διαφορετικό προανατολιµό και απλοποιείται το άθροιµα m ( πρβλ και την παρατήρηη ()) k= k ) Το θεώρηµα του Green είναι πολύ ηµαντικό εφόον υνδέει ένα επικαµπύλιο ολοκλήρωµα (β είδους ) πάνω το ύνορο ενός χωρίου του επιπέδου µε ένα διπλό ολοκλήρωµα το εωτερικό του χωρίου Σε πολλές περιπτώεις είναι ευκολότερο να υπολογίουµε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα απ ότι το διπλό ολοκλήρωµα Το θεώρηµα του Green θεωρείται και αυτό όπως και το θεώρηµα 5 της ελίδας 7 ένα ανάλογο του θεµελιώδους θεωρήµατος του Απειροτικού Λογιµού Πράγµατι αν Ι R διάτηµα,, R µε < και F : Ι R C υνάρτηη τότε όπως γνωρίζουµε F '( t) dt = F F Εδώ το ύνορο του = [, ] είναι το διύνολο {, } Θα πρέπει να τονίουµε ότι αν και αποδείξαµε το θεώρηµα του Green την ειδική περίπτωη ενός τοιχειώδους χωρίου ( τύπου ), τα χωρία τα οποία εµφανίζονται την πράξη είναι τις περιότερες περιπτώεις εύκολο να χωριθούν ε τοιχειώδη χωρία ούτως ώτε να εφαρµόζεται η παρατήρηη () ) Ιδιαίτερα το θεώρηµα του Green ιχύει για ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο R που φράεται από µια καµπύλη Jordn c, δηλαδή είναι χωρίο Jordn και άρα απλά υνεκτικός τόπος

6 Αξίζει να ηµειωθεί ότι η γενικότερη περίπτωη που το είναι πολλαπλά υνεκτικός τόπος ( που φράεται από πεπεραµένο πλήθος καµπύλων Jordn ) ανάγεται την περίπτωη του απλά υνεκτικού τόπου ( που φράεται από µια καµπύλη Jordn ) Έτι αν ο είναι τόπος υνεκτικότητας n ( µε n ) τότε µπορούµε µε n «κοψίµατα» ( crosscuts ) να το µετατρέψουµε ε απλά υνεκτικό τόπο Τα κοψίµατα αυτά µπορούν να επιλεγούν να είναι C απλές καµπύλες Το χήµα εξηγεί γεωµετρικά πως µπορεί να γίνει αυτό Ένας τόπος υνεκτικότητας Επειδή το πρόηµο του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος δευτέρου είδους αλλάζει όταν η κατεύθυνη της ολοκλήρωης αλλάζει, έπεται ότι τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα πάνω τις καµπύλες που «κόβουν» το αλληλοαναιρούνται Έτι τα µόνα ολοκληρώµατα που «επιβιώνουν» είναι αυτά πάνω το ύνορο του, που το χήµα µας είναι το = c c c Είναι αφές ότι αν εξαιρέουµε από το τα ίχνη των καµπύλων γ, δ, που «κόβουν» το, τότε το [ γ] [ δ] είναι απλά υνεκτικός τόπος (Με n κοψίµατα αναγόµατε την περίπτωη όπου το χωρίζεται ε δυο απλά υνεκτικούς τόπους που φράονται από καµπύλες Jordn) Σηµειώνουµε ότι οι παρατηρήεις αυτές µπορεί να οδηγήουν ε µια απόδειξη του θεωρήµατος του Green (θεώρηµα 5), βαιµένη την πρόταη 5, προεγγίζοντας τον απλά υνεκτικό τόπο ( που φράεται από µια καµπύλη Jordn ) µε απλά υνεκτικούς τόπους που φράονται από απλές κλειτές πολυγωνικές γραµµές ( πρβλ την άκηη ) ) Ένα φραγµένο ανοικτό υνεκτικό υπούνολο του R µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο δεν διαπάται αναγκαία ε ένα πεπεραµένο πλήθος από τοιχειώδη χωρία τύπου Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το ακόλουθο = {( x, y) : x και y ϕ( x) }, όπου ϕ ( x) = x sin, x, ϕ = x Η ϕ είναι βέβαια υνεχώς διαφορίιµη το R Το είναι τύπου, αλλά δεν µπορεί να διαµεριθεί ε ένα πεπεραµένο πλήθος χωρίων τύπου ( υνεπώς ούτε και

6 τύπου ) Η παρατήρηη αυτή αφήνεται ως άκηη Παραδείγµατα φραγµένων υνόλων µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο )Το εωτερικό ενός τριγώνου το xy επίπεδο είναι ένα τοιχειώδες ύνολο τύπου )Ένα απλό πολύγωνο του επιπέδου χωρίζεται ε τρίγωνα τα οποία είναι τοιχειώδη ύνολα τύπου Οι προανατολιµοί είναι ηµειωµένοι τα χήµατα ( Πρβλ την άκηη ) Το καθένα από τα χωρία,,, που χωρίζεται ο δακτύλιος είναι τύπου )Το χωρίο είναι εδώ ένας ( ανοικτός ) δακτύλιος το ύνορο του οποίου αποτελείται από τους κύκλους C και C, = C C Ο χωριµός του ε τοιχειώδη χωρία γίνεται µε δύο κάθετες ευθείες που διέρχονται από το κέντρο Το θεώρηµα Green εφαρµόζεται το καθένα από τα,,, και προθέτουµε τα αποτελέµατα 55 Πρόταη Έτω c µια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου µε εωτερικό το

65 ( απλά υνεκτικό ) ύνολο Τότε το εµβαδόν του ( που έχει ύνορο την c ) δίδεται από τον τύπο Α= xdy ydx ( δηλαδή Α= F ds, όπου F( x, y) ( y, x), ( x, y) R = ) Απόδειξη Θέτοµε F( x, y) ( y, x) p( x, y), q( x, y) = = δηλαδή θέτοµε p p( x, y) = y και q( x, y) = x ( Το F δεν είναι υντηρητικό πεδίο αφού = και q = ) Το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται γιατί το είναι ένα φραγµένο ανοικτό απλά υνεκτικό ύνολο µε ύνορο το οποίο υποτίθεται ότι είναι µια κατά τµήµατα C καµπύλη Έτι έχουµε, y xdy ydx= dxdy = ( ) + dxdy= dxdy=α Παρατήρηη Εύκολα διαπιτώνουµε ότι Α= zdz, όπου µε f ( z) dz υµβολίζουµε το µιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της f :[ ] i γ γ C κατά µήκος της γ ( Το µιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα χρηιµοποιείται την Μιγαδική Ανάλυη) Παράδειγµα () Υπολογίτε το εµβαδόν του χωρίου που φράεται από την υποκυκλοειδή καµπύλη x cos θ =, y sin θ x + y =, >, χρηιµοποιώντας την παραµέτρηη =, θ [,π] Λύη Η καµπύλη µας είναι η ( θ) ( cos θ, sin θ), θ [, π] = και είναι απλή και κλειτή όπως εύκολα διαπιτώνεται αναλυτικά αλλά και από το χήµα Από την προηγούµενη πρόταη έχουµε: π Α= xdy ydx = cos θ( sin θ cosθ) sin θ( cos θ sinθ) dθ = π ( sin cos cos sin ) θ θ + θ θ d θ = π sin cos θ θ d θ = sin 8 θ d θ = 6 6 = π = π π cos θ dθ 8 π π = dθ cos θ dθ 6 6 8 π γ

66 Παράδειγµα Αποδείξτε ότι η έλλειψη και > ) x y + = έχει εµβαδόν π ( > Λύη Η έλλειψη παραµετρικοποιείται ως, ( θ) ( cos θ, sin θ), θ [, π] δηλαδή x( θ) = cosθ και y( θ) sin π π =, = θ Εποµένως Α= ( ydx+ xdy) = sinθ( sinθ) + cosθ( cosθ) dθ = ( sin θ + cos ) π θ dθ = dθ = π Σηµειώνουµε ότι η θ = cos θ, sin θ, θ, π είναι C απλή [ ] κλειτή καµπύλη Παράδειγµα Υπολογίτε το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάµεων (, ),( sin ) F x y = x+ xy x y y y κατά µήκος της κλειτής απλής καµπύλης c του χήµατος Λύη Το διανυµατικό πεδίο ( δυνάµεων ) F ( p, q) = είναι βέβαια C το Αν το υµβολίζει το χωρίο ( Jordn ) που περιβάλλει η θετικά προανατολιµένη καµπύλη Jordn c τότε από το θεώρηµα του Green θα έχουµε ότι το έργο που µας ζητείται ιούται µε: W = F ds= pdx+ qdy = q p dxdy = c c ( x y y sin y) ( x+ xy ) dxdy = ( xy xy) dxdy = y= x R y= xydy dx xy dx = x 5 6 = x x dx= x x = µπορεί να περιγραφεί ως τύπου ως εξής: 6 Σηµειώνουµε ότι το χωρίο είναι τύπου και = x, y : < x< και x < y< { }

67 Έχουµε αποδείξει για το διανυµατικό πεδίο y x F( x, y) =,, ( x, y) (,), ότι x + y x + y F ds= π, όπου t = cos t,sin t, t, π, ο µοναδιαίος κύκλος µε την υνήθη παραµέτρηη [ ] που τον καθιτά καµπύλη Jordn Το επόµενο παράδειγµα γενικεύει αυτό το αποτέλεµα ( Σύγκρινε αυτό το παράδειγµα και µε την παρατήρηη της ελίδας 56) :, Παράδειγµα Έτω [ ] y x x + y x + y ιχύει F ds= π R καµπύλη Jordn το εωτερικό της οποίας περιέχεται το (, ) Αν F( x, y) =,, ( x, y) (,) Λύη Έτω r C ένας κύκλος κέντρου µικρή ακτίνα r >, ώτε Cr τότε, και αρκετά, όπου το εωτερικό της καµπύλης Θεωρούµε το χωρίο G του επιπέδου το οποίο περιβάλλεται ( έχει ως ύνορο G C και = [ ] r ) από τις καµπύλες [ ] C r Ο κύκλος C r θεωρείται µε την υνήθη γ t = r cos t,sin t, t, π παραµέτρηη [ ] Επειδή το πεδίο F είναι όπως έχουµε αποδείξει ατρόβιλο ιχύει ότι: q p x y y x y x = = = ( όπου, x x + y y x + y x + y x + y y x p( x, y) = και q ( x, y) = ) x + y x + y Έπεται από το θεώρηµα του Green για τον τόπο G ότι: F ds = pdx+ qdy = q p dxdy = dxdy = ή F ds+ F ds= ή G G G G γ F ds F ds= ή F ds= F ds= π γ γ n Σηµείωη Ένα υπούνολο του R λέγεται ατρόµορφο αν υπάρχει ώτε, z, z το ευθύγραµµο τµήµα [ ] (ι) Κάθε ατρόµορφο ύνολο είναι υνεκτικό ( πρβλ την απόδειξη της πρόταης (ιι) ) (ιι) Κάθε κυρτό ύνολο είναι ατρόµορφο ( προφανές) (ιιι) Κάθε ανοικτό και ατρόµορφο υπούνολο του R είναι απλά υνεκτικό ( ιαιθητικά προφανές) (ιν) Παραδείγµατα ανοικτών και ατρόµορφων ( άρα απλά υνεκτικών ) υπουνόλων του R που δεν είναι κυρτά είναι και τα ακόλουθα: z, κλειτή ηµιευθεία του = R z, έχει την (α) Έτω L= [ ) ιδιότητα R τότε το [ )

68 (β) Έτω (, r) Β ανοικτός δίκος του R Αν z (, r) Β και L είναι κλειτή ηµιευθεία του επιπεδου µε αρχή το z, τότε το =B(α,r)-L εχει επιης την ιδιοτητα