γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

Σχετικά έγγραφα
h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

20 επαναληπτικά θέματα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

20 επαναληπτικά θέματα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

20 επαναληπτικά θέματα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

x R, να δείξετε ότι: i)

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

3.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

f '(x 0) lim lim x x x x

Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα 13 Μαΐου 2019

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Θέματα Πανελληνίων. Κώστας Γλυκός. Στη νέα ύλη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 2 /

= x + στο σηµείο της που

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Σελίδα 1 από 8. f στο, τότε

Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2018 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x 1 x 1 x 1

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο 4 83 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript:

ΘΕΜΑ A Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν f, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ με f () g () για κάθε τότε ισχύει πάντα f () g() για κάθε Σ Λ β) Αν f μη σταθερή συνάρτηση, συνεχής στο[α, β] και f ()d, τότε α = β. γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f ()d f ()d f ()d Σ Λ δ) Αν F,F είναι δύο παράγουσες μιας συνάρτησης f, τότε αυτές διαφέρουν κατά μια σταθερά c Σ Λ Μονάδες ΘΕΜΑ Β 6 Δίνεται συνάρτηση f : R R με τύπο f () Β. α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της β. Να βρείτε τα σύνολο τιμών της συνάρτησης f Μονάδες (5+5) Σ Λ Β. Αν f :[, ) R με f( ) e () και η κλίση της f στο f( ) Α(, f()) είναι, να βρείτε την f. - -

Μονάδες 5 Β3. α. Βρείτε παράγουσες της συνάρτησης f () e 3 β. Βρείτε το I d 3 ( )( ) Μονάδες (5+5) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : f ( y) f () f (y) για κάθε,y R () f e f () e για κάθε R lim f (3) Γ. Να δείξετε ότι Γ. Να δείξετε ότι f () και f f () για κάθε R f ln e για κάθε Γ3. Να δείξετε ότι f γνησίως αύξουσα στο [, ) Γ4. Να δείξετε ότι f συνεχής στο Γ5. Να δείξετε ότι f συνεχής στο [, ) Γ6. Αν f e f ln e e e, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. Μονάδες 5(3+3+5+5+5+4) ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[,+ ) R, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + )και ικανοποιεί τις σχέσεις: 4f () f 3 () = για κάθε (,+ ) () f () για κάθε (,+ ) () f () = f () = (3) Δ. Να αποδείξετε ότι f () για κάθε (, + ) Μονάδες 3 - -

Δ. Να αποδείξετε ότι f f για κάθε (, + ) Δ3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Δ4. Αν f,, τότε: Μονάδες 4 Μονάδες 3 α) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μ(α, f (α)), με α > και τον άξονα. Μονάδες 7 β) Αν ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι, ώστε να απομακρύνεται από τον άξονα y y με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του είναι ίση με 4 μονάδες. Μονάδες 4 γ) Να βρείτε λ ( α, α) τέτοιο, ώστε η ευθεία με εξίσωση = λ να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Μονάδες 4-3 -

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Λ Λ Λ - Σ ΘΕΜΑ Β Β. α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της 6 6 6( ) 6 f (), Άρα f γνησίως αύξουσα στο(, ], f γνησίως φθίνουσα στο [-,] και f γνησίως αύξουσα στο[, ) β. f συνεχής στο R f (, ] lim f (),f ( ) (,6] f [,] f (),f ( ) [,6] f, f (), lim f () [,) Άρα Β. f (R) f (, ] f [,] f, [,6] - 4 -

Αφού η κλίση της f στο Α(, f()) είναι, τότε f () f ( ) f ( ) Για = στην () έχουμε f( ) e e f ( ) Από () : f ( ) f ( ) f f e e ( ) ( ) ln e ln c f () Για = : e ln c e c c. f( ) Άρα ln ( ) ln ln Β3. α. e f e e e e f () e e e f () R e Άρα οι παράγουσες της συνάρτησης f είναι β. F() c, R e 3 3 3 3 3 I d d d ( )( ) ( )( ) ( )( ) d d () ( )( ) ( ) 3 A B A A B B ( ) ( ) ( ) A A A A B B A B B B - 5 -

Από () έχουμε I d d ln ln( ) ( ) ln ln ln 4 ln ln ln 3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για = y = στην() έχουμε f ( ) f () f () f () Για y = - στην() έχουμε : f ( ) f () f ( ) f () f () f ( ) f () f ( ) f ( ) f () R Γ. Θέτουμε στην () όπου το ln με > ln f (ln ) f (ln ) f e e f () e Γ3. f e Έστω, [, ) με Από Γ : f ln (4) για κάθε (4) () f f f ( ) f f f f Άρα f /[, ) Γ4. Αρκεί να δείξουμε ότι Από () limf () f () f () lim f e lim e (5) - 6 -

έ u e lim f e ό limf (u) (6) ό u έ u f () f () u lim e ό lim e (7) u * ό u έ u lim f () lim f ( ) ό lim f (u) u ό u u * (3) Από f () (6),(7) (5): lim f e lim e limf (u) f () u Άρα f συνεχής στο. ος τρόπος Από Γ. : έ u ln έ t f (u) f ln f (u) lim f () lim e ό lim e ό u u * ό u ό t t lim e lim f () (8) t έ y u * lim f (u) lim f ( u) ό u lim f (y) (3) u u y ό y έ u lim f () lim f ( ) ό lim f (u) (8) (9) u ό u Από (8), (9) limf () f (), άρα f συνεχής στο. Γ5. - 7 -

Έστω [, ) τότε έ u () lim f () ό lim f (u ) lim f (u) f ( ) u u ό u f () f ( ) f ( ) Άρα f συνεχής στο, άρα f συνεχής στο [, ) Γ6. f ln e () ln e () e fe f (e) f e e f e e f e e e () f /[, ) e f e f e e e e ΘΕΜΑ Δ Δ. Έστω ότι υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε f( )=. Από () για = 3 έχουμε: 4 f f ΑΤΟΠΟ, άρα f () για κάθε (, + ) Δ. Από () έχουμε: 3 4 f f 4 f f ( ) f ( ) 3 f ( ) f ( ) f ( ) (, ) Άρα f ( ) f ( ) c f ( ) c (, ) f ( ) Για =: ( 3 ) f () c c c f () Άρα f ( ) f ( ) f ( ) (, ) f ( ) - 8 -

Δ3. Από Δ, f () για κάθε (, + ) και f συνεχής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού f()=> άρα f()> για κάθε (, + ). Ομοίως από () f () διατηρεί σταθερό πρόσημο αφού είναι συνεχής ως παρ/μη και αφού f ()=> άρα f ()> για κάθε (, + ). Από Δ : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) c (, ) Για =: f () c c Άρα f ( ) f ( ) f ( ) (, ) Η f είναι συνεχής στο, άρα f ( ) lim f ( ) lim Άρα f ( ) [, ) Δ4. α) Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση : α ( ε ): y f ( α ) f ( a )( α ) ( ε ): y a Έστω Ε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μ(α, f (α)), με α > και τον άξονα Ισχύει - 9 -

α α Ε( Ω ) ( ΑΒΜ ) f ( )d ( AB )( AM ) d α 3 3 3 ( a ) a a a a a a a τ.μ. Ε(t ) a(t ) a(t ) a(t ) 3 3 β) Από Δ4α : 3 3 Ε (t ) a(t ) a(t ) a (t ) a(t ) a (t ) 3 3 Άρα 3 Για t = t : Ε (t ) a(t ) a (t ) 4 ( μοναδες ) / sec γ) Η εφαπτομένη ε τέμνει τον yy στο Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΒ είναι α Δ, α α α α α Ε (ΟΒΔ) (ΟB )(ΟΔ) α Ε( Ω ) 4 6 Άρα η κατακόρυφη ευθεία που χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία έχει εξίσωση (ζ):=λ με λ є (-α, ). Η ζ τέμνει την ε στο α λ Ζ λ, α Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΒ είναι λ α ( λ α ) Ε ( ΕΖΒ ) ( ΕB )( ΕΖ ) λ α α α - -

Πρέπει : ( λ α ) α α 6 3 Ε Ε( Ω ) ( λ α ) α λ α α 6 3 3 - -