ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l f() O (a) O f( ) (β) O (γ) Για να έχει έννοια το όριο της f στο ( ), πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουµε κοντά στο, δηλαδή η f να είναι ορισµένη τουλάχιστον σ ένα σύνολο της µορφής: ( β α, ) (, ) ή α, ) ή (, β). ( Το όριο lim ορίζεται κοντά στο δεν έχει έννοια, γιατί η συνάρτηση δεν Αν το ορίζεται, το µπορεί να ανήκει ή να µην ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Συνηθίζεται όταν ζητείται να βρεθεί ένα όριο αυτό να έχει έννοια, ανεξάρτητα αν υπάρχει ή όχι. «υπάρχει το όριο» σηµαίνει ότι αυτό είναι πραγµατικός αριθµός ή άπειρο. Το lim f ( ) µπορεί να µην υπάρχει στο. lim, δεν υπάρχει. Όταν υπάρχει η τιµή της f στο α) ίση µε το όριό της στο, f ( ), και το, lim f ( ) µπορεί να είναι : lim f ( ) = f ( ) (δηλ. f συνεχής στο ή β) διαφορετική από αυτό ( lim f ( ) f ( ) ). )
Αν µια συνάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε lim f ( ) =l. Όταν δίνεται lim f ( ) =l, εννοείται ότι υπάρχει το όριο της f στο είναι l. To Θεώρηµα (όρια και πράξεις) της σελίδας 66, µετά το «τότε» να προστεθεί «υπάρχουν τα παρακάτω όρια και ισχύουν» Επιµερισµός Ορίου- συχνό λάθος, χρησιµοποιείται ουσιαστικά η «φαινοµενική ιδιότητα»: Αν lim f () = α R, τότε lim f()g() = limαg() η οποία δεν ισχύει (πάντα), ξ ξ ξ π.χ. = lim = lim =, άτοπο. Αν lim f (t) = α t ξ π.χ. lim = δεν συνεπάγεται ότι lim f (t) = α t ξ (το αντίστροφο ισχύει πάντα). αλλά lim, ή lim = αλλά δεν υπάρχει το lim. Οι ιδιότητες των ορίων ισχύουν όταν υπάρχουν τα «επιµέρους» όρια και προκύπτουν επιτρεπτές πράξεις. Έχουµε lim( ( ) =, αλλά δεν υπάρχουν τα όρια ξ lim, lim. lim f ( ) = l lim f ( ) = l Αν Αν lim f ( ) = l >, τότε f ( ) > κοντά στο lim f ( ) = l <, τότε f ( ) < κοντά στο Στο ο θεώρηµα της διάταξης (σελ.65). Να σηµειωθεί ότι δεν ισχύει το αντίστροφο: > κοντά στο (π.χ. στο (-, ) (, )), αλλά lim = Στο ο θεώρηµα της διάταξης (σελ.66). Αν f() < g() κοντά στο ξ, δεν συνεπάγεται ότι lim f () < lim g() ξ ξ Με ΑΤΟΠΟ προκύπτει: Αν υπάρχει το lim f ( ) =l ισχύει, αν f ( ) > κοντά στο τότε l Αν υπάρχει το lim f ( ) =l ισχύει, αν f ( ) < κοντά στο και τότε l Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, ισχύει, αν f ( ) < g( ) κοντά στο και τότε lim f ( ) lim g( )
Χρήσιµοι µετασχηµατισµοί:... lim f ( ) =l lim( f ( ) l ) = lim f ( ) =l lim f ( h) =l, = h h lim f ( ) =l lim f (. h) =l, =.h, h Οι σχέσεις και είναι χρήσιµες σε συναρτησιακές : f(y)=, f(.y)= Πλευρικά όρια συναρτήσεων πολλαπλού τύπου στο ( σηµείο που «αλλάζει» ο τύπος) Αν f( ), < f ( ) = f( ), τότε τα πλευρικά όρια της στο είναι: lim f ( ) = lim f ( ) για > «όριο της f όταν τείνει στο από δεξιά» lim f ( ) = lim f ( ) για > «όριο της f όταν τείνει στο από αριστερά» Αν lim f ( ) = lim f ( ) = λ τότε lim f ( ) = λ (ισχύει το αντίστροφο) Αν ζητείται το όριο συνάρτησης f σε σηµείο (ή )που δεν «αλλάζει» ο τύπος της συνάρτησης f, τότε : τότε lim f ( ) = lim f ( ) lim f ( ) = lim f ( ) Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα της µορφής (, β) και δεν ορίζεται σε διάστηµα της µορφής α, ), τότε ισχύει: ( lim f ( ) = lim f ( ). Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα της µορφής α, ) και δεν ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (, β), τότε ισχύει: ( lim f ( ) = lim f ( ) Αν η συνάρτηση, < f ( ) =,, > Να βρεθούν τα όρια:, lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ) li m f ( ) = li m ( ) = =, lim f ( ) = lim ( ) = = li m f ( ) = li m ( ) = = lim f ( ) = lim ( ) = = 7
Σηµείωση. Οι ιδιότητες των ορίων ισχύουν για τα όρια : lim f ( ) = λ αρκεί να υπάρχουν όλα τα «επιµέρους» όρια και προκύπτουν επιτρεπτές πράξεις, όπου R {, } λ R {, } Σηµείωση. Ισχύει ότι, αν υπάρχουν τα όρια των π.χ. των f g και f στο, τότε υπάρχει και όριο της g στο. Αν Αν lim f ( ) = λ και lim( f ( ) g ( )) = κ, τότε lim g( ) = lim[( f ( ) g( )) f ( )] = lim( f ( ) g( )) lim f ( ) = κ λ lim f ( ) = λ και lim( f ( ). g ( )) = κ, τότε και f ( ). g( ) lim g( ) = lim = f ( ) Σηµείωση. Στο όριο σύνθεσης συναρτήσεων fog στο (σελ.7). Η συνθήκη g() u o κοντά στο, δεν µπορεί να αγνοηθεί κ λ Σηµείωση 4. Τα όρια lim ηµ, lim συν, lim πεϕ, lim ηµ ±, limσυν ± δεν υπάρχουν. Βασικές εφαρµογές.. Αν lim f () = τότε lim f () = (ισχύει το αντίστροφο) Απόδειξη: Με κριτήριο παρεµβολής Έχουµε lim f () = = lim ( f () ) και f () f () f () ισχύει. Άρα. Αν lim f () = τότε lim f () = (ισχύει το αντίστροφο) lim f () =.. Αν ν lim f () = τότε lim f () = (ισχύει το αντίστροφο) (Οµοίως οι αποδείξεις και ). ηµ 4. Αν R σε ακτίνια τότε lim =. ηµθ Αν όµως θ σε µοίρες τότε lim = θ θ π 8 (χρήση του θ = ) 8 π 4
ΜΟΡΦΕΣ ΟΡΙΩΝ. Όρια µε εφαρµογή ιδιοτήτων ορίων και συνέχειας Αν και Af,τότε το όριο της f στο το βρίσκουµε συνήθως µε αντικατάσταση =, αρκεί να ορίζεται η παράσταση στο (συνεχής). Εφαρµογή των ιδιοτήτων και κανόνων των ορίων Αν η συνάρτηση προκύπτει από τις βασικές συναρτήσεις : πολυωνυµική συνάρτηση, ρητή, τριγωνοµετρικές, λογαριθµικές, εκθετικές, απόλυτη τιµή συνάρτησης, ρίζα συνάρτησης ή ακόµα από τις πράξεις τους ή από συνθέσεις τους και εφαρµόζονται οι κανόνες και οι ιδιότητες των ορίων, χωρίς να προκύπτει απροσδιόριστη µορφή, τότε το όριο υπολογίζεται απ ευθείας από τον επόµενο κανόνα: lim f() = f( ) Να βρεθεί το όριο: lim ( -45)= -4 5=-45=4. Να βρεθεί το όριο: lim = lim( 4 5) lim = 4 6 = =. Αν και Afκαι η συνάρτηση είναι κλασµατική( µορφή ), τότε συνήθως παραγοντοποιούµε το «κλάσµα», µε παράγοντα και απλοποιούµε. Αν και η συνάρτηση µετά από τις απλοποιήσεις έχει παράγοντα και είναι απροσδιοριστία, τότε παίρνουµε πλευρικά όρια. Απλοποίηση παραγοντοποίηση Παραγοντοποίηση µε Horner στο Παραγοντοποίηση τριωνύµου α β γ = α αν α ρίζες ( )( ),,, Συνδυασµός όλων 5
Να βρεθεί το όριο: lim 4 Είναι lim ( -4)= -4 =-4= και lim (-)=-=. Απροσδιόριστη µορφή. 4 ( )( ) Κάνουµε παραγοντοποίηση και έχουµε: lim = lim = lim( ) =-= -. 4. Όριο κλασµατικού τύπου µε ριζικά ( µορφή ) Αν και Afκαι η συνάρτηση είναι κλασµατική( µορφή ) µε ριζικά, τότε συνήθως πολλαπλασιάζουµε µε τη συζυγή παράσταση ώστε να παραγοντοποιήσουµε το «κλάσµα» µε παράγοντα και απλοποιούµε. Όρος κλάσµατος Συζυγή παράσταση του όρου Όρος κλάσµατος Συζυγή παράσταση του όρου Α± Β Α Β Α±Β δηµιουργείται η ταυτότητα : ή ή Α Β 5 Να βρεθεί το όριο: lim 4 5 = lim 4 lim 4 lim Α± Β Α±Β Α Α Α Β Β ΑΒΒ. ( Α Β)( Α Β ) = Α Β =ΑΒ ( ΑΒ)( ΑΒ ) = Α Β =ΑΒ ( Α± Β)( Α Α Β Β ) = Α ± Β =Α±Β ( Α±Β)( Α ΑΒΒ. ) = Α ±Β =Α±Β ( 5)( )( 5) ( )( )( 5) ( ) ( 5 ) ( ) ( 4)( ) = lim ( ) 4 ( 5) ( 8 )( 5 ) 4 = = lim ( 4)( )( ) ( 4)( 5) 4 Για ριζικά διαφόρων τάξεων εφαρµόζουµε την µέθοδο της αντικατάστασης (θέτουµε y= κ h( ) όπου κ =ΕΚΠ τάξεων ριζικών) ή την µέθοδο της διάσπασης. Όταν κάνουµε αντικατάσταση, αλλάζει η µεταβλητή στο όριο, y y (όπου y = lim h( ), κ y ) = 5 6
Να βρεθεί το lim 6 Αν εφαρµόσουµε ιδιότητες έχουµε µορφή 6 6 Το ΕΚΠ των τάξεων των ριζών είναι 6. Θέτουµε y=, οπότε lim = και y 6 6 ( ) ( ) y y y ( y) y( y) y lim = lim = lim = lim = lim = lim = 6 6 6 ( ) y y y y y( y ) y ( y )( y ) y y 4. Όρια συναρτήσεων πολλαπλού τύπου. Αν η συνάρτηση f «αλλάζει» τύπο «γύρω» από το, είναι πολλαπλού τύπου της µορφής f( ), < f ( ) = f( ), α) Αν ζητείται το όριο συνάρτησης f σε σηµείο που αλλάζει ο τύπος της, τότε για να υπάρχει το όριο πρέπει τα πλευρικά όρια της f στο να είναι ίσα. Αν τα πλευρικά όρια είναι ίσα, lim f ( ) = lim f ( ) = λ τότε lim f ( ) = λ β) Αν ζητείται το όριο συνάρτησης f σε σηµείο (ή )που δεν αλλάζει ο τύπος της, (πχ < < ) τότε : lim f ( ) = lim f ( ) και lim f ( ) = lim f ( ) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f ( ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση έχει όριο στο o =, =, = 5, < = 7, lim f ( ) = lim( 5) = 5=5=8 και lim f ( ) = lim( 7) = 7=7=8. Επειδή είναι lim f ( ) lim f ( ) = lim f ( ) =8,η συνάρτηση έχει όριο στο o =, lim f ( ) =8 = ( ) lim 7 7 88 = = και lim f ( ) = ( ) lim 5 =. 5= 5. 7
5. Όρια µε απόλυτες τιµές. Αν η συνάρτηση f έχει απόλυτες τιµές και το όριο της f για προκύπτει απροσδιόριστη µορφή, τότε µετασχηµατίζουµε τον τύπο της f χωρίς απόλυτα: α) αν το όριο στο της παράστασης Α() µιας απόλυτης τιµής είναι lim Α ( ) = k >, τότε A()> κοντά στο, οπότε Α ( ) =Α ( ) β) αν το όριο της παράστασης Α() µιας απόλυτης τιµής είναι lim Α ( ) = k <, τότε A()< κοντά στο, οπότε Α ( ) =Α ( ) ) και µετά παραγοντοποιούµε ή και παίρνουµε τα πλευρικά όρια. γ) αν το όριο στο της παράστασης Α() µιας απόλυτης τιµής είναι lim Α ( ) = παίρνουµε στο τα πλευρικά όρια αφού κάνουµε πίνακα πρόσηµων και γράψουµε τη συνάρτηση χωρίς τις απόλυτες τιµές. Να βρεθεί το όριο lim 9 5 - - 9 - - - - - - - lim lim 9 5 9 5 = lim = lim 5 ( 9) ( ) ( 9) ( ) 5 ( )( ) = lim = -7 ( )( ) = lim = 7 Επειδή είναι lim f ( ) lim f ( ),η συνάρτηση δεν έχει όριο στο o =. 6. Όρια µε «κριτήριο παρεµβολής» Αν η συνάρτηση περιέχει στον τύπο της τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ή ο τύπος της f() επαληθεύει µια ανισότητα, τότε εφαρµόζουµε τα προηγούµενα κατά περίπτωση, συνήθως κριτήριο παρεµβολής (σε απροσδιόριστο ) και τα παρακάτω: ηµ lim = συν lim = limηµ = ηµ ηµ, για κάθε R π π για κάθε,, ηµ συν < < limσυν= συν 8
εϕ Να βρεθούν τα όρια: α) lim, β) lim, γ) ηµ α) lim = lim = = ηµ ηµ ηµ εϕ β) lim lim ηµ ηµ = συν = lim = lim(. ) =. = συν συν lim( ηµ ) γ) ηµ =. ηµ., οπότε και ηµ ηµ = = lim lim( ) lim( ηµ ) µε το κριτήριο παρεµβολής έχουµε = Αν για κάθε R ισχύει: Από τη σχέση : f ( ) 4 f ( ) 4 f ( ) 4 f ( ) 4, να δείξετε ότι lim f ( ) =, έχουµε ( ) 4 ( ) 4 ( ( ) ) Άρα f ( ) f ( ) Τα όρια lim f ( ) = ( ) f f f f ( ) f ( ) f ( ) lim( ) = lim( ) = οπότε µε το κριτήριο παρεµβολής προκύπτει ότι Παράδειγµα(Πρόταση-Μηδενική). Αν lim g ( ) = και f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) = Αποδεικνύεται µε κριτήριο παρεµβολής Έχουµε: f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) και lim( g( ) ) = lim g( ) = άρα lim f ( ) = Παράδειγµα(Πρόταση-Μηδενική επί φραγµένη). Αν lim g ( ) =, h( ) κ, κ R και f ( ) g( ). h( ), κοντά στο, τότε Αποδεικνύεται µε κριτήριο παρεµβολής lim f ( ) = 9
Να αποδείξετε ότι : lim. ηµ = * Θέτουµε f ( ) =. ηµ, A f =R. Ισχύει ηµ Θα έχουµε f ( ) =. ηµ.οπότε f ( ), σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής προκύπτει lim f ( ) = Να βρεθεί το όριο lim. ηµ ηµ π π Θέτουµε f ( ) =. ηµ, (,) (, ). Ισχύει ηµ ηµ f ( ) =. ηµ., ηµ ηµ Το lim = lim ηµ ηµ lim f ( ) = ότι ( ) f ( ) f ( ) () ηµ ηµ ηµ = =, σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής στην (), προκύπτει α 7. Αν και η συνάρτηση µετά από τις απλοποιήσεις έχει µορφή, απροσδιοριστία τότε παίρνουµε πλευρικά όρια. Να βρεθεί το όριο : lim ( ), και lim = lim = lim = απροσδιοριστία (δε γίνεται άλλη ( ) ( ) ( ) ( )( ) απλοποίηση). Οπότε εξετάζουµε αν υπάρχει το όριο µε πλευρικά όρια lim lim. = = =, ( ) ( )( ) < οµοίως lim = lim =. = άρα δεν υπάρχει το lim ( ) ( )( ) ( ) >
8. Όριο f(), αν δίνεται το όριο παράστασης της f() Αν και δίνεται το όριο µιας παράστασης που περιέχει την f() και ζητείται το όριο της f στο, τότε θέτουµε g()= «παράσταση που περιέχει την f()», αν πάρουµε το όριο της g() στο και προκύπτει απροσδιοριστία, λύνουµε ως προς f και παίρνουµε το όριο. Να βρείτε το lim f ( ), αν lim( f ( ) ) = Θέτουµε g( ) = f ( ), οπότε lim g ( ) =. g( ) g( ) = f ( ) g( ) = f ( ) f ( ) = Άρα g ( ) lim f ( ) = lim = = 4 Αν f ( ) lim = να βρείτε τα όρια : α) lim f ( ), β) f ( ) lim f ( ) Θέτουµε g ( ) = (), και έχουµε lim g( ) = α) Λύνουµε ως προς f() την () f ( ) = g( )( ) Οπότε lim f ( ) = lim( ) lim g ( ) = β) f ( ) [( ) g ( ) ] ( ) g ( ) ( ) lim = lim = lim = ( )( g ( ) ) = lim = lim ( g ( ) ) =. = 4 Αν lim[ f ( )( )] = και g ( ) lim = 4, να βρείτε το lim[ f ( ) g( )] h( ) Θέτουµε h( ) = f ( )( ), µε lim h( ) = και έχουµε f ( ) =, g( ) Θέτουµε p( ) =, µε lim p( ) = 4 και έχουµε g( ) = p( )( ) h( ) h( ) p( )( ).4 lim[ f ( ) g ( )] = lim[ p( )( )] = lim =... = = ( )( )
9. Όρια µε παραµέτρους α) Αν δίνεται συνάρτηση f() µε παραµέτρους και ζητείται να βρεθούν οι τιµές τους ώστε να υπάρχει το lim f ( ), τότε δηµιουργούµε εξισώσεις µε αγνώστους τις παραµέτρους (µε ισότητα πλευρικών ορίων ). β) Αν δίνεται συνάρτηση f() µε παραµέτρους και ζητείται να βρεθεί το κάνουµε διερεύνηση του lim f ( ), τότε lim f ( ) για όλες τις δυνατές τιµές των παραµέτρων, (συνήθως οι χαρακτηριστικές τιµές των παραµέτρων βάση των οποίων κάνουµε τη διερεύνηση προκύπτουν από τις απροσδιόριστες µορφές(πχ α, (αν α=))., < ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f ( ) = α 5, Να βρεθεί η πραγµατική τιµή του α, ώστε η συνάρτηση να έχει όριο στο o =. lim = lim = lim( ) ==. lim f ( ) = lim(α 5 ) = α 5 =α-5=α-4. ( )( ) Για να έχει όριο στο o = θα πρέπει lim f ( ) = lim f ( ). Άρα =α-4 α=. Να βρεθούν οι αριθµοί α, β R, ώστε να υπάρχουν τα όρια της συνάρτησης α β, f ( ) = 6, < α β, > Πρέπει lim f ( ) = lim f ( ) () και στα σηµεία και. lim f ( ) = lim f ( ) () = α β = α β και lim f ( ) lim( ) lim f ( ) = lim( 6) = 7 Άρα από () έχουµε : α β = 7 α β = () lim f ( ) lim( 6) = = και lim f ( ) = lim( α β ) = α β Άρα από () έχουµε : α β = (4) Εποµένως από () και (4) προκύπτει α= -7 και β= - 4.
Αν µ- f()= - Αν βρεθεί το µ ώστε να υπάρχει στο R το µ- lim f()=λ, f()= µ-=f()(-) - lim( µ-)= lim[f()(-)] µ=λ. µ= - limf(). Όριο σύνθετης lim f ( g( )) Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το lim f ( g( )), της σύνθετης συνάρτησης f g στο σηµείο, εφαρµόζουµε τη συνέχεια γνωστών συναρτήσεων ή κάνουµε αντικατάσταση και αλλαγή µεταβλητής. Αντικατάσταση lim f ( g( )) = f ( g( )) Αλλαγή µεταβλητής, εργαζόµαστε ως εξής:. Θέτουµε u= g().. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το u = lim g( ) και. Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το l = lim f ( u). u u Αποδεικνύεται ότι, αν g( ) u κοντά στο, τότε το ζητούµενο όριο είναι ίσο µε l, δηλαδή ισχύει: lim f ( g( )) = lim f ( u) u u Να βρεθούν τα όρια lim e, ηµ ( ) lim θ έτω u = li m e = = li m e = e α φού το u u u ηµ ( ) θέτω u = ηµ u lim = = lim = αφού το u u u f ( ) Αν lim = να βρεθεί το όριο lim f ( ) ηµ ηµ
f ( ) ηµ διαιρο ύµεµε f ( ) ηµ = ηµ ηµ, οπότε f ( ) ηµ f ( ) ηµ * 6 lim lim = = = 5 ηµ ηµ u θέτουµε = u, = f ( ) f ( u) f ( u) * lim = lim = lim =.= 6 u u u u u ηµ ( ) Να βρεθεί το όριο : lim 5 4 ηµ ( ) ηµ ( ) ( ) ( )( ) ( ). ηµ. ηµ = = =. 5 4 5 4 ( )( 4) 4 () Θέτουµε u=, οπότε αφού, είναι u ηµ ( ) ηµ u Άρα, lim = lim =, οπότε u u () ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ u lim = lim. = lim.lim =. = 5 4 4 u u 4 4 Παρατήρηση: Αλλαγή µεταβλητής αντικατάσταση κάνουµε συνήθως, όταν δίνεται όριο στο (δηλ. ) και ζητείται όριο στο (δηλ. ), τότε κάνουµε αντικατάσταση τέτοια ώστε το όριο στο να µετατραπεί όριο στο. Αν ισχύει f ( ) = f ( ) R και lim[ f ( ) ] = 4, να βρεθεί το lim f ( ) Θέτουµε g( ) = f ( ), οπότε f ( ) = g( ) και lim g( ) = 4 Θέτουµε u=- και έχουµε: αν, u, οπότε το ζητούµενο όριο είναι : lim f ( ) = lim f ( u) = lim f ( u) = lim[ g( u) u ] = 4 = 6 u u u. Όρια µε ριζικά διαφορετικής τάξης Όταν έχουµε πολλά ριζικά διαφορετικής τάξης. Αντικαθιστούµε y= κ g(), όπου κ είναι το Ε.Κ.Π. των τάξεων και g() κοινή υπόριζη ποσότητα. 4 6 4 - θετω y= y y y y (y y ) (y )(y y) lim = = lim = lim = lim = 4 y 6 4 y y - - y y y y y (y y) (y)( y y) 7 4
. Όρια µε συναρτησιακές σχέσεις Αν δίνεται συναρτησιακή σχέση για την f και ζητείται το lim f() α) Αν έχουµε f(y)=, θέτουµε = h = h και γίνεται αλλαγή µεταβλητής: αν τότε h β) Αν έχουµε f(.y)=, θέτουµε = h h=, οπότε αν τότε h Αν f: R R για την οποία ισχύει f(y)=f()συνyf(y)συν,,y R f() f()-f(α) και lim = δείξετε ότι lim = συνα για κάθε α R α -α θέτουµε = h = h οπότε στο ζητούµενο όριο γίνεται χρήση της ιδιότητας lim f() limf( h) και της συναρτησιακής σχέσεως. = h f(αh)-f(α) f(α)συνhf(h)συνα -f(α) f(α)(συνh-)f(h)συνα lim = lim = lim = f( α ).. συν α=συν α h h h h h h 5
ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ( στο o, lim f ( ) =± ) Απροσδιόριστες µορφές: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ).( ) ( ). ( ). α ( ) α f ( ) a Η µορφή, προκύπτει από lim =, a, οπότε : o g( ). Αν το πρόσηµο της g() είναι σταθερό τότε προκύπτει ανάλογα µε το πρόσηµο του κλάσµατος, ή. Αν πρόσηµο της g() δεν είναι σταθερό κοντά στο,τότε παίρνουµε πλευρικά όρια. Να βρεθεί το όριο lim lim µορϕή = παίρνουµε πλευρικά όρια: lim =, ενώ lim = Οι απροσδιόριστες µορφές, ( ),, περιπτώσεις εκθετικών συναρτήσεων της g ( ) µορφής F( ) = [ f ( )] f ( ) >, µετασχηµατίζονται µε τον κανόνα lna a = e, a>. < > Γενικά [ f ( )] =, f ( ) > g ( ) g ( )ln f ( ) e Όλες οι µορφές ανάγονται στις µορφές: και ± ± µε µετασχηµατισµούς Α. Μετασχηµατισµός της µορφής.( ± ) σε µορφή : f ( ) f ( ). g( ) = ή g( ) f ( ). g( ) = g( ) f ( ) Β. Μετασχηµατισµός της µορφής : g( ) f ( ) g( ) = f ( )( ) ή f ( ) f ( ) f ( ) g( ) = g( )( ) g ( ) 6
Γ. Μετασχηµατισµός της µορφής : ±, σε µορφή. ή ±, σε µορφή ( ± ).( ± ) f ( ) = f ( ). g( ) g( ) Εφαρµόζουµε τους Κανόνες De L Hospital( µε παραγώγους) εν υπάρχουν τα όρια : lim ηµ, lim συν, limεφ, Αν f ( ) g( ) κοντά στο i) αν ii) αν lim f ( ) lim g( ) = τότε = τότε, τότε: lim g( ) = lim f ( ) = 7
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, ± Το όριο µιας συνάρτησης f στο, ορίζεται αν η f είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής ( α, ). Ανάλογα, το όριο µιας συνάρτησης f όταν ορίζεται µόνο όταν η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής (, β). Για τα όρια στο, ( ± ), ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο µε τις προϋποθέσεις : οι συναρτήσεις είναι ορισµένες σε κατάλληλα σύνολα υπάρχουν τα επιµέρους όρια της ιδιότητας δεν καταλήγουµε σε απροσδιόριστη µορφή. Εφαρµόζουµε τους Κανόνες de l Hospital( µε παραγώγους) εν υπάρχουν τα όρια : lim ηµ, limσυν, limεϕ, ± ± ± limηµ, ΜΟΡΦΕΣ ν ν, ν = άρτιος. lim = lim =, ν = περιττός lim = ν ±. Όριο πολυωνυµικής, αν P( ) = α ν α... α α ν ν ν α ν ν ± lim P( ) = lim ( ) ±. Όριο ρητής, ν αν α... α α αν f ( ) =, ανβκ (ρητή), τότε ν κ lim f ( ) = lim β β β ± ± β κ ν ν κ κ... Αν ν<κ, τότε lim f ( ) = ± Αν ν=κ, τότε αν lim f ( ) = ± β Αν ν>κ, τότε κ αν νκ, α > β ν νκ κ lim f ( ) = lim = ± ± βκ αν νκ, < βκ κ ν κ 8
5 4 Να βρεθεί το όριο lim 5 5 4 lim = lim = 5 f ( ) h( ) 4. Όριο κλάσµατος lim, µε εκθετικές α, β (ή α ), µε α>, β>, ± g ( ) τότε συνήθως βγάζουµε κοινό παράγοντα τη δύναµη που έχει : Α) τη µεγαλύτερη βάση, όταν Β) τη µικρότερη βάση, όταν ώστε να προκύπτουν όρια ίσα µε το µηδέν (όπως παρακάτω) (. ). ( ) 4 5 4 4 4 ( ) 5 5 5 ) 5 5 5 5 lim = lim = lim = lim 5. Όρια εκθετικών λογαριθµικών αν α > τοτε : limα = limα = αν α > τότε : lim log = lim log = a a αν < α < τοτε : limα = limα = αν < α < τότε : lim log = lim log = a a y y=a y y=a y=log a O O y=log a 6. Αν ο τύπος της f περιέχει ριζικά τότε βγάζουµε παράγοντα στο κάθε ριζικό το µεγιστοβάθµιο όρο. Αν η πράξη είναι επιτρεπτή βρίσκουµε µε τις ιδιότητες το όριο Αν η πράξη δεν είναι επιτρεπτή τότε από την αρχή µε µετασχηµατισµούς-ταυτότητες, «διώχνουµε» τα ριζικά (περίπτωση συζυγής παράσταση ), κάνουµε τυχόν απλοποιήσεις και βγάζουµε παράγοντα στο κάθε ριζικό το µεγιστοβάθµιο όρο και έχουµε επιτρεπτή πράξη. 9
4 Να βρεθούν τα όρια: α) lim ( ), β) lim ( ) 4 4 α) lim ( ) = lim ( ( ) ) = lim ( ) = 4 4 β) lim (. ) lim lim ( )( ) = = ( ) = lim = ( ) 7. Αν ο τύπος της f έχει απόλυτες τιµές, τότε για να βρούµε το lim f ( ) επιλέγουµε κατάλληλο διάστηµα (, α), ώστε οι παραστάσεις στις απόλυτες να έχουν σταθερό πρόσηµο και να βγαίνουν «εύκολα» οι απόλυτες. lim f ( ) = lim f ( ) Α ( α, ) Οµοίως για να βρούµε το lim f ( ) επιλέγουµε κατάλληλο διάστηµα ( β, ), ώστε οι παραστάσεις στις απόλυτες να έχουν σταθερό πρόσηµο και να βγαίνουν «εύκολα» οι απόλυτες. lim f ( ) = lim f ( ) Α ( β, ) Να βρεθεί το lim 4 lim ( ) = lim =, άρα υπάρχει > : > > ( ) lim = lim = lim = 4 4 4 4 8. Αν ο τύπος της f περιέχει παραµέτρους: κ, λ, α, τότε: αν ζητείται το όριο της f, κάνουµε διερεύνηση για όλες τις τιµές των παραµέτρων. αν δίνεται το όριο της f και ζητούνται οι τιµές των παραµέτρων, τότε ελέγχουµε όλες τις περιπτώσεις, δεχόµαστε εκείνες που υπάρχει το όριο της f και βρίσκουµε τις τιµές των παραµέτρων ώστε να προκύπτει το συγκεκριµένο όριο της f ή θέτουµε λ το όριο, λύνουµε τον τύπο της f και παίρνουµε τα όρια, συνεχίζουµε στο αρχικό όριο Να βρεθεί το lim ( --λ) για τις διάφορες τιµές του λ R > lim ( --λ)= lim ( (- )-λ)= lim ( - -λ) = lim[( - -λ)]=.( λ ) - Αν λ> λ< τότε - Αν λ< λ> τότε - Αν λ=, lim ( --λ)= lim ( --λ)= -(- ). ( --)( -) -- lim ( --) = lim = lim = lim = - - ( - )
9. Όριο µηδενικής επί φραγµένη(κριτήριο παρεµβολής για µηδενική) ηµ Να βρεθεί το lim = ± ηµ = ηµ = ηµ., άρα ηµ = ηµ ηµ και lim =, οπότε σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής ηµ lim = ± Να βρεθεί το lim ( ηµ ) ± ηµ () ηµ =, οπότε lim ( ηµ ) =.= ηµ θέτω u= Γιατί lim ηµ u = lim = () u u u Παρατήρηση. Άρα, αν κατά τη διαδικασία ανεύρεσης ορίων µέσα στις παραστάσεις προκύπτουν όρια που δεν υπάρχουν, τότε µετασχηµατίζουµε τις παραστάσεις ή µε κριτήριο παρεµβολής ώστε να αποφύγουµε ανύπαρκτα όρια.. Όριο σύνθετης lim f ( g( )) : ± Αλλαγή µεταβλητής, εργαζόµαστε ως εξής:. Θέτουµε u= g()..όπως στα προηγούµενα. Να βρεθεί το lim ln(e ). Θέτουµε u= e, οπότε έχουµε = =, άρα lim ln u= u lim u lim (e )
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α. Μελέτη συνέχειας συνάρτησης. Αν ζητείται να µελετηθεί(εξεταστεί) η συνέχεια µιας συνάρτησης f τότε πρέπει να µελετηθεί η συνέχεια σε όλο το Πεδίο ορισµού της f. Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f., f ( ) =, > Υπόδειξη. Πρέπει να µελετηθεί η συνέχεια της f σε όλο το Πεδίο ορισµού της (σε όλο το R).. Αν δίνεται το όριο µιας παράστασης της συνάρτησης f στο, η f είναι συνεχής στο και ζητείται το f( ) τότε βρίσκουµε : lim f() = f( ), f ( ) R f ( ) Αν lim = 5 και η f είναι συνεχής στο =4, 4 5 4 να βρείτε την τιµή f(4). f ( ) Υπόδειξη. Θέτουµε g ( ) = f ( ) = g ( )( 5 4) ()... 5 4 Προσοχή!! Θα ήταν λάθος να θέσουµε στην () =4 και να βρούµε f(4) =, γιατί η g δεν ορίζεται για = 4.. Αν ζητείται να προσδιοριστούν οι τιµές παραµέτρων( που υπάρχουν στον τύπο της) έτσι ώστε η f να είναι συνεχής συνάρτηση (µπορεί να δίνονται σηµεία) τότε συνήθως δηµιουργούµε εξισώσεις από τη συνέχεια της f στα σηµεία που αυτή «αλλάζει» τύπο. α β, Αν f() =, <, να βρείτε τις τιµές των α, β R β α, > ώστε η f να είναι συνεχής (στο και στο ) Υπόδειξη. Οι εξισώσεις για να προσδιοριστούν τα α, β θα προκύψουν από τη συνέχεια της f στα σηµεία και, lim f ( ) = lim f ( ) = f () και lim f ( ) = lim f ( ) = f () 4. Αν ζητείται να εξεταστεί η συνέχεια παραµετρικής συνάρτησης f τότε για όλες τις δυνατές τιµές των παραµέτρων πρέπει να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης f.
ηµ, Αν f() = να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης. α, = * Υπόδειξη. α)η f στο R είναι συνεχής για κάθε τιµή του α,ως γινόµενο των συνεχών παραγόντων: της που είναι πολυωνυµική και της ηµ που είναι σύνθεση συνεχών. ( /χ και ηµχ). β) στο = lim ηµ = ( «µηδενική επί φραγµένη») οπότε για να είναι συνεχής στο πρέπει f()=, άρα για α= είναι συνεχής στο R. 5. Αν ζητείται να αποδειχτεί η συνέχεια σε σηµείο µιας συνάρτησης f,η οποία επαληθεύει µια ανισότητα(δίνεται ή δηµιουργείται), τότε συνήθως για να βρούµε το όριο στο χρησιµοποιούµε «κριτήρια παρεµβολής». Έστω η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε να ισχύει f ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. για κάθε R Υπόδειξη. Η σχέση f ( ) f ( ), οπότε f()= και κριτήριο παρεµβολής Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g : R R, για τις οποίες ισχύει : (f()) (g()) = f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο =. Υπόδειξη. Βρίσκουµε για =, ( f ()) ( g()) = f () = g() =.. Η σχέση µετασχηµατίζεται ( f ( )) ( g( )) f ( ) = ( f ( )) f ( ) ( g( )) = ( f ( ) ) ( g( )) = Άρα, ( f ( ) ) και ( g( )). 6. Αν ζητείται να αποδειχτεί ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής, για την οποία δίνεται συναρτησιακός τύπος και η συνέχεια σε σηµείο α, τότε συνήθως: Αν α=, για συναρτησιακό τύπο f(y)=, θέτουµε = h = h και γίνεται αλλαγή µεταβλητής: αν τότε h Αν α=, για συναρτησιακό τύπο f(.y)=, θέτουµε = h h=, άρα h ΓΕΝΙΚΑ, για a και συναρτησιακό τύπο f(y)=, θέτουµε = h-α, για a και συναρτησιακό τύπο f(.y)=, θέτουµε =.h/α, αν τότε h α αν τότε h α
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε : f( y) = f() f(y), για κάθε, y R. Να δείξετε ότι αν η f είναι συνεχής σε κάποιο σηµείο α R, τότε είναι συνεχής στο R. Υπόδειξη. Για =y= έχουµε, f () = f () f () f () = Για =α, y = - α έχουµε, f () = f ( α) f ( α ) = f ( α) f ( α ) f ( α) f ( α ) = H συνάρτηση είναι συνεχής στο α, άρα ισχύει lim f ( ) = f ( α) α Έστω τυχαίο, R. Θέτουµε = h-α, αν τότε h α lim f ( ) = lim f ( h α) = lim[ f ( ) f ( hα) ] = f ( ) lim[ f ( h) f ( α ) ] = h h h α α α f ( ) f ( α) f ( α) = f ( ), άρα f συνεχής στο R. = 4
Β. Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Αν ζητείται να δειχτεί η ύπαρξη ρίζας(µιας τουλάχιστον) µιας εξίσωσης( ή συνάρτησης) στο (α, β) τότε: α) επιλύουµε την εξίσωση(αν είναι εύκολο..) β) µε δοκιµές είναι κάποιες φορές δυνατό να βρούµε λύσεις(ρίζες) γ) εξετάζουµε αν εφαρµόζεται το Θ. Bolzano, στο διάστηµα [α,β] για τη συνάρτηση f που θα έχουµε f()=, αν κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών και µεταφέρουµε όλους τους όρους στο ένα µέλος της εξίσωσης. Αν ζητείται να δείξουµε ότι η ρίζα είναι µοναδική, τότε αυτό το δείχνουµε µε τα παρακάτω: i) f «-» ii) f γνησίως µονότονη στο [α,β] iii) µε «άτοπο» * Αν δε δίνεται το (α, β) τότε επιλέγουµε διάστηµα µε δοκιµές ή βρίσκουµε όρια... Nα δειχθεί ότι η εξίσωση ηµ-e συν= έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, π ). Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση f()= ηµ-e συν, που είναι συνεχής στο R ως άθροισµα γινοµένων συνεχών, οπότε f συνεχής στο [, π ] f()=-, f( π )=π άρα f()f( π )<..Θ.Bolzano e Να δειχθεί ότι η εξίσωση = έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο -α β- διάστηµα (α,β) e Υπόδειξη. = (e )(β-)-( )(-α)= ( α,β) -α β- Θεωρούµε τη συνάρτηση f () = (e )(β-)-( )(-α) είναι συνεχής στο [α,β] α Βρίσκουµε f ( α ) = (e )(β-α)>, f ( β ) = (β )(β-α)<, οπότε Θ.Bolzano Αν η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, e] και g()=e, να δείξετε ότι η εξίσωση g()=lne- έχει µία µόνο ρίζα στο (,e). Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση f()= g()-ln-e - για την ύπαρξη ρίζας Θ.Bolzano για την f στο [, e] - για τη µοναδικότητα της ρίζας δείχνουµε ότι f γν. φθίνουσα.. 6 Να δείξετε ότι η εξίσωση = 9 έχει µια τουλάχιστον θετική ρίζα. 6 Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( ) = 9, είναι συνεχής πολυωνυµική. f () = 9 και f () = 5. Θ.Bolzano για την f στο [, ]. 5
. Αν ζητείται η ύπαρξη ρίζας(µιας τουλάχιστον) εξίσωσης στο κλειστό [α, β], τότε εργαζόµαστε όπως προηγουµένως µε την f, προκύπτει συνήθως f ( α). f ( β ), διακρίνουµε περιπτώσεις: i) f ( α). f ( β ) =, οπότε f ( α) = ή f ( β ) = ii) f ( α). f ( β ) < Αν f είναι περιττή και συνεχής στο [-, ]. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον µια ρίζα της f()= στο [-, ]. Υπόδειξη. Θ.Bolzano για την f στο [-, ].όµως f(-)= -f(), άρα f ( ) f ( ) = f ( ) διακρίνουµε περιπτώσεις iii) f(-)f()=, οπότε f(-)= ή f()= iv) f(-)f()< ισχύει.θ.bolzano. Αν ζητείται η ύπαρξη ρίζας(µιας τουλάχιστον) εξίσωσης( ή συνάρτησης) τότε µπορούµε να δείξουµε την ύπαρξη ρίζας µε το σύνολο τιµών. Θεωρούµε τη συνάρτηση f (όπου f()= η τελική εξίσωση) και δείχνουµε ότι το ανήκει στο σύνολο τιµών της f, άρα θα υπάρχει ώστε f( )= Να δείξετε ότι η εξίσωση ln e = έχει µια ακριβώς ρίζα στο (,) Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( ) = ln e, είναι συνεχής στο (,] και f είναι γν. αύξουσα, lim f ( ) = = και f () = e, άρα f ((,]) = (, e] Οπότε ανήκει στο (, e] άρα υπάρχει (,) : f ( ) =, =ρίζα Αφού f γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι µοναδική. 4. Αν ζητείται η ύπαρξη ν (τουλάχιστον) ριζών εξίσωσης(ή συνάρτησης) στο (α, β), τότε χωρίζουµε κατάλληλα το διάστηµα σε ν υποδιαστήµατα εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση. για την f σε κάθε υποδιάστηµα. ή βρίσκουµε το σύνολο τιµών της συνάρτησης µε µονοτονία και εφαρµόζουµε Θ.Ε.Τ. 6 Να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. 6 Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( ) = µε δοκιµές f ( ) =, f ( ) = 69και f () = 57, άρα ισχύει.θ.bolzano στα διαστήµατα [-, ] και [, ]. 5. Περιπτώσεις ύπαρξης ρίζας εξίσωσης σε διαστήµατα της µορφής (α,β) ή (α,β] ή[α,β) όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί ή ± στα ανοικτά διαστήµατα. Στις περιπτώσεις αυτές βρίσκουµε τα όρια στα άκρα α και β και ανάλογα επιλέγουµε κατάλληλο ή δείχνουµε ότι υπάρχει υποδιάστηµα του αρχικού διαστήµατος που να εφαρµόζεται Θ.Bolzano(ή εφαρµόζουµε το Θ.Ε.Τ. µε το σύνολο τιµών). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ) µε lim f ( ) = γ R και lim f ( ) = δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει µόνο ένας αριθµός > τέτοιος ώστε να ισχύει f ( ) e ln = Υπόδειξη. Θεωρούµε τη συνάρτηση g( ) = f ( ) e ln, >.H g είναι είναι γν. αύξουσα ως άθροισµα γν. αυξουσών lim g ( ) = και lim g ( ) = και αφού είναι συνεχής ως άθροισµα συνεχών, το σύνολο τιµών της g είναι όλο το R. Άρα, µε το Θ.Ε.Τ. υπάρχει > : g( )= 6
ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Αν lim f ( ) = τότε υπάρχει >α τέτοιο ώστε f ( ) < a Αν lim f ( ) = τότε υπάρχει <α τέτοιο ώστε f ( ) < a Αν lim f ( ) = τότε υπάρχει >α τέτοιο ώστε f ( ) > (ανάλογα αν a a Αν lim f ( ) = λ> (ή <) τότε υπάρχει >α τέτοιο ώστε f ( ) > (ή <) a Αν lim f ( ) = λ> (ή <) τότε υπάρχει <α τέτοιο ώστε f ( ) > (ή <) a Αν lim f ( ) = λ> (ή <) τότε υπάρχει > τέτοιο ώστε f ( ) > (ή <) ) *Με αυτή την παρατήρηση µπορούµε να εφαρµόζουµε το θεώρηµα Bolzano και σε διαστήµατα της µορφής ( α, ) ή (, ) ή (, β ). Αν η f είναι συνεχής και γν. αύξουσα στο διάστηµα : [α,β] τότε f ([, ]) = [ f ( ), f ( )] α β α β [α,β) τότε f ([ α, β )) = [ f ( α),lim f ( )) β (α,β] τότε f (( α, β ]) = ( lim f ( ), f ( β )] α (α,β) τότε f (( α, β )) = ( lim f ( ), lim f ( )) α β. Αν η f είναι συνεχής και γν. φθίνουσα στο διάστηµα : [α,β] τότε f ([ α, β ]) = [ f ( β ), f ( α)] [α,β) τότε f ([, )) = (lim f ( ), f ( )] α β β (α,β] τότε f (( α, β ]) = [ f ( β ), lim f ( )) α (α,β) τότε f (( α, β )) = ( lim f ( ), lim f ( )) β *Με τη συνέχεια και τη µονοτονία κατά διαστήµατα(θ. παράγωγων) βρίσκουµε το πεδίο τιµών και τα ακρότατα α α 4. α)αν η f είναι συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] τότε f ([ α, β ]) = [ m, M ] έχει µέγιστο Μ(µέγιστη τιµή) και ελάχιστο m(ελάχιστη τιµή), m f ( ) M R. β) Αν η f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστηµα (α, β) τότε το f (( α, β )) µπορεί να είναι ανοικτό ή κλειστό διάστηµα.(συγκεκριµένα προκύπτει µε τη µονοτονία) 7
5. α) Το Θ. Bolzano εξασφαλίζει σηµείο τοµής για τις C f µε τον άξονα χ χ, µε τετµηµένη στο (α,β), f ( ) = (αν εφαρµοστεί και ισχύει για τη συνάρτηση f ). β) Το Θ. Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη σηµείου στο (α, β) ώστε f ( ) = g( ) αν εφαρµοστεί και ισχύει για τη συνάρτηση F( ) = f ( ) g( ) ή εξασφαλίζει σηµείο τοµής για τις C f και C g, µε τετµηµένη στο (α,β), f ( ) = g( ). *Σε όλα τα παραπάνω επιλέγουµε κατάλληλο διάστηµα αν δεν ορίζεται. 6. Μελέτη του πρόσηµου µιας συνεχούς συνάρτησης µε Θ. Bolzano: α) Βρίσκουµε τις ρίζες της f()=. β) ηµιουργούµε τον πίνακα µεταβολής του πρόσηµου της f γ) Στο κάθε διάστηµα που ορίζουν οι ρίζες της f το σύνολο ορισµού της, το πρόσηµο της είναι το πρόσηµο µιας τιµής της f σε ένα σηµείο του διαστήµατος 7. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και για κάθε ( α, β ) f ( ), τότε : Η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (α, β), είναι: f ( ) >, αν f ( ξ ) >, για κάποιο ξ ( α, β ) ή f ( ) <, αν f ( ξ ) <, για κάποιο ξ ( α, β ). *Αν δεν δίνεται η σχέση f ( ) για κάθε, τότε συνήθως την αποδεικνύουµε µε άτοπο, δηλ. υποθέτουµε ότι υπάρχει ώστε f ( ) = Aν f συνεχής στο [-, 5] και f ( ), (,5), µε f()< τότε f ( ) < στο (-,5) 8. Αν f ( ). g( ) = R τότε ( f ( ) = ή g( ) = ) R Άσκηση 7 / Β Οµάδας /.8. Γενικά, αν ισχύει: f() g()=, για κάθε A R, δεν σηµαίνει ότι ισχύει: (f()=, για κάθε A R ) ή (g()=, για κάθε A R ), αλλά σηµαίνει ότι υπάρχει B A, τέτοιο ώστε: ( f() =,για κάθε B ) και ( g() =,για κάθε A B ). Αν, < f() =, και, < g() =, Για τις οποίες ισχύει: f().g()=, για κάθε R. Όµως, καµία από τις συναρτήσεις αυτές δεν είναι η µηδενική συνάρτηση. 8
Άσκηση 7ii σελ.. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις µε την ιδιότητα f ( ) = για R ( ) = ( ) = ( ( ) )( ( ) ) = ( ( ) = ( ) = ) R f f f f f ή f Αν > είναι f ( ), οπότε θα έχει σταθερό πρόσηµο για (, ) και θα έχουµε f ( ) =, > είτε f ( ) =, > Αν < είναι f ( ), οπότε θα έχει σταθερό πρόσηµο για (,) και θα έχουµε f ( ) =, < είτε f ( ) =, < Αν =, f ( ) = Τελικά είναι 4 συναρτήσεις: f ( ) =, R, f ( ) =, R, f ( ) =, R, f ( ) =, R Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις µε την ιδιότητα f ( ) = e f ( ), για κάθε R f ( ) = e f ( ) f ( )( f ( ) e ) = ( f ( ) = ή f ( ) = e ) R Αν f ( ) = για κάθε R, η συνάρτηση είναι συνεχής και είναι µια από τις συναρτήσεις. Αν f ( ξ ) για κάποιο ξ R τότε f ( ξ ) = e ξ. Θα δείξουµε ότι f ( ) = e, για κάθε R Έστω ότι υπάρχει κ, κ ξ : f ( κ ) e κ, άρα f ( κ ) =. Αν κ< ξ τότε f ( ) e κ ξ κ = < < e = f ( ξ ), οπότε από το Θ.Ε.Τ., προκύπτει ότι υπάρχει µ µ ( κ, ξ ) : f ( µ ) = e κ, όµως f ( µ ) = e µ, εποµένως κ=µ, άτοπο. Άρα, f ( ) = e R 9. Για την εύρεση του συνόλου τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης f σε διάστηµα, χρησιµοποιούµε τα και. Αν το πεδίο ορισµού της f είναι ένωση διαστηµάτων ή η f δεν έχει το ίδιο είδος µονοτονίας σε όλο το πεδίο ορισµού(µελετάµε τη µονοτονία κατά διαστήµατα), τότε βρίσκουµε το σύνολο τιµών του κάθε διαστήµατος και το σύνολο τιµών της f είναι η ένωση όλων των συνόλων τιµών. ηλαδή αν A= και στα,, είναι γνησίως µονότονη(όχι απαραίτητα µε την ίδια µονοτονία) τότε f ( Α ) = f ( ) f ( ) f ( ).. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γν. µονότονη µε f:( α, β ) R και f (( α, β)) = ( γδ, ): αν f γν. αύξουσα τότε γ = lim f ( ) και δ = lim f ( ), υπάρχει η a β f 9
που είναι γν. αύξουσα f : y ή f ( ) = y και f (( γ, δ )) = ( α, β ) και lim f ( ) = a, f : y ή γ f ( y) = αν f γν. φθίνουσα τότε δ = lim f ( ) και γ = lim f ( ), υπάρχει η που είναι γν. φθίνουσα a f (( γ, δ )) = ( α, β ) και β lim f ( ) γ β =, lim f ( ) δ f lim f ( ) δ = β = α