ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο µε τετµηµένη (, ). β) υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f( ) f( ) f( ) f( ) f( ). γ) υπάρχει (, ), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(, f( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y. α. Έστω g() f() g () f () () f () >, (, ). ΘΕΜΑ o Θετική Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], συνεπώς η εξίσωση g() έχει το πολύ µία ρίζα στο [, ] (). ος τρόπος µε Θεώρηµα Bolzano Η g είναι συνεχής ως άθροισµα συνεχών στο [, ]. g() f() g() f() g() g() <. Άρα εφαρµόζεται το Θεώρηµα Bolzano, εποµένως υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) ώστε g ( ) f( ) (). Άρα από () και () η ρίζα είναι µοναδική. ος τρόπος µε Θεώρηµα Ενδιαµέσων Τιµών Η f είναι συνεχής στο [, ]. f() < < f() Επειδή f() < < f() το είναι τιµή της συνάρτησης f, εποµένως από Θεώρηµα Ενδιαµέσων Τιµών υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) ώστε f( ) (). Άρα από () και () η ρίζα είναι µοναδική. β. Επειδή η συνάρτησης f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], έχουµε:
f < < f() < f( ) < f() f < < f() < f( ) < f() ( ) f < < f() < f( ) < f() f < < f() < f( ) < f() f() < f( ) f( ) f( ) f( ) < f() f() < < f() () f() < η < f() () ος τρόπος µε Θεώρηµα Bolzano Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() h(), [, ]. Η h είναι συνεχής στο [, ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων h() δηλαδή h() h() <. 8 <, 6 >, Άρα εφαρµόζεται το Θεώρηµα Bolzano, εποµένως υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) ώστε h( ) f( ) f( ) f f f f. ος τρόπος µε Θεώρηµα Ενδιαµέσων Τιµών Επειδή f() < η < f() () το η είναι τιµή της συνάρτησης f, εποµένως από Θεώρηµα Ενδιαµέσων Τιµών υπάρχει τουλάχιστον ένα (, )
γ) Έχουµε ώστε f( ) η. Η f είναι συνεχής στο [, ] και Η f είναι παραγωγίσιµη στο (, ). Σύµφωνα µε το θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f ( ) f() f(). Η εφαπτοµένη της C f στο Μ έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης µε την ευθεία y (τον αριθµό ) άρα είναι παράλληλες.. Τη χρονική στιγµή t χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρµακο. Η συγκέντρωση του φαρµάκου στο αίµα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f(t) αt t ( ) β, t, όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ο χρόνος t µετράται σε ώρες. Η µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης είναι ίση µε µονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες µετά τη χορήγηση του φαρµάκου. α) Να βρείτε τις τιµές των σταθερών α και β. β) Με δεδοµένο ότι η δράση του φαρµάκου είναι αποτελεσµατική, όταν η τιµή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση µε µονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστηµα που το φάρµακο δρα αποτελεσµατικά. ΘΕΜΑ o Θετική α) Για κάθε t έχουµε: f(t) βαt β t και f (t) β α ( t ) β t β (t) (β t ) t(β t ) α (β t ) β β t t α (β t ) β β t α (β t ). Επειδή η f παρουσιάζει ακρότατο στη θέση 6 το και είναι παραγωγίσιµη στο [, ) έχουµε f (6) και f(6). f (6) β 6 (β 6) β 6, αφού β θετικός αριθµός.
f(6) 6α 6 6α 6 6 β) Για α και β 6 έχουµε f(t) βαt β t α. 8t 6 t Η δράση του φαρµάκου είναι αποτελεσµατική, όταν 8t f(t) 6 t, t. t t 6 t [, ].. ίνεται η συνάρτηση f µε f() 8 6, < < α) Να βρεθούν τα f(), (α β ) ln( e) (α )e, f(). β) Να βρεθούν τα α, β, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο. γ) Για τις τιµές των α, β του ερωτήµατος β) να βρείτε το f(). α) έχουµε: f() ( 8 6) 6, f() [(α β ) ln( e) (α) e - ] ΘΕΜΑ o Τεχνολογική (α β ) ln( e) (α ) e - t e u (α β ) lnu (α ) e t (α β )lne (α )e α β α. u e t β) Η f είναι συνεχής στο αν και µόνο αν f() f() f() α β α α β α α β α (α ) β, επειδή οι αριθµοί (α ), β είναι µη αρνητικοί, έχουµε (α ) και β α - και β. γ) Για κάθε και για α -, β έχουµε f() ln( e). Άρα f() ln( e), αφού ( e).
. Φάρµακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρµάκου στον οργανισµό του ασθενούς µετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t. Αν ο ρυθµός µεταβολής της f(t) είναι α) Να βρείτε τη συνάρτηση f(t). 8 t : β) Σε ποια χρονική στιγµή t, µετά τη χορήγηση του φαρµάκου, η συγκέντρωσή του στον οργανισµό γίνεται µέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγµή t 8 υπάρχει ακόµα επίδραση του φαρµάκου στον οργανισµό, ενώ πριν τη χρονική στιγµή t η επίδρασή του στον οργανισµό έχει µηδενιστεί. ( ίνεται ότι ln,) α) Για κάθε t έχουµε f (t) 8 t όπου c πραγµατική σταθερά. ΘΕΜΑ o Τεχνολογική f (t) (8ln(t ) t) f(t) 8 ln(t ) t c, Επειδή τη χρονική στιγµή t δεν υπάρχει συγκέντρωση του φαρµάκου στον οργανισµό θα είναι f() 8ln( ) c c. Άρα f(t) 8ln(t ) t, t. β) Για κάθε t είναι f (t) f (t) t, 8 t - (t ), t οργανισµό γίνεται µέγιστη τη χρονική στιγµή t. f (t) > t [, ) και f f (t) < t >. f Άρα η f παρουσιάζει ολικό µέγιστο ο. µ. f() στη θέση το f(), εποµένως η συγκέντρωση του φαρµάκου στον γ) f(8) 8ln(8 ) 8 8(ln9 ) 8(ln ) 6(ln ) >, αφού > e ln > lne ln >. Άρα κατά τη χρονική στιγµή t 8 υπάρχει ακόµα επίδραση του φαρµάκου στον οργανισµό. f() 8ln( ) 8ln 8, -,8 <. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [8, ], άρα το σύνολο τιµών είναι f([8, ]) [f(), f(8)]. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [8, ] f() < < f(8) f([8, ]), δηλαδή το ανήκει στο σύνολο τιµών
Άρα υπάρχει χρονική στιγµή t (8, ) τέτοια ώστε f(t ), εποµένως η επίδραση του φαρµάκου στον οργανισµό έχει µηδενιστεί πριν τη χρονική στιγµή t.. Έστω f: συνάρτηση συνεχής στο. Έστω J: η συνάρτηση µε J() [(f(t)) t f(t) t ] dt, για. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση J παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο t f(t) dt. Για κάθε έχουµε J() (f(t)) dt t f(t) dt t dt και J () ( (f(t)) dt ) () ( t f(t) d t t dt ) t f(t) dt - t dt t t f(t) dt - t f(t) d t. Οπότε J () t f(t) dt, J () > > t f(t) dt και J () < < t f(t) dt. Άρα η συνάρτηση J παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο t f(t) dt. 6. Έστω η συνάρτηση f: (, ), µε f() ln( ). Έστω c πραγµατικός µεγαλύτερος του. Έστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y c και η γραφική παράσταση της f τέµνονται σε δύο διαφορετικά σηµεία του επιπέδου, τα Α και Β. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f, στα Α και Β, είναι κάθετες µεταξύ τους. Επειδή ln( ) > > >, ο τύπος της f χωρίς απόλυτη τιµή γράφεται f() ln( ), ln( ), < < Οι τετµηµένες των κοινών σηµείων της ευθείας y c και της C f βρίσκονται από τη λύση της εξίσωσης f() c ln( ) c
Έστω ln( ) c c> ln( ) c ή c (c ) ln( ) - (c ) e ή e. c e (c ) και e. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι Α(, f( )) και B(, f( )). Για να δείξουµε ότι οι εφαπτόµενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες µεταξύ τους, αρκεί να δείξουµε ότι f ( ) f () -. Εποµένως Για > έχουµε f () Επειδή c > είναι c > έχουµε c e > >, και (c ) e < < <. και για < < έχουµε f () - f ( ) f ( ) c e ( (c) e ) c e (c ) e. - e -.. Έστω f, g:, είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει f() g(), για. Έστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y - είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f, καθώς. α) Να βρείτε τα όρια g() και g() ηµ f(). β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g, καθώς. α) Επειδή η ευθεία µε εξίσωση y είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f, καθώς, έχουµε f() και (f() ) -. Από την f() g() g() f(), για, οπότε g() Άρα γατί f() g() ηµ f() ( f() ). g() ηµ (f() ) -,
ηµ και ηµ ηµ, αφού >, ηµ, άρα - ηµ, επειδή από κριτήριο παρεµβολής έχουµε β) Από α) έχουµε λ - -. g(). ηµ Επειδή β (g() ) (f() ) (f() ) Η ευθεία µε εξίσωση y, είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, καθώς.. 8. Θεωρούµε παραγωγίσιµη συνάρτηση f: f() ( ) f () e για κάθε, µε f(). α) Να αποδείξετε ότι f() e,. τέτοια ώστε: β) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f. α) Για κάθε είναι f() ( ) f () e ( ) f() ( ) f () (e ) [( ) f()] (e ) ( ) f() e c (), όπου c πραγµατική σταθερά. Για έχουµε f() και η () γράφεται ( ) f() e c c c. Έτσι από την () έχουµε ότι ( ) f() e f() β) Για κάθε έχουµε f () (e ) ( ) e ( ) ( ) το ίσον να ισχύει µόνο για. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. e( ) e ( ) e() ( ) e,., µε
9. Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο. α) Να αποδείξετε ότι f( ) d f() d. β) Έστω ότι f( ) d f() d. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ). α) Για το ολοκλήρωµα f( ) d, Θέτουµε u (u ) d du και έχουµε: Για u ενώ για u. Οπότε f( ) d f(u) du β) Η δοθείσα ισότητα λόγω του α) γράφεται f(u) du f() d. f() d f() d f() d. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() f(u) du, [, ]. Η g είναι συνεχής στο [, ] (διαφορά συνεχών συναρτήσεων) Η g είναι παραγωγίσιµη στο (, ) (διαφορά παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε g () f(). g() f(u) du -, g() f(u) du 8 -, άρα g() g(). Σύµφωνα µε το θεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε g (ξ) f(ξ) f(ξ).. Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση f: που ικανοποιεί την ισότητα: ( t ) f(t) dt 6 (t t) dt,. α) Να αποδείξετε ότι f(). β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της Α(, f()).
α) Η δοθείσα ισότητα γράφεται ( t ) f(t) dt ( t ) f(t) dt (6t 6t) dt t t ( t ) f(t) dt ( ) ( t ) f(t) dt (),. Παραγωγίζουµε τα δύο µέλη της () και έχουµε ( )f() f(),. β) Για κάθε έχουµε ( ) ( ) f () ( ) f () ενώ f(). ( ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y f() f ()( ) y. και. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε f(),. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() f(y) µε, y, παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα. α) Η εξίσωση f() f(y) γράφεται, y y y y - 6 y y - 6 ( ) (y ), που είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ. β) f() ή. Η f είναι συνεχής στο [, ] και f() για κάθε [, ], οπότε το εµβαδό είναι: E f() d - f() d - ( ) d - τ.µ.