1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 2. Όµοια ορθογώνια τρίγωνα : ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν µία οξεία γωνία ίση ΣΚΗΣΙΣ 1. Έστω τρίγωνο µε = 8 cm και = 12 cm. Στις, παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα έτσι ώστε = 2 και = 3. Να αποδείξετε ότι // Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όµοια γ) ν = 4, να υπολογίσετε το µήκος της = 8 2 = 4 άρα = 4 = 12 = 4 άρα = 4 3 Συνεπώς το είναι οµοιόθετο του στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ= 4. Άρα το // πό το ( προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι οµοιόθετο του στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ= 4. Άρα το όµοιο του γ) πό το ( προκύπτει ότι = 4 = 16

2 2. πό τυχαίο σηµείο Μ της οξυγωνίου τριγώνου φέρνουµε ΜΚ και ΜΛ. ν είναι ύψος του τριγώνου να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα ΜΚ και είναι όµοια και να γράψετε την αναλογία των πλευρών τους Τα τρίγωνα ΜΛ και είναι όµοια Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΚ και έχουν τη γωνία κοινή, άρα είναι όµοια. Μ ποµένως = ΜΚ = Κ Σχόλιο 1 Ορθογώνια και η ɵ κοινή B Κ A Μ Λ 3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουµε τα ύψη του, και Ζ. Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα και Ζ είναι όµοια και να γράψετε την Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα κα Ζ είναι όµοια Έχουν Ζ = = 90 ο και κοινή = Ζ = Σχόλιο 1 Ζ Ζ = ɵ = 90 ο και κοινή B Ζ A

3 4. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές = 8cm και A= 6cm. πό το µέσο της φέρνουµε τµήµα. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όµοια Να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου = ɵ = 90 ο και κοινή Πυθαγόρειο στο : 2 = 2 + 2 = = 64 + 36 = = 100 άρα = 10 πό το ( έχουµε ότι = = άρα 8 = 6 = 10 4 = 3,2 cm και = 2,4 cm Σχόλιο 1 5. Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Η διχοτόµος του προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο. είξτε ότι τα τρίγωνα και είναι όµοια και γράψτε την είξτε ότι = = ως κατακορυφήν και = ɵ ως εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Άρα τα τρίγωνα είναι όµοια. = = πό το ( είναι = άρα =

4 6. Στο διπλανό σχήµα το είναι παραλληλόγραµµο. Τυχαία ευθεία από το τέµνει τη στο Κ, τη στο Λ και τη στο Μ. είξτε ότι Κ όµοιο µε το ΚΜ και γράψετε την ΚΛ όµοιο µε το Κ και γράψετε την γ) Κ 2 = ΚΜ ΚΛ Έχουν Κ = ΚΜ ως κατακορυφήν και ω ˆ = φ ˆ ως εντός εναλλάξ Κ Άρα είναι όµοια, οπότε ΚΜ = Κ Κ = Μ (1) Έχουν Κ = ΚΛ ως κατακορυφήν και ˆσ = η ˆ ως εντός εναλλάξ ΚΛ Άρα είναι όµοια, οπότε Κ = Λ = Κ (2) Κ γ) Κ πό τις (1) (2) (έχουν µέλη ίσ συµπεραίνουµε ότι ΚΜ = ΚΛ Κ άρα σ ω η Κ 2 = ΚΛ ΚΜ φ 7. Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα του διπλανού σχήµατος είναι όµοια Να βρείτε τον λόγο οµοιότητας Στο τρίγωνο Ζ είναι + ɵ + Ζ = 180 ο 100 ο + ɵ + 50 ο = 180 ο ɵ = 30 ο 50 100 ο ο 5 Ζ 2 50 ο 30 ο φού ɵ = = 30 ο και Ζ = ɵ = 50 ο τα τρίγωνα είναι όµοια λ = Ζ = 5 2

5 8. Στο διπλανό σχήµα το είναι ύψος και η διάµετρος. είξτε ότι ɵ = 90 ο Τα τρίγωνα και είναι όµοια πειδή διάµετρος, η ɵ είναι εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο οπότε ɵ = 90 ο Έχουν = ɵ = 90 ο και = ɵ ως εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο 9. Στο διπλανό σχήµα να δείξετε ότι τα Κ Λ ορθογώνια είναι όµοια Ο 50 ο Ζ 50 ο Σε κάθε ορθογώνιο οι διαγώνιες είναι Ν Μ ίσες και διχοτοµούνται, εποµένως τα τρίγωνα Ο και ΖΚΝ είναι ισοσκελή και επειδή έχουν ίσες τις γωνίες της κορυφής τους, θα έχουν ίσες όλες τις γωνίες τους, εποµένως είναι όµοια. ΚΝ = Ο (1) ΚΖ Το ίδιο ισχύει και για τα τρίγωνα Ο και ΖΚΛ αφού οι γωνίες της κορυφής τους είναι 130 ο ως παραπληρωµατικές των γωνιών των 50 ο. ΚΛ = Ο (2) ΚΖ πό τις (1) και (2) έχουµε ότι ΚΝ = και εποµένως ΚΛ ΚΝ = ΚΛ = ΝΜ = ΛΜ Και επειδή οι γωνίες των ορθογωνίων είναι ίσες σαν ορθές, τα ορθογώνια είναι όµοια

6 10. Σε ορθογώνιο τρίγωνο φέρνουµε το ύψος στην υποτείνουσα είξτε ότι Τα τρίγωνα και είναι όµοια Τα τρίγωνα και είναι όµοια = = 90 ο και κοινή = = 90 ο Όµως στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε + ɵ = 90 ο και στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε + = 90 ο ποµένως είναι ɵ = Συνεπώς τα τρίγωνα είναι όµοια (δύο γωνίες ίσες) 11. Στο πρώτο τρίγωνο είναι // Στο δεύτερο είναι ɵ = = ω Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε τα x και y Στο πρώτο τρίγωνο Τα τρίγωνα και έχουν την κοινή Άρα είναι όµοια, οπότε Στο δεύτερο τρίγωνο και = από την παραλληλία = = 13 10 = y + 4 y = 20 x 13 10 = y + 4 13 και y 10 = 20 x 13y = 10y + 40 και 13x = 200 10y = 40 και 13x = 200 y = 40 3 4 και x = 200 13 Τα τρίγωνα και έχουν την κοινή και ɵ = = ω άρα είναι όµοια = = 8 άρα 4 = 10 y = 8 απ όπου εύκολα y = 5 και x = 4 x