Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα των περιορισμών είναι το εξής: Η εξίσωση είναι μία ισότητα που περιέχει μία μεταβλητή, για παράδειγμα: 2x + 1 = 5 (1). Στην εξίσωση, έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε στη θέση του x οποιονδήποτε αριθμό. Αν στη θέση του x αντικαταστήσουμε το 5 τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: 2 5 + 1 = 5 10 + 1 = 5 11 = 5 (δεν ισχύει) Αν στη θέση του x αντικαταστήσουμε το 2 τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: 2 2 + 1 = 5 4 + 1 = 5 5 = 5 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης ενώ ο αριθμός 5 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο σε παρονομαστή ή κάτω από ρίζα, όπως οι εξισώσεις Έτσι, στην εξίσωση 6 x 2 6 x 2 = 1 και 2x + 1 = 5. = 1 μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x αριθμούς όπως το 5 ή το 8, όμως δεν έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε τον αριθμό 2. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 5, τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: 6 5 2 = 1 6 = 1 2 = 1 (δεν ισχύει) 3 Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 5 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 8, τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: 6 8 2 = 1 6 6 = 1 1 = 1 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 8 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν όμως αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 2, τότε δημιουργείται πρόβλημα γιατί στην ισότητα που προκύπτει υπάρχει μηδέν στον παρονομαστή οπότε το κλάσμα δεν έχει νόημα, συνεπώς και η εξίσωση δεν έχει νόημα: 6 2 2 = 1 6 = 1 (δεν έχει νόημα) 0 γιατί στους πραγματικούς αριθμούς η διαίρεση 6:0 δεν είναι δυνατόν να βγάλει αποτέλεσμα έναν πραγματικό αριθμό α, αφού τότε θα έπρεπε να ισχύει α 0 = 6, πράγμα που είναι αδύνατον μιας και δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να πολλαπλασιαστεί με το μηδέν και να δώσει αποτέλεσμα οτιδήποτε άλλο εκτός από μηδέν. Παρομοίως, στην εξίσωση 2x + 1 = 5 μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x αριθμούς όπως το 10 ή το 12, όμως δεν έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε

αριθμούς όπως το 2 ή το 3. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 10 τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: 2 10 + 1 = 5 20 + 1 = 5 21 = 5 (δεν ισχύει) Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 12 τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: 2 12 + 1 = 5 24 + 1 = 5 25 = 5 5 = 5 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 12 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης ενώ ο αριθμός 10 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν όμως αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 2 τότε δημιουργείται πρόβλημα γιατί στην ισότητα που προκύπτει υπάρχει μία παράσταση (η 3) που δεν έχει νόημα: 2 ( 2) + 1 = 5 4 + 1 = 5 3 = 5 (δεν έχει νόημα) γιατί στους πραγματικούς αριθμούς δεν είναι δυνατόν να υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού εφόσον δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να υψωθεί στο τετράγωνο και να μας δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι υπάρχουν εξισώσεις στις οποίες έχουμε δικαίωμα να βάλουμε στη θέση του x οποιονδήποτε αριθμό (ασχέτως αν επαληθεύει ή όχι την εξίσωση) αλλά υπάρχουν και εξισώσεις στις οποίες δεν έχουμε δικαίωμα να βάλουμε στη θέση του x όλους τους αριθμούς γιατί υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους δεν έχει νόημα η εξίσωση. Οι περιπτώσεις αυτές είναι οι κλασματικές εξισώσεις (όπου δεν είναι δυνατόν ο παρονομαστής να είναι μηδέν) και οι άρρητες εξισώσεις (όπου δεν είναι δυνατόν η υπόριζη ποσότητα να είναι αρνητική). Σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει, πριν ξεκινήσουμε να λύνουμε την εξίσωση, να βάλουμε κατάλληλους περιορισμούς ώστε να εντοπίσουμε τους αριθμούς που επιτρέπεται να βάλουμε στη θέση του x, δηλαδή τους αριθμούς για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση. Έτσι, αν η εξίσωση έχει παρονομαστή, πρέπει να βάλουμε περιορισμό ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Αν η εξίσωση έχει ρίζα, πρέπει να βάλουμε περιορισμό η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Λύνοντας τους περιορισμούς βρίσκουμε τους αριθμούς για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση. Το σύνολο αυτών των αριθμών για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση και τους οποίους επιτρέπεται να αντικαταστήσουμε στη θέση του x, λέγεται σύνολο αναφοράς της εξίσωσης. Είναι φανερό ότι, αν μία εξίσωση έχει πολλούς παρονομαστές ή πολλές ρίζες ή και τα δύο, τότε πρέπει να βάλουμε πολλούς περιορισμούς (έναν περιορισμό για κάθε παρονομαστή και έναν περιορισμό για κάθε ρίζα) και στο τέλος να βρούμε την τομή τους (δηλαδή τις κοινές τους λύσεις) αφού θέλουμε να ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί προκειμένου να έχει νόημα η εξίσωση. Έτσι, στην εξίσωση 2x + 1 = 5 πρέπει να βάλουμε περιορισμό: 2x + 1 0 x 1 2 οπότε, οι τιμές για τις οποίες έχει νόημα η εξίσωση, είναι όλοι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το 1 ή το 1. Άρα το σύνολο αναφοράς της εξίσωσης είναι το 2 2, + ) και στο x επιτρέπεται να βάλουμε μόνον αυτές τις τιμές. Αν λύσουμε την [ 1 2 εξίσωση και βρούμε κάποια λύση (ρίζα) που δεν περιέχεται σε αυτό το διάστημα, είμαστε υποχρεωμένοι να μην τη δεχτούμε ως λύση της εξίσωσης αφού για αυτό τον

αριθμό η εξίσωση δεν έχει νόημα. Αφού, λοιπόν, λύσουμε την εξίσωση, πρέπει να εντοπίσουμε ποιες λύσεις (ρίζες) περιέχονται στο σύνολο αναφοράς και ποιες όχι. Αυτές που περιέχονται θα τις χαρακτηρίσουμε «δεκτές» και για αυτές που δεν περιέχονται θα πρέπει να αναφέρουμε ότι «απορρίπτονται». Οι μεθοδολογίες για την επίλυση εξισώσεων που προτείνονται παρακάτω δεν είναι απαράβατοι κανόνες. Μία εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί και με άλλους τρόπους, όπως επίσης, υπάρχουν εξισώσεις για τις οποίες, οι μεθοδολογίες αυτές δεν είναι επαρκείς. Ωστόσο, είναι επαρκείς για έναν μεγάλο αριθμό ασκήσεων που άπτονται της σχολικής ύλης και σκοπός τους είναι η απόκτηση αυτοματισμού ως υποδομή για την αντιμετώπιση επόμενων, πιο σύνθετων προβλημάτων που τις προαπαιτούν.

Επίλυση ΡΗΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (με παρονομαστές) Για να λύσουμε μία ρητή (κλασματική) εξίσωση, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Απαλοιφή παρονομαστών Για να διώξουμε τους παρονομαστές πρέπει να κάνουμε τα παρακάτω τρία βήματα: α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (για τους τρόπους που έχουμε στη διάθεσή μας για να κάνουμε παραγοντοποίηση, δες το αρχείο για την παραγοντοποίηση). β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς: κάθε παράγοντας του ΕΚΠ πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. γ) Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ όλους τους όρους της εξίσωσης και απλοποιούμε. Μετά την απλοποίηση δεν θα υπάρχουν πια παρονομαστές. 2. Απαλοιφή παρενθέσεων Όταν έχουν απλοποιηθεί οι παρονομαστές, πρέπει να καθαρογράψουμε την εξίσωση προσέχοντας να βάλουμε τους αριθμητές μέσα σε παρένθεση. Στη συνέχεια βγάζουμε τις παρενθέσεις με τους κανόνες της απαλοιφής παρενθέσεων (δες το αντίστοιχο αρχείο για την απαλοιφή παρενθέσεων). 3. Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους Αν η εξίσωση είναι πρώτου βαθμού, σε αυτό το βήμα χωρίζω τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους. 3. Φέρνω όλους τους όρους στο 1 ο μέλος Αν η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού και πάνω, φέρνω όλους τους όρους στο 1ο μέλος ώστε στο 2ο μέλος μένει το 0. 4. Αναγωγή όμοιων όρων Στη συνέχεια κάνουμε τις πράξεις προσθέτοντας τους όμοιους όρους (τα όμοια μονώνυμα, δηλαδή τους αριθμούς με τους αριθμούς, τα x με τα x, τα x 2 με τα x 2, τα x 3 με τα x 3 και ούτω καθεξής). 5. Βρίσκω τη λύση Αν είναι 1ου βαθμού λύνω ως προς x διαιρώντας και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν τότε: αν βγει 0x = 0 είναι ταυτότητα, αν βγει 0x = α είναι αδύνατη. 5. Βρίσκω τη λύση Αν η εξίσωση είναι 2ου βαθμού λύνω με διακρίνουσα: Δ = β 2 4αγ β ± Δ x = 2α Αν Δ>0 έχει 2 λύσεις άνισες. Αν Δ=0 έχει 1 διπλή λύση. Αν Δ<0 είναι αδύνατη. 5. Βρίσκω τη λύση Αν η εξίσωση είναι 3ου βαθμού, παραγοντοποιώ με σχήμα Horner ή με άλλον τρόπο (κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση, ταυτότητες).

6. Δεκτές απορρίπτονται Τέλος, εξετάζω αν οι ρίζες (οι οποίες σε μία κλασματική εξίσωση είναι συγκεκριμένοι αριθμοί) είναι δεκτές ή απορρίπτονται με βάση τους περιορισμούς (οι οποίοι σε μία κλασματική εξίσωση είναι επίσης αριθμοί). Παράδειγμα Λύνουμε την παρακάτω εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε: 1) Απαλοιφή παρονομαστών 1 3x 2 x + 1 + x2 + 3x + 2 = 2 x x + x 2 α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές: 1 3x 2 x + 1 + x2 + 3x + 2 2 = x x(1 + x) β) Βρίσκουμε το ΕΚΠ και βάζουμε περιορισμούς: ΕΚΠ = x(x + 1) Περιορισμοί: α) x 0 και β) x + 1 0 x 1 γ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ και απλοποιούμε x(x + 1) 1 3x2 x + 1 + x(x + 1) x2 + 3x + 2 x (τα πράσινα απλοποιούνται) 2) Απαλοιφή παρενθέσεων: 2 = x(x + 1) x(1 + x) x(1 3x 2 ) + (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 2 (προσέξτε ότι, αφού απλοποιηθούν οι παρονομαστές, οι αριθμητές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος πρέπει να μπουν μέσα σε παρένθεση) x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x + 2 = 2 3) Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος: x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x + 2 2 = 0 4) Πράξεις (αναγωγή όμοιων όρων) 5) Λύσεις 2x 3 + 4x 2 + 6x = 0 (Η εξίσωση είναι 3 ου βαθμού, αλλά δεν έχει σταθερό όρο (για να δοκιμάσουμε με σχήμα Horner), οπότε βγάζουμε το x κοινό παράγοντα)

x( 2x 2 + 4x + 6) = 0 x = 0 ή 2x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 2x + 3 = 0 Δ = 2 2 4 ( 1) 3=16 x = 2 ± 16 2( 1) x = 1 ή x = 3 6) Δεκτές απορρίπτονται Επειδή στο βήμα 1β βάλαμε τους περιορισμούς α) x 0 και β) x 1, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τρεις λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή αν απορρίπτονται: Η λύση x = 0 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού (α). Η λύση x = 1 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού (β). Η λύση x = 3 είναι δεκτή εφόσον δεν προσκρούει σε κάποιον περιορισμό.

Επίλυση ΡΗΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ (με παρονομαστές) Όταν έχουμε να λύσουμε μία ρητή (κλασματική) ανίσωση, συνήθως δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Για να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο). Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν γνωρίζουμε αν το ΕΚΠ είναι θετικό ή αρνητικό. Όμως, για να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ, πρέπει να γνωρίζουμε αν το ΕΚΠ είναι θετικό ή αρνητικό, γιατί αν είναι θετικό θα πρέπει η φορά της ανισότητας να παραμείνει ενώ αν είναι αρνητικό θα πρέπει να αλλάξει. Εάν, λοιπόν, δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του ΕΚΠ τότε δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ και συνεπώς δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Αντί για αυτό, μπορούμε να κάνουμε το εξής: 1. Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος 2. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (για τους τρόπους που έχουμε στη διάθεσή μας για να κάνουμε παραγοντοποίηση, δες το αρχείο για την παραγοντοποίηση). β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς: κάθε παράγοντας του ΕΚΠ πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. γ) Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και τα κάνουμε ένα κλάσμα. 3. Πίνακας προσήμου Στη συνέχεια πρέπει να κάνουμε πίνακα προσήμου για να βρούμε τη λύση της ανίσωσης. Ο παρονομαστής είναι ήδη παραγοντοποιημένος. Πρέπει να τακτοποιήσουμε τον αριθμητή. Αν ο αριθμητής είναι 1 ου ή 2 ου βαθμού, κάνουμε απλώς τις πράξεις (αναγωγή όμοιων όρων). Αν ο αριθμητής είναι 3 ου βαθμού και πάνω, πρέπει ή να τον παραγοντοποιήσουμε κατευθείαν ή να κάνουμε πρώτα τις πράξεις και μετά να τον παραγοντοποιήσουμε, ανάλογα τι είναι πιο βολικό. Αφού κάνουμε τον πίνακα προσήμου, στον οποίο φροντίζουμε να έχουμε περάσει τους περιορισμούς, επιλέγουμε τα διαστήματα στα οποία το κλάσμα είναι θετικό ή τα διαστήματα στα οποία το κλάσμα είναι αρνητικό, ανάλογα με τη φορά της ανισότητας. Παράδειγμα Λύνουμε την παρακάτω ανίσωση ακολουθώντας τα βήματα της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε: 1 3x 2 x + 1 + x2 + 3x + 2 2 x x + x 2 1. Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος 1 3x 2 x + 1 + x2 + 3x + 2 x 2. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα 2 x + x 2 0

α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές 1 3x 2 x + 1 + x2 + 3x + 2 2 x x(1 + x) 0 β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς ΕΚΠ = x(x + 1) Περιορισμοί: α) x 0 και β) x + 1 0 x 1 γ) Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και τα κάνουμε ένα κλάσμα. 3. Πίνακας προσήμου x(1 3x 2 ) x(x + 1) + (x + 1)(x2 + 3x + 2) 2 x(x + 1) x(1 + x) 0 x(1 3x 2 ) + (x + 1)(x 2 + 3x + 2) 2 x(x + 1) x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x + 2 2 x(x + 1) 2x 3 + 4x 2 + 6x x(x + 1) 2x( x 2 + 2x + 3) x(x + 1) 2( x 2 + 2x + 3) (x + 1) 0 0 0 0 0 Μετά την απλοποίηση το κλάσμα έχει δύο παράγοντες που θα βάλουμε στον πίνακα προσήμου, το x 2 + 2x + 3 στον αριθμητή και το x + 1 στον παρονομαστή (το 2 είναι θετικός αριθμός και δεν επηρεάζει το πρόσημο, οπότε δεν χρειάζεται να το συμπεριλάβουμε στον πίνακα προσήμου. Θα πρέπει να βρούμε και τις ρίζες του κάθε παράγοντα για να τις βάλουμε στον πίνακα προσήμου: x 2 + 2x + 3 = 0 Δ = 2 2 4 ( 1) 3=16 2 ± 16 x = 2( 1) x = 1 ή x = 3 x + 1 = 0 x = 1 Επίσης, δεν πρέπει να ξεχάσουμε να συμπεριλάβουμε στον πίνακα προσήμου και τους περιορισμούς x 0 και x 1. Στους περιορισμούς βάζουμε διπλή γραμμή στον πίνακα προσήμου. x 1 0 3 + x 2 + 2x + 3 + + x + 1 + + + P(x) + + +

Επειδή η ανίσωση ζητά το κλάσμα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, θα διαλέξουμε τα διαστήματα στα οποία το P(x) είναι θετικό. Επίσης επειδή έχουμε μεγαλύτερο ή ίσο ( ), τα διαστήματα θα είναι κλειστά, εκτός από τα άκρα 1 και 0, στα οποία τα διαστήματα πρέπει να είναι ανοικτά λόγω των περιορισμών. Συνοψίζοντας, η λύση της ανίσωσης είναι: x (, 1) ( 1,0) (0,3]

Επίλυση ΑΡΡΗΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (με ρίζες) Για να λύσουμε μία εξίσωση με ρίζες κάνουμε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιορισμοί Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην εξίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η εξίσωση. 2. Απομονώνουμε μία ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της εξίσωσης. Αν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο Για να λυθεί η εξίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο. Για να υψώσουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, ώστε να ισχύει το αντίστροφο. Στο ένα μέλος της εξίσωσης έχουμε ήδη απομονώσει μία ρίζα, που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι και αυτή μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, τότε μπορούμε να υψώσουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι αρνητική, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού μία παράσταση που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός δεν μπορεί να είναι ίση με μία παράσταση μικρότερη του μηδενός. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 έως 3, όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες. Στη συνέχεια λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει αφού έχουν εξαφανιστεί όλες οι ρίζες. 4. Δεκτές-απορρίπτονται Εξετάζουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή απορρίπτονται με βάση τους περιορισμούς. Παράδειγμα: 1. Περιορισμοί 2. Απομονώνουμε τη ρίζα 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο 2 x + 5 2 = x Περιορισμός: x + 5 0 x 5 (α) 2 x + 5 = x + 2 Το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορεί να είναι και μικρότερο του μηδενός. Θα πρέπει κανονικά να εξετάσουμε κάθε περίπτωση χωριστά:

1 η περίπτωση Αν x + 2 0 x 2 (β) τότε και τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, οπότε, αν υψώσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο θα ισχύει το αντίστροφο. 2 x + 5 = x + 2 (2 x + 5) 2 = (x + 2) 2 4(x + 5) = x 2 + 4x + 4 Αν υπάρχουν ακόμη ρίζες στην εξίσωση, επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. 4x + 20 = x 2 + 4x + 4 0 = x 2 + 4x + 4 4x 20 0 = x 2 16 x = 4 ή x = 4 2 η περίπτωση Αν x + 2 < 0 x < 2 τότε το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι αρνητικός αριθμός ενώ το πρώτο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει για καμία τιμή του x οπότε η εξίσωση 2 x + 5 = x + 2 είναι αδύνατη. Η 2 η περίπτωση, λοιπόν, θα είναι πάντα αδύνατη, οπότε δεν χρειάζεται να την εξετάζουμε στις εξισώσεις με ρίζες. 4. Δεκτές - απορρίπτονται Πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή αν απορρίπτονται σύμφωνα με τους περιορισμούς. Έχουμε βάλει έναν περιορισμό (α) για όλη την εξίσωση: x 5 και έναν περιορισμό (β) για τη συγκεκριμένη 1 η περίπτωση: x 2 Οι περιορισμοί αυτοί συναληθεύουν για x 2 οπότε: Η λύση x = 4 είναι δεκτή Η λύση x = 4 απορρίπτεται

Επίλυση ΑΡΡΗΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ (με ρίζες) Για να λύσουμε μία ανίσωση με ρίζες κάνουμε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιορισμοί Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην ανίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η ανίσωση. 2. Απομονώνουμε μία ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της ανίσωσης. Αν η ανίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο Για να λυθεί η ανίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο. Για να υψώσουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, ώστε να ισχύει το αντίστροφο. Στο ένα μέλος της ανίσωσης έχουμε ήδη απομονώσει μία ρίζα, που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι και αυτή μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, τότε μπορούμε να υψώσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι αρνητική, τότε η ανίσωση είναι αδύνατη ή ισχύει για κάθε x που ικανοποιεί τους περιορισμούς που βάλαμε προηγουμένως. Τι από τα δύο είναι εξαρτάται από τη φορά της ανισότητας. Είμαστε υποχρεωμένοι να εξετάσουμε ξεχωριστά και τις δύο περιπτώσεις και να βρούμε τις λύσεις κάθε περίπτωσης. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 έως 3, όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες. Στη συνέχεια λύνουμε την πολυωνυμική ανίσωση που προκύπτει αφού έχουν εξαφανιστεί όλες οι ρίζες. 4. Συναλήθευση Για κάθε μία από τις περιπτώσεις που έχουμε χωρίσει παραπάνω και έχουμε βρει τη λύση της, πρέπει να βρούμε που συναληθεύει η λύση που βρήκαμε με τους γενικούς περιορισμούς της ανίσωσης και με τους περιορισμούς της συγκεκριμένης περίπτωσης. Οι λύσεις όλων των περιπτώσεων είναι λύσεις της αρχικής ανίσωσης, οπότε για να βρούμε την τελική λύση της ανίσωσης κάνουμε ένωση των λύσεων που βρήκαμε σε όλες τις περιπτώσεις. Παράδειγμα: 1. Περιορισμοί 2 x + 5 2 > x Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην ανίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η ανίσωση. Περιορισμός: x + 5 0 x 5 (α)

2. Απομονώνουμε τη ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της ανίσωσης. Αν η ανίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο 2 x + 5 > x + 2 Για να λυθεί η ανίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Δεν μπορούμε όμως να υψώσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης στο τετράγωνο. Επειδή το πρώτο μέλος της ανίσωσης είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο μόνον αν και το δεύτερο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός και τότε θα ισχύει και το αντίστροφο. Το x + 2 στο δεύτερο μέλος της ανίσωσης μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορεί να είναι και μικρότερο του μηδενός. Εξετάζουμε ξεχωριστά κάθε περίπτωση: 1 η περίπτωση Αν x + 2 0 x 2 (β) τότε και τα δύο μέλη της ανίσωσης είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, οπότε, μπορούμε να υψώσουμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο και θα ισχύει και το αντίστροφο: 2 x + 5 > x + 2 (2 x + 5) 2 > (x + 2) 2 4(x + 5) > x 2 + 4x + 4 Αν υπάρχουν ακόμη ρίζες στην ανίσωση, επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες και στη συνέχεια λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει. 4x + 20 > x 2 + 4x + 4 0 > x 2 + 4x + 4 4x 20 0 > x 2 16 x 2 16 < 0 Προσοχή, αν η ανίσωση είναι δευτέρου βαθμού και πάνω, ο ασφαλέστερος και συχνά μοναδικός τρόπος για να λυθεί είναι ο πίνακας προσήμου: x - 4 4 + x 2 16 + + x ( 4, 4) 2 η περίπτωση Αν x + 2 < 0 x < 2 (γ) τότε το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι αρνητικός αριθμός. Δεδομένου ότι το πρώτο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, η ανίσωση 2 x + 5 > x + 2 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x, με την προϋπόθεση, όμως, ότι καλύπτονται οι περιορισμοί που βάλαμε: (α) x 5, για όλη την ανίσωση και (γ) x < 2, για τη συγκεκριμένη 2 η περίπτωση. 4. Συναλήθευση λύσης & περιορισμών Στον άξονα βρίσκουμε ότι οι δύο περιορισμοί συναληθεύουν στο διάστημα [ 5, 2), οπότε, η λύση της ανίσωσης 2 x + 5 > x + 2 για τη 2 η περίπτωση, είναι το διάστημα στο οποίο συναληθεύουν οι δύο περιορισμοί, αφού η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε x (ταυτοανισότητα): x [ 5, 2)

4. Συναλήθευση λύσης & περιορισμών Επειδή η λύση της ανίσωσης είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, δεν είναι δυνατόν να αποφανθούμε αν είναι δεκτή η απορρίπτεται, όπως κάνουμε με τις λύσεις της εξίσωσης. Εδώ πρέπει να βρούμε που συναληθεύουν η λύση και οι περιορισμοί. Έχουμε βάλει έναν περιορισμό (α) για όλη την ανίσωση: x 5 και έναν περιορισμό (β) για τη συγκεκριμένη 1 η περίπτωση: x 2 Στον άξονα βρίσκουμε ότι η λύση και οι περιορισμοί συναληθεύουν στο διάστημα [2, 4), οπότε η λύση της ανίσωσης 2 x + 5 > x + 2 για την 1 η περίπτωση είναι: x [2, 4) Όταν μία ανίσωση χωρίζεται σε περιπτώσεις, η τελική λύση της ανίσωσης είναι η ένωση των λύσεων της κάθε περίπτωσης, αφού και η λύση της 1 ης περίπτωσης είναι λύση της ανίσωσης αλλά και η λύση της 2 ης περίπτωσης είναι επίσης λύση της ανίσωσης. Συνοψίζοντας, λοιπόν, τις δύο περιπτώσεις, η τελική λύση της ανίσωσης είναι: x [2, 4) [ 5, 2) = [ 5, 4)