2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής. Β. Να υπολογίσετε τα όρια: i. lim f( ) ii. lim f( ) iii. lim f( ) 0 Γ. Να υπολογίσετε τα όρια: i. lim ii. f ( lim ) f ( ) Δ. Να υπολογίσετε τα όρια: f( ) f( ) i. lim ii. lim 3 3 iii. lim f ( ) f( ) iii. lim 5 5. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Β. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στα διαστήματα: i. [0, ] ii. (, 6] iii. [, 6] Γ. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f. 7

Μαθηματικά Γ Λυκείου Δ. Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών: 7 i. f ii. f iii. f (6) f f( ) E. Να βρείτε το όριο lim. 3 3 3. Έστω f :0,. Η δεύτερη παράγωγος συνάρτηση f f( ) έχει τη διπλανή γραφική παράσταση. Αν lim 0, να 0 αποδείξετε ότι: Α. f ( ), Β. f ( ), 3 Γ. f ( ), 3 Δ. το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ισούται με 9 τ.μ.. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη, με f (0) 0. Η παράγωγος συνάρτηση f έχει τη διπλανή γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων. Β. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, κοίλη και τις θέσεις των σημείων καμπής. f( ) Γ. Να υπολογίσετε το lim. 0 Δ. Να αποδείξετε ότι: f( ) f( ) i. lim 0 ii. lim 0 5 5 5. Έστω f : κοίλη, με και f () 0. f συνεχή και επιπλέον ( ) ( ) f d f d 0 0 Α. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο M f f( ) Β. Να αποδείξετε ότι lim., (). 8

Θέματα Γ. Να αποδείξετε ότι lim f( ). Δ. Να αποδείξετε ότι: 0 0 i. f( ) d ii. f( ) d 0 6. Έστω f : με τύπο f ( ) α β, α, β, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο στο και η εφαπτομένη της C f στο σημείο της A, f () διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Α. Να αποδείξετε ότι α 3 και β 3. Β. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών είναι το f ( ) [ 5, ). f ( g ) ( ) f( ) 8 g( ) 0, για κάθε, και g(). Γ. Να αποδείξετε ότι f ( g ) ( ) 8 g ( ) 0. Έστω συνάρτηση g τέτοια ώστε 0 Δ. Να αποδείξετε ότι g ( ). 35 7. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0, ) τέτοια ώστε f ( ) 0, για κάθε 0, και f( ) f( ) f( )ln, για κάθε 0, και επιπλέον f (). A. Να αποδείξετε ότι f ( ) 0, για κάθε 0. B. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) f( ) f( )( ) είναι συνεχής στο [, ]. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο της A0, f 0να διέρχεται από το σημείο A(, 0). Δ. Να βρείτε την f. 8. Έστω f, g : δύο φορές παραγωγίσιμες τέτοιες ώστε f ( ) g( ), για κάθε, και f () g (). Η C g είναι κυρτή στο και η εξίσωση f ( ) 0 έχει δύο λύσεις, έστω τις ρ, ρ, με ρ ρ. Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει: i. ένας τουλάχιστον r ( ρ, ρ) ώστε gr () 0, ii. ένας τουλάχιστον ξ ( ρ, ρ) ώστε g( ξ). Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Γ. Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ξ του ερωτήματος Α. Δ. Έστω ότι η ευθεία ( δ): y 3 7 είναι ασύμπτωτη της C f στο. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (): ε y 5είναι ασύμπτωτη της C g στο. 9

Μαθηματικά Γ Λυκείου 9. Έστω η συνάρτηση f ( ),. Α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Β. Να λύσετε την εξίσωση f ( ημ) f( ). 3 Γ. Να αποδείξετε ότι. 6 Δ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (): ε y, με, τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε δύο διαφορετικά σημεία M, f, M, f,, και, αν επιπλέον MM, να αποδείξετε ότι 0 και 0. 0. Έστω f, g : μη σταθερές συναρτήσεις τέτοιες ώστε f ( h) f( ) f( h) g( ) g( h ) και g ( h) f( gh ) ( ) fhg, ( ) ( ) για κάθε, h, και f (0) 0, g (0). Να αποδείξετε ότι: Α. f (0) και g(0) 0, Β. οι f, g είναι παραγωγίσιμες, με f ( ) g( ) και g( ) f( ), Γ. η συνάρτηση ( ) ( ) συν ( ) ημ h f g είναι σταθερή στο, Δ. f ( ) συν και g ( ) ημ,.. Έστω f :[0,] δύο φορές παραγωγίσιμη, με f (0) f (0), f () f (), f( ) f( ) k m, για κάθε [0, ], με k, m. Να αποδείξετε ότι: Α. f( ) f( ), Β. η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με f (0), Γ. η συνάρτηση h ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ], Δ. f ( ), [0, ]. 3. Έστω η συνάρτηση f ( ) a 3b 6 c, a, b, c, η οποία στο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο ίσο με f () 6 6 c. Να αποδείξετε ότι: Α. f ( ) 36 36,, Β. η f παρουσιάζει και ένα ακόμη τοπικό ακρότατο, στο 0, Γ. η f παρουσιάζει μοναδική καμπή, στο. 0

Θέματα 3. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια ώστε f ( ) 0, f (0) 0 και συνάρ- τηση g τέτοια ώστε gf ( ) ( ) g ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι: Α. g ( ) 0, για κάθε, Β. i. lim f( ) 0 ii. lim g ( ) Γ. g(0), Δ. η εξίσωση 5 f( ) f( ) f( ) 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (0, ).. Έστω σ, f : ώστε f ( ) f( ) f( ) f( ), για κάθε, και f (0) 0,5, f (0) 0,5, f ( ) 0,, σ( ) σ( ),, σ(0). Α. Να αποδείξετε ότι σ( ),. Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) 0, για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι f ( ),. Δ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. Ε. Να αποδείξετε ότι d. 0 5. Έστω οι συναρτήσεις f ( ),, και ( ) h,. Α. Να βρείτε το h( ). Β. Να αποδείξετε ότι η h έχει δύο ακριβώς ρίζες, έστω τις r r. Γ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική r παράσταση της h και τον r είναι ίσο με E r r τ.μ. Δ. Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα. 6. Έστω η συνάρτηση f ( ) ln,. Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Β. Να αποδείξετε την ισοδυναμία {,}. Γ. Να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτομένης της C f παίρνει τιμές στο διάστημα [, 3]. Δ. Να βρείτε την τιμή των ολοκληρωμάτων: i. Κ f ( ) d ii. Λ d iii. Μ d

Μαθηματικά Γ Λυκείου 7. Έστω συνάρτηση f : συνεχής και γνησίως μονότονη, τέτοια ώστε f( ) f( ) lim lim L. Να αποδείξετε ότι: A. η f είναι γνησίως φθίνουσα, B. υπάρχει μοναδικός r (,) έτσι ώστε f( r) f f, f( ) f( ) Γ. lim 0, Δ. η εξίσωση ( ) f f έχει μοναδική λύση στο. 8. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με f ( ) 0, για κάθε, για την οποία υπάρ- f ( a) f ( b) χουν αριθμοί f( a) f( b) f( a) f( b). Α. Να αποδείξετε ότι f ( a) f( b) 0,5. a b ώστε Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ώστε 0 0 f f. f ( ) Γ. Αν είναι γνωστό ότι f( ), για κάθε, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) f( ) lnέχει ρίζα μόνο τη 0. 9. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση :, f( ) κάθε, και lim. Να αποδείξετε ότι: Α. f ( ) f( ) 0, για κάθε, B A B A Β. f( A) f( B) A B, για κάθε A, B, Γ. f ( ),, Δ. η f έχει μοναδική ρίζα, που βρίσκεται στο (, 0), f ( ) f( ) f με ( ) ( ) f f, για Ε. από την αρχή O (0, 0) μπορούμε να φέρουμε προς τη γραφική παράσταση της f μόνο μία εφαπτομένη ευθεία, την οποία και να βρείτε. 0. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ [0, ], με συνεχή δεύτερη παράγωγο f(0) f( ) ln στο Δ. Γνωρίζουμε ότι lim 0 και lim. Α. Να αποδείξετε ότι f (0) 0. Β. Να αποδείξετε ότι f () f() f() 3. Γ. Να αποδείξετε ότι η f έχει στο τοπικό ελάχιστο. Έστω τέλος ότι f ( Δ) [, ].

Θέματα Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός r (0, ) ώστε f () r f() r. Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός 0 ώστε f f 0 0.. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(, ) τέτοια ώστε κάθε, και f (). Α. Να αποδείξετε ότι f ( ) ln,. Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο (, ). ( ) Γ. Να βρείτε τους ώστε lnln(). f( ) (ln ), για f( ) ln 3 3 Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε r (, 3) είναι ln f( r) ln 3. 3. Έστω συνάρτηση f : τέτοια ώστε f ( ) f ( ), για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι f ( ) ln,. Β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. Γ. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i. d ii. 0 t d 0 Δ. Να αποδείξετε ότι f( α) f ( α), για κάθε α 0. 3 3. Έστω συνάρτηση f :, με f ( ) κ λ, κ, λ, η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία, τέτοια ώστε, με το τοπικό ελάχιστο της f να είναι θετικός αριθμός. Α. Να αποδείξετε ότι κ. Β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων της. Γ. Να αποδείξετε ότι η f ( ) 0 έχει ακριβώς μία ρίζα. Δ. Αν το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη C f, τους άξονες, yy και την ευθεία E lim ln ημ( ) ln, να βρείτε τον τύπο της f. είναι 0. Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : τέτοιες ώστε c f ( ) gd ( ) g ( ) f( d ), με c f ( g ) ( ), για κάθε, και, 0 0 f (0) f (0) 0. Να αποδείξετε ότι: 3

Μαθηματικά Γ Λυκείου Α. f (0) g(0) 0 Β. f( ) d 0 και gd ( ) 0 0 f( ) g( ) Γ. lim 0 Δ. i. f ( ) g( ) ii. c 5. Έστω συναρτήσεις f, g : δύο φορές παραγωγίσιμες. Αν ισχύει ότι f( ) f( ) g ( ) lim 0, lim και f ( g ) ( ) f( g ) ( ), για κάθε, 0 0 και f ( g ) ( ) f( g ) ( ), για κάθε, να αποδείξετε ότι: Α. f (0) g(0) f(0) g(0) Β. ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g, f Γ. ( ) f ( ), f( ) f( ) Δ. f ( ) g( ), 6. Έστω η συνάρτηση f ( ) ln. Α. Να αποδείξετε ότι η f ορίζεται στο και να την παραστήσετε γραφικά. Β. Να βρείτε τα ολοκληρώματα: i. Ι 0 d ii. J d 0 Γ. Να αποδείξετε ότι f ( ),. Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία (): ε. Ε. Αν για την h : είναι ( h f)( ) ( f h)( ), να αποδείξετε ότι h ( ). 7. Έστω η συνάρτηση f ( ),. Α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, με f ( ) ln, 0.

Θέματα Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) d 0. 3 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα 0. Δ. Να αποδείξετε ότι f ( )( ) f( ),. E. Να βρείτε τη συνάρτηση F ώστε F ( ),, με F(0) ln. 8. Έστω συνεχής συνάρτηση f : τέτοια ώστε f 3 ( ) f( ),. Α. Να αποδείξετε ότι f ( ). 3 Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, με f ( ),. Γ. Να αποδείξετε ότι f () f (). Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f στο [0, ] είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή. Ε. Να υπολογίσετε τo εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία. 9. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0, ) για την οποία ισχύει ότι 6 n nf ( ) f, για κάθε φυσικό n και (0, ). Α. Να αποδείξετε ότι f ( ), 0. 3 Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο (0, ). Γ. Να βρείτε εκείνη την παράγουσα της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παρά- σταση διέρχεται από το σημείο M, ln. 3 Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράστα- 3 9 ση της f, τον και τις ευθείες και 3 ισούται με E ln ln 3 τ.μ. 8 ln 30. Έστω η συνάρτηση f ( ), 0. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. α α Β. Αν a, να αποδείξετε ότι ( α) α. 3 Γ. Να αποδείξετε την ισοδυναμία 3 f( ) f(3). 3 Δ. Να αποδείξετε ότι στο διάστημα (0, ) η εξίσωση 3 έχει ακριβώς δύο λύσεις, μία την προφανή 3 και μία ακόμα στο (, ). 5

Θέματα 67. Έστω συνάρτηση f :, παραγωγίσιμη, τέτοια ώστε ( f f)( ), για κάθε, και f (), f (). Α. Να αποδείξετε ότι: i. η f είναι ii. f ( ) iii. f ( ) f( ), Β. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. f f ( ) ii. f ( ) 3 f( ) 0 Γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι: i. f ( ) 0 ii. f ( ), για κάθε 68. Έστω παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο συνάρτηση f, με f (0) και την ευθεία y να είναι ασύμπτωτη της C f. Επιπλέον υπάρχει συνάρτηση g έτσι ώστε ( ) ( ) g f f ( ), για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει την ευθεία ():y ε σε ένα ακριβώς σημείο M 0, 0. Β. Να αποδείξετε ότι: i. f ( ) 0 ii. lim g ( ) 0 iii. f ( ) Γ. Αν υπάρχει το όριο lim f( ), να αποδείξετε ότι lim f( ) 0. 69. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση s :[0, ), με s (), της οποίας η εφαπτομένη 3 στο κάθε σημείο της M t0, st 0, t 0 0, διέρχεται από το σημείο t 0 του άξονα y y. 3 Α. Να αποδείξετε ότι s() t t, t t 0. Β. Έστω το τυχαίο σημείο Σ(0, σ) του θετικού ημιάξονα y y. Να αποδείξετε ότι από το Σ μπορούμε να φέρουμε προς τη C s ακριβώς μία εφαπτομένη. Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της s, τον άξονα και την εφαπτομένη της C s που διέρχεται από το του y y. 70. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[ α, α]. α Α. Να αποδείξετε ότι f ( ) d f ( ) d. α α συν Β. Αν F( ),, να αποδείξετε ότι: i. F( ) F( ) συν, ii. α π π F( ) d 7

Μαθηματικά Γ Λυκείου Γ. Αν η f είναι και περιττή και η συνάρτηση g είναι άρτια και συνεχής στο [ α, α ], να αποδείξετε ότι: α α i. ( ) 0 α α f d ii. f g ( ) ( ) d 0 7. Έστω παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και g, με f (0) και g (0) 0. Γνωρίζουμε επίσης ότι f ( ) g( ), για κάθε, και g( ) f( ),. Α. Να αποδείξετε ότι ( ),. Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) g( ),. Γ. Να αποδείξετε ότι f ( ),, και g ( ),. Δ. Να βρείτε τον m ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y g ( m ) να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. a 7. Έστω η συνάρτηση f ( ) a ορισμένη στο [0, ). Α. Να αποδείξετε ότι: i. αν a 0, η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0, το f (0), ii. αν a 0, η f είναι σταθερή και συνεπώς έχει μέγιστο και ελάχιστο το, iii. αν 0a, η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0, το f (0), iv. αν a, η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο a ln a το a aln a. Β. Να αποδείξετε ότι η φ( ) ln, 0, έχει μοναδική ρίζα. Γ. Αν η f έχει ελάχιστο στο, να αποδείξετε ότι a. Δ. Αν η f έχει ελάχιστο το 0, να βρείτε την τιμή του a. 73. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f ώστε f ( ) f( ) f( t) dt,, και f (0). 0 Να αποδείξετε ότι: Α. υπάρχει σταθερά c ώστε f ( ) f( ) dc,, Β. Γ. f ( ) f( t) dt f( t) dt, 0 0 f ( ). 3 3 0 8

Θέματα 7. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [0, ] ώστε ( ) f( ) f ( ), για κάθε [0, ]. Α. Να αποδείξετε ότι f (0) 0 και f () 0. Β. Να βρείτε τις παραστάσεις f( ) και ως συνάρτηση των f, f. f( ) Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0, ). Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει μία ακριβώς ρίζα στο (0, ). 75. Έστω η συνάρτηση f : με τύπο f ( ) ln. Α. Να αποδείξετε ότι η C f έχει μοναδική ασύμπτωτη ευθεία. Β. Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδικό ακρότατο, αλλά δεν έχει σημεία καμπής. Γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο επίπεδο. Δ. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που σχηματίζει με τον γωνία 5 τέμνει τη C f ακριβώς σε δύο σημεία, τα Κ, Λ, και ότι το μέσο Ι του τμήματος ΚΛ για τις διάφορες θέσεις της ευθείας στο επίπεδο κινείται σε ευθεία γραμμή. 76. Έστω οι συναρτήσεις f, g :, με f ( ) 0 και g ( ). r Α. Να αποδείξετε ότι ο μοναδικός αριθμός r, ώστε να είναι 0 r 0, είναι ο αριθμός r 0. Β. Να αποδείξετε ότι f g ( ) g ( ) 0. Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή και η g είναι κοίλη. Γ. Να βρείτε την εφαπτομένη () ε της C g στο O. Δ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f είναι «πάνω» από τη γραφική παράσταση C g. Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C f, C g, τον y y και την ευθεία (): ε. f( ) Ε. Να αποδείξετε ότι I d. ( ) d f f( ) Ε. Να αποδείξετε ότι I. 3 9