6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ. - αριθμητικός μέσος (μέση τιμή, μέσος όρος)
Παράμετροι διασποράς όταν θέλουμε να εκφράσουμε τη συμπεριφορά μιας μεταβλητής με έναν αριθμό δηλ. - πώς κατανέμεται, - πού υπάρχει μεγαλύτερη συγκέντρωση τιμών, - αν διαχέεται ομοιόμορφα - πόσο απλωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές της μεταβλητής π.χ. - διακύμανση - τυπική απόκλιση - συντελεστής μεταβλητότητας - εύρος μεταβολής 3 Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) όχι ομαδοποιημένες τιμές ούτε κατανομή συχνοτήτων... 3 Χ, Χ, Χ3,..., ΧΝ= μεμονωμένες τιμές Ν= αριθμός μεμονωμένων τιμών 4
π.χ. τιμές μεταβλητής 6,9,0,4, 6, 7... 3 6 9 0 4 6 7 7 6 6 5 Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος. για διακριτές μεταβλητές (κατανομή συχνοτήτων) η κάθε τιμή της διακριτής μεταβλητής εμφανίζεται πολλές φορές τιμές μεταβλητής συχνότητα εμφάνισης Χ Χ...... Χ Ν x 6 3
π.χ. α/α τιμή διακριτής μεταβλητής (x ) συχνότητα εμφάνισης ( ) 5 0 50 0 60 3 9 30 70 4 4 45 630 5 6 45 70 6 7 30 50 6 6 =6 0 x 340 x x x 340 3 0 7 Παράμετροι θέσης Αριθμητικός μέσος 3. για συνεχείς μεταβλητές τα δεδομένα εμφανίζονται με τη μορφή κατανομής συχνότητας κατά κλάσεις κλάσεις συχνότητα εμφάνισης α 0 -α α -α α -α 3 3...... x α - -α = εύρος κλάσης a a = κεντρική τιμή της κλάσης α - -α = συχνότητα εμφάνισης της κλάσης = αριθμός κλάσεων 4
π.χ α/α κλάσεις συχνότητες = κεντρική τιμή κλάσης 0-4 50 (4+0)/= 00 4-60 (+4)/=6 560 3-34 30 (34+)/=3 930 4 34-40 0 (40+34)/=37 740 5 40-46 40 (46+40)/=43 70 5 5 = 5 00 6050 x x 6050 00 30. 5 9 Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση πώς κατανέμεται μια μεταβλητή γύρω από το μέσο όρο 0 5
απόκλιση της κάθε τιμής από το μέσο όρο; α/α Χ ι Χ ι -Χ 9 9-6= 3-6= 3-6= 4 7 7-6= 5 5 5-6= - 6 5 5-6= - 7 4 4-6= - -6= -4 Ν= 4 ( ) 0 4 6 Επειδή πάντα ( ) 0 γι αυτό υψώνουμε τις αποκλίσεις στο τετράγωνο και μετά αθροίζουμε Διακύμανση= μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων της κάθε τιμής (Χι) από το μέσο όρο (Χ) 6
Παράμετροι διασποράς Διακύμανση. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) όχι ομαδοποιημένες τιμές ούτε κατανομή συχνοτήτων Διακύμανση= ( ) 3 ( ) 4 6 α/α ( ) ( ) 9 9-6= 3 (3) =9-6= () =4 3-6= () =4 4 7 7-6= () = 5 5 5-6= - (-) = 6 5 5-6= - (-) = 7 4 4-6= - (-) =4-6= -4 (-4) =6 Ν= 4 ( ) 0 ( ) 40 Διακύμανση= ( ) 40 5 4 7
τυπική απόκλιση= τετραγωνική ρίζα διακύμανσης ( ) ίδιες μονάδες μέτρησης όπως και οι παρατηρήσεις π.χ. ( ) 40 Διακύμανση= 5 Τυπική απόκλιση= 5 3. 5 Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση. για διακριτές μεταβλητές (κατανομή συχνοτήτων) η κάθε τιμή της διακριτής μεταβλητής εμφανίζεται πολλές φορές Διακύμανση= ( ) = άθροισμα συχνοτήτων εμφάνισης διακριτών τιμών Τυπική απόκλιση= ( ) 6
( ) x x α/α ( ) ( ) ( ) 5 0 50 5-3= - 64 640 0 60-3= -5 5 500 3 9 30 70 9-3= -4 6 40 4 4 45 630 4-3= 45 5 6 45 70 70 6-3= 3 9 405 6 7 30 50 7-3= 4 6 40 0 340 550 340 0 3 ( ) 550 0 4. 7 ( ) 4. 7 3. 76 7 Παράμετροι διασποράς Διακύμανση Τυπική απόκλιση 3. για συνεχείς μεταβλητές τα δεδομένα εμφανίζονται με τη μορφή κατανομής συχνότητας κατά κλάσεις Διακύμανση= Τυπική απόκλιση= ( ) o ( ) o o = κεντρική τιμή της κλάσης α - -α 9
( ) o α/α κλάση o o ( ) ( ) ( ) o o o 0-4 50 00 -,5 6,065 3403,5 4-60 6 560-4,5,065 03,75 3-34 30 3 930 0,75 0,565 6,75 4 34-40 0 37 740 6,75 45,565 9,5 5 40-46 40 43 70,75 6,565 650,5 00 6050 97,5 x o 6050 00 30. 5 Διακύμανση= ( ) o 97. 5 59. 59 00. Τυπική απόκλιση= ( ) o 59. 59 7. 7 9 Διακύμανση και τυπική απόκλιση δείγματος. για μεμονωμένες τιμές (μιας μεταβλητής) s ( ) ( ) s. για συχνότητες s ( ) ( ) s 0 0
Συντελεστής μεταβλητότητας σύγκριση δύο κατανομών (δειγμάτων) ως προς την ομοιογένειά τους ποιο είναι το ποιο ομοιογενές δείγμα; (δηλ. το δείγμα με τη μικρότερη διασπορά) όταν οι τιμές εκφράζονται σε διαφορετικές (ή ίδιες τιμές) CV ( x) σ= τυπική απόκλιση πληθυσμού μ= μέσος όρος πληθυσμού CV ( x) s s= τυπική απόκλιση δείγματος = μέσος όρος δείγματος CV ( x) s μικρός συντελεστής μεταβλητότητας μικρή διασπορά μεγάλη ομοιογένεια
ο δείγμα: 0 s 0 s CV ( x ) 0. 0 066 ο δείγμα: 0 s 0 s CV ( x ) 0. 0 0 03 το ο δέιγμα είναι πιο ομοιογενές (0.03 < 0.66) 3 4