Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων

Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz είναι κάποια στιγµή R και R αντιστοίχως. Έστω ότι τα σωµατίδια αλληλοεπιδρουν µε αντίστοιχες δυνάµεις F, και F,, oι οποίες ακολουθούν τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα και αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος των δύο σωµατιδίων, ενώ ακόµη τα σωµατίδια δέχονται και αντίστοιχες εξωτερικές δυνάµεις F και F. Eφαρµόζοντας για τα σωµατίδια τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: m a = F, + F m a = F, + F " ( Σχήµα. Σχήµα. όπου a, a οι επιταχύνσεις των σωµατιδίων στο σύστηµα αναφορας Oxyz κατά τη στιγµή που τα εξετάζουµε. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις ( παίρνουµε: m a + m a = F + F ( Όµως από τον ορισµό του κέντρου µάζας έχουµε τη σχέση: m R + m R = (m + m R (3 όπου R το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας των δύο σωµατιδίων. Παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο t την (3 παίρνουµε:

m R t + m R t = (m + m R t m a + m a = (m + m a (4 όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας στο αδρανειακό σύστηµα Οxyz. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( και (4 παίρνουµε: (m + m a = F + F M a = F + F (5 H (5 καθορίζει ότι το κέντρο µάζας κινείται ως υλικό σηµείο µάζας M= m +m, δεχόµενο την επίδραση των εξωτερικών δυνάµεων F και F. Εξάλ λου από τις σχέσεις ( παίρνουµε: a = F, /m + F / m a = F, /m + F " / m (" Επειδή F, = - F, η (6 γράφεται: a - a = F, + m F - - m F, - m a - a = F, m + F m - F, m - F (6 m F a m - a = F, + F + F - (7 " m m m m Όµως η διανυσµατική διαφορά a - a αποτελεί την σχετική επιτάχυνση του σωµατιδίου Σ ως προς το Σ, οπότε η (6 παίρνει τη µορφή: a " = F, + F ( + F - (8 m m ' m m Η σχέση (8 περιγράφει την σχετική κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο, όταν αυτά αλληλοεπιδρουν µέσω των δυνάµεων F,, F, και µε το περιβάλλον τους µέσω των δυνάµεων F, F. Ας εξετάσουµε την περίπτωση που τα σωµατίδια αλληλοεπιδρούν χώρις να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. Τότε F = F = και οι σχέσεις (5, (8 παίρνουν τη µορφή: a " ή M a = και a " = F, + ( m m ' a = και µ a " = F, (9 όπου µ η λεγόµενη ενεργός µάζα του συστήµατος των δύο σωµατιδίων, ίση µε m m /(m +m. Η πρώτη εκ των σχέσεων (9 µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής πρόταση: Aν ένα σύστηµα δύο σωµατιδίων δεν δέχεται εξωτερικές δύνάµεις, δηλαδή είναι µηχανικά αποµονωµένο, τότε το κέντρο µάζας του έχει ως προς κάθε αδρανειακό σύστηµα µηδενική επιτάχυνση, που

σηµαίνει ότι και το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας είναι επίσης αδρανειακό σύστηµα. Η δευτερή από τις σχέσεις (9 καθορίζει την σχετική κίνηση του σωµατιδίου Σ ως προς το Σ και εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: Όταν δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις, τότε η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός νοητού σωµα τιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα του συστήµατος, πάνω στο οποίο ενεργεί η αντίστοιχη δύναµη αλληλεπίδρασης. Από τις δύο παραπάνω προτάσεις συµπεραίνουµε ότι, όταν περιγράφουµε την κίνηση δύο σωµατιδίων που αποτελούν µηχανικά µονωµένο σύστηµα µπορούµε να ξεχωρίσουµε την κίνηση του συστήµατος στην κίνηση του κέν τρου µάζας του το οποίο έχει σταθερή ταχύτητα ως προς κάθε αδρανειακό σύστηµα και στην σχετική κίνηση των δύο σωµατιδίων, που ισοδυναµεί µε την κίνηση ενός νοητού σωµατιδίου µάζας µ, που υπακούει στη σχέση: µ a " = F, Πρέπει να τονιστεί ότι οι σχέσεις (9 έχουν νόηµα για κάθε αδρανειακό συ στηµα αναφοράς άρα και για το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των σωµατιδίων. Θα εξετάσουµε τώρα ειδικώς την περίπτωση που τα σωµατίδια δέχονται την επίδραση ένος οµογενούς πεδίου βαρύτητας έντασης g. Tότε οι γενικές σχέσεις (5 και (8 παίρνουν τη µορφή: και M a = m g + m g a = g ( a " = F, + ( + m g - m g m m ' m m a " = F, + ( µ a m m " = F, ( ' Παρατηρούµε ότι η παρουσία του οµογενούς βαρυτικού πεδίου καθιστά το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας µη αδρανειακό, όµως αφήνει αναλ λοίωτη την σχετική κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο, δηλαδή είτε η κίνηση αυτή αναφέρεται στο αδρανειακό σύστηµα Οxyz είτε στο µή αδρανεικό σύστηµα του κέντρου µάζας περιγράφεται µε την ίδια εξίσωση που ίσχυε χωρίς την παρουσία του βαρυτικού πεδίου. Αυτό σηµαίνει ότι ένας παρατηρητής που έχει εγκατασταθεί στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας δεν είναι σε θέση να διαπιστώσει µε τοπικά πειράµατα την ύπαρξη του βαρυτικού πεδίου, δηλαδή το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας στην περίπτωση αυτή συµπεριφέρεται ως αδρανειακό. Αυτό το αποτέ λεσµα ουσιαστικά αποτελεί την ουσία της γενικής θεωρίας της Σχετικότη τας (γενική θεωρία της βαρύτητας.

Κινητική και δυναµική ενέργεια συστήµατος δύο υλικών σωµατιδίων Για την κινητική ενέργεια ενός συστήµατος δύο υλικών σωµατιδίων ισχύει η ακόλουθη πρόταση: H κινητική ενέργεια συστήµατος δύο υλικών σωµατιδίων, ως πρός ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι ίση µε την κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας τους αν θεωρήσουµε σ αυτό συγκεν τρωµένη όλη την µάζα των σωµατιδίων πλέον την κινητική τους ενέργεια, ως πρός το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Aπόδειξη: Eάν v, v είναι οι ταχύτητες των δύο σωµατιδίων, ως πρός το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα καί v η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντ ρου µάζας τους, τότε οι ταχύτητες τους v ', v ', ως πρός το σύστηµα αναφο ράς του κέντρου µάζας τους θα είναι: v ' = v - v v ' = v - v " v = v ' + v v = v ' + v " H κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος, δίνεται από τη σχέση: K = m v + m v K = m ( v ' + v ( v ' + v = m ( v v + m ( v v ( + m ( v ' + v ( v ' + v K= m (v' +v + v ' v + m (v' +v + v ' v ( v K = m + m + m v' + m v' + m ( v ' v + m ( v ' v K = Mv / + K + v (m v ' +m v ' ( όπου K η κινητική ενέργεια του συστήµατος των δύο υλικών σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους καί M η συνολική µάζα τους. Εξάλλου εάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των σωµατιδίων Σ και Σ ως προς το κέντρο µάζας τους (σχήµα, θα ισχύουν οι σχέσεις: R = R + R = R + " m R = m R + m " m R = m R + m m R +m R =m +m +(m +m R m +m = (3 Παραγωγίζοντας την (3 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: (+ (

m t +m t = Έτσι η σχέση ( γράφεται: m v ' +m v ' = K = Mv / + K (4 H (4 αποτελεί την αποδεικτέα σχέση. Ας δούµε όµως µε ποιό άλλο τρόπο µπορεί να εκφρασθεί η κινητική ενέργεια Κ. Ισχύει: K = m v' + m v' = m ( v ' v ' + m ( v ' ( v ' K = m ( v - v ( v - v + m ( v - v ( v - v (5 Όµως από τον ορισµό του κέντρου µάζας έχουµε: (m +m R =m R +m R (m +m R t =m (m + m v = m v + m v v = m v + m m + m v R t +m R t οπότε η (5 παίρνει τη µορφή: K = m v - m v + m " m + m v + m v - m v + m " m + m v K = m m v (m + m - ( v + m m v (m + m - ( v K = m m ( v " (m + m + m m (- v " = m m (m + m v " (m + m (m + m K = m m v " (m + m K = µv " όπου v " η σχετική ταχύτητα του Σ ως πρός το Σ, ίση µε v - v. Η (6 εκφ ράζει ότι η κινητική ενέργεια των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι ίση µε την κινητική ενέργεια ενός ιδεατού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ του συστήµατος, του οποίου η κίνηση περιγράφει την σχετική κίνηση των δύο σωµατιδίων. Ας δεχθούµε ότι το σύστηµα των δύο σωµατιδίων δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις και ότι το µέτρο των εσωτερικών δυνάµεων αλληλεπίδρασης είναι συνάρτηση της µεταξύ τους απόστασης. Τότε η σχετική κίνηση του ένος ως προς το (6

άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, θα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση κίνησης του ιδεατού σωµατιδίου µαζας µ, που έχει τη µορφή: µ t = F µ, t = f( (7 όπου το µοναδιαίο διάνυσµα της κατεύθυνσης Σ Σ και f( µια συνάρτη ση της απόστασης =Σ Σ που περιγράφει πως µεταβάλλεται η δύναµη F,. Αποδεικνύεται ότι σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστηµα (άρα και στο σύστη Σχήµα 3. µα αναφοράς του κέντρου µάζας µια δύναµη της µορφής F, = f( είναι συντηρητική και εποµένως µπορούµε να της αποδόσουµε δυναµική ενέργεια U(, τέτοια ώστε η µεταβολή της µεταξύ δύο θέσεων Α και Α της τροχιάς του ιδεατού σωµατιδίου µάζας µ, να είναι αντίθετη του αντίστοιχου έργου W A,A της F,, δηλαδή ισχύει: U A - U A = -W A,A (8 Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σωµατίδιο µάζας µ το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των θέσεων Α και Α παίρνουµε τη σχέση: µv A - µv (8 A = W µv A A,A - µv A = U A - U A µv A + U A = µv A + U A (9 όπου v A, v A οι σχετικές ταχύτητες του ιδεατού σωµατιδίου στις θέσεις Α και Α της τροχιάς που διαγράφει. Η σχέση (9 εκφράζει τον ακόλουθο νόµο διατήρησης: Kατά την σχετική κίνηση δύο σωµατιδίων που αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους χωρίς να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις, το άθροισµα της κινητικής τους ενέργειας και της δυναµικής ενέργειας αλληλε πίδρασής τους διατηρείται σταθερό στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, δηλαδή ισχύει η σχέση:

µv " / + U( = E ( όπου Ε σταθερή ποσότητα που αποτελεί την µηχανική ενέργεια των σωµατι δίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Στροφορµή συστήµατος δύο σωµατιδίων Σε πρώτο στάδιο θα υπολογίσουµε την στροφορµή του συστήµατος των δύο σωµατιδίων περί την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Οxyz και στη συνέχεια περί το κέντρο µάζας του θα σχολιάσουµε δε τα αποτε λέσµατα των υπολογισµών αυτών. Η στροφορµή του συστήµατος περί το Ο είναι το διανυσµατικό άθροισµα των αντιστοιχών στροφορµών των δύο σωµα τιδίων, δηλαδή ισχύει η σχέση: L O = ( R m v +( R " m v = R m t " L O = ( R + m t ( R + R ' + " ( R + m " L O = R (m + m R " ' + (m t + m R ' + t ' + " R R m t ' t ( R + ' ( + R " m t + m + " * ' - + t m " ' +, t m ' ( t Όµως από γνωστές ιδιότητες του κέντρου µάζας έχουµε τις σχέσεις: m + m = και m t + m οπότε η ( γράφεται: µε t = " L O = R (m + m R ( ' + t m + ( * - + t m + * -, t, " L O = R M R t ' + L " L = m " ' + t m ' (3 t Το διάνυσµα " R M R t '

εκφράζει την στροφορµή του κέντρου µάζας περί το Ο, αν θεωρήσουµε την µάζα Μ του συστήµατος συγκεντωµένη στο, ενώ το διάνυσµα L εκφρά ζει την στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο µάζας θεωρούµενης στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας κατά τον χρόνο της σχετικής κινή σεως του ενός ως προς το άλλο. Μπορούµε εποµένως να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: H στροφορµή συστήµατος δύο υλικών σωµατιδίων περι την αρχή ενός αδρανειακου συστήµατος αναφοράς, είναι ίση µε το άθροισµα της αντίστοιχης στροφορµής του κέντρου µάζας των σωµατιδίων αν σ αυτό θεωρήσουµε συγκεντρωµένη όλη την µάζα τους και της στροφορµής του συστήµατος περί το κέντρο µάζας θεωρούµενης στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Ας δούµε όµως ποιά άλλη µορφή µπορεί να πάρει η στροφορµή L. Ισχύει: " L = m " ' + t m " ' = t m " ' - t m ' t L = - " ( m Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: ' (4 t - = - = t - t = t - m m t - t = t m + " m t = - t t = - m " m + m t m t = -µ t m t = - m m " m + m t (5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4 και (5 παίρνουµε: L =- - " ( -µ H (6 εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: " ' = µ ' (6 t t H στροφορµή συστήµατος δύο σωµατιδίων περί το κέντρο µάζας τους, θεωρούµενη στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας, είναι ίση µε την στροφορµή ένος ιδεατού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ των δύο σωµατιδίων, αν η στροφοµή αυτή θεω

ρηθεί περί το ένα σωµατίδιο στην διάρκεια της σχετικής του κίνη σης ως προς το άλλο. Στην περίπτωση που τα σωµατίδια δεν δέχονται εξωτερικές δυνάµεις η σχε τική κίνηση του ενός ως προς το άλλο είναι επίπεδη, αφού η αντίστοιχη δύναµη αλληλεπίδρασης είναι κεντρική, το δε επίπεδο κίνησης είναι κάθετο προς την σταθερή στροφορµή L. P.M. fysikos ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για να δηµιουργηθεί ένα βαθούλωµα (µόνιµη παραµόρφωση σε µια εύπλαστη ακίνητη σφαίρα µάζας M, χρειά ζεται τουλάχιστο ενέργεια E. Mια δεύτερη σφαίρα µάζας m, πέφτει σ αυτήν µε κινητική ενέργεια K. Ποιά πρέπει να είναι η ελάχιστη τιµή της K, ώστε να πραγµατοποιηθεί το βαθούλωµα; η ΛYΣH: Τo συστηµα των δύο σφαιρών στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους έχει κινητική ενέργεια Κ, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: K = µv " = mmv " (m + M όπου µ η ενεργός µάζα του συστήµατος των δύο σφαιρών και v " η σχετική ταχύτητα της µάζας m ως προς την µάζα Μ. Εάν v είναι η ταχύτητα της µάζας m ως προς το ακίνητο έδαφος λίγο πρίν την πλαστική της κρούση µε την ακίνητη σφαίρα θα ισχύει v = v " και η ( γράφεται: K = mmv (m + M = mv M = KM " m + M m + M Λόγω της πλαστικής κρούσεως η σχετική ταχύτητα v " µετά την κρούση µηδενίζεται, οπότε µηδενίζεται και η κινητική ενέργεια των δύο σφαιρών στο συστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Για να δηµιουργηθεί εποµένως το βαθούλωµα πρέπει η κινητική ενέργεια Κ να ικανοποιεί τη σχέση: ( ( ( K E KM m + M E K E (M + m M K min E (M + m (3 M η ΛYΣH: Eάν V είναι η κοινή ταχύτητα των δύο σφαιρών αµέσως µετά την κρούση τους στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και v η αντίστοιχη

ταχύτητα µε την οποία η σφαίρα µάζας m, προσπίπτει πάνω στην άλλη σφαίρα, θα ισχύει συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής η σχέση: m v + = (M + m V mv = (M + mv V = mv/(m + m (4 H κινητική ενέργεια του συσσωµατώµατος των δύο σφαιρών αµέσως µετά την κρούση είναι: K'= (M + mv (4 K'= (M + mm v (M + m = m v (M + m K'= mv m = " M + m Km M + m (5 H ελάττωση ΔK της κινητικής ενέργειας του συστήµατος των δύο σφαιρών, λό γω πλαστικής κρούσης είναι: (5 ΔK = K K K = K - Km M + m = KM M + m (6 Για να δηµιουργηθεί βαθούλωµα στην εύπλαστη σφαίρα µάζας M, πρέπει να ισχύει: (6 KM ΔK Ε M + m E K E (M + m M K min = E (M + m M (7 P.M. fysikos Δύο υλικά σηµεία µε µάζες m και M, βρίσκο νται σε µεγάλη απόσταση (θεωρητικά άπειρη και υπό την επίδρα ση των Nευτώνειων έλξεων αρχίζουν να κινούνται πάνω στην ευθεί α που τα συνδέει. Nα βρεθεί η σχετική ταχύτητα µε την οποία προσεγγίζουν τα δύο υλικά σηµεία, όταν βρίσκονται σε απόσταση µεταξύ τους. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας και ότι τα υλικά σηµεία δεν δέχονται καµιά εξωτερική επιδράση. η ΛYΣH: Επειδή οι βαρυτικές δυνάµεις αλληλοεπίδρασης µεταξύ των δύο υλικών σηµείων είναι συντηρητικές, η µηχανική τους ενέργεια θεωρούµενη στό συστήµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της σχετικής τους κίνησης. Η µηχανική αυτή ενέργεια είναι µηδενι κή όταν τα υλικά σηµεία βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση, ενώ όταν βρεθούν σε απόσταση µεταξύ τους η ενέργεια αυτή είναι:

E = µv " - GmM = mmv " (m + M - GmM όπου µ η ενεργός µάζα του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων και v " η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του ενός ως προς το άλλο. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω θα ισχύει η σχέση: mmv " (m + M - GmM = mmv " (m + M = GmM v " (m + M = G v = G(m + M " η ΛYΣH: Έστω v, V οι ταχυτήτες των υλικών σηµείων, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, κατά τη χρονική στιγµή που η απόστασή τους είναι. Eπειδή οι Nευτώνειες έλξεις ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις για το σύστηµά τους, η ορµή του συστήµα τος διατηρείται σταθερή, δηλαδη ισχύει η σχέση: m v + M V = m v = -M V mv = MV v = MV/m ( Eξάλλου, oι βαρυτικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία είναι συντηρητικές όποτε ισχύει για το σύστηµα το θεώρηµα διατή ρησης της µηχανικής ενέργειας, δηλαδή έχουµε τη σχέση: + = mv + MV - GMm mv + MV = GMm ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( και ( παίρνουµε τη σχέση: m MV " m + MV = GMm MV m + V = Gm M " m + V = Gm V = Gm (M + m V = m G (M + m (3 Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις ( και (3 έχουµε:

v = mm m G (M + m = M G (M + m Όµως η σχετική ταχύτητα v " του υλικού σηµείου µάζας m, ως προς το υλι κό σηµείο µάζας M, υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: v " = v + (- V (5 Eπειδή τα διανύσµατα v και - V είναι αντίρροπα, για τα µέτρα των διανυσ µάτων της (5 έχουµε v σχ =v+v, η οποία µε βάση τις σχέσεις (3 και (4 γρά φεται: v " = M G (M + m + m G (M + m (4 v " = (M + m G (M + m = G(M + m P.M. fysikos Τα σφαιρίδια Σ, Σ του σχήµατος έχουν αντί στοιχες µάζες m, m και συνδέονται µε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και φυσικού µήκους, ισορροπούν δε πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου το σφαιρίδιο Σ δέχεται οριζόντια δύναµη βραχείας διάρκειας, µε αποτέλεσµα να αποκτήσει αρχική ταχύτητα v, µετ ρούµενη στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Nα βρεθούν οι χρονι κές στιγµές που η απόσταση των σφαιριδίων γίνεται µέγιστη ή ελάχιστη και να βρεθούν οι δύο αυτές αποστάσεις. ΛΥΣΗ: i Κατά την κίνηση των δύο σφαιριδίων πάνω στο λείο οριζόντιο έδαφος τα βάρη τους αναιρούνται από τις κατακόρυφες αντιδράσεις του εδά φους οπότε αυτά αποτελούν ένα σύστηµα δύο µικρών σωµάτων που µόνο αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους µέσω του ελατηρίου. Η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός ιδεατού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ του συστήµατος, όταν πάνω σ αυτό ενεργεί η αντίστοιχη δύναµη αληλεπίδ ρα σης F από το παραµορφωµένο ελατήριο. Εφαρµόζοντας για τo ιδεατό αυτό σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα µια τυχαία χρονική στιγµή t που το διάνυσµα θέσεως του Σ ως πρός το Σ είναι, παίρνουµε: µ t = F µ t = k( - t + k µ ( - = t + ( - = µε = k µ (

Η ( αποτελεί µια γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές και για την λύση της χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό - =x, οπότε θα έχουµε: x t = ( - = t t Έτσι η εξίσωση ( παίρνει την µορφή: x t + x = ( Η ( δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ ("t + - = Aµ ("t + = + Aµ ("t + (3 όπου Α, φ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του συστήµατος των δύο σφαιριδίων. Εξάλλου η αλγεβ ρική τιµή της σχετικής ταχύτητας του Σ ως προς το Σ δίνεται από τη σχέ ση: v " = t (3 v " = A(t + (4 Oι σχέσεις (3 και (4 εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t= δίνουν: = + Aµ" -v = A" ' ( µ" = ' ( A = -v /" = A = -v /" Mε βάση τα παραπάνω η σχέση (3 παίρνει τη µορφή: = - v "µt (5 Από την σχέση (5 προκύπτουν τα εξής: α H απόσταση των δύο σφαιριδίων γίνεται µέγιστη κατά τις χρονικές στιγ µές που ικανοποιούν τη σχέση:

µ"t = - t = 3" + " t = 3 " + ' ( µε ρ=,,, 3, Η µέγιστη τιµή της απόστασης των δύο σφαιριδίων είναι: max = + v = + v µ k max = + v m m k(m + m (6 β H απόσταση γίνεται ελάχιστη κατά τις χρονικές στιγµές που ικανοποι ούν τη σχέση: µ"t = t = " + " t = " + ' ( µε ρ=,,, 3, Η ελάχιστη τιµή της απόστασης των δύο σφαιριδίων είναι: min = - v = - v µ k min = - v m m k(m + m (7 P.M. fysikos Δύο µικρά σφαιρίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m βρίσκονται επί λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, συνδεόµενα µεταξύ τους µε ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k και φυσικού µήκους. Αρχικώς το σύστηµα ισορροπεί µε τη βοήθεια εµποδίου, µε αποτέλεσµα το ελατήριο να είναι συµπιεσµέ νο και παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου αφαιρούµε το εµπόδιο. Να µελετηθεί η κίνηση κάθε σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του, καθώς και στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου. ΛΥΣΗ: Όταν αφαιρεθεί το εµπόδιο τα δύο σφαιρίδια κινούνται υπό την επίδραση των βαρών τους, των αντιδράσεων του λείου κεκλιµένου επιπέδου οι οποίες εξουδετερώνουν τις κάθετες προς το κεκλιµένο επί πεδο συνιστώσες των βαρών και τέλος των δυνάµεων αλληλεπίδρασης από το παραµορφωµένο ελατήριο. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η µοναδική εξωτερική επίδραση επί των σφαιριδίων είναι ένα οµογενές βαρυτικό πεδίο, του οποίου η ένταση είναι παράλ ληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο και το µέτρο της είναι ίσο µε gηµφ. Όµως το πεδίο αυτό δεν επηρεάζει την σχετική κίνηση του ενός σφαι ριδίου ως προς το άλλο, δηλαδή αφήνει αναλλοίωτη την χαρακτηριστι κή εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή όταν απουσιάζει το πεδίο αυτό, δηλαδή όταν τα σφαιρίδια κίνουνται µόνο υπό την επίδραση των δυνάµεων του ελατηρίου. Βέβαια το πεδίο αυτό επηρεάζει την κίνηση του κέντρου µάζας των σφαιριδίων, το οποίο επιταχύνεται κατερχόµε

νο παράλληλα προς το κεκλιµένο επίπεδο µε επιτάχυνση µέτρου gηµφ. Αρκεί εποµένως να µελετήσουµε την σχετική κίνηση του ένος σφαιριδίου ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, αγνοών τας το βαρυτικό πεδίο. Η κίνηση αυτή είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός ιδεατού σωµατιδίου µαζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ των δύο σφαιριδίων, πάνω στο οποίο ενεργεί µόνο η αντίστοιχη δύναµη F από το ελατήριο. Εφαρµόζοντας για τo ιδεατό αυτό σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα µια τυχαία χρονική στιγµή t που το διάνυσµα θέσεως του Σ ως πρός το Σ είναι, παίρνουµε τη σχέση: µ t = -F µ t = -k( - t + k µ ( - = t + ( - = µε = k µ ( Η ( αποτελεί µια γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές και για τη λύση της χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό - =x, οπότε θα έχουµε: x t = ( - = t t Έτσι η εξίσωση ( γράφεται: x t + x = ( Η ( δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ ("t + - = Aµ ("t + = + Aµ ("t + (3 όπου Α, θ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθουν από τις αρχικές

συνθήκες κίνησης του συστήµατος των δύο σφαιριδίων. Εξάλλου η αλγεβ ρική τιµή της σχετικής ταχύτητας του Σ ως προς το Σ δίνεται από τη σχέ ση: v " = t (3 v " = A(t + (4 Oι σχέσεις (3 και (4 εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t= δίνουν: - m gµ"/k = + Aµ ( = A' * A = -m gµ"/k = / ' -m gµ"/k = Aµ ' ( = Mε βάση τα παραπάνω η σχέση (3 παίρνει τη µορφή: = - m gµ" t (5 k Εξάλλου έαν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των Σ και Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας του κατά τη χρονική στιγµή t, τότε τα µέτρα τους θα ικανοποιούν τις σχέσεις: = + " m = m = m m + m και = m m + m Θεωρώντας ως θετική φορά στην διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου την προς τα κάτω (βλέπε σχήµα οι χρονικές εξισώσεις που καθορίζουν τις θέσεις των σφαιριδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους έχουν τη µορφή: m x = - = - ' m + m - m gµ" * t, (6 ( k + και m x = = ' m + m - m gµ" * t, (7 ( k + Όµως στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου η µετατόπιση του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t έχει αλγεβρική τιµή ίση µε gηµφt / οπότε οι αντίστοιχες αλγεβρικές τµές των µετατοπίσεων των Σ και Σ θα είναι: και X X = x + = x + gµ" t gµ" t m = - ' m + m ( - m gµ" k * t, + + m = ' m + m - m gµ" * t, + ( k + gµ" t gµ" t (8 (9 P.M. fysikos

Δύο σωµατίδια µε µάζες m και m, βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση (θεωρητικά άπειρη και κάτω από την επίδ ραση των Nευτώνειων έλξεων αρχίζουν να κινούνται πάνω στην ευθεία που τα συνδέει. Όταν τα σωµατίδια βρίσκονται σε απόσταση δέχονται αντίθετες ωθήσεις βραχείας διάρκειας µε µέτρο Ω, των οποίων οι διευθύνσεις είναι κάθετες προς την ευθεία που τα συνδέ ει. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση προσέγγισης των δύο σφαιριδί ων. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας και ότι τα σω µατίδια δεν δέχονται καµιά εξωτερική επιδράση. ΛΥΣΗ: Πρίν την δράση των ωθήσεων πάνω στα δύο σωµατίδια αλλά και µετά την δράση τους αυτά κινούνται υπό την επιδραση µόνο των Νευτώ νειων έλξεων, που αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις για το σύστηµα. Η σχετι κή κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός ιδεατού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ του συστήµατος, πάνω στο οποίο ενεργεί η αντίστοι χη Νευτώνεια έλξη. Επειδή η έλξη αυτή αποτελεί δύναµη συντηρητική η µηχανική ενέργεια του ιδεατού σωµατιδίου ως προς το αδρανειακό συστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των δύο σωµατιδίων είναι σταθερή και µά λιστα είναι ίση µε µηδέν πριν δράσουν οι ωθήσεις, ενώ είναι θετική µετά την δράση των ωθήσεων. Το ιδεατό σωµατίδιο κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που ενεργούν οι ωθήσεις αποκτά συνιστώσα ταχύτητας v κάθετη στην επιβατική του ακτίνα Σ Α (βλέπε σχήµα µε αποτέλεσµα η τροχιά του να καµπυλώνεται. Σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα ισχύει η σχέση: = µv " v = " / µ ( Η µηχανική ενέργεια Ε του σωµατιδίου αµέσως µετά την δράση της ώθησης θα είναι ίση µε την πρόσθετη κινητική ενέργεια µv θ / που αποκτά λόγω της ταχύτητας v, αφού προηγουµένως η µηχανική του ενέργεια είναι µηδενι κή, δηλαδή ισχύει: E = µv ( E = µ µ = µ ( Eξάλλου, ενώ η αρχική στροφορµή του σωµατιδίου περί το κέντρο µάζας είναι µηδενική, διότι η σχετική ταχύτητα των δύο σωµατιδίων έχει φορέα που διέρχεται από το κέντρο µάζας, το σωµατίδιο αποκτά µετά την δράση της ώθησης στροφορµή, η οποία στη συνέχεια διατηρείται σταθερη, αφού

συνεχώς δέχεται κεντρική δύναµη. Το µέτρο της στροφορµής αυτής υπολογί ζεται από τη σχέση: ( L = µ v L = (3 Tην στιγµή που η απόσταση προσέγγισης των δύο σωµατιδίων γίνεται ελά χιστη (θέση Α της τροχιάς του ιδεατού σωµατιδίου η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητάς του µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι η ταχύτητά του v A τη στιγµή αυτή είναι κάθετη στην επιβατική του ακτίνα Σ Α, το δε µέτρο της υπολογίζεται από τη σχέση: (3 L = µ min v A = µ min v A v A = / µ min (4 Eφαρµόζοντας για το σωµατίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας για τις θέσεις Α και Α της τροχιάς του, παίρνουµε τη σχέση: µv A (,(4 - Gm m min = E µ - Gm m = µ min min µ - G min µm m = min min + Gµ min (m + m - = (5 H (5 αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς min και έχει ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες. Δεκτή είναι η θετική ρίζα. P.M. fysikos