Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Επικοινωνίες I ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Επικοινωνίες I ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1 Προσδιορίστε τη Σειρά Fourier (δηλαδή τους συντελεστές πλάτους A n και φάσης φ n ) του παρακάτω περιοδικού σήµατος x(t), και σχεδιάστε τα φασµατικά διαγράµµατα πλάτους και φάσης για τις 1 πρώτες αρµονικές µε ακριβείς τιµές πλάτους και συχνότητας.

Άσκηση 1 Λύση: Η περίοδος του σήµατος είναι T=4ms=,4sec εποµένως η θεµελιώδης συχνότητα είναι f =,5 Hz. Η µέση τιµή του σήµατος είναι 1. Το σήµα x(t) δεν είναι ούτε άρτιο, ούτε περιττό. Με έναν απλό µετασχηµατισµό, µπορούµε να το κάνουµε περιττό: ορίζουµε το σήµα y(t)= x(t) 1, δηλαδή αφαιρούµε τη µέση τιµή από το σήµα, ώστε να το κάνουµε συµµετρικό ως προς τον οριζόντιο άξονα, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα:

Άσκηση 1 Λύση: Το σήµα y(t) που προκύπτει, µας είναι γνωστό και µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier. Αναλυτικά, οι συντελεστές του σήµατος y(t) είναι: - α =, επειδή η µέση τιµή του y(t) είναι. - α n =, επειδή το y(t) είναι σήµα περιττό. Ανάλυση σε σειρές Fourier πριονωτού παλμού Τ Τ Α bn = y ( t) sin( n t) dt A t sin( n t) dt T Ω = T Ω Τ A Τ 4Α Τ = sin( n t) dt t sin( n t) dt T Ω T Ω = A T 4Α 1 T 4Α 1 T = ( cos( nω t)) ( tcos( nω t)) sin( nω t) = nω T T nω T nω ( ) ( ) A 4Α 1 = ( cos( nω T) + cos()) ( Tcos( nω nω T T n Ω 4Α 1 Ω = T ( ) ( sin( n ) T) sin() nω T ) + cos())

Άσκηση 1 A 4Α T 4Α 1 bn = ( cos( nω T) + 1) + cos( nω T) sin( nω T) = nω T T nω T nω ( n ) ( ) ( ) A 4Α 4Α 1 = ( cos( πn) + 1) + cos( πn) sin( πn) = nω nω T T nω A 4Α 4Α 1 4Α A = ( 1+ 1) + + = = π nωt nωt T Ω nπ n Ω = π T Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το πλάτος Α=4. Επομένως b n 4 8 = = π n π n ( ) sin( ) t cos at at t sin( at) dt = + a a t sin( at) cos( at) t cos( at) dt = + a a Δ. Ευσταθίου Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών

Άσκηση 1 Όµως x(t)= y(t) + 1. Δηλαδή, για να σχηµατίσουµε το σήµα x(t) (που είναι και το ζητούµενο), αρκεί να προσθέσουµε στο σήµα y(t) τον σταθερό όρο 1. Αν όµως θυµηθούµε τον ορισµό της σειράς Fourier: a x t a nf t b nf t ( ) = + n cos + n sin n= 1 n= 1 ( π ) ( π ) a ' y t a nf t b nf t ( ) = + ' n cos + ' n sin n= 1 n= 1 ( π ) ( π ) ο σταθερός όρος του x(t) είναι ο α / και ο σταθερός όρος του y(t) είναι ο α /. Με άλλα λόγια, η µόνη διαφορά µεταξύ των σηµάτων x(t) και y(t) είναι στον σταθερό όρο, ενώ οι αρµονικές τους είναι ακριβώς οι ίδιες. Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε την ακόλουθη σχέση: ' ' a a a xt () = yt () + 1 = + 1 a= + 1 a= (+ 1) =

Άσκηση 1 Εποµένως, οι συντελεστές του σήµατος x(t) είναι: a a =, A= = = 1 8 8 8 an=, An= an + bn = + = = πn πn πn b n 4 8 b tan tan ( ) 1 n 1 = = εποµ ένως ϕn= = = π n π n an π

Άσκηση 1 Παρακάτω, υπολογίζουµε τις συχνότητες, τα πλάτη και τη φάση των πρώτων 1 αρµονικών (συν τον σταθερό όρο): α/α αρµον. σταθ. Όρος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 f (Hz),5 5 7,5 1 1,5 15 17,5,5 5 an bn δεν υπάρχει,5465 1,73,8488,6366,593,444,3638,3183,89,546 A_n 1,5465 1,73,8488,6366,593,444,3638,3183,89,546 φ_n δεν υπάρχει -1,578-1,578-1,578-1,578-1,578-1,578-1,578-1,578-1,578-1,578 Ακολουθούν τα φασµατικά διαγράµµατα πλάτους και φάσης:

Άσκηση Το σήμα πληροφορίας m(t)=k [3 cos(6πt)+ cos(8πt)+1 cos(16πt)] διαμορφώνει κατά AM τον φορέα c(t)=1 cos(π85t). α) Προσδιορίστε την τιμή της σταθεράς k ώστε ο συνολικός δείκτης διαμόρφωσης να γίνει ίσος με,35. β) Προσδιορίστε και σχεδιάστε (με αναλυτικές τιμές πλάτους και συχνότητας) το φασματικό διάγραμμα πλάτους του διαμορφωμένου κατά AM σήματος. γ) Τι ποσοστό της εκπεμπόμενης ισχύος αφιερώνεται για την εκπομπή του φορέα, και τι ποσοστό για την εκπομπή των πλευρικών συχνοτήτων; δ) Αν διπλασιαστεί η τιμή του k, να υπολογίστε τα νέα ποσοστά ισχύος φορέα και πλευρικών.

Λύση α) Το σήμα πληροφορίας γράφεται ως: Άσκηση m(t)=3 k cos(π3t) + k cos(π4t )+k cos(π8t) δηλαδή, περιέχει 3 αρμονικές με τα παρακάτω πλάτη και συχνότητες: αρµονική συχνότητα πλάτος 1η f 1=3Hz A1 =3k η f =4Hz A = k 3η f 3 =8Hz A3 =k

Άσκηση Λύση Αφού το πλάτος του φορέα είναι 1, οι τρεις επιµέρους δείκτες διαµόρφωσης θα έχουν τιµή: 3 m1= k, m= k, m k 3 = 1 1 1 Άρα, ο συνολικός ισοδύναμος δείκτης διαμόρφωσης θα είναι: 9k 4k k k 14 Για να γίνει ο συνολικός δείκτης ίσος με,35 θα πρέπει: 3 3k k k mtotal = mi = m1 + m + m3 = + + = i= 1 1 1 1 + + = = 1 1 k 14,35 1 4, =,35 k = = = 1,15 1 14 14

Άσκηση Λύση β) Έχοντας υπολογίσει την τιµή του k, το σήµα m(t) τώρα γράφεται: m(t)=3,3675 cos(π3t) +,45 cos (π4t)+1,15 cos(π8t) Οι παραγόµενες αρµονικές από τη διαµόρφωση αυτού του σήµατος επάνω σε φορέα συχνότητας f c =85kHz και πλάτους Ac=1 θα είναι οι ακόλουθες: fc-f3 fc-f fc-f1 fc fc+f1 fc+f fc+f3 συχνότητα 84 846 847 85 853 854 858 πλάτος,5615 1,15 1,68375 1 1,68375 1,15,5615

Άσκηση Λύση β) Αν τις αποτυπώσουµε αυτές σε φασµατικό διάγραµµα πλάτους θα προκύψει το ακόλουθο διάγραµµα.

Άσκηση Λύση γ)το ποσοστό της ισχύος που αφιερώνεται στην εκποµπή του φορέα είναι: Pc Pc 1 Ποσοστ όισχύος Φ ορέα (%) = = = = PAM m m m P 1 1 c + + Ενώ το ποσοστό της ισχύος που αφιερώνεται στην εκποµπή των αρµονικών είναι: οσοστ PAM Pc Pc ό σχ ύ ος ρµονικ ώ ν Π Ι Α (%) = = 1 = 1 Π ό ύ έ P P οσοστ Ι σχ ος Φ ορ α Εφόσον m=.35, έχουμε: Ποσοστ όισχύος Φ ορέα (%) = = = =,943= 94,3% + m +.35 +,15 AM AM Ποσοστ όισχύος Α ρµονικών (%) = 1 Ποσοστ όισχύος Φ ορέα = 1,943=, 577 = 5, 77%

Άσκηση Λύση δ)το ποσοστό της ισχύος που αφιερώνεται στην εκποµπή του φορέα είναι: Επειδή mtotal = k 14 1, αν διπλασιαστεί το k θα διπλασιαστεί και το mtotal Επομένως: m new = m =,35=,7 total Νέο Ποσοστ όισχύος Φ ορέα (%) = = = = =,83 = 8,3% + mnew +,7 +, 49, 49 Νέο Ποσοστ ό Ισχύος Α ρµονικών (%) = 1,83 =,1968= 19, 68%

Άσκηση 3 Ποµπός FM µε φορέα c(t) = 15 cos(π994t) έχει µέγιστη απόκλιση συχνότητας δmax = 45kHz. Το σήµα πληροφορίας έχει τη µορφή: m(t) = 1cos(π15t). α) Υπολογίστε το δείκτη διαµόρφωσης. β) Σχεδιάστε µε αναλυτικές τιµές συχνότητας και πλάτους το φασµατικό διάγραµµα πλάτους του διαµορφωµένου FM σήµατος. γ) Ποιο το απαιτούµενο εύρος ζώνης που προκύπτει α) από το φασµατικό διάγραµµα, και β) από τον κανόνα του Carson; Λύση: Η εκφώνηση της άσκησης μας δίνει: δ max = 45 khz, f c = 994 Hz, A c = 15, f i = 15 Hz, A i = 1 Α) Ο δείκτης διαμόρφωσης στην FM είναι: m FM δmax 45 = = = 3 f 15 i

Άσκηση 3 Πίνακας Bessel Αρμονικές συχνότητες FM και προσδιορισμός των πλατών τους από τις συναρτήσεις Bessel. Δημήτρης Ευσταθίου, Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών

Άσκηση 3 β) Από τον πίνακα των συντελεστών Bessel, προκύπτει ότι για δείκτη διαµόρφωσης mfm=3, εµφανίζονται 6 αρµονικές εκατέρωθεν του φορέα, µε συντελεστές: J J1 J J3 J4 J5 J6 -,6,34,49,31,13,4,1 Το πλάτος της κάθε αρµονικής είναι ως γνωστόν: A = A J ( m ) n c n FM Tα πλάτη και οι συχνότητες των αρµονικών που θα εµφανιστούν θα είναι: f 9931 9935 9934 99355 9937 99385 994 99415 9943 99445 9946 99475 9949 A_n,15,6 1,95 4,65 7,35 5,1-3,9 5,1 7,35 4,65 1,95,6,15

Άσκηση 3 β) Αν αυτές τις αρμονικές τις αποτυπώσουμε σε ένα φασματικό διάγραμμα πλάτους:

Άσκηση 3 γ) Το πραγματικό εύρος ζώνης είναι: BW real = f max f min = 99,49 MHz 99,31 MHz =,18 MHz = 18kHz Το εύρος ζώνης που προκύπτει από τον κανόνα του Carson είναι: BW Carson =(δ max + f i max )= (45 +15) = 6=1Hz=1kHz

Άσκηση 4 Ένας ποµπός ΑΜ µε ισχύ φορέα 1kW εκπέµπει 15kW όταν διαµορφώνεται από µια απλή ηµιτονική κυµατοµορφή. Υπολογίστε το δείκτη διαµόρφωσης. Εάν ο φορέας διαµορφωθεί ταυτόχρονα και από άλλες τρεις ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές µε δείκτες διαµόρφωσης 4%, % και 3%, αντίστοιχα, υπολογίστε τη νέα εκπεµπόµενη ισχύ. Λύση Η εκφώνηση της άσκησης μας δίνει τα εξής δεδομένα: P c = 1kW, P AM =15kW Για να βρούµε το δείκτη διαµόρφωσης m, θα πρέπει να λύσουµε τον τύπο: m PAM = P c 1+ ως προς m. m PAM m PAM m P AM PAM = Pc 1+ = 1+ 1= m = 1 Pc Pc Pc P AM 15 m = 1 = 1 = (1, 5 1) =, 5 =,1 =,3163 Pc 1

Άσκηση 4 Θα έχουµε τέσσερις κυµατοµορφές που διαµορφώνουν τον φορέα. Ο πρώτος δείκτης διαµόρφωσης είναι αυτός που υπολογίστηκε στο προηγούµενο ερώτηµα. Οι υπόλοιποι τρεις δίνονται από την εκφώνηση. Αναλυτικά: m 1 =,3163, m =,4, m 3 =,, m 4 =,3 Ο συνολικός ισοδύναµος δείκτης διαµόρφωσης θα είναι τότε: 4 m = m = m + m + m + m =,3163 +, 4 +, +,3 = total i= 1 i 1 3 4 =,1+,16 +, 4 +, 9 =,39 =, 645 Η νέα εκπεµπόµενη ισχύς θα είναι: ' m',39 PAM = Pc 1+ = 1 1+ = 1( 1+,195) = 1 1,195= 119,5 kw