Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου με Ανάδραση - Σερβομηχανισμοί

Κεφάλαιο 4 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου με Ανάδραση - Σερβομηχανισμοί Η σημασία και η καθολικότητα της Ανάδρασης Μέχρι τώρα την ανάδραση την αντιμετωπίσαμε απλά σαν μία παραλλαγή στις συνδεσμολογίες των συστημάτων. Η ανάδραση όμως είναι κάτι πολύ περισσότερο, είναι μια λειτουργία της φύσης η οποία βοηθάει τους οργανισμούς να προσαρμόζονται στο περιβάλλον τους. Η ανάδραση δεν είναι μια ανθρώπινη εφεύρεση είναι η ανακάλυψη μιας φυσικής λειτουργίας, την οποία ο άνθρωπος μιμήθηκε με επιτυχία, δημιουργώντας έξυπνα συστήματα αυτομάτου ελέγχου. Από την αρχαιότητα ακόμα υπήρξαν κατασκευές αυτοματισμών οι οποίοι λειτουργούσαν αξιοποιώντας την λειτουργία της ανάδρασης, όμως δεν υπήρχε κατανόηση του πόσο γενική είναι αυτή η λειτουργία. Η συνειδητοποίηση της λειτουργίας της ανάδρασης άρχισε να γίνεται μετά τον 8 ο αιώνα, με την εφαρμογή των πρώτων συστημάτων ανάδρασης στον έλεγχο στροφών της ατμομηχανής. Ο Wienner είναι από τους πρώτους που μελέτησε με λεπτομέρεια την ανάδραση στο ιστορικό βιβλίο του το οποίο είχε τίτλο «ΚΥΒΕΡΝΗΤΙΚΗ η επιστήμη του ελέγχου σε ζώα και μηχανές». Ο Wienner παρομοίασε ένα σύστημα ανάδρασης με την διακυβέρνηση ενός πλοίου, και έδωσε τον τίτλο ΚΥΒΕΡΝΗΤΙΚΗ (CYBERNETICS) στην νέα επιστήμη των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου, χρησιμοποιώντας την ελληνική λέξη Κυβερνώ. Η Κυβερνητική σαν όρος ενέπνευσε πολλούς συγγραφείς επιστημονική φαντασίας, αλλά χρησιμοποιήθηκε και στην ιδεολογική διαμάχη μεταξύ μαρξιστών και ιδεαλιστών φιλοσόφων, κυρίως από τους μαρξιστές η οποίοι ισχυριζόταν ότι η επιστήμη αυτή είναι μια απόδειξη υπέρ της θεωρίας του διαλεκτικού υλισμού! Το γεγονός αυτό είχε σαν αποτέλεσμα στα ανατολικά καθεστώτα της εποχής του ψυχρού πολέμου να χρησιμοποιούν τον όρο Κυβερνητική. Στη δύση όμως γρήγορα αντικαταστάθηκε από τον όρο «Επιστήμη των Συστημάτων», όρος που ισχύσει σήμερα για την επιστήμη μέρος της οποίας είναι τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου. Εικόνα 4. : Ο Watt και το ρυθμιστής του. Το πρώτο εφαρμόσιμο σύστημα ανάδρασης το οποίο μελέτησε ο Wienner Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 257

Eν κατακλείδι με απλά λόγια θα μπορούσαμε να περιγράψουμε τη λειτουργία της ανάδρασης ως εξής: Ανάδραση είναι η λειτουργία κατά την οποία ένας οργανισμός (φυσικός ή τεχνητός) λαμβάνει πληροφορίες από το περιβάλλον και βάσει αυτών αυτό- προσαρμόζεται. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε πρακτικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση. Πριν όμως πάμε εκεί ας δούμε με λίγο μεγαλύτερη λεπτομέρεια την συνδεσμολογία συστημάτων με ανάδραση. Χαρακτηριστικά της συνδεσμολογίας της ανάδρασης. _ H(s) H() s Fs () H ( s ) G ( s ) G(s) Σχήμα 4.2 Σύστημα αρνητικής ανάδρασης Στο σχήμα 4.2 βλέπουμε ένα σύστημα αρνητικής ανάδρασης. Το σύστημα Η(s) ονομάζεται σύστημα ορθού βρόχου ή κυρίως σύστημα του συστήματος ανάδρασης, Το σύστημα G(s) ονομάζεται σύστημα του βρόχου της ανάδρασης. Η συνάρτηση F(s) ονομάζεται συνάρτηση τους κλειστού βρόχου ή συνάρτηση τους συστήματος ανάδρασης. Στην αρνητική ανάδραση τα πρόσημα στο αθροιστικό σημείο της εισόδου είναι αντίθετα. Επομένως και το σύστημα του σχήματος 4.3 είναι επίσης σύστημα αρνητική ανάδρασης, αλλά ο τύπος έχει ένα μείον στην είσοδο _ H(s) Hs () Fs () H( s) G( s) G(s) Σχήμα 4.3 Σύστημα αρνητικής ανάδρασης (με αντίστροφα τα πρόσημα Χαρακτηριστικά του συστήματος αρνητικής ανάδρασης Σε ένα σύστημα αρνητικής ανάδρασης μικραίνει το κέρδος. Αν το κέρδος της συνάρτησης H() s είναι H και της Gs () είναι G τότε το κέρδος του συστήματος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 258

ανάδρασης είναι: F H φαίνεται ότι το κέρδος είναι πολύ μικρότερο του H G συστήματος Η(s) και το πόσο μικρό είναι εξαρτάται από το κέρδος του συστήματος G(s). Μπορούμε ακόμα να κάνουμε τις εξής σκέψεις. Αν το Κέρδος του G(s) είναι μεγάλο έτσι που ο όρος H G να είναι πολύ μεγαλύτερος της μονάδας τότε το κέρδος του συστήματος ανάδρασης είναι περίπου ίδιο με: F G. Αν αντίθετα το κέρδος του συστήματος G(s) είναι πολύ μικρότερο της μονάδας τότε η μονάδα του παρανομαστή υπερισχύει και έτσι το κέρδος της ανάδρασης είναι ίδιο περίπου με το κέρδος του κυρίου συστήματος δηλαδή: F H. Τέλος σε ένα σύστημα με κέρδος ή με μοναδιαία αρνητική ανάδραση το κέρδος της ανάδρασης είναι: F G H. Αυτό σημαίνει ότι αν το κέρδος H είναι αρκετά μεγάλο τότε το κέρδος της ανάδρασης είναι περίπου ίσο με τη μονάδα. H Ένα σύστημα αρνητικής ανάδρασης γίνεται πιο γρήγορο. Έχουμε δει με παραδείγματα στην παράγραφο ότι βηματική έξοδος δε ένα σύστημα ανάδρασης είναι έχει μικρότερο χρόνο απόκρισης από το χρόνο απόκρισης του κυρίου συστήματος. Εκείνο που είναι σίγουρο είναι ότι η δυναμική του συστήματος αλλάζει πολύ. Με απλά και πρακτικά λόγια μπορούμε να πούμε ότι το σύστημα με αρνητική ανάδραση γίνεται πιο γρήγορο, δηλαδή έχει πιο γρήγορη απόκριση. Η γρήγορη όμως απόκριση δημιουργεί ταλαντώσεις και έτσι μπορεί εύκολα ένα σύστημα με ανάδραση να γίνει ασταθές. Ένα σύστημα αρνητικής ανάδρασης γίνεται πιο γραμμικό. Έχουμε πει ότι στη φύση όλα τα συστήματα είναι γραμμικά. Εμείς προσεγγίζουμε την γραμμικότητα κάνοντας μεγάλες προσεγγίσεις. Σε ένα γραμμικό σύστημα αν σχεδιάσουμε την χαρακτηριστική εισόδου με έξοδο (οι μετρήσεις λαμβάνονται στην μόνιμη κατάσταση), η χαρακτηριστική αυτή είναι ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από το μηδέν. Η κλίση της ευθείας αυτής εκφράζει το κέρδος του συστήματος. Οι χαρακτηριστικές αυτές ονομάζονται «χαρακτηριστικές μεταφοράς». Κάθε απόκλιση από αυτή την ευθεία αποτελεί ένδειξη μη γραμμικότητας σε ένα σύστημα. Στο σχήμα φαίνονται οι χαρακτηριστικές μεταφοράς ενός γραμμικού (σχήμα 4.4 ) και ενός μη γραμμικού συστήματος (σχήμα 4.5). Παρατηρούμε ότι η χαρακτηριστική μεταφοράς του μη γραμμικού συστήματος μπορεί να προσεγγιστεί κατά διαστήματα από γραμμικά συστήματα με διαφορετικά κέρδη. Σύμφωνα με την ανάλυση που κάναμε για το κέρδος, αν σε ένα σύστημα βάλουμε αρνητική ανάδραση το σύστημα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 259

ανάδρασης θα έχει άλλο κέρδος. Αν είπαμε το κέρδος G του συστήματος G(s) είναι μεγάλο έτσι ώστε: τότε το κέρδος του συστήματος ανάδρασης θα είναι H G σχεδόν ίσο με F G έξοδος έξοδος Κέρδος Κ3 Κέρδος Κ Κέρδος Κ Κέρδος Κ2 είσοδος είσοδος Σχήμα 4.4: Χαρακτηριστική μεταφοράς Γραμμικού συστήματος Σχήμα 4.5: Χαρακτηριστική μεταφοράς Μη Γραμμικού συστήματος Αν λοιπόν στο μη γραμμικό σύστημα βάλουμε ανάδραση που να ισχύει ότι H G τότε το σύστημα ανάδρασης θα έχει ένα ενιαίο κέρδος σημαίνει ότι στο σύστημα ανάδρασης θα έχει εξαλειφτεί η μη γραμμικότητα. F G. Αυτό Θετική ανάδραση Θετική ανάδραση έχουμε σε ένα σύστημα όταν τα σήματα στο αθροιστικό σημείο της εισόδου είναι ομόσημα (, ή -,-). Στο σχήμα 4.6 δίνονται τα σχήματα και οι τύποι που ισχύουν στην θετική ανάδραση. H(s) H(s) G(s) G(s) H() s Fs () Hs () Fs () H ( s) G( s) H( s) G( s) Σχήμα 4.6: Συστήματα θετικής ανάδρασης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 260

Η διαφορά στον τύπο βλέπουμε ότι είναι μόνο σε ένα πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι οι αναλύσεις για τα χαρακτηριστικά που κάναμε προηγουμένως ισχύουν και εδώ αναλόγως. Ας πούμε στην ανάλυση για το κέρδος, η μόνη διαφορά ίσως που βλέπουμε είναι όταν το κέρδος του συστήματος G(s) είναι τέτοιο που να ισχύει : H F G τότε το κέρδος του συστήματος ανάδρασης είναι περίπου ίσο με δηλαδή το σήμα αναστρέφεται κιόλας. G Αν και στο μαθηματικό επίπεδο δε βλέπουμε και μεγάλες διαφορές της θετικής από την αρνητική ανάδραση στην πράξη θα δούμε ότι τις περισσότερες φορές οδηγεί σε αστάθειες. Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου με Αρνητική Ανάδραση Σχήμα 4.7: Σύστημα ελέγχου (από άνθρωπο) ανοικτού βρόχου Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια δεξαμενή στην οποία ζεσταίνουμε νερό με την ροή μέσα από μια σωλήνα-σερμπαντίνα ζεστού νερού, δηλαδή έχουμε ένα boiler ή ένα εναλλάκτη θερμότητας. Θέλουμε το νερό που παίρνουμε από τη δεξαμενή να έχει σταθερή θερμοκρασία. Στη δεξαμενή έχουμε τυχαία ανανέωση του νερού και επομένως, έχουμε διαταραχή της θερμοκρασίας. Η θερμοκρασία της δεξαμενής εξαρτάται από την ροή του ζεστού νερού, δηλαδή όταν θέλουμε να αυξήσουμε τη θερμοκρασία πρέπει να αυξήσουμε τη ροή του ζεστού νερού ανοίγοντας περισσότερο τη βάνα ελέγχου και το αντίθετο. Η προσπάθεια να κρατήσουμε την θερμοκρασία του νερού της δεξαμενής σταθερή παρά τις όποιες διαταραχές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 26

ονομάζεται ΕΛΕΓΧΟΣ. Τον έλεγχο μπορεί να τον κάνει κάποιος άνθρωπος ή μπορεί να είναι Αυτόματος. Ας υποθέσουμε ότι αναθέτουμε σε κάποιον εργάτη τον έλεγχο της θερμοκρασίας της δεξαμενής. Αν υποθέσουμε ότι απαγορεύεται για λόγους τεχνικούς στον εργάτη να βλέπει τη θερμοκρασία της δεξαμενής, τότε άραγε μπορεί να κάνει τον έλεγχο της δεξαμενής; Όλοι θα σπεύσουν να απαντήσουν ότι αυτό είναι αδύνατον. Όμως αν ο μηχανικός μπορούσε να προβλέψει πως θα εξελίσσεται η διακύμανση της θερμοκρασία της δεξαμενής, θα μπορούσε να δώσει ένα πλάνο στον εργάτη πόσο θα ανοίγει την βάνα κάθε χρονική στιγμή. Αυτό το σύστημα ελέγχου που ασκεί ο εργάτης ονομάζεται Σύστημα Ελέγχου Ανοιχτού Βρόχου. Γίνεται κατανοητό ότι πρόκειται για ένα «τυφλό» σύστημα ελέγχου, για ένα σύστημα «μηχανικό-προγραμματιζόμενο» που δεν μπορεί να προσαρμοστεί σε κάθε απρόοπτο που θα συμβεί πέρα από όσα έχουν προγραμματιστεί. Παρόλα αυτά τα «μηχανικά» αυτόματα υπάρχουν και μάλιστα ακόμα και σε υψηλό τεχνολογικό επίπεδο. Για παράδειγμα ένας ρομποτικός βραχίονας που κάνει μια πολύπλοκη αλλά προγραμματισμένη κίνηση είναι σύστημα ελέγχου ανοιχτού βρόχου. Εντολή Θερμόμετρο Ενέργεια διόρθωσης Δεξαμενή εναλλακτης θερμότητας Βαλβίδα ελέγχου Σερμπαντίνα ζεστού νερού Σχήμα 4.8: Σύστημα ελέγχου (από άνθρωπο) με ανάδραση Βέβαια στη περίπτωση της δεξαμενής το αυτονόητο είναι, ο εργάτης να βλέπει συνεχώς τη θερμοκρασία της δεξαμενής και ανάλογα με την πληροφορία και την εντολή που έχει πάρει από το μηχανικό να ανοίγει ή να κλίνει τη βάνα, με στόχο να κρατάει σταθερή τη θερμοκρασία. Το πόσο επιτυχημένα θα το κάνει εξαρτάται από την εμπειρία του εργάτη και από τις προδιαγραφές του που έχουν θέσει οι μηχανικοί παραγωγής της εγκατάστασης. Το σύστημα ελέγχου όπου με πληροφορία που λαμβάνει από την έξοδο του, αυτοδιαρθρώνεται συνεχώς αποτελεί ένα Σύστημα Ελέγχου με Ανάδραση ή Σύστημα Ελέγχου κλειστού βρόχου. Το Σύστημα Ελέγχου Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 262

με ανάδραση είναι «έξυπνο σύστημα» και λειτουργικά πολύ ανώτερο ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου. Αυτό γίνεται άμεσα κατανοητό από όσα παραδείγματα και αν δούμε. Αυτό βέβαια δεν έχει να κάνει με την τεχνολογία, ήδη αναφέραμε ότι η προγραμματισμένη κίνηση ενός ρομποτικού βραχίονα αποτελεί Σύστημα ανοιχτού βρόχου. Βέβαια αν στην κίνηση αυτή προσθέσουμε και ανάδραση με μια κάμερα για παράδειγμα, ο αυτοματισμούς αμέσως γίνεται «έξυπνος» αφού μπορεί να «βλέπει» κάθε απρόβλεπτη ενέργεια που ξεφεύγει από το «πρόγραμμα» και να πράξει αναλόγως. Αυτόματος controller Εντολή Ενέργεια διόρθωσης αισθητήριο Δεξαμενή εναλλακτης θερμότητας Βαλβίδα ελέγχου Σερμπαντίνα ζεστού νερού Σχήμα 4.9: Σύστημα αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση Το μπλόκ διάγραμμα ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση Στο σχήμα 4.9 βλέπουμε ένα σκαρίφημα του αυτομάτου συστήματος που περιγράψαμε. Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να εξάγουμε το μπλόκ διάγραμμα αυτού του συστήματος αυτοματισμού. Το προς έλεγχο σύστημα είναι η δεξαμενήεναλλάκτης θερμότητας, στην οποία θέλουμε να ελέγξουμε τη θερμοκρασία. Το προς έλεγχο μέγεθος είναι θερμοκρασία, και αυτή είναι η έξοδος του συστήματος. Η είσοδος του προς έλεγχο συστήματος είναι το μέγεθος εκείνο το οποίο χρησιμοποιούμε για να επιτύχουμε τις αλλαγές της εξόδου, στην προκειμένη περίπτωση είναι η ροή του ζεστού νερού στον εναλλάκτη, την οποία ελέγχουμε μέσω της βαλβίδας ελέγχου (βάνα). Το προς έλεγχο σύστημα αποτελεί πάντα τη βάση του συστήματος ανάδρασης, το οποίο προϋπάρχει της υλοποίησης του αυτοματισμού. Το αισθητήριο θερμοκρασίας ανιχνεύει τις μεταβολές της θερμοκρασίας και της μετατρέπει σε μεταβολές κατάλληλες να «γίνουν κατανοητές» από τα υπόλοιπα συστήματα. Αν το σύστημα είναι ηλεκτρονικό, οι μεταβολές θερμοκρασίας γίνονται μεταβολές ηλεκτρικής τάσης. Στη συνέχεια πρέπει να γίνει η σύγκριση του σήματος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 263

της ανάδρασης με την εντολή της επιθυμητής τιμής και το αποτέλεσμα να ανοίξει η να κλίσει αναλόγως το βαλβίδα ελέγχου. Η σύγκριση αυτή δεν είναι παρά η διαφορά του σήματος της ανάδρασης από το σήμα της εντολής. Η διαφορά αυτή μας δίνει το σήμα σφάλματος, το οποίο θα λειτουργήσει στην βαλβίδα ελέγχου, ώστε να την ανοίξει η να κλίσει διορθώνοντας την απόκλιση από την επιθυμητή τιμή. Η βαλβίδα ελέγχου ανάλογα με την τιμή του σήματος σφάλματος ρυθμίζει τη ροή του ζεστού νερού. Στο σχήμα 4.0 δίνουμε το μπλόκ διάγραμμα του συστήματος ανάδρασης που προκύπτει. Παρατηρούμε ότι στο προς έλεγχο σύστημα έχουν προστεθεί όλα τα άλλα μπλόκ τα οποία συνθέτουν την κατασκευή του συστήματος αυτοματισμού. Ηλεκτρικό σήμα εντολής Ve(t) Σήμα σφάλματος σ(t)=ve(t)-v(t) _ Βαλβίδα Ελέγχου Ροή ζεστού νερού f(t) Πρός έλεγχο συστήμα Θερμοκρασία δεξαμενής θ(t) Μεταβολές τάσης V(t) Αισθητήριο Σχήμα 4.0: Μπλόκ διάγραμμα συστήματος αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση Η υλοποίηση ενός αυτοματισμού ελέγχου με ανάδραση στην πράξη Το μπλόκ διάγραμμα του συστήματος ανάδρασης που προέκυψε από το παράδειγμα στην προηγούμενη παράγραφο, αποτελεί ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα για όλους τους αυτοματισμούς με ανάδραση. Στο παρακάτω σχήμα 4. γενικεύουμε την περιγραφή ενός συστήματος αυτοματισμού με ανάδραση στην πράξη. Για να υλοποιήσουμε έναν αυτοματισμό με ανάδραση απαιτούνται τα παρακάτω όργανα, όπως φαίνονται και στο σχήμα. Ελεγκτής - Controler Επιθυμητή τιμή Ε(t) Σήμα σφάλματος Σ(t)=Ε(t)-Α(t) _ Σήμα Ελεγχου Σύστημα C(t) αντιστάθμισης Επενηργητής Είσοδος Χ(t) Πρός έλεγχο συστήμα Έξοδος Υ(t) Σήμα ανάδρασης Α(t) Μετατροπείς Αισθητήριο Σχήμα 4.: Μπλόκ διάγραμμα συστήματος αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση στην πράξη Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 264

Κατ αρχήν υπάρχει το προς έλεγχο σύστημα: Στο σύστημα αυτό ορίζουμε σαν έξοδο το φυσικό μέγεθος που θέλουμε να ελέγξουμε. Σαν είσοδο ορίζουμε εκείνο φυσικό μέγεθος που χρησιμοποιούμε για να αλλάζουμε την έξοδο. Το πρώτο απαραίτητο εξάρτημα που υπάρχει σε ένα σύστημα ανάδρασης είναι το αισθητήριο (sensor). Το αισθητήριο ανιχνεύει τις μεταβολές της εξόδου και τις μεταδίδει προς επεξεργασία από τον ελεγκτή. Σε ένα σύστημα ανάδρασης το αισθητήριο είναι απαραίτητο και υπάρχει πάντα ακόμα και αν με την πρώτη ματιά δεν είναι φανερό. Η τεχνολογία των αισθητηρίων είναι από τους σημαντικότερους τομείς στην τεχνολογία και αποτελεί αντικείμενο της τεχνολογίας μετρήσεων. Το σήμα που λαμβάνει και μεταδίδει το αισθητήριο είναι το σήμα της ανάδρασης (t). Πολλές φορές τα αισθητήρια παράγουν σήματα τα οποία είναι ανάγκη να αλλάξουν μορφή η να ενισχυθούν, έτσι ώστε να μπορούν να γίνουν επεξεργάσιμα από τα συστήματα του ελεγκτή. Τα ποικίλης μορφής όργανα που κάνουν αυτές τις μετατροπές ονομάζονται Μετατροπείς ή Μεταδότες (Transducers). Οι μετατροπείς πολλές φορές δεν υπάρχουν ή είναι ενσωματωμένοι στο αισθητήριο ή στον ελεγκτή. Οι μετατροπείς αποτελούν και αυτοί αντικείμενο της τεχνολογίας μετρήσεων. Ο ελεγκτής (Controller) αποτελεί στην πιο απλή του μορφή από έναν αθροιστή (ή μάλλον αφαιρετή) ο οποίος μας δίνει τη διαφορά του σήματος ανάδρασης Α(t) από το σήμα της επιθυμητής τιμής E(t). Το σήμα της διαφοράς, δηλαδή το σήμα Σ(t)=E(t)-(t) ονομάζεται σήμα σφάλματος και είναι αυτό που θα κάνει τη διόρθωση σε κάθε διαταραχή στο σύστημα ανάδρασης. Ένα σύστημα αυτοματισμού με ανάδραση πρέπει να πλήρη όπως θα δούμε συγκεκριμένες προδιαγραφές κατά τη λειτουργία του. Για να μπορέσουμε να επιτύχουμε αυτές τις προδιαγραφές πρέπει να αντισταθμίσουμε το σήμα σφάλματος. Οι κάθε φύσεως αντισταθμιτές συνήθως αποτελούν μέρος του ελεγκτή. Το σήμα που βγαίνει από τον ελεγκτή είτε αντισταθμισμένο είτε όχι θα πρέπει να επενεργήσει στην είσοδο του προς έλεγχο συστήματος έτσι ώστε να διορθώσει την έξοδο. Το όργανο αυτό είναι ο επενεργητής (actuator). Ο επενεργητής είναι ένα όργανο το οποίο πρέπει να λάβει ένα μικρό σήμα (από άποψη ισχύος) αλλά πολλές φορές χρειάζεται να ελέγξει σημαντική ροή Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 265

ισχύος. Οι επενεργητές συνήθως είναι ενισχυτές, συστήματα ηλεκτρονικών ισχύος, βαλβίδες, ηλεκτρονόμοι, κινητήρες κλπ Σε ένα σύστημα ελέγχου με ανάδραση ροή ισχύος έχουμε συνήθως στο προς έλεγχο σύστημα, ενώ όλο το υπόλοιπο σύστημα από την είσοδο του αισθητηρίου έως την έξοδο του ελεγκτή, απαιτείται να έχουμε επεξεργασία πληροφορίας και μόνο. Στο σχήμα 4. αυτό το δείχνουμε με έντονη γραμμή στα σημεία που έχουμε ροή ισχύος και κανονική γραμμή εκεί όπου έχουμε μόνο ροή πληροφορίας. Στο σύστημα ανάδρασης παρατηρούμε ότι στον ορθό βρόχο έχουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του κυρίως συστήματος, του επενεργητή και του ανισταθμιτή. Στον βρόχο της ανάδρασης έχουμε την συνάρτηση μεταφοράς του αισθητηρίου και των μετατροπέων. Βέβαια η αντιστάθμιση είναι μια μεγάλη υπόθεση. Μπορούμε να συναντήσουμε αντισταθμιτές οι οποίοι να βρίσκονται και στον κλάδο της ανάδρασης. Ελεγκτής - Controler Επιθυμητή τιμή Ε(t) Σήμα σφάλματος Σ(t)=Ε(t)-Α(t) _ Σήμα Ελεγχου Σύστημα C(t) αντιστάθμισης Ha(s) Επενηργητής He(s) Είσοδος Χ(t) Πρός έλεγχο συστήμα H(s) Έξοδος Υ(t) Σήμα ανάδρασης Α(t) Μετατροπείς Hm(s) Αισθητήριο Hs(s) Σχήμα 4.2: Μπλόκ διάγραμμα συστήματος αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση στην πράξη Αν ονομάσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του κάθε συστήματος όπως φαίνεται στο σχήμα τότε η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ανάδρασης είναι: Ha( s) He( s) H ( s) Fs () H ( s ) H ( s ) H ( s ) H ( s ) H ( s ) a e m s Η λειτουργία ενός συστήματος ελέγχου με ανάδραση - Σερβομηχανισμοί Στο παράδειγμα του συστήματος που περιγράψαμε η επιθυμητή τιμή του συστήματος είναι σταθερή. Δηλαδή θέλουμε το σύστημα να κρατάει σταθερή τη θερμοκρασία της δεξαμενής ανεξάρτητα από εξωτερικές διαταραχές, αλλά η επιθυμητή αυτή τιμή να μπορεί αν ρυθμίζεται αναλογικά. Η συντριπτική πλειοψηφία των βιομηχανικών συστημάτων αυτοματισμού με ανάδραση λειτουργούν με αυτό τον τρόπο. Δηλαδή τα συστήματα προσπαθούν να κρατήσουν την έξοδο σταθερή. Αυτού του είδους οι αυτοματισμοί ονομάζονται σερβομηχανισμοί. Δηλαδή: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 266

Σερβομηχανισμός είναι ένα σύστημα αυτοματισμού με αρνητική ανάδραση το οποίο προσπαθεί να κρατήσει σταθερή την έξοδο, ανεξάρτητα από εξωτερικές διαταραχές, σε μια αναλογικά ρυθμιζόμενη επιθυμητή τιμή. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι αν σε ένα σύστημα δεν έχουμε εξωτερικές διαταραχές οι οποίες μεταβάλουν την έξοδο από την επιθυμητή τιμή δεν έχουμε Σερβομηχανισμό. Επίσης δεν αρκεί η επιθυμητή τιμή να είναι μία και μοναδική πρέπει να ορίζουμε εμείς την τιμή που θέλουμε κάθε φορά. Ας έμα σύστημα το οποίο έχει τη δυνατότητα να ρυθμίζει τις στροφές ενός κινητήρα, αλλά χωρίς να μπορεί να τις διορθώσει όταν μεταβληθούν λόγω κάποιας αλλαγής του φορτίου, δεν αποτελεί σερβομηχανισμό. Επίσης είναι γνωστό ότι στον σύγχρονο κινητήρα εναλλασσομένου ρεύματος έχουμε σταθερές στροφές ανεξάρτητες από το φορτίο. Η ταχύτητα περιστροφής όμως δεν ρυθμίζεται και επομένως δεν μπορούμε να μιλήσουμε για σερβομηχανισμό. Οι προδιαγραφές ενός σερβομηχανισμού Είναι αυτονόητο ότι δεν αρκεί να φτιάξουμε έναν σερβομηχανισμό ο οποίος να λειτουργεί διορθώνοντας κάθε φορά τις αποκλίσεις από την επιθυμητή τιμή. Το θέμα είναι να λειτουργεί με συγκεκριμένο τρόπο, όπως απαιτεί η εφαρμογή την οποία υποστηρίζει. Η λειτουργία δηλαδή ενός σερβομηχανισμού πρέπει πληροί συγκεκριμένες προδιαγραφές. Για παράδειγμα στη εφαρμογή της δεξαμενής που είδαμε παραπάνω, μας ενδιαφέρει αν η θερμοκρασία έχει την επιθυμητή τιμή η έχει απόκλιση. Ακόμα αν γίνει μια απότομη αλλαγή της θερμοκρασίας αποτελεί κρίσιμη παράμετρο σε πόσο χρόνο θα αποκατασταθεί η επιθυμητή τιμή. Οι προδιαγραφές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Προδιαγραφές μόνιμης κατάστασης Προδιαγραφές μεταβατικής κατάστασης Οι προδιαγραφές μόνιμης κατάστασης είναι το ΣΦΑΛΜΑ, δηλαδή η απόκλιση της εξόδου από την επιθυμητή τιμή, αλλά όταν το σύστημα είναι στην ισορροπία, δηλαδή όταν βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση. Το σφάλμα μετριέται σε επί τοις εκατό απόκλιση της εξόδου από την επιθυμητή τιμή. Στις προδιαγραφές μεταβατικής κατάστασης μπορεί να μας ενδιαφέρουν συγκεκριμένα μεγέθη μιας μεταβατική απόκρισης του συστήματος. Στο σχήμα βλέπουμε μια μεταβατική απόκριση και σημειώνουμε συγκεκριμένα μεγέθη που μπορεί να αποτελούν προδιαγραφές ενός σερβομηχανισμού. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 267

mplitude.5 Step Response Μέγιστη Υπερίψωση h% Ανοχή σφάλματος Επιθιμητή τιμή 00% 90% 50% 0.5 Χρόνος αποκατάστασης ts Χρόνος Μεγίστου tp 0% Χρόνος καθυστέρησης td 0 0 5 0 5 20 25 Time (sec) Χρόνος ανόδου tr Σχήμα 4.3: Προδιαγραφές μεταβατικής κατάστασης ενός σερβομηχανιμσού Στο σχήμα 4.3 βλέπουμε τις προδιαγραφές μεταβατικής κατάστασης ως εξής: t d :Χρόνος καθυστέρησης (delay time). Είναι ο χρόνος που κάνει η βηματική απόκριση της εξόδου να φτάσει στο 50% της επιθυμητής τιμής. t r :Χρόνος ανόδου (rise time). Είναι ο χρόνος που κάνει η βηματική απόκρισης της εξόδου να ανέβει από το 0% της επιθυμητής τιμής στο 90%. t p : Χρόνος μεγίστου. (peak time). Είναι ο χρόνος που κάνει η βηματική απόκρισης της εξόδου να φθάσει στη μέγιστη τιμή της. t s : Χρόνος αποκατάστασης (settling time). Είναι ο χρόνος που κάνει η βηματική απόκρισης της εξόδου να φθάσει στη μόνιμη τιμή της. Βέβαια εννοείται ότι μόνιμη τιμή είναι εκείνη που βρίσκεται μέσα στις ανοχές του μόνιμου σφάλματος h % : ποσοστό υπερύψωσης (Maximum percent overshoot). Αποτελεί το επί της 00 σε σχέση με την επιθυμητή τιμή μεγαλύτερη υπερύψωση της βηματικής απόκρισης της εξόδου, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 268

M p : τιμή υπερύψωσης (overshoot). Η απόλυτη τιμή της μέγιστης υπερύψωσης της βημαντικής απόκρισης της εξόδου, n : Συχνότητα αποσβενύμενων ταλαντώσεων Απεικόνιση σφάλματος και μεταβατικής κατάστασης σερβομηχανισμού Όταν ένας σερβομηχανισμός λειτουργεί στην πράξη γίνεται αντιληπτό, αν λειτουργεί μέσα στις προδιαγραφές που τίθενται από την παραγωγή. Όμως τις περισσότερες φορές είναι πολύ δύσκολο να δούμε οπτικά την μεταβατική κατάσταση, η να μετρήσουμε με ακρίβεια τα σφάλματα και τους χρόνους απόκρισης. Αυτό όμως μπορεί να γίνει στο εργαστήριο και βέβαια με τα εργαλεία λογισμικού που έχουμε σήμερα μπορούμε να προσομοιώσουμε ένα σύστημα στο MTLB για παράδειγμα. Ας δούμε λοιπόν πως θα καταγράψουμε και θα μετρήσουμε το μόνιμο σφάλμα σε ένα σύστημα αρνητικής ανάδρασης σε προσομοίωση. Ας δούμε πάλι με προσοχή της είναι το μόνιμο σφάλμα ενός σερβομηχανισμού. Έστω ότι το σύστημα λειτουργεί και βρίσκεται σε ισορροπία, αυτό σημαίνει ότι το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση και επομένως η έξοδος είναι σταθερή. Αν γίνει μια διαταραχή στην έξοδο, δηλαδή αν η έξοδος αλλάξει από κάποια εξωτερική αιτία, τότε μετά τη μεταβατική κατάσταση το σύστημα θα ισορροπήσει και πάλι σε μια σταθερή τιμή. Η απόκλιση της εξόδου από την επιθυμητή τιμή αποτελεί το σφάλμα του σερβομηχανισμού. Αν η τιμή της νέας ισορροπίας είναι ίδια τότε το σύστημα έχει μηδενικό σφάλμα. Για να απεικονίσουμε σε μια προσομοίωση το σφάλμα θα πρέπει να δημιουργήσουμε μια διαταραχή. Ο πιο απλός τρόπος που όμως προσεγγίζει πολύ καλά το τι γίνεται συνήθως στην πράξη, είναι να προσθέσουμε στην έξοδο μια σταθερή τιμή όπως φαίνεται στο σχήμα 4.4 Βηματική διαταραχή είσοδος _ H(s) έξοδος G(s) Σχήμα 4.4: Προσομοίωση για την καταγραφή του μόνιμου σφάλματος θέσης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 269

mplitude Αν δημιουργήσουμε αυτή τη συνδεσμολογία και υποθέσουμε ότι η είσοδος είναι μηδέν τότε η συνάρτηση μεταφοράς πάνω για να δούμε την μεταβατική κατάσταση βγαίνει ως εξής: F () s H ( s ) G ( s ) Για να καταλάβουμε γράψαμε τη συνδεσμολογία λίγο διαφορετικά στο σχήμα 4.5. Παρατηρήστε ότι και πάλι έχουμε αρνητική ανάδραση. Βηματική διαταραχή _ έξοδος G(s) _ H(s) Είσοδος= 0 Σχήμα 4.5: Στη βηματική έξοδο που θα πάρουμε από αυτή τη συνάρτηση μεταφοράς η απόσταση της τελική τιμής από το μηδέν αποτελεί το μόνιμο σφάλμα του συστήματος. Ας δούμε τα παραδείγματα δύο συστημάτων με τις εξής συναρτήσεις μεταφοράς: Παράδειγμα Έχουμε H() s και Gs () 2 s 0,5s s 5.4 Step Response 0.95.2 0.9 0.8 0.85 0.6 0.4 0.8 Μόνιμο Σφάλμα 0.2 0.75 0 5 0 5 20 25 0 0 5 0 5 20 25 Time (sec) Σχήμα 4.6: Καταγραφή του σφάλματος θέσης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 270

mplitude mplitude Παράδειγμα 2 Έχουμε H() s 3 2 s 0,5s s και Gs () s 5.2 Step Response 6 Step Response 5 0.8 4 0.6 0.4 3 0.2 2 0-0.2 0 5 0 5 20 25 30 Time (sec) 0 0 5 0 5 20 25 30 Time (sec) Σχήμα 4.7: Καταγραφή του σφάλματος θέσης Στα σχήματα 4.6 και 4.7 των δύο παραδειγμάτων βλέπουμε την βηματική απόκριση σφάλματος και την μεταβατική απόκριση για βηματική είσοδο. Παρατηρούμε ότι οι μεταβατικές αποκρίσεις είναι ακριβώς ίδιες. Στην μεταβατική σφάλματος όμως μπορούμε να μετρήσουμε το μόνιμο σφάλμα ως την απόσταση της μόνιμης τιμής από το μηδέν. Στο δεύτερο παράδειγμα έχουμε μηδενικό σφάλμα. Αν το σκεφτεί κάποιος με την καθημερινή λογική, στην αρχή θα αναρωτηθεί πως είναι δυνατόν στην έξοδο να προσθέτουμε μια ποσότητα και παρόλα αυτά το τελικό αποτέλεσμα να είναι μηδέν. Αυτή όμως είναι η μαγεία της αρνητικής ανάδρασης και με αυτόν τον τρόπο λειτουργεί ένας σερβομηχανισμός, Για να δούμε τη μεταβατική κατάσταση ενός συστήματος ανάδρασης αρκεί να πάρουμε την βηματική του απόκριση. Η παραπάνω μελέτη μας έδειξε ότι είτε η απότομη αλλαγή γίνεται στην είσοδο, είτε σαν διαταραχή στην έξοδο η μεταβατική είναι η ίδια. Η προσομοίωση που κάναμε για τη διαταραχή είναι ιδανική, δηλαδή στην πράξη τις περισσότερες φορές δεν έχουμε την πρόσθεση στην έξοδο μια βηματικής συνάρτησης σαν διαταραχή. Παρόλα αυτά όμως αποτελεί μια πολύ καλή προσέγγιση και με αυτό τον τρόπο μπορούμε να μετρούμε το σφάλμα εργαστηριακά. Στη συνέχεια θα δούμε τι γίνεται με τα πραγματικά συστήματα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 27

Γενικά για σφάλματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου με ανάδραση Μέχρι τώρα μελετήσαμε Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου με ανάδραση τα οποία έχουν σαν αποστολή να κρατούν την έξοδο σταθερή. Επομένως και η επιθυμητή τιμή του συστήματος (είσοδος) είναι σταθερή. Σφάλμα ονομάσαμε την απόκλιση της εξόδου από την επιθυμητή τιμή, μετά την δράση μιας διαταραχής επί της εξόδου. Στην πράξη τα συστήματα αυτοματισμού στα οποία θέλουμε να κρατάμε την έξοδο σταθερή τα οποία ονομάσαμε Σερβομηχανισμούς και αποτελούν τη μεγάλη πλειοψηφία των βιομηχανικών αυτοματισμών αυτού του είδους. Παρόλα αυτά υπάρχουν συστήματα στα οποία η έξοδος δεν θέλουμε να είναι σταθερή αλλά να μεταβάλλεται με κάποιο ρυθμό. Στην περίπτωση αυτή η επιθυμητή τιμή του συστήματος ανάδρασης (είσοδος) δεν είναι βηματική, αλλά έχει διαφορετική μορφή. Το σφάλμα και πάλι είναι η απόκλιση από της εξόδου από την επιθυμητή τιμή μετά την δράση μια διαταραχής. Διακρίνουμε τριών ειδών Μόνιμα σφάλματα ανάλογα με την μορφή της επιθυμητής τιμής, ως εξής: Μόνιμο σφάλμα θέσης: Έχουμε όταν η είσοδος του συστήματος ανάδρασης είναι η βηματική συνάρτηση x( t) u( t) x(t) t Μόνιμο σφάλμα ταχύτητας: Έχουμε όταν η είσοδος του συστήματος ανάδρασης είναι η γραμμική συνάρτηση x( t) tu( t) x(t) t Μόνιμο σφάλμα επιτάχυνσης: Έχουμε όταν η είσοδος του συστήματος 2 ανάδρασης είναι η συνάρτηση δευτέρου βαθμού x( t) t u( t) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 272

x(t) t Υπολογισμός μόνιμου σφάλματος σε σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να υπολογίσουμε τις τιμές των μόνιμων σφαλμάτων και των τριών ειδών. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται εύκολα μόνο σε σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και αυτό κάνουμε στη συνέχεια. Βηματική διαταραχή d(t) Είσοδος x(t) Σφάλμα e(t) _ H(s) Έξοδος y(t) Σχήμα 4.8: Καταγραφή του σφάλματος θέσης Στο σχήμα 4.8 φαίνεται το μπλόκ διάγραμμα ενός σερβομηχανισμού μοναδιαίας ανάδρασης. Στο σχήμα φαίνονται τα σήματα εισόδου Χ(s), εξόδου Υ(s) και της διαταραχής D(s). Το σήμα σφάλματος είναι το σήμα μετά το αθροιστικό σημείο για το οποίο ισχύουν τα εξής: E( s) X ( s) Y ( s) Y ( s) D( s) H ( s). E( s) κάνοντας αντικατάσταση έχουμε: E( s) X ( s) D( s) H ( s). E( s) E( s) H ( s). E( s) X ( s) D( s) E( s) ( X ( s) D( s)) () H( s) Τύποι συστήματος Τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου ενός σερβομηχανισμού μπορούμε γενικώς να τη γράψουμε με την παρακάτω μορφή: H() s s n πολυώνυμο (πολυώνυμο) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 273

Ο εκθέτης του όρου /s καθορίζει τον τύπο του συστήματος. Μόνιμο σφάλμα και τύπος συστήματος. Το μόνιμο σφάλμα ορίζεται μαθηματικά από το όριο στο οποίο τείνει η συνάρτηση σφάλματος Ε(t), όταν το t τείνει στο μηδέν, από τα μαθηματικά έχουμε: e lim e( t) lim se( s) ό x s0 Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε τον τύπο αυτό του μόνιμου σφάλματος για να δούμε πόσο είναι το μόνιμο σφάλμα θέσης, ταχύτητας ή επιτάχυνσης στην παραπάνω εξίσωση (). Μπορούμε να πάρουμε το σφάλμα είτε θέτοντας την αντίστοιχη συνάρτηση στην είσοδο, είτε στη διαταραχή, από ότι φαίνεται από την εξίσωση (), η τιμή του σφάλματος θα είναι η ίδια.. Μόνιμο σφάλμα θέσης: Στη περίπτωση αυτή η είσοδος είναι η βηματική συνάρτηση, ας υποθέσουμε με τιμή Α, με μετασχηματισμό Laplace : /s Στην περίπτωση αυτή το μόνιμο σφάλμα είναι: e lim e( t) lim se( s) ό x s0 απο την εξίσωση () έχουμε: E( s) ( ) X ( s) και επειδή έχουμε βηματική X ( s) H ( s) s άρα eό lim se( s) lim s.( ). s0 s0 H ( s) s e ό lim. s0 H ( s ) Από τον παραπάνω τύπο του μόνιμου σφάλματος φαίνεται ότι: Εάν το σύστημα είναι τύπου μηδέν (χωρίς s στον παρανομαστή) τότε το παραπάνω όριο όσο αφορά την συνάρτηση Η(s) θα καταλήξει στο κέρδος Κ της συνάρτησης και άρα το σφάλμα είναι: e ό Σε περίπτωση που το σύστημα είναι τύπου και πάνω, τα s στον παρανομαστή της συνάρτηση Η(s) μας οδηγούν την συνάρτηση Η(s) στο άπειρο και άρα το μόνιμο σφάλμα στο μηδέν. 2. Μόνιμο σφάλμα ταχύτητας. Στη περίπτωση αυτή η είσοδος είναι γραμμική (ramp) συνάρτηση, ας υποθέσουμε με τιμή Α, με μετασχηματισμό Laplace : 2 s Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 274

Στην περίπτωση αυτή το μόνιμο σφάλμα είναι: e lim e( t) lim se( s) ό x s0 απο την εξίσωση () έχουμε: E( s) ( ) X ( s) και επειδή έχουμε βηματική X ( s) 2 H ( s) s άρα eό lim se( s) lim s.( ). s0 s0 2 H ( s) s e ό lim. s0 s H () s s Από τον παραπάνω τύπο του μόνιμου σφάλματος φαίνεται ότι: Εάν το σύστημα είναι τύπου μηδέν (χωρίς s στον παρανομαστή) τότε το παραπάνω όριο θα καταλήξει στο άπειρο. Εάν το σύστημα είναι τύπου (ένα s στον παρανομαστή) τότε το παραπάνω όριο θα καταλήξει στην τιμή e ό όπου Κ θα είναι η το κέρδος της συνάρτησης sη(s) Σε περίπτωση που το σύστημα είναι τύπου 2 και πάνω, τα s στον παρανομαστή της συνάρτηση Η(s) μας οδηγούν την συνάρτηση Η(s) στο άπειρο και άρα το μόνιμο σφάλμα στο μηδέν. Ανάλογη είναι η ανάλυση για το μόνιμο σφάλμα επιτάχυνσης. Συγκεντρωτικά τα σφάλματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Τύπος συστήματος Μόνιμο σφάλμα Μόνιμο σφάλμα Μόνιμο σφάλμα Θέσης Ταχύτητας Επιτάχυνσης 0 p 0 k v 2 0 0 a Το Κp είναι το κέρδος της συνάρτησης Η(s) Tο v είναι το κέρδος της συνάρτησης s.h(s) To Κα είναι το κέρδος της συνάρτησης s 2.H(s) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 275

Παραδείγματα τύπων συστημάτων και σφαλμάτων Στο Simulink κάνουμε προσομοιώσεις διαφόρων τύπων συστημάτων στα οποία απεικονίζουμε στον παλμογράφο το σήμα εισόδου και την έξοδο μετά τη διαταραχή. Προσοχή: Η διαταραχή σε όλες τις περιπτώσεις είναι βηματικής μορφής. Στο σχήμα 4.9 έχουμε ένα σύστημα τύπου μηδέν και βλέπουμε το μόνιμο σφάλμα θέσης. Παρατηρούμε ότι έχουμε απόκλιση της μόνιμης τιμής εξόδου από την είσοδο, δηλαδή υπάρχει σφάλμα. Τονίζουμε τα εξής: Για να μπορέσουμε να δούμε το μόνιμο σφάλμα πρέπει να έχουμε ευσταθές σύστημα, δηλαδή ή έξοδος να έχει σταθερή τελική τιμή. Για το λόγο αυτό τροποποιούμε τις συναρτήσεις Η(s) ή G(s) έτσι ώστε έχουμε ευσταθές σύστημα. Η τιμή του μόνιμου σφάλματος που δίνεται από τον τύπο που βγάλαμε παραπάνω έχει υπολογισθεί (δηλαδή p ) έχει υπολογισθεί για μοναδιαία ανάδραση και άρα δεν ισχύει στην περίπτωση του παραδείγματος του σχήματος. Σχήμα 4.9: καταγραφή του σφάλματος θέση στο Simulink σε σύστημα τύπου 0 Σχήμα 4.20: καταγραφή του σφάλματος θέση στο Simulink σε σύστημα τύπου Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 276

Στο σχήμα 4.20 έχουμε δημιουργήσαμε ένα σύστημα τύπου βάζοντας έναν ολοκληρωτή στο βρόχο και επομένως το μόνιμο σφάλμα θέσης είναι μηδέν. Προσέξτε ότι αλλάξαμε το κέρδος της συνάρτησης G(s) γιατί το σύστημα που προέκυπτε ήταν ασταθές. Στο σχήμα 4.2 έχουμε ένα σύστημα τύπου 0 και ένα σύστημα τύπο στα οποία βλέπουμε το μόνιμο σφάλμα ταχύτητας. Παρατηρούμε ότι στο σύστημα τύπου 0 έχουμε μόνιμο σφάλμα το οποίο αυξάνει διαρκώς. Στο σύστημα τύπου έχουμε σταθερό μόνιμο σφάλμα. Στη περίπτωση αυτή πάλι πρέπει να προσπαθήσουμε να έχουμε ευσταθές σύστημα. Θα δούμε αργότερα ότι βάζοντας ολοκληρωτές σε ένα σύστημα το οδηγούμε συνεχώς προς τη αστάθεια. Σχήμα 4.2: καταγραφή του σφάλματος ταχύτητας στο Simulink σε σύστημα τύπου 0 και τύπου Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 277

Προσοχή Η απεικόνιση που κάναμε στα προηγούμενα παραδείγματα δεν είναι ακριβής διότι η απόκλιση της εξόδου μετά τη διαταραχή πρέπει να συγκρίνεται με την τιμή που έχουμε χωρίς τη διαταραχή, και όχι από την συνάρτηση της εισόδου. Αυτό διότι η έξοδος είναι πάντα η είσοδος επί το κέρδος. Στο επόμενο παράδειγμα συστήματος τύπου 2 (2 ολοκληρωτές) δημιουργούμε μια προσομοίωση που πετυχαίνει τη σύγκριση με την έξοδο χωρίς την διαταραχή. Στην πραγματικότητα επαναλαμβάνουμε το ίδιο σύστημα 2 φορές. Το σύστημα τύπου 2 είναι ασταθές και προσπαθήσαμε με τις συναρτήσεις της ανάδρασης και το κέρδος του ορθού βρόχου, να το κάνουμε ευσταθές. Από το παλμογράφημα βλέπουμε ότι το μόνιμο σφάλμα ταχύτητας είναι μηδέν. Σχήμα 4.22: καταγραφή του σφάλματος επιτάχυνσης στο Simulink σε σύστημα τύπου 0 και τύπου Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 278

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 279