Κίνηση στερεών σωμάτων ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 1 q Κίνηση στερεού σώµατος: Ø Υπολογισµός της κινητικής ενέργειας Ø Θεωρήσαµε ότι ένα σώµα διακριτής ή συνεχούς κατανοµής µάζας q Η κινητική ενέργεια δίνεται από την σχέση: η οποία γράφεται σε απλούστερη µορφή σαν: ω 3 T 1 m ω r ω e η γωνιακή ταχύτητα και I j m r δ j r r j 1 N Συµµετρικός, χρονικά ανεξάρτητος 3 3 πίνακας Ø Για συνεχή κατανοµή µάζας: I j 1 d 3 rρ r N 1 T 1 3, j ω r ( ) ω I j q Ο τανυστής αδράνειας µπορεί να διαγωνοποιηθεί µέσω: OIO Τ I r δ j r e r e j { } Ø Ο ορθογώνιος πίνακας Ο, ορίζει ένα µετασχηµατισµό στροφής του συστήµατος συντεταγµένων σε τρεις νέους άξονες (κύριοι άξονες) ως προς τους οποίους ο τανυστής αδράνειας είναι διαγώνιος ê O j ej Ø Κατανοµή µάζας συγγραµµική µε κύριο άξονα δεν έχει ροπή αδράνειας ο τανυστής αδράνειας
Δίσκος q Δίσκος µε πυκνότητα στο z0 επίπεδο. Ποια η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο του y z O x ρ M π Ø Οι κύριοι άξονες θα είναι οι τρεις άξονες x,y και z: x I x M π dr r dθ x + y ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 y r sn θ I x M π dr r 3 sn dθ M R πr 3 dr M R 4 0 4 MR 4 I y I x z I z M π dr r dθ x + y I z M R π 4 I MR z M π dr r dθ x + y
ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 3 Τανυστής αδράνειας ως προς κέντρο μάζας q H ροπή αδράνειας και ο τανυστής αδράνειας εξαρτώνται από την αρχή ως προς την οποία υπολογίζεται ο τανυστής αδράνειας Ø Αν ξέρουµε τον τανυστή αδράνειας ως προς κάποιο σηµείο, τότε δεν σηµαίνει ότι ξέρουµε τον τανυστή ως προς ένα άλλο σηµείο Ø Μια εξαίρεση: Αν ξέρουµε τον τανυστή αδράνειας ως προς το κέντρο µάζας τότε είναι εύκολο να τον υπολογίσουµε ως προς άλλο σηµείο Ø Έστω µια συλλογή υλικών σηµείων µε µάζες m α και διανύσµατα θέσης Ø To ΚΜ θα είναι: R CM m r m και έστω ξέρουµε τον τανυστή αδράνειας: Ø Θέλουµε να υπολογίσουµε τον τανυστή αδράνειας ως προς σηµείο: R R CM + c Ø Έστω χρησιµοποιούµε σύστηµα συντεταγµένων τέτοιο ώστε: R CM 0 Ø Εποµένως: m r 0 Ø Ο τανυστής αδράνειας ως προς το νέο σηµείο θα είναι: I c j m ( r c ) δ j ( r c ) ( r c ) j I c j I CM j + m c δ j c c j I CM j + m c r 0 δ j + c r, j + c j r, + m ( c δ j c c j ) M r
ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 4 Υπολογισμός με τον τανυστή αδράνειας ως προς το CM q Υπολογίσαµε τον τανυστή αδράνειας του δίσκου ως προς το CM Ø Έστω θέλουµε να τον υπολογίσουµε ως προς ένα σηµείο σε θέση R c cˆx q Βρήκαµε προηγουµένως ότι: I j c I j CM + M c δ j c c j I c M 4 0 I c M 4 4 0 0 +M 4 + c 0 + c c 0 c 0 c M c 0 0 Αν µετακινήσουµε την αρχή ως προς την οποία υπολογίζουµε τον τανυστή αδράνειας στην ĉ-διεύθυνση, τότε η ποσότητα ĉ Τ Iĉ σταθ. Αν µετακινήσουµε το σώµα κατά µήκος ενός κύριου άξονα, τότε η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα θα µείνει ίδια
Δυναμική ενός ελεύθερου στερεού ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 5 q Η πλέον γενική κίνηση ενός στερεού σώµατος είναι: µεταφορά περιστροφή q Αν η θέση ενός τµήµατος του στερεού είναι: r Ø Μπορούµε να γράψουµε συναρτήσει της θέσης του κέντρου µάζας: r R CM ( t) +Δ r t αποκλίσεις από το κέντρο µάζας Ø Θεωρώντας σύστηµα αναφοράς µε αρχή το CM θα έχουµε: Ø Ενώ η θέση του CM δίνεται από είναι: R CM m r m Δ r 0 q Για να µελετήσουµε την δυναµική του στερεού, γράφουµε την Lgrngn: L T 1 m " r 1 1 m "RCM + Δ "r m "RCM + m ( "RCM Δ r " ) + m Δ " r 1 M RCM " dt + RCM " d m Δ r + 1 0 m m Δ "r L 1 M RCM " + 1 m Δ " r
Δυναμική ενός ελεύθερου στερεού q Η κινητική ενέργεια του στερεού γράφεται εποµένως: ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 6 περιστρ L T CM + T ως προς CM Ø όπου: T CM 1 M RCM " περιστρ Ø και: T ως προς CM 1 κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας m Δ ( "r ) κινητική ενέργεια των m α ως προς το CM Ø Αλλά είδαµε ότι : 1 m Δ "r 1 m ω Δ r 1 ω I j, j όπου Ι j ο τανυστής αδράνειας του στερεού υπολογισµένος ως προς το CM q Η κίνηση του CM είναι αυτή ενός ελεύθερου σώµατος µε µάζα ίση µε Μ και διάνυσµα θέσης R CM q Εποµένως αυτό που αποµένει να µελετηθεί είναι η δυναµική του στερεού σώµατος λόγω της περιστροφής του ως προς το CM µε γωνιακή ταχύτητα ω q Θα επικεντρωθούµε εποµένως στον όρο: T περ. 1 j ω I j
Στροφορμή στερεού q Έχοντας την Lgrngn χρειάζεται να βρούµε τις εξισώσεις κίνησης: ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 7 Ø Δυο τρόποι για να το κάνουµε: ² Από τις εξισώσεις Euler-Lgrnge θεωρώντας τα Δr σαν ανεξάρτητες δυναµικές µεταβλητές από τις οποίες εξαρτώνται οι συνιστώσες της ω ² Ευκολότερα, αρκεί να προσέξουµε ότι: ü Το σύστηµα είναι αµετάβλητο κάτω από περιστροφές: ü Αλλά λόγω συµµετριών ξέρουµε ότι περιστροφική συµµετρία ισοδυναµεί µε διατήρηση της στροφορµής Ø Δεν χρειάζεται εποµένως να γράψουµε τις εξισώσεις κίνησης Ø Αρκεί να γράψουµε την εξίσωση διατήρησης της στροφορµής για να πάρουµε αυτόµατα τις εξισώσεις κίνησης q Χρειάζεται να υπολογίσουµε την στροφορµή του συστήµατος: l αλλά l m r "r r " ω r l m r ω r r ( ω r ) όµως b c b c c b l m ω r r l m r ω ω r r
Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω l m r ω ω r ω e ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 8 r I j m r δ j r r j q Μπορούµε να γράψουµε το διάνυσµα της στροφορµής στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς σαν: q Από τις () και (3) η (1) µπορεί να γραφεί: l j I j q Από διατήρηση στροφορµής: l " 0 l " d l d Ø Αλλά: l e dt dt l " ( "l e + l " e ) " l "l e + l ω e l " l " ( + l ω ) e 0 Ø Αλλά από την (4) θα έχουµε: Ø ενώ: ω e Ø και: l ω e ε jk ek l I j jk l ε jk ek I l ω l ε jk ek jk jk j l l l e (1) () (3) (4) l I j + ε jkl I kl ω l 0 j jkl