Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση του θεωρήµατος Fubini για τριπλά ολοκληρώµατα. R και f : 19-1 Θεώρηµα Έστω [ a, b ] [ a, b ] [ a, b ] R= κλειστό ορθογώνιο στον 1 1 R R φραγµένη συνάρτηση, τότε ισχύουν τα ακόλουθα: 1)Αν η f είναι συνεχής τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R και αν Ι = fd, τότε τα έξι διαδοχικά ολοκληρώµατα που παίρνουµε µεταθέτοντας τα d, d, dzπ.χ. b1 b b f (,, dz d d, f (,, ) a1 a a αριθµό Ι. b b1 b a a1 a z dz d d κτλ είναι όλα ίσα µε τον )Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο R, αν το ολοκλήρωµα f (,, ) υπάρχει για κάθε (, [ a, b ] [ a, b ] 1 1 b a R z dz τότε ( η συνάρτηση (, [ a, b ] [ a, b ] f (,, dz ολοκληρώνεται στο [ a, b ] [ a, b ] 1 1 b a b f d= f z dz dd [, ] [, ] f,, z dd. ισχύει (,, ) R a1 b1 a b a και ) 1 1 Ανάλογα, αν το ολοκλήρωµα ( ) υπάρχει για κάθε z [ a, b] [ a, b ] [ a, b ] 1 1 b fd= f z dd dz [, ] [, ]. έπεται ότι, (,, ) R a a1 b1 a b Στην συνέχεια θα δούµε πως τριπλά ολοκληρώµατα µπορούν να υπολογισθούν πάνω από στερεά χωρία που δεν είναι ορθογώνια. Θα υποθέσουµε ότι το στερεό χωρίο ολοκλήρωσης είναι ένα Jordan µετρήσιµο υποσύνολο του R ειδικού τύπου ( πού είναι ανάλογος µε τα επίπεδα χωρία ολοκλήρωσης που εξετάσαµε σε προηγούµενες παραγράφους). Με περισσότερη ακρίβεια, θα υποθέσουµε ότι το χωρίο ολοκλήρωσης φράσσεται z u, z = v, από πάνω από µια επιφάνεια = ( ) και από κάτω από µια επιφάνεια ( ) και ακόµα ότι προβάλλεται στο επίπεδο σε ένα χωρίο Α είτε του τύπου 1 είτε του τύπου. Έτσι το περιγράφεται ως εξής: =,, z :, Ακαι v, z u,. {( ) ( ) ( ) ( ) Αν π.χ. το Α είναι του τύπου 1 και Α= {(, R : a bκαι ϕ1( ) ϕ( ) όπου ϕ1, ϕ :[ a, b] R συνεχείς συναρτήσεις µε ϕ1( ) ϕ( ) για κάθε [ a, b] τότε, = (,, : a b, ϕ ( ) ϕ ( ) και v(, z u(,. { 1

01 19. Θεώρηµα Έστω στερεό χωρίο, z u, R, το οποίο φράσσεται από πάνω από µια επιφάνεια = ( ), από κάτω από µια επιφάνεια z v(, = και προβάλλεται στο επίπεδο σε ένα χωρίο Α. Αν το Α είναι είτε του τύπου 1 είτε του τύπου, και η f : R συνεχής ( ή φραγµένη µε αριθµήσιµο το πολύ πλήθος ασυνεχειών ) συνάρτηση τότε η f είναι ολοκληρώσιµη επί του και u(, ) f d= f (,, dz d(, A, ( = v(, (,, στο πρώτο ολοκλήρωµα) Ειδικότερα: (ι) Αν το Α είναι του τύπου 1 και, Α=, R : a bκαι ϕ ϕ τότε {( ) 1( ) ( ) b ϕ( ) u(, f d= f (,, dzdd, ( (,, ϕ ( ) (, ) a 1 v = στο πρώτο ολοκλήρωµα) { 1 (ιι) Αν το Α είναι του τύπου και Α= (, R : c d και g ( g ( d g ( u(, f d f z dzdd, ( = (,, στο πρώτο ολοκλήρωµα) τότε = (,, ) ( ) (, ) c g1 v Παρατηρήσεις: 1) Το προηγούµενο θεώρηµα αποδεικνύεται ( όπως και το ανάλογό του για διπλά ολοκληρώµατα ) µε την βοήθεια του θεωρήµατος Fubini ( αφού επεκτείνουµε την f σε ένα κλειστό ορθογώνιο R που περιέχει το ) και τον χαρακτηρισµό των Riemann ολοκληρωσίµων συναρτήσεων. Απλώς παρατηρούµε ότι οι ασυνέχειες της f είναι µέτρου µηδέν αφού βρίσκονται στο σύνορο του, το οποίο είναι πεπερασµένη ένωση γραφηµάτων συνεχών συναρτήσεων ( δύο µεταβλητών ) και άρα µέτρου µηδέν, δηλαδή Jordan µετρήσιµο. )Τα υποσύνολα του R που εµφανίζονται στην διατύπωση του προηγουµένου θεωρήµατος ονοµάζονται στερεά ( ή τρισδιάστατα ) χωρία τύπου 1. Ανάλογα ορίζονται τα στερεά χωρία τύπου µε προβολή του στο z επίπεδο και τα στερεά χωρία τύπου µε προβολή του στο z επίπεδο. Ένα χωρίο που είναι του τύπου 1, και ονοµάζεται χωρίο τύπου 4. Ένα παράδειγµα τέτοιου χωρίου είναι η µοναδιαία σφαίρα + + z = 1. )Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι η σταθερά ίση µε 1, δηλαδή f (,, z ) = 1 τότε d= V ( ) Πράγµατι, =ο όγκος του (1) (, ) u f d= dz d(, = u( ( ) (, ) A v A (, v, ) d(, = u(, d(, v(, d(, =ο όγκος του, ( αφού u(, v(, A κάθε (, A για και το διπλό ολοκλήρωµα παριστάνει τον όγκο κάτω από το γράφηµα της ολοκληρωτέας συνάρτησης ). Εξάλλου ο τύπος (1) έχει δοθεί και ως ο ορισµός του όγκου Jordan µετρήσιµου συνόλου R.

0 Παραδείγµατα υπολογισµού τριπλών ολοκληρωµάτων. 1)Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες και ( ) V z = 8. Λύση Ο όγκος V ( ) δίδεται από το ολοκλήρωµα V ( ) z = + = dzdd, ( = d ) δηλαδή το τριπλό ολοκλήρωµα της F(,, z ) = 1 επί του. Για να βρούµε τα όρια ολοκλήρωσης σχεδιάζουµε το. { S = {,, z : z = 8 S = S1 S = {,, z : + = 4 και z = + Οι επιφάνειες S1 = (,, : z = + και ( ) τέµνονται στην καµπύλη ( ) ( + = 8 + = 4 ). Η προβολή του S στο επίπεδο είναι η έλλειψη: + = 4. Παρατηρούµε ότι το εσωτερικό αυτής της έλλειψης είναι {(, : 4 ( ) R= + <. Επίσης ότι,, R + < 4 + < 8. Το χωρίο ( ) {, : 4 R= + είναι του τύπου 1, πράγµατι, 4 4 R= (, : και Έπεται ότι,.

0 4 4 = (,, :, και + z 8 και ( ) V = dzdd = 4 8 4 + dz dd 4 = ( 8 4 ) dd = 4 4 = 4 ( 8 ) d 4 = ( ) 4 8 4 8 d = = 4 8 4 8 4 d = ( 4 ) d = 8π ( κάνοντας την αλλαγή d µεταβλητής = sin u = cosu d = cosudu ). du Σηµείωση Το προηγούµενο ολοκλήρωµα θα µπορούσε να υπολογιστεί και ως η διαφορά των διπλών ολοκληρωµάτων επί του R, V ( Α ) = F1 (, dd F (, dd F1, = 8 και, όπου ( ) R R 4 4 F (, = +, όπου R= (, : και εσωτερικό της έλλειψης µαζί µε το σύνορο = το )Να βρεθούν τα όρια της ολοκλήρωσης για τον υπολογισµό του τριπλού f,, z dzdd f R συνεχής συνάρτηση και:, όπου : {,, : ολοκληρώµατος: ( ) (α) = ( R + + z a, ( a> 0). (β) = το τετράεδρο µε κορυφές ( 0,0,0 ),( 1,1,0 ),( 0,1,0 ) και ( 0,1,1 ). Λύση (α) Η κλειστή σφαίρα κέντρου ( 0, 0, 0 ) και ακτίνας a> 0 περιγράφεται,, z ως το σύνολο των ( ) a z a R ώστε: a a, a a και

04 Η σφαίρα είναι χωρίο τύπου (4) µπορεί να περιγραφεί ( λόγω συµµετρίας ) µε προβολές σε όλα τα επίπεδα. Έτσι π.χ. έχουµε: και a z a. Έπεται από την πρώτη περιγραφή ότι, (,, ) a a a f z dzdd = f (,, dzdd (,, ) a a a a a, a a και από την δεύτερη a a a f z dzdd = f (,, dzdd Αν f ( ). a a a,, z = 1 η σταθερά συνάρτηση ίση µε 1, βρίσκουµε τον όγκο της σφαίρας z dzdd =, έτσι από την πρώτη περιγραφή έχουµε V = f (,, ) a a a a a a dzdd= dzdd. Κρατώντας τα και σταθερά και ολοκληρώνοντας ως προς z παίρνουµε, a a V = a dd. a a Επειδή το είναι σταθερό στο ολοκλήρωµα ως προς d, αυτό το ολοκλήρωµα είναι της µορφής β β d µε β β = a εµβαδόν ενός ηµικυκλίου ακτίνας β, οπότε. Αυτό το ολοκλήρωµα παραστάνει το β β β π a β d = = π a a a 4 Έπεται ότι, V = π d = π ( a ) d = π a = a a π a. a ηλαδή βρίσκουµε τον γνωστό µας από την Γεωµετρία τύπο για τον όγκο της σφαίρας. (β) a

05 Η προβολή του δοθέντος τετραέδρου στο επίπεδο είναι το ( κλειστό ) ορθογώνιο ( στο ( 0,1,0 ) ) τρίγωνο µε κορυφές τα ( ) ( ) ( ) 0,0,0, 0,1,0, 1,1,0, το οποίο είναι ένα, χωρίο τύπου 1 στο επίπεδο και περιγράφεται ως τα ( ) { 1, δηλαδή R= (, R : 0 1 και 1. R : 0 1 και Η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα ( 0,0,0 ),( 1,1,0 ) και ( ) = + z και επειδή το τρίγωνο µε κορυφές ( 0,0,0 ),( 1,1,0 ) και ( ) 0,1,1 είναι η 0,1,1 προβάλλεται στο R, έχουµε ότι 0 z. Έτσι το τετράεδρο έχει την ακόλουθη περιγραφή: 0 1, 1και 0 z. 1 1 f z dzdd f z dzdd. Έπεται ότι: (,, ) = (,, ) Ιδιαίτερα αν f ( ) όγκο V ( ) του : 0 0,, z = 1 ( η σταθερά συνάρτηση ίση µε 1 ) θα υπολογίσουµε τον 1 1 1 1 V ( ) = dz d d= ( ) d d 0 0 0 = 1 = 1 1 d = 0 = 1 0 1 + d = + 6 = 1 1 + 1 = 1. 6 6 0 Αν προβάλλουµε το τετράεδρο στο z επίπεδο τότε η προβολή του είναι το 0,0,0, 0,0,1, 1,0,0 το οποίο ορθογώνιο στο ( 0,0,0 ) τρίγωνο µε κορυφές τα ( ) ( ) ( ) περιγράφεται ως τα ( ) {(, R : 0 1 και 0 z 1 Αν (, Τ τότε το (,, Τ=., z R : 0 1 και 0 z 1, δηλαδή αν και µόνο αν ( βλέπε σχήµα ), + z 1. Έπεται ότι το τετράεδρο έχει και την ακόλουθη περιγραφή: =,, z R : 0 1,0 z 1 και + z 1 {( ) 1 1 1 f z ddzd f z ddzd. Έπεται ότι, (,, ) = (,, ) Αν f (,, z ) = 1, βρίσκουµε πάλι V ( ) 0 0 + z 1 1 1 0 0 Σηµείωση Ο όγκος του τετραέδρου V( ) + z 1 ddzd 6 = dddz µπορεί να υπολογισθεί = = και ως διπλό ολοκλήρωµα. Αφού το µπορεί να θεωρηθεί ως το στερεό που φράσσεται από πάνω από το επίπεδο z = και από κάτω στο επίπεδο από το τρίγωνο ( ) {, R : 0 1 και 1 R=.

06 1 1 1 Έτσι έχουµε ( ) dd = ( ) dd =... = 6 R 0 για τον όγκο της σφαίρας z a,( a 0). Ανάλογη παρατήρηση και όπου ( ) (, ),(, ) f = a A. + + >. Έτσι έχουµε, (, ) {, :, V = f dd, A= a a a a και A Ασκήσεις 1)Σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης και υπολογίστε τα ακόλουθα διπλά ολοκληρώµατα: (α) 4 4 0 0 dd, (β) 1 + dd, (γ) ( + dd + 4 4 0 1 )Υπολογίστε τα διπλά ολοκληρώµατα: (α) dd, όπου είναι το χωρίο που φράσσεται από τις καµπύλες =, = και = 0. (β) dd, όπου είναι το χωρίο που φράσσεται από τις καµπύλες = 1, =, = και = 0. )Σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης και υπολογίστε τα ακόλουθα διπλά ολοκληρώµατα µε δύο τρόπους: (α) 4 4 0 0 dd, (β) 1 0 e dd, (γ) e log dd. 1 0 4)Βρείτε τον όγκο κάτω από την επιφάνεια z = + + και πάνω από το χωρίο του επιπέδου που φράσσεται από τις καµπύλες 5)Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 1 = και =. (α) ( + ) dd+ ( + ) dd και 0 0 1 0 (β) αλλάζοντας την τάξη της ολοκλήρωσης. 6)Βρείτε τον όγκο κάτω από την επιφάνεια z = + και πάνω από το τετράγωνο του επιπέδου που φράσσεται από τις καµπύλες 1και 1. 7)Υπολογίστε τα διαδοχικά ολοκληρώµατα: (α) 4 5 1 1 8 z dddz dddz, (β), (γ) z cos dzdd και 1 0 1 π 4 1 0 1

07 (δ) 4 z 1 1 0 dddz + 8)Υπολογίστε τα τριπλά ολοκληρώµατα: (α) ( + dddz, όπου είναι το ορθογώνιο 1, 1 1 και z 4. (β) zdddz, όπου είναι το τετράεδρο µε κορυφές ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,1. (γ) 0,0,0, 1,0,0, 0,1,0 και dddz, όπου είναι το στερεό που φράσσεται από το παραβολοειδές z = + και το επίπεδο z = 1. (δ) zdddz, όπου είναι το στερεό στο πρώτο ογδοηµόριο που φράσσεται από τα ηµισφαίρα z = 9 και τα επίπεδα συντεταγµένων. 9)Έστω f : R R συνεχής συνάρτηση. (α) Γράψτε έξι διαδοχικά ολοκληρώµατα µε τα κατάλληλα όρια ολοκλήρωσης τα f,, z dddz, όπου το στερεό: οποία είναι ίσα µε το ολοκλήρωµα, ( ) 4, 0 και 0 z 4. (β) Αλλάξτε την τάξη ολοκλήρωσης στα ακόλουθα διαδοχικά ολοκληρώµατα, όπως υποδεικνύεται: 1 (ι) (,, ) 0 0 0 z 1 f z dzdd dzdd (ιι) (,, ) 1 0 0 f z dddz ddzd 4 4 (ιιι) (,, ) 0 0 0 f z dzdd dddz