ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις που πρέπει α γωρίζετε ;
3. Πότε µια συάρτηση οοµάζεται γησίως αύξουσα ; Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει <. 4. Πότε µια συάρτηση οοµάζεται γησίως φθίουσα ; Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει >. 5. Πότε µια συάρτηση λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; Μια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει : Τοπικό µέγιστο στο A, ότα για κάθε σε µια περιοχή του. Τοπικό ελάχιστο στο A, ότα για κάθε σε µια περιοχή του. 6. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω ορίω ; Α οι συαρτήσεις, έχου στο όρια πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή lm l και lm l, όπου l και l πραγµατικοί αριθµοί, τότε : 7. Πότε µια συάρτηση οοµάζεται συεχής ; Μια συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συεχής, α για κάθε lm. A ισχύει
8. Έστω µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και A. Πότε η λέγεται παραγωγίσιµη στο σηµείο ; Τι λέγεται στη περίπτωση αυτή παράγωγος της στο ; Η συάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη στο Α α υπάρχει το όριο lm και είαι πραγµατικός αριθµός. Στη περίπτωση αυτή το παραπάω όριο λέγεται παράγωγος της στο και συµβολίζεται µε. lm 9. Έστω µια συάρτηση. Τι οοµάζεται δεύτερη παράγωγος της και πως συµβολίζεται ; εύτερη παράγωγος της είαι η παράγωγος της, δηλαδή η παράγωγος της παραγώγου της και συµβολίζεται µε. 0. Α t είαι η θέση εός κιητού που εκτελεί ευθύγραµµη κίηση, ποια σχέση δίει τη ταχύτητα του και τη επιτάχυση του τη τυχαία χροική στιγµή t ; Η ταχύτητα υt του κιητού τη κάθε χροική στιγµή t δίεται από τη σχέση : υ t t Η επιτάχυση α t του κιητού τηκάθε χροική στιγµή t δίεται από τη σχέση : a t υ t t 3
. Ποια είαι η παράγωγος της σταθερής συάρτησης c ; Απόδειξη : Επειδή c, τότε c οπότε - c c 0 Για 0, έχουµε c c 0, οπότε lm 0 0 Άρα c 0. Ποια είαι η παράγωγος της ταυτοτικής συάρτησης ; Απόδειξη : Επειδή οπότε, τότε Για 0, έχουµε, οπότε lm lm 0 0 Άρα 3. Ποια η παράγωγος της συάρτησης ; Απόδειξη : Επειδή, τότε οπότε Για 0, έχουµε lm lm 0 0, οπότε Άρα 4
5 4. Ποια η παράγωγος της συάρτησης c ; Απόδειξη : Έστω η συάρτηση F c. Έχουµε c c c F F Για 0, έχουµε c c F F, οπότε lm lm lm 0 0 0 c c c F F Άρα c c 5. Ποια η παράγωγος της συάρτησης ; Απόδειξη : Έστω η συάρτηση F Έχουµε F F -, οπότε Για 0, έχουµε F F. οπότε F F lm 0 lm 0 lm lm 0 0 Άρα 6. Ποια η παράγωγος σύθετης συάρτησης ;
Συοψίζοτας τους βασικούς τύπους και καόες παραγώγισης έχουµε : 7. Πότε µια συάρτηση είαι γησίως αύξουσα και πότε γησίως φθίουσα σε έα διάστηµα ; Α µια συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο. Α µια συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο. 8. Πότε µια συάρτηση παρουσίαζει µέγιστο και ελάχιστο σε έα διάστηµα α, β ; Α για µια συάρτηση ισχύου 0 για α, β, > 0 στο α, και < 0 στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστηµα, β α για µέγιστο. Α για µια συάρτηση ισχύου 0 για α, β, < 0 στο, α, β για α και < 0 στο, β ελάχιστο., τότε η παρουσιάζει στο διάστηµα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 9. Τι οοµάζεται πληθυσµός,τι άτοµα και τι µεταβλητή εός πληθυσµού ; Πληθυσµός οοµάζεται το σύολο του οποίου θέλουµε α εξετάσουµε τα στοιχεία ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Άτοµα του πληθυσµού οοµάζοται τα στοιχεία του πληθυσµού. Μεταβλητές του πληθυσµού οοµάζοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έα πληθυσµό. 0. Τι οοµάζεται δείγµα και τι µέγεθος εός δείγµατος ; είγµα οοµάζεται κάθε υποσύολο του πληθυσµού. Μέγεθος του δείγµατος οοµάζεται το πλήθος τω στοιχέιω του δείγµατος.. Σε τι διακρίουµε τις µεταβλητές ; Σε ποιοτικές ή κατηγορικές τω οποίω οι τιµές τους δε είαι αριθµοί Σε ποσοτικές τω οποίω οι τιµές τους είαι αριθµοί και διακρίοται σε : Α διακριτές µεταβλητές που παίρου µόο «µεµοωµέες» τιµές Β συεχείς µεταβλητές που µπορού α πάρου οποιαδήποτε τιµή εός διαστήµατος πραγµατικώ αριθµώ α, β. Σε έα δείγµα µεγέθους α ααφέρετε : τι οοµάζεται συχότητα ή απόλυτη συχότητα της τιµής µιας µεταβλητής Χ ; τι οοµάζεται σχετική συχότητα της τιµής µιας µεταβλητής Χ ; ποιες ιδιότητες ισχύου για τη συχότητα και ποιες για τη σχετική συχότητα µιας µεταβλητής Χ ; v τι είαι ο πίακας καταοµής συχοτήτω ; Συχότητα ή απόλυτη συχότητα της τιµής,,,.., κ µε κ, οοµάζεται φυσικός αριθµός που µας δείχει πόσες φόρες εµφαίζεται η τιµή της εξεταζόµεης µεταβλητής X στο σύολο τω παρατηρήσεω, 7
Σχετική συχότητα της τιµής,,,., κ µε κ, οοµάζεται το v πηλίκο v δείγµατος. όπου είαι η συχότητα της τιµής και το µέγεθος του Συήθως τις σχετικές συχότητες τις εκφράζουµε επί τοις εκατό, οπότε συµβολίζουµε µε % 00, όπου,,.., κ µε κ. α Το άθροισµα όλω τω συχοτήτω τω τιµώ µιας µεταβλητής Χ σε έα δείγµα µεγέθους είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος, δηλαδή. κ β Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: 0 για,,.., κ διότι 0 0.. κ 0, και διότι. κ. κ... k v Ο πίακας καταοµής συχοτήτω ή πίακας συχοτήτω µίας µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους είαι έας συοπτικός πίακας στο οποίο τοποθετούµε τις τιµές τω ποσοτήτω, και,,,, κ µε κ. 3. Τι οοµάζεται αθροιστική συχότητα Ν της τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ; Τι οοµάζεται αθροιστική σχετική συχότητα F της τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής X ; Έστω έα δείγµα µεγέθους και µια ποσοτική µεταβλητή Χ που παίρει τις τιµές,,.., k µε κ. Αθροιστική συχότητα Ν της τιµής της ποσοτικ ς µεταβλητής Χ οοµάζεται ο αριθµός N..., µε,,.. k 3 8
Aθροιστική σχετική συχότητα F της τιµής της ποσοτικής µεταβλητής Χ οοµάζεται ο αριθµός F..., µε,,..k 4. Ποιες γραφικές παραστάσεις καταοµής συχοτήτω γωρίζετε ; Α. Ραβδόγραµµα Είαι έα είδος γραφικής παράστασης που χρησιµοποιείται για τη απεικόιση τω τιµώ µιας ποιοτικής µεταβλητής. Π.χ Β. ιάγραµµα Συχοτήτω Χρηησιµοποιείται για τη απεικόιση τω τιµώ µιας ποσοτικής µεταβλητής. Υπαρχου τα διαγράµατα συχοτήτω και τα διαγράµµατα σχετικώ συχοτήτω Πολύγωο συχοτήτω είαι η πολυγωική γραµµη που προκύπτει α εώσουµε τα, του διαγράµµατος συχοτήτω. σηµεία Πολύγωο σχετικώ συχοτήτω είαι η πολυγωική γραµµη που προκύπτει α εώσουµε τα σηµεία, ή, % του διαγράµµατος σχετικώ συχοτήτω. Π.χ 9
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Γ. Κυκλικό ιάγραµµα Χρησιµοποιείται για όλες τις µεταβλητές, ποσοτικές & ποιοτικές, ότα οι διάφορες τιµές που παίρου είαι σχετικά µικρού πλήθους. Η επίκετρη γωία ω, κάθε κυκλικού τοµέα υπολιγίζεται από τους τύπους : ω 360 ή ω 360 Π.χ 0
. Σηµειόγραµµα Χρησιµοποιείται για όλες τις µεταβλητές ότα το µέγεθος του δείγµατος είαι µικρό, συήθως µικρότερο του 0. Π.χ Ρωτήσαµε 5 µαθητές πόσες φορές απουσίασα από το µάθηµα το περασµέο τρίµηο. Ε. Χροόγραµµα Χρησιµοποιείται για τη παράσταση της εξέλιξης εός µεγέθους σε σχέση µε το χρόο. Π.χ Τα έσοδα δυο δήµω Α, Β σε χιλιάδες ευρώ για τα έτη 990 µέχρι 00 φαίοται παρακάτω
ΣΤ. Ιστόγραµµα Συχοτήτω Χρησιµοποιείται σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα. Η διαφορά του µε το ραβδόγραµµα είαι ότι τα ορθογώια είαι κολληµέα µεταξύ τους. Έχουµε ιστόγραµµα συχοτήτω καια ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Π.χ 5. Πως κατασκευάζοται τα πολύγωα συχοτήτω στα οµοδοποιηµέα δεδοµέα ;
Π.χ ή 6. Τι οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω ; 3
7. Τι είαι µέτρα θέσης και τι εκφράζου ; Τα µέτρα θέσης είαι αριθµητικά µεγέθη που µας πληροφορού για τη θέση του «κέτρου» τω παρατηρήσεω πάω στο οριζότιο άξοα. Με τη έοια κέτρο τω παρατηρήσεω εοούµε τη θέση γύρω από τη οποία είαι συγκετρωµέες οι περισσότερες τιµές της καταοµής. 8. Ποια µέτρα θέσης γωρίζετε ; Α. Μέση τιµή ή Αριθµητικός µέσος t t... Α έχουµε πίακα συχοτήτω ή οµαδοποιηµέα δεδοµέα τότε : t...... κ κ κ κ ή κ Β. Σταθµικός µέσος Χρησιµοποιείται για τιµές της µεταβλητής µε διαφορετικό συτελεστή στάθµισης ή βαρύτητας w. w w... w w w... w w w Γ. ιάµεσος ιάµεσος δ εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρης, ότα το είαι περιττός αριθµός ή ο µέσος όρος τω δυο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός. Η διάµεσος είαι η τιµή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτή και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή. 4
Ότα έχω οµαδοποιηµέες παρατηρήσεις τότε : 9. Τι είαι µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας και τι εκφράζου ; Τα µέτρα διασποράς είαι αριθµητικά µεγέθη που µας πληροφορού για τις αποκλίσεις τη διασπορά τω τιµώ µιας µεταβλητής γύρω από από το «κέτρο» τους. 30. Ποια µέτρα διασποράς γωρίζετε ; Α. Εύρος R µεγαλύτερη παρατήρηση - µικρότερη παρατήρηση ε θεωρείται αξιόπιστο µέτρο γιατί βασίζεται µόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Β. ιακύµαση s t ή s - t t Ότα έχουµε πίακα συχοτήτω ή οµαδοποιηµέα δεδοµέα τότε παίρουµε τους τύπους : 5
s κ - ή s κ - κ Η διακύµαση έχει έα µειοέκτηµα δε εκφράζεται µε τις ίδιες µοάδες που εκφράζοται και οι παρατηρήσεις. Γ. Τυπική Απόκλιση s s 3. Ποιες ιδιότητες έχει η καοική καταοµή ; 3. Τι είαι ο συτελεστλης µεταβολής ; Ο συτελεστής µεταβολής ή µεταβλητότητας C. V ορίζεται από το λόγο : τυπική απόκλιση C. V µέση τιµή Α < 0 τότε ατί της χρησιµοποιούµε τη Ο συτελεστής µεταβολής είαι αεξάρτητος από τις µοάδες µέτρησης Εκφράζεται επί τοις εκατό Παριστάει έα µέτρο σχετικής διασποράς τω τιµώ και όχι της απόλυτης διασποράς Έα δείγµα τιµώ µιας µεταβλητής θα είαι οµοιογεές α το C. V δε ξεπερά το 0%. s 6
33. Πως θα µεταβληθού τα µέτρα θέσης ότα οι τιµές της µεταβλητής αυξηθού κατά µια σταθερά c ; 34. Πως θα µεταβληθού τα µέτρα θέσης ότα οι τιµές της µεταβλητής πολλαπλασιαστού επι µια σταθερά λ ; 7
35. Πως θα µεταβληθού τα µέτρα διασποράς ότα οι τιµές της µεταβλητής αυξηθού κατά µια σταθερά c ; 36. Πως θα µεταβληθού τα µέτρα διασποράς ότα οι τιµές της µεταβλητής πολλαπλασιαστού κατά µια σταθερά λ ; 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 37. Ποιο πείραµα οοµάζεται πείραµα τύχης ; Οοµάζεται κάθε πείραµα το οποίο όσες φορές κι α το επααλάβουµε κάτω από τις ίδιες συθήκες δε µπορούµε α προβλέψουµε το αποτέλεσµα του 38. Τι οοµάζεται δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης ; Οοµάζεται το σύολο όλω τω δυατώ αποτελεσµάτω που µπορού α εµφαιστού κατά τη εκτέλεση του περάµατος. ηλάδή Ω { ω, ω,... ω } όπου ω, ω,., ω τα δυατά αποτελέσµατα του πειράµατος. 39. Τι οοµάζεται εδεχόµεο ή γεγοός εός πειράµατος τύχης ; Οοµάζεται το σύολο που έχει ως στοιχεία του έα ή περισσότερα δυατά αποτελέσµατα του πειράµατος. 40. Ποια εδεχόµεα γωρίζετε ; Απλό οοµάζεται το εδεχόµεο που έχει έα µόο στοιχείο Σύθετο οοµάζεται το εδεχόµεο που έχει περισσότερα από έα στοιχεία Βέβαιο εδεχόµεο οµάζεται αυτό που ταυτίζεται µε το δειγµατικό χώρο Ω και πραγµατοποιείται πάτα Αδύατο εδεχόµεο οοµάζεται το κεό σύολο και δε πραγµατοποιείται ποτέ. 9
4. Πράξεις Με Εδεχόµεα 4. Ποιος ο κλασικός ορισµός της πιθαότητας εός εδεχοµέου Α ; Η πιθαότητα εός εδεχοµέου Α εός δειγµατικού χώρου Ω είαι το πηλίκο του πλήθους τω ευοικώ περιπτώσεω του Α προς το πλήθος τω δυατώ αποτελεσµάτω του πειράµατος. ηλαδή : NA ΡΑ NΩ 0
43. Ποια άµεσα συµπεράσµατα προκύπτου από το κλασικό ορισµό της πιθαότητας ; Αφού Α Ω, τότε ΝΑ ΝΩ άρα 0 ΡΑ Ν Ω Ν Ω ΡΩ, αφού Ρ Ω 0 Ρ 0, αφού Ρ Ω 0 Ν Ω 44. Τι οοµάζουµε στατιστική οµαλότητα ή όµο τω µεγάλω αριθµώ ; Οοµάζουµε το φαιόµεο κατά το οποίο η σχετική συχότητα εός εδεχοµέου σταθεροποιείται γύρω από µια συγκεκριµέη αριθµητική τιµή, καθώς ο αριθµός τω δοκιµώ του πειράµατος αυξάεται απεριόριστα. 45. Ποιος είαι ο αξιωµατικός ορισµός της πιθαότητας ; Έστω Ω {ω, ω,, ω } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης µε πεπερασµέο πλήθος στοιχείω. Σε κάθε απλό εδεχόµεο {ω },,,, ατιστοιχίζουµε έα πραγµατικό αριθµό, που το συµβολίζουµε µε Ρω, έτσι ώστε α ισχύου : 0 P ω για κάθε,,, P ω Το αριθµό Ρω το οοµάζουµε πιθαότητα του εδεχοµέου {ω }. Ως πιθαότητα ΡΑ εός εδεχοµέου Α {α, α, α κ } µε κ ορίζουµε το άθροισµα P a P a... P a k
46. Να ααφέρετε τους καόες λογισµού και τις αποδείξεις τους.
3