Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τη μέθοδο Lagrance Εφαρμογή με το πρόγραμμα Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 18 Νοεμβρίου 2013 1 / 31
Χρήμα και ευτυχία 1. The Beatles Cause I don t care too much for money For money can t buy me love 2. Dunn, Gilbert & Wilson If money doesn t make you happy, then you probably aren t spending it right 3. Margaret Thatcher No-one would remember the Good Samaritan if he d only had good intentions; he had money as well. 2 / 31
Περισσότερο από αμφιθέατρο Δείτε Economics of Happiness http://www.youtube.com/watch?v=ycv8iplp-ge http://www.theeconomicsofhappiness.org Διαβάστε Happiness: A Revolution in Economics Bruno S. Frey, Alois Stutzer, Matthias Benz http://books.google.gr/books?id=0tqgsaaacaaj Happiness Economics Shari Lapeña http://books.google.gr/books?id=x7pnfd_uvpsc Ηθικά Νικομάχεια, Αριστοτέλης Απαντήστε Θα θέλατε άλλες μέρες σαν τη χθεσινή; 3 / 31
Καμπύλες αδιαφορίας U (x, y) = x 1/2 y 1/2 4 / 31
Οι καμπύλες αδιαφορίας καλύπτουν όλο το επίπεδο U (x, y) = x 1/2 y 1/2 5 / 31
Καμπύλες αδιαφορίας και εισοδηματικός περιορισμός U (x, y) = x 1/2 y 1/2 I = x + y = 8 6 / 31
Τομή μιας καμπύλης χρησιμότητας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού U (x, y) = x 1/3 y 2/3 7 / 31
Τομή μιας καμπύλης χρησιμότητας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού Ο υπολογισμός ριζών μιας τέτοιας εξίσωσης δεν είναι απλή υπόθεση. Για παράδειγμα έστω: U = x 1/3 y 2/3 = 2 και I = x + 4 y = 12 Αν λύσουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς y: y = 2 3 2 x και y = x 12 4 Καταλήγουμε στη μη γραμμική εξίσωση: 2 3 2 = x 12 x 4 x 3/2 12 x 1/2 + 2 7 2 = 0 Πως λύνουμε εξισώσεις με κλασματικούς εκθέτες; 8 / 31
Η εντολή find root Σε παρόμοιες περιπτώσεις η εντολή solve αποτυγχάνει και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δεν υπάρχει γενική αναλυτική μέθοδος επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων, μπορούμε να δράσουμε μόνο κατά περίπτωση. Η πλέον ακολουθούμενη πρακτική είναι η αριθμητική προσέγγιση ριζών. Χρησιμοποιούμε την εντολή find root ως εξής: find root(eq, x, min, max) για τον υπολογισμό ρίζας της παράστασης eq ως προς x στο ανοιχτό διάστημα (min, max) 1 eq : x^(3/2) - 12*x^(1/2) + 2^(7/2) = 0; 2 find_root (eq, x, 1, 2); 9 / 31
Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας Εστω η συνάρτησης χρησιμότητας τύπου Cobb Douglas: U(x, y) = 5 x 3/5 y 2/5 Ο καταναλωτής αγοράζει τα δύο προϊόντα πληρώνοντας κάποιο τίμημα, πχ: P x = 5, P y = 2 Αν ο καταναλωτής δαπανήσει I = 25 χρηματικές μονάδες αγοράζοντας x, y ποσότητες προϊόντων τότε ισχύει: I = P x x + P y y Ποιος συνδυασμός x, y μεγιστοποιεί την τιμή της U, χωρίς να παραβιαστεί η συνθήκη P x x + P y y I ; 10 / 31
Βελτιστοποίηση υπό περιορισμούς και θετική ανάλυση Τα τρία εργαλεία 1 Βελτιστοποίηση υπό περιορισμούς 2 Ανάλυση ισορροπίας 3 Τη συγκριτική στατική ανάλυση Θετική ανάλυση Τι συμβαίνει στο y όταν αλλάζει το x; Ποιο x μας δίνει το βέλτιστο y; Για ποια x συμβαίνει το y; 11 / 31
Βελτιστοποίηση υπό περιορισμούς με τη μέθοδο Lagrance Για να βρούμε το ακρότατο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών: f (x, y) κάτω από τον περιορισμό: g(x, y) = c υπολογίζουμε τις συνθήκες που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση: L(x, y, λ) = f (x, y) + λ (g(x, y) c) Λύνοντας το σύστημα: L x = 0 L y = 0 L λ = 0 12 / 31
Βελτιστοποίηση χρησιμότητας υπό περιορισμούς με τη μέθοδο Lagrance Για να βρούμε το ακρότατο της συνάρτησης: U(x, y) = 5 x 3/5 y 2/5 κάτω από τον περιορισμό: 2 x + 3 y + 2 z = 120 υπολογίζουμε τις συνθήκες που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση: L(x, y, λ) = 5 x 3/5 y 2/5 + λ (2 x + 3 y + 2 z 120) Λύνοντας το σύστημα: L x = 0 L y = 0 L λ = 0 13 / 31
Βήματα μεγιστοποίησης χρησιμότητας με τη μέθοδο Lagrance 1 Ορίζουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας 2 Θέτουμε τις τιμές των αγαθών και το διαθέσιμο εισόδημα 3 Ορίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ως προς x, y, λ 4 Υπολογίζουμε τις 3 μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange ως προς x, y, λ 5 Λύνουμε το σύστημα 3 3 που προκύπτει Η επίλυση του συστήματος μας δίνει τις ποσότητες x, y που μεγιστοποιούν την χρησιμότητα U, καθώς και την τιμή της μεταβλητής λ, η οποία έχει ειδική σημασία. 14 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance Βήμα 1 Ορισμός της συνάρτησης χρησιμότητας. U(x, y) = 5 x 3/5 y 2/5 1 U(x,y) := 5 * x^(3/5) * y^(2/5); 15 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance Βήμα 2 Τιμές των αγαθών και διαθέσιμο εισόδημα. P x = 5 P y = 2 I = 25 1 Px : 5; 2 Py : 2; 3 I : 25; 16 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance Βήμα 3 Ορισμός της συνάρτησης Lagrance: L = U(x, y) + λ C(x, y) 1 L(x,y,lambda) := (U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y)); 17 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance Βήμα 4 Μερικές παράγωγοι: dl dx = 3 x 2 2 5 y 5 5 λ = 0 dl dy = 2 x 3 5 y 3 5 5 λ = 0 dl = 5 x 2 y + 25 = 0 dλ 1 eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; 2 eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; 3 eq3 : diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; 18 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance Βήμα 5 Επίλυση του συστήματος και εξαγωγή της λύσης: 1 sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]); 2 xmax : rhs(sol[1][1]); 3 ymax : rhs(sol[1][2]); 4 lmax : rhs(sol[1][3]); Η λύση είναι: x max = 3 y max = 5 ( ) 3 3 5 λ max = 0.736 5 19 / 31
Μεγιστοποίηση Lagrance με το Maxima Ολο το πρόγραμμα: 1 U(x,y) := 5 * x^(3/5) * y^(2/5); 2 Px : 5; 3 Py : 2; 4 I : 25; 5 L(x,y,lambda) := (U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y)); 6 eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; 7 eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; 8 eq3 : diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; 9 sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]); 10 xmax : rhs(sol[1][1]); 11 ymax : rhs(sol[1][2]); 12 lmax : rhs(sol[1][3]); 20 / 31
Τι σημαίνει η τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrance Μεταβολή της χρησιμότητας ως προς τη μεταβολή του εισοδήματος. dl = λ di Αν λ = 0.736, τότε μεταβολή του εισοδήματος κατά 1 μονάδα συνεπάγεται μεταβολή της χρησιμότητας κατά 0.736 μονάδες. 21 / 31
Γενική λύση μεγιστοποίησης μιας συνάρτησης τύπου Cobb-Douglas Εστω η γενικού τύπου Cobb Douglas συνάρτηση χρησιμότητας: U(x, y) = A x a y 1 a (1) με A > 0 και 0 < a < 1. Αν P x και P y είναι οι τιμές των προϊόντων x και y αντίστοιχα και I είναι το διαθέσιμο εισόδημα του καταναλωτή, τότε: I = P x x + P y y (2) Μεγιστοποίηση χρησιμότητας έχουμε όταν: x max = a I P x y max = (1 a) I P y Στο σημείο αυτό ισχύει: λ = (1 a) A P y ( Py P x ) a ( a ) a 1 a 22 / 31
Αριθμητικό παράδειγμα U = Ax a y 1 a A = 5 a = 3/5 P x = 5 P y = 2 x max = a I = 3 25 P x 5 5 = 3 y max = (1 a) I = P y λ = (1 a) A P y ( Py P x ( 1 3 5 ) 25 2 = 2 25 5 2 = 5 ( 3 5 ) a ( ) a a = 1 a ) 3 5 0.736 23 / 31
Πρόγραμμα μεγιστοποίησης χρησιμότητας χωρίς αριθμητικές τιμές Γενική λύση 1 U(x,y) := A * x^(a) * y^(1-a); 2 L(x,y,lambda) := (U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y)); 3 eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; 4 eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; 5 eq3 : diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; 6 sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]); 7 xmax : rhs(sol[1][1]); 8 ymax : rhs(sol[1][2]); 9 lmax : rhs(sol[1][3]); 24 / 31
Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τρία αγαθά Εστω λοιπόν η συνάρτηση χρησιμότητας: U (x, y, z) = 2 x 2 + y + z 2 + y z όπου x, y, x οι ποσότητες τριών προϊόντων που ένας καταναλωτής προμηθεύεται με P x = 2, P y = 3 και P z = 2 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα. Ο καταναλωτής έχει διαθέσιμο εισόδημα I = 120, οπότε: P x x + P y y + P z z = 120 Να υπολογιστούν οι ποσότητες x m ax, y m ax, z m ax που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα. 25 / 31
Μεταβολή των επιλογών του καταναλωτή Παρατηρήσεις Άσκηση Μεταβολή στο εισόδημα του καταναλωτή οδηγεί σε μεταβολή των προτιμήσεων του. Μεταβολή στις τιμές των προϊόντων οδηγεί σε σε μεταβολή των προτιμήσεων του. U(x, y) = x 3/4 y 1/4 I = 24 P x = 2, P y = 1 1 Αν το εισόδημα αυξηθεί από 24 σε 32, πόσο θα θα μεταβληθούν οι ποσότητες x max, y max που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα U; Πόσο θα μεταβληθεί η χρησιμότητα; 2 Αν το εισόδημα αυξηθεί από 24 σε 32, και διπλασιαστούν οι τιμές P x, P y πόσο θα μεταβληθούν οι ποσότητες x max, y max ; Πόση είναι η ποσοστιαία μεταβολή της χρησιμότητας; 26 / 31
Μεταβολή των επιλογών του καταναλωτή 27 / 31
Οριακή χρησιμότητα Οριακή χρησιμότητα ενός αγαθού: Ο ρυθμός μεταβολής της χρησιμότητας που προκύπτει από τη μεταβολή κατανάλωσης του αγαθού, κρατώντας την κατανάλωση άλλων αγαθών σταθερή. MU x = U x MU y = U y Ακολουθεί παράδειγμα υπολογισμού οριακής χρησιμότητας. 28 / 31
Προβοκατόρικες ερωτήσεις Αν αυξηθεί το εισόδημα θα αυξηθεί η ζήτηση για: 1 Εισιτήρια αστικών μετακινήσεων; 2 Εισιτηρίων αεροπορικών μετακινήσεων; 3 Φαγητού στο φοιτητικό εστιατόριο; 4 Φαγητού στα εστιατόρια της πόλης; 5 No-name ρούχων; 6 Επώνυμων ρούχων; ΓΛΩΤΤΑΝ ΜΗ ΠΡΟΤΡΕΧΕΤΩ ΤΟΥ ΝΟΥ 29 / 31
Ασκήσεις για το μέλλον 1 Οι συναρτήσεις τύπου Cobb-Douglas U = Ax a y 1 a μοντελοποιούν τη χρησιμότητα κανονικών αγαθών. Να βρεθεί παράδειγμα μαθηματικής σχέσης που να μοντελοποιεί κατώτερα αγαθά. 2 Ποιο είναι και πως λύνεται το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης; 3 Σχετίζεται η έννοια της χρησιμότητας με την εξελεγκτική ψυχολογία; 4 Τι είναι η σταθμητή χρησιμότητα (cardinal utility); 5 Τι σχέση έχει η χρησιμότητα με την έννοια της πιθανότητας; 30 / 31
Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 31 / 31