Στατιστικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύμανση Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών Έλεγχος 5: Έλεγχος της ομοιογένειας δύο πληθυσμών με διακυμάνσεις σ 1 και σ 1
Έλεγχος 1 z- Έλεγχος ή Έλεγχος του Gauss Παραδοχές: Θεωρούμε ότι ένα τυχαίο δείγμα 1, από ένα κανονικό πληθυσμό με μέσο μ και διακύμανση σ, όπου σ είναι γνωστό. Στατιστικές Υποθέσεις: Προς Έλεγχο έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις σε επίπεδο σημαντικότητας a με o<a<1 1) Η: μ=μ 0 έναντι της Α: μ μ 0 ) Η: μ=μ 0 έναντι της Α: μ>μ 0 3) Η: μ=μ 0 έναντι της Α: μ<μ 0. Κανόνες Απόφασεις: 1) Αποφασίζω για την Α της περίπτωσης (1) αν Z = ( μο ) σ / z a/, ;όπου z a/ είναι το 1-α/ ποσοστιαίο σημείο της τυποποιημένης κανονικής ) Αποφασίζω για την Α της (), αν Z= ( μο ) σ / z a, όπου z a είναι το 1-a ποσοστιαίο σημείο της τυποποιημένης κανονικής 3) Αποφασίζω για την Α της (3), αν
Z= ( μο ) σ / -z a =z 1-a, Z 1-a είναι το a-ποσοστιαίο σημείο της τυποποιημένης κανονικής. Παράδειγμα : Θεωρούμε ένα κανονικό πληθυσμό με μέσο μ=8 και σ=. Αν 30 παρατηρήσεις δίνανε =7,4 αποδέχεστε την Η=μ=8; Λύση: 1) Αν η εναλλακτική λύση είναι Α=μ 8 τότε την αποδεχόμαστε αν ( μο) σ / z a/ μ ο -z a/ σ ή μ ο+ z a/ σ 7,7 ή 8,71 δηλαδή να παίρνει τιμές εκτός του [7,9, 8,71] Εδώ =7,4 και αποφασίζω για Α ) Αν Α: μ>8 τότε την αποδεχόμαστε αν >8,59 Απορρίπτω την Α 3)Αν Α: μ<8 τότε την αποδεχόμαστε αν < 7,41 Αποδέχομαι την Α Έλεγχος 3
t-έλεγχος Παραδοχές: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα τυχαίο δείγμα 1, από ένα κανονικό πληθυσμό με μέσο μ και διακύμανση σ, όπου σ είναι άγνωστο. Στατιστικές Υποθέσεις:Όμοιες όπως στον Έλεγχο 1 Κανόνες Απόφασεις: (1) Αποφασίζω για την Α της περίπτωσης (1) αν t = ( μο ) / t -1 ;a/, ;όπου t -1 ;a είναι το 1-a ποσοστιαίο σημείο της t-κατανομής με -1 βαθμούς ελευθερίας ()Αποφασίζω για την Α της () αν t= ( μο ) / t -1 ;a (3) Αποφασίζω για την Α της (3) αν t= ( μο ) / -t -1 ;a=t -1 ;1-a Αν, τότε t~z Διάστημα Εμπιστοσύνης [ -t -1 ;a/, +t -1 ;a/ ] Έλεγχος 3 X i -τετράγωνο έλεγχο για την διακύμανση Παραδοχές: Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα όπως στον 4
Έλεγχο Στατιστικές Υποθέσεις:Προς έλεγχο έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις σε επίπεδο σημαντικότητας a με 0<a<1 (1) H: σ =σ ο έναντι της Α: σ σ ο () H: σ =σ ο έναντι της Α: σ >σ ο (3) H: σ =σ ο έναντι της Α: σ <σ ο Κανόνες Απόφασεις (1) Αποφασίζω για την Α της (1) ( 1) Αν σ 0 ( 1) -1 ;1-a/ ή σ 0-1 ;a/,. όπου -1 ; 1-a/ και -1 ; a/ είναι τα a/ και 1-a/ ποσοστιαία σημεία της I κατανομής με -1 βαθμούς ελευθερίας ()Αποφασίζω για την Α της () αν 5
( 1) σ 0-1 ; a (3) Αποφασίζω για την Α της (3) αν ( 1) σ 0-1 ; 1- Διάστημα Εμπιστοσύνης ( 1) 1;1 a ( 1), 1; a Έλεγχος 4 Α. t Έλεγχος για την σύγκριση δύο ανεξαρτήτων δειγμάτων 6
Παραδοχές; Θεωρούμε ότι έχουμε δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα X 1,,X 1 και Y 1,,Y από δύο κανονικούς πληθυσμούς με μέσους μ 1,μ και διακυμάνσεις (άγνωστες) σ 1, σ αντίστοιχα.επιπλέον θεωρούμε ότι οι διακυμάνσεις των είναι ίσες. Στατιστικές Υποθέσεις: Προς έλεγχο έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις σε ε.σ. a, 0<a<1. (1)H: μ 1 =μ Α: μ 1 μ ()H: μ 1 =μ Α: μ 1 > μ (3)H: μ 1 =μ Α: μ 1 < μ Κανόνες απόφασεις (1) Αποφασίζω για την Α της (1) αν t = ( 1) 1 + ( + y 1) 1 + 1 1 y 1 t 1+- ; a/, όπου t 1+- ; a/ το 1-α/ ποσοστιαίο σημείο της t με 1 + - βαθμούς ελευθερίας. Αυτός ο έλεγχος μπορεί να γίνει και όταν οι διακυμάνσεις είναι άνισες, στην περίπτωση αυτή ακολουθείται η ίδια περίπου διαδικασία μ ένα ελαφρά τροποποιημένο τρίτο υπολογισμό της τιμής t.το στατιστικό πακέτο P κάμει αυτούς τους υπολογισμούς. Β. t-έλεγχος για την σύγκριση δύο εξαρτημένων δειγμάτων (περίπτωση ζευγών) 7
Παραδοχές:Έστω έχουμε -ανεξάρτητα ζεύγη ( 1,y 1 ),,(,y ), όπου τα περιγράφουν τις μετρήσεις από ένα πείραμα 1 και y τις μετρήσεις από ένα άλλο πείραμα. Οι μετρήσεις από το πείραμα 1 θεωρούμε ότι προέρχονται από έναν κανονικό πληθυσμό με μέσο μ 1 και διακύμανση σ, ένώ οι μετρήσεις από το δεύτερο πείραμα θεωρούμε ότι προέρχονται από ένα με διαφορετικό μόνο μέσο μ. Στατιστικές υποθέσεις: Προς έλεγχο έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις σε ε.σ. a 0<a<1. (1) Η: μ 1 -μ =0 Α: μ 1 -μ 0 () Η: μ 1 -μ =0 Α: μ 1 -μ > 0 (3) Η: μ 1 -μ =0 Α: μ 1 -μ < 0 Κανόνες απόφασεις: (1) Αποφασίζω για την Α της περίπτωσης (1) αν ( z 0) / z t -1 ;a, όπου z = z1 +... + z, με z 1 = 1 -y 1,,z = -y και 1 = 1 i= 1 ( z i z) () Αποφασίζω για την Α της περίπτωσης () αν 8
( z 0) / z t -1 ;a (3) Αποφασίζω για την Α της περίπτωσης (3) αν ( z 0) / -t -1 ;a=t -1 ; 1-a Γ. t-έλεγχος για την σύγκριση δύο εξαρτημένων δειγμάτων Στην περίπτωση που δεν έχουμε ζευγαρωτές παρατηρήσεις μπορούμε να έχουμε εξαρτημένα δείγματα και y και να κάνουμε τους ελέγχους όπως στην 4Α.η εδώ στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι t= y s + 1 s y Έλεγχος 5 Παραδοχές :Θεωρούμε ότι ισχύουν οι παραδοχές του Ελέγχου 4Α, όπου δεχόμαστε ότι οι διακυμάνσεις σ 1 και σ είναι άνισες 9
Στατιστικές Υποθέσεις:Προς έλεγχο έχουμε τις ακόλουθες υποθέσεις σε ε.σ. a, 0<a<1 (1) H: σ 1 =σ () H: σ 1 =σ (3) H: σ 1 =σ Α: σ 1 σ Α: σ 1 > σ Α: σ 1 < σ Κανόνες απόφασεις (1)Αποφασίζω για την Α της (1) αν F= F 1 1, 1; a / ή F 1 1, 1;1 a / y y όπου F 1-1,-1;1-a το a ποσοστιαίο σημείο της F- κατανομής με 1-1 και -1 βαθμούς ελευθερίας ()Αποφασίζω για την Α της (), αν F = F 1 1, 1; 1 a y (3) Αποφασίζω για την Α της (3), αν F = F 1 1; 1; a y Ανάλογοι έλεγχοι γίνονται και όταν τα δείγματά μας είναι εξαρτημένα. 10
Παράδειγμα 1.(i)Ενδιαφερόμαστε για το ποσοστό των Ανθρώπων που ζουν στις πόλεις (μεταβλητή urba). Χώρες από την temperate regio ( ) αποτελούν τη μια ομάδα, ενώ χώρες από την tropical regio ( 8 ) στην άλλη ομάδα Τα δεδομένα στο climate είναι ποιοτικά (τακτική κλίμακα) 1 desert κλπ (ii)ενδιαφερόμαστε για την μεταβλητή calories (iii)fertlity catholic { mus lim 11
1