Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,.

Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,. Νόµοι του Keple: Οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, τη µία εστία των οποίων καταλαµβάνει ο Ήλιος Η επιβατική ακτίνα κάθε πλανήτη µε αρχή αξόνων τον Ήλιο σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους Το τετράγωνο της περιόδου ενός πλανήτη είναι ανάλογο προς το κύβο του µεγάλου ηµιάξονα του της τροχιάς του πλανήτη Παράδειγµα ο : Αν η δύναµη που ασκείται πάνω σ ένα σώµα είναι κεντρική, δηλ. έχει τη µορφή F ˆ, βρείτε τις εξισώσεις κίνησης του σώµατος, και την τροχιά του σώµατος. Λύση: Εφαρµόζουµε το ο νόµο του Νεύτωνα: F ma. Λόγω της µορφής της δύναµης, θα χρησιµοποιήσουµε πολικές συντεταγµένες βλέπε Φροντιστήριο. Rectaton 4, Physcs I 008-9 by M. Velgaks

Παίρνοµε ως αρχή των αξόνων 0, το κέντρο της ελκτικής ή απωστικής δύναµης. Η επιτάχυνση σε πολικές συντεταγµένες δίδεται από τη σχέση: θ a ω ˆ + ω+ θˆ t t t βλέπε Φροντιστήριο, όπου ˆ, θˆ είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τις διευθύνσεις της ακτίνας και της γωνίας!, αντίστοιχα. Εποµένως, ο ος νόµος του Νεύτωνα γράφεται: θ ˆ m[ ω ˆ + ω+ θˆ ]. t t t Η σχέση αυτή αναλύεται σε εξισώσεις, κατά την ακτινική και την επιτρόχιο διεύθυνση: m ω α t θ m ω+ 0. β t t Μπορούµε να ξαναγράψουµε την β ως εξής: θ 0 m ω+ m ω, β t t t η οποία ολοκληρούµενη δίδει: m ω c, β όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης. Να θυµηθούµε τον ορισµό της στροφορµής: Rectaton 4, Physcs I 008-9

σε συντεταγ πολικέ. ς mυ m υ ˆ + ωθˆ mωθˆ m ωẑ, όπου ẑ ˆ θˆ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα-z ο οποίος είναι κάθετος προς το παραπάνω επίπεδο της έλλειψης!. Συνεπώς, το πρώτο µέρος της β παριστάνει τη στροφορµή. Ακόµη, η β λέει ότι στη περίπτωση κεντρικών δυνάµεων η στροφορµή είναι σταθερά!, δηλ. m ω m : σταθ. β t Γυρνάµε στην εξίσωση α και απαλείφουµε τη γωνιακή εξάρτηση. Πράγµατι η β λύεται ως προς: ω / m και αντικαθιστούµε στην α, / m t m όπου τώρα βλέπουµε ότι η µόνη ανεξάρτητη µεταβλητή στη διαφορική εξίσωση είναι το. Θεωρούµε τώρα ως κεντρική δύναµη την ελκτική δύναµη βαρύτητος: mm G, οπότε η γράφεται: t M G. 4 m Η λύση t της 4 δεν βρίσκεται πολύ εύκολα. Αντί αυτού, θα προσπαθήσουµε να βρούµε τη τροχιά του σώµατος, θ, θεωρώντας ότι το σώµα Μ παραµένει Rectaton 4, Physcs I 008-9

ακίνητο στην αρχή των αξόνων 0. Απαλείφουµε κατ αρχήν τον χρόνο t µεταξύ των β και 4: t t ω λόγω της β m, και ξανά εφαρµογή του τελεστή της παραγώγου t, t t ω ω[ m t m m + [ m ω[ m m + ] ω m ] m m t m [ ] διότι [ ]. Οπότε η 4 γράφεται ] ή M G, m m 5 Εισάγοµε τη νέα µεταβλητή: u/, οπότε η παράγωγος u u είναι:, συνεπώς η 5 γράφεται: u u u ή + u 0 6 Rectaton 4, Physcs I 008-9 4

Έστω w u, οπότε η 6 γράφεται w + w 0. 7 Όπως έχοµε βρει Φροντιστήριο, η λύση της 7 είναι: w Acos θ+ δ, όπου δ µια σταθερά ολοκλήρωσης. Συνεπώς, η µαθηµ. σχέση της τροχιάς έχει τη µορφή: Acos θ+ δ + 8 Για ευκολία µας θεωρούµε ότι για t0 είναι θ0, άρα δ0. Κωνικές τοµές. Ορίζεται ως κωνική τοµή µια οικογένεια καµπύλων στο επίπεδο που δίδονται από τη µαθηµατική σχέση σε πολικές συντ.: + ε cosθ a 9 όπου η σταθερά ε καλείται εκκεντρότης της καµπύλης και α είναι µια άλλη σταθερά. Ανάλογα της τιµής της ε, έχοµε τις ακόλουθες καµπύλες: 0< ε < Έλλειψη ε Παραβολή ε > Υπερβολή ε 0 Κύκλος Στη περίπτωση ελλειπτικής τροχιάς, το σηµείο Α καλείται περιήλιο αντιστοιχεί στη γωνία θ0, ενώ το σηµείο Α καλείται αφήλιο αντιστοιχεί στη γωνία θπ βλέπε αρχικό σχήµα. Οπότε από την 9 έχοµε a + ε και a. ε Ο µεγάλος ηµιάξονας a της έλλειψης ισούται µε: a +, ή a a +, ε Rectaton 4, Physcs I 008-9 5

και ο µικρός ηµιάξονας ισούται: b a ε είναι: Απab.. Το εµβαδόν της έλλειψης Βρήκαµε λοιπόν ότι η τροχιά του σώµατος στη περίπτωση δυνάµεων βαρύτητος δίδεται από τη σχέση: + Acosθ Το πλάτος Α υπολογίζεται από την εξίσωση της ενέργειας αφήνεται σαν άσκηση να δειχθεί ότι: E, όπου Ε είναι η ολική ενέργεια του σώµατος. A + m Παράδειγµα ο : Σώµα Σ µάζας Μ καταλαµβάνει όγκο V στο χώρο. Να βρεθεί η δυναµική ενέργεια που έχει σώµα µάζας m, που βρίσκεται σε συγκεκριµένο σηµείο του χώρου Ρ. Σχήµα Rectaton 4, Physcs I 008-9 6

Λύση: Η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας U U U που κατέχει ένα σηµειακό σώµα m, δίδεται εξ ορισµού από τη σχέση: U U W, όπου W F l είναι το παραγόµενο έργο κατά τη µετακίνηση του σηµειακού σώµατος m από την αρχική θέση στη τελική θέση. Αν η δύναµη F είναι ελκτική και έχει για παράδειγµα τη µορφή των δυνάµεων βαρύτητος: F ˆ, όπως στο παρακάτω σχήµα, τότε το αριθµ. γινόµενο µέσα στο ολοκλήρωµα γράφεται: F l ˆ l l cosθ, διότι l cosθ, οπότε το παραπάνω έργο υπολογίζεται Rectaton 4, Physcs I 008-9 7

W F l. Συνεπώς η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας είναι, U U. Αν για παράδειγµα δεχθούµε ότι ως θέση το άπειρο ή το ίδιο για τη θέση, που είναι αδιάφορο, και υποθέσουµε ότι U 0, τότε η σχέση γράφεται U και επειδή δεν υπάρχει λόγος, αγνοούµε τον δείκτη, άρα έχουµε για σηµειακά σώµατα M, m, U. Επιστρέφουµε τώρα στο Σχήµα. Θεωρούµε ως σηµειακά τα σώµατα M και m, οπότε η γράφεται, U GMm. Θα προσέξατε την αλλαγή στο συµβολισµό: U U. Τώρα µπορούµε να βρούµε τη δυναµική ενέργεια της µάζας m που δηµιουργεί όλο το σώµα Μ, ολοκληρώνουµε την πάνω σε όλο το σώµα Σ. Rectaton 4, Physcs I 008-9 8

Έστω λοιπόν ότι το σώµα Σ έχει σφαιρικό σχήµα ακτίνος R και είναι οµογενές που σηµαίνει ότι έχει σταθερή 4 πυκνότητα µάζας: ρ M / πr. Παίρνοµε ως αρχή των αξόνων 0 το κέντρο της σφαίρας και επιλέγουµε τη διεύθυνση 0Ρ σαν άξονα z χωρίς αυτό να περιορίζει τη γενικότητα, βλέπε παρακάτω σχήµα. Υποθέτουµε ότι το σηµείο Ρ βρίσκεται εκτός της σφαίρας σε απόσταση, s 0P> R. Η στοιχειώδης µάζα M και τα σηµεία 0 και Ρ βρίσκονται πάντοτε στο ίδιο µεσηµβρινό επίπεδο, οπότε η γωνία στο σχήµα είναι η γωνία θ για τις σφαιρικές συντεταγµέν. Η στοιχειώδης µάζα σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι: βλέπε Φροντιστήριο : M ρv ρt snθ tφ, όπου t είναι η ακτίνα της στοιχειώδους µάζας έχουµε αλλάξει τον συµβολισµό από t, για να µη δηµιουργείται σύγχυση. Η συνολική δυναµική ενέργεια στο Ρ βρίσκεται ολοκληρώνοντας την, GMm t t snθ φ U P U Gρm Σ Σ Rectaton 4, Physcs I 008-9 9

όπου t + s ts cosθ. Συνεπώς η γράφεται R π π snθ U P Gρm t t φ 0 0 t + s ts cosθ 0 R π snθ Gρm t t π. 4 0 0 t + s ts cosθ Για να υπολογίσουµε το εσωτερικό ολοκλήρωµα στη 4, κακούµε: u t + s ts cosθ, οπότε u ts snθ εδώ στο µετασχηµατισµό των µεταβλητών, θεωρούνται µόνο τα θ,u µεταβλητές και τα υπόλοιπα µεγέθη σταθερές!, οπότε το εσωτερικό ολοκλήρωµα στη 4 γράφεται: π snθ u 0 t + s tscosθ ts u θ π t + s ts cosθ [ ts θ 0 ts [ t+ s t s ] 5 ts t ts t u + s u ts + ts u t + s ts ] Αντικαθιστώντας πίσω στη 4, παίρνοµε U t R R t P Gρm t t π 4πGρm 0 t t 0 R M R 4πGρm 4πG m 6 4 πr R Στο εγχειρίδιο ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, τόµος Ι, των Alonso & Fnn, µπορείτε να βρείτε µια διαφορετική λύση, χωρίζοντας τη σφαίρα σε οµόκεντρους φλοιούς. Rectaton 4, Physcs I 008-9 0

Λάθος αποτέλεσµα! Έπρεπε να είχε προκύψει:. Πού έγινε το λάθος; Ίσως κάπου λίγο πριν τη U P s σχέση 5. Θα δείτε εκεί ότι υπάρχει η τετραγωνική ρίζα: t + s ts, η οποία υποτίθεται γράφεται: t s t s. Εδώ έγινε το λάθος! Αν η υπόριζος ποσότης είναι θετική: t s>0 που σηµαίνει ότι το σηµείο Ρ είναι εσωτερικό της σφαίρας, τότε καλώς επράξαµε και βρήκαµε το αποτέλεσµα 6 [το οποίο και πάλι είναι λάθος. Γιατί; Αφήνεται σαν R άσκηση να βρείτε το σωστό αποτέλεσµα U t R, για s<t]. Αν όµως ισχύει: t s<0 που σηµαίνει ότι το σηµείο Ρ βρίσκεται εξωτερικά της σφαίρας, τότε t s t s, οπότε η 5 έπρεπε να είχε γραφθεί: [ t+ s s t ] 5 ts s και αντικαθιστώντας πίσω στη 4, αντί της 6 θα παίρναµε U t R R 4πGρm t P Gρm t t π 0 s s t 0 4πGρm R 4πGm M R 6 s s 4 πr s που είναι το σωστό αποτέλεσµα για s>r τώρα µπορούµε να αλλάξουµε µε ασφάλεια τον συµβολισµό από s, χωρίς να δηµιουργείται σύγχυση. P Rectaton 4, Physcs I 008-9

Παράδειγµα ο : [ΦΕΒΡ.005] Τεµάχιο σιδήρου θερµοκρασίας 50 o C και µάζας m0g ρίπτεται µέσα σε δεξαµενή που περιέχει µεγάλη ποσότητα νερού, θερµοκρασίας Τ 0 o C. Να υπολογιστεί η µεταβολή της εντροπίας του τεµαχίου σιδήρου, S, και του νερού της δεξαµενής, S, όπως και η ολική µεταβολή της εντροπίας S S + S [H ειδική θερµότης του σιδήρου είναι: c0.07 cal/g ga]. Λύση: Επειδή η ποσότης του νερού µέσα στη δεξαµενή θεωρείται µεγάλη, δεν πρόκειται να µεταβληθεί η θερµοκρασία του µε τη εµβάπτιση ενός µικρού τεµαχίου σιδήρου, συνεπώς η τελική θερµοκρασία του συστήµατος θα παραµείνει Τ 0 ο C 9 ο Κ. Επειδή η ψύξη του σιδήρου όπως επιτελείται δεν είναι αντιστρεπτή διεργασία, µπορούµε να σοφιστούµε µιαν αντιστρεπτή διεργασία, η οποία µπορεί να φέρει το σύστηµα στην ίδια τελική κατάσταση. Εφόσον, η µεταβολή της εντροπίας SS τελ S αρχ εξαρτάται µόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση του συστήµατος χωρίς να ενδιαφέρει µε ποιό τρόπο µεταβαίνει το σύστηµα από την αρχική στη τελική κατάστασή του, θα υπολογίσουµε την S πάνω στη νοητή αντιστρεπτή διεργασία. Συγκεκριµένα, ως νοητή αντιστρεπτή διεργασία θεωρούµε τα εξής: το τεµάχιο του σιδήρου έρχεται σε θερµική επαφή µε µια σειρά από δεξαµενές θερµότητος, των οποίων οι θερµοκρασίες κυµαίνονται από: Τ 7+50 ο Κ, Τ Τ, Τ Τ,, Τ ν Τ 7+0 ο Κ, όπου Τ4 9/ν, και ν είναι ένας πολύ µεγάλος ακέραιος αριθµός. Η ψύξη του σιδήρου πάνω στη νοητή διαδροµή καθίσταται έτσι αντιστρεπτή διεργασία. Εποµένως, πάνω σ αυτή τη νοητή αντιστρεπτή ψύξη του σιδήρου όπως την περιγράψαµε υπολογίζουµε την µεταβολή της εντροπίας του. Το ίδιο σενάριο επαναλαµβάνεται και για τη θέρµανση του νερού της δεξαµενής. α Στη νοητή αντιστρεπτή ψύξη του τεµαχίου σιδήρου Rectaton 4, Physcs I 008-9

από 50 ο C 0 ο C: S Q T 0 0.07 ln 4 9 9 4 4 9 m Fe c T Fe T 0.9 cal / m Fe ga c Fe [lnt ] 9 4 Το ποσόν θερµότητος που αποδίδει το ψυχόµενο τεµάχιο σιδήρου ισούται µε: Qm Fe c Fe T 0 0.07 9 4 9 cal. β Στη νοητή αντιστρεπτή θέρµανση της δεξαµενής νερού η θερµοκρασία του δεν µεταβάλλεται: Q 9 cal S 0.474 cal / ga. T 9ga Συνεπώς, η συνολική µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος νερού δεξαµενής + τεµαχίου σιδήρου είναι, S S + S 0.08 cal/ga, δηλ. η συνολική εντροπία του συστήµατος αυξήθηκε! Rectaton 4, Physcs I 008-9