ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f() = + 3 β) g() = 4 + 5 γ) h() = ηµ ln( + ) στο διάστημα π 3π, α) Η συνάρτηση f είναι της μορφής f() =α +β με α= < 0, άρα είναι γνησίως φθίνουσα. Κάθε συνάρτηση της μορφής f() =α +β, με α< 0 είναι γνησίως φθίνουσα. β) Η συνάρτηση g είναι της μορφής g() =α +β +γ με α= > 0 και επομένως είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). β 4 = =, α Κάθε συνάρτηση της μορφής f() =α +β +γ, με α> 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο β β (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). α α
π 3π γ) Για κάθε,, με < έχουμε: π 3π Επειδή η συνάρτηση ηµ είναι γνησίως φθίνουσα στο,, ηµ > ηµ () και ln γν. αυξ. < + < + ln( + ) < ln( + ) ln( + ) > ln( + ) () Προσθέτοντας τις (), () κατά μέλη έχουμε: ηµ ln(+ ) > ηµ ln( + ) h( ) > h( ) Συνεπώς η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα. Αν f,g γνησίως φθίνουσες (ή γνησίως αύξουσες) στο Δ τότε με την χρήση των ανισοτικών σχέσεων που προκύπτουν αποδεικνύεται ότι f + g είναι γνησίως φθίνουσα (ή γνησίως αύξουσα αντίστοιχα) στο Δ.
Παράδειγμα. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : f () = 3 + + α) β) g() = +, με πεδίο ορισμού το A[, 6). γ) h() = 7 0 α) Η συνάρτηση f είναι της μορφής f() =α +β +γ με α= 3< 0 άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο β = = α ( 3) 3, το 4( 3) 6 4 = = =. 4α 4 ( 3) 3 Κάθε συνάρτηση της μορφής ελάχιστο αντίστοιχα) στο =α +β +γ με α< 0 (ή α> 0 ) παρουσιάζει μέγιστο (ή f() β το α. 4 α β) Έχουμε < 6 > < < 6 6 3 + + < + 0 + < 0 g() < 3 3 3 Επομένως η g έχει ελάχιστο για = το g() = 0 και δεν έχει μέγιστο. Αν από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προκύπτει ισοδύναμα ανισότητα του, με εφαρμογή των ιδιοτήτων στις ανισότητες βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Τότε εάν αυτό είναι διάστημα της μορφής [ αβ, ) η f παρουσιάζει ελάχιστο το α και δεν παρουσιάζει μέγιστο. γ) Η συνάρτηση έχει D h = και 7 0 () για κάθε με 7 = 0 για = 7. () 7 0 0 h() 0. Άρα η h παρουσιάζει για = 7 ελάχιστο το -0. 3
Αν ο τύπος της συνάρτησης είναι της μορφής f() = g() + c ή της μορφής ν f() = (g()) + c, όπου ν μη μηδενικός άρτιος και υπάρχει 0 Df τέτοιο ώστε g( 0) = 0 τότε επειδή g() 0 ή (g()) ν 0, προκύπτει f() c δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το c. 4
Παράδειγμα 3. Αν 3 f () = 4 6 α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την β) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της. 3 f () = 4 6 και Η συνάρτηση ορίζεται στο όταν 3 3 6 0 8 και και και και [0, ] = A 3 3 3 3 4 6 0 6 4 6 6 0 α) Για οποιαδήποτε, στο [0,] με < ισοδύναμα έχουμε: < < > 6 > 6 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 6 > 6 4 6 < 4 6 4-6 - < 4-6 - <. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο A [ 0, ] f( ) f( ) =. β) Για τα ακρότατα της f παρατηρούμε ότι λόγω της μονοτονίας της f είναι: < f() < f ( ) f() < και > 0 f() > f ( 0) f() > 0 Έτσι για [ 0, ] είναι f ( 0) f() f ( ) δηλαδή η f έχει ελάχιστη τιμή το ( ) μέγιστη τιμή το f( ) =. f 0 = 0και Από την υπόθεση < για τυχαία, στο πεδίο ορισμού της f, κατασκευαστικά καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής f( ) < f( ) ή f( ) > f( ) οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι αντιστοίχως γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Αναζητούμε ακρότατα σε μια, f β. γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [ αβ ] μεταξύ των τιμών f ( α ), ( ) 5
Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση 5 f() =. + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ). β) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Για με, ο λόγος μεταβολής της f είναι: 5 5 f( ) f( ) + + 0 + 5 0 5 λ= = = ( )( + )( + ) α) Αν, (,0] τότε = και = οπότε 0 λ= > 0. ( + )( + ) Αν, [ 0, ) + τότε = και = οπότε 0 λ= > 0. ( + )( + ) Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ). β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ) έπεται ότι θα είναι γνησίως αύξουσα και στο (, + ) δηλαδή στο. Εναλλακτικά έχουμε: Αν (,0] και [ 0, ) 5 5 + θα είναι < και f( ) = < 0 < = f( ). + + Δηλαδή για κάθε συνδυασμό των, με < έχουμε f( ) < f( ) συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μερικές φορές (π.χ. όταν έχουμε απόλυτη τιμή ή συνάρτηση πολλαπλού τύπου) εξετάζουμε με τον λόγο μεταβολής ή με τον ορισμό, την μονοτονία σε υποδιαστήματα Aκαι A. Για την ένωσή τους χρειάζεται επιπλέον να ελέγχουμε με τον λόγο μεταβολής ή με τον ορισμό όταν A και A. 6
Παράδειγμα 5. A) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο, να αποδείξετε ότι η σύνθεση f gείναι γνησίως μονότονη στο. Β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. f Γ) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση h() = είναι γνησίως φθίνουσα στο. A) Υποθέτουμε ότι έχουμε τις συναρτήσεις f, g ορισμένες στο με την f γνησίως φθίνουσα στο και την g γνησίως αύξουσα στο. Έστω, με <, τότε f( ) > f( ) (αφού f γνησίως φθίνουσα στο αλλάζει την φορά της ανίσωσης) g(f ( )) > g(f ( )) (αφού g γνησίως αύξουσα στο διατηρεί την φορά της ανίσωσης) (g f )( ) > (g f )( ). Οπότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Όμοια αποδεικνύεται όταν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα. Β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο, αν, με < τότε: < f( ) > f( ) < ( ) < ( ) f( ) f( ) f f γνησίως αύξουσα στο. οπότε η συνάρτηση f είναι Έτσι οι συναρτήσεις f και f ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του Α και επομένως η σύνθεση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. f Γ) Εφαρμογή του B: Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f() = η οποία είναι εκθετική με βάση α= και 0< < έχουμε την f να είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο. Προφανώς () = οπότε f h() = = f (). Άρα σύμφωνα με το Β η συνάρτηση h() f 7
είναι γνησίως φθίνουσα στο. Από την υπόθεση < για τυχαία, στο πεδίο ορισμού των f, g και χρησιμοποιώντας την μονοτονία τους καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής (f g)( ) < (f g)( ) ή (f g)( ) > (f g)( ). Γενικά η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο ενώ η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο. 8
Παράδειγμα 6. Α) Να μελετήσετε την μονοτονία της f () = ln + e +. Β) Να λύσετε την ανίσωση + e + ln < e. Α) Για να ορίζεται η f στο πρέπει 0 < ln < ln () >. Για κάθε, ( 0, ) + με < έχουμε: e > 0 < e < e e < e () 0< < < (3) Προσθέτοντας τις (), (), (3) έχουμε ln + e + < ln + e + f ( ) < f ( ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Β) Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: + e + ln < e + e + ln < + e + ln f () < f () και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ) ισοδύναμα είναι 0< <. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι ( 0,). Προσπαθούμε να φέρουμε την ανίσωση σε μορφή f(g()) < f(h()) ή f(g()) > f(h()) και εκμεταλλευόμαστε την μονοτονία της f ώστε να καταλήξουμε σε απλούστερη ανίσωση g() < h() ή g() > h(). 9
Παράδειγμα 7. A) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, η g είναι γνησίως φθίνουσα στο και ισχύει f() > 0, g() > 0 για κάθε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα στο. Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ln π h() = είναι γνησίως αύξουσα στο, ηµ π. π Γ) Αποδείξτε ότι για κάθε α, β στο, π με α<β ισχύει ηµβ ηµα α <β. Α) Για κάθε, με < είναι: f γνησίως αύξουσα: < f( ) < f( ) () g είναι γνησίως φθίνουσα και θετική: < g( ) > g( ) < () g( ) g( ) Με πολλαπλασιασμό των (), () αφού πρόκειται για θετικούς αριθμούς έχουμε: f( ) f( ) f f g( ) g( ) g g < ( ) < ( ) το οποίο σημαίνει ότι η f g είναι γνησίως αύξουσα στο. π Β) Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα και θετική στο, π αφού π >. Η συνάρτηση π ηµ είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο, π. Επομένως σύμφωνα με το Α ερώτημα η συνάρτηση π, π. ln h() = είναι γνησίως αύξουσα στο ηµ ln π π Γ) Επειδή η h() = είναι γνησίως αύξουσα στο, π ηµ. Για κάθε α, β, π με α<β είναι: lnα lnβ ηµβ ηµα ηµβ ηµα h( α ) < h( β) < ηµβ lnα < ηµα lnβ lnα < lnβ α < β. ηµα ηµβ 0
Από την μονοτονία κατάλληλης συνάρτησης f, στον ορισμό < f( ) < f( ) ή < f( ) > f( ) επιλέγοντας κατάλληλα, δημιουργούμε ανίσωση η οποία μετασχηματίζεται στην ζητούμενη. Η συνάρτηση που χρησιμοποιούμε προκύπτει κάθε φορά από μετασχηματισμό της προς απόδειξη ανίσωσης.
Παράδειγμα 8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e ) = 4e έχει μοναδική λύση. Πρέπει e > 0 > e. Ο αριθμός ρ= e είναι ρίζα της εξίσωσης αφού e ln(e e ) = e ln(e ) = 4e lne = 4e. Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι μοναδική με την χρήση της μονοτονίας. (Επειδή ο έλεγχος της μονοτονίας για την f() = ln( e ) είναι δύσκολος μετασχηματίζουμε την εξίσωση σε ισοδύναμη ώστε να προκύψει συνάρτηση της οποίας την μονοτονία μπορούμε να εξασφαλίσουμε) 4e = με, με < τότε < e < e ln( e ) < ln( e ) (). Θεωρούμε την συνάρτηση f() ln( e ) Αν (e, + ) =. Επίσης > e > 0 4e 4e < < > < (). e Με πρόσθεση των (), () προκύπτει f( ) < f( ) δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 4e Συνεπώς η εξίσωση f () = 0 l n ( e ) = 0 l n ( e ) = 4e έχει μοναδική λύση. Aφού εξασφαλίσουμε με κάποιο τρόπο μια λύση της εξίσωσης (π.χ. προφανής) μετασχηματίζουμε την εξίσωση σε ισοδύναμη ώστε να προκύψει μονότονη συνάρτηση. Η μονοτονία της συνάρτησης εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Παράδειγμα 9. Α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f () = 5. 8 Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = 4 + 8 παρουσιάζει μέγιστο. Α) Για να ορίζεται στο η f() πρέπει [ ] 5 0 5 5 5 5 5,5 A =. Αν 5 < 0 τότε [ 5,0] > 5 < 5 5 < 5 f ( ) < f ( ). Αν 0 < 5 τότε [0,5] < 5 > 5 5 > 5 f ( ) > f ( ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 5,0] και γνησίως φθίνουσα στο [ 0,5 ]. Άρα αν 0 αν 0 αν 0 < θα είναι f() f ( 0) > θα είναι f() f ( 0) = θα είναι ( ) < (αφού f στο [ 5,0] < (αφού f στο [ 5,0] f() = f 0 = 5. Οπότε για κάθε [ 5,5] ισχύει ( ) θέση = 0 με μέγιστη τιμή ίση με f( 0) = 5. ), ), f () f 0 = 5 δηλαδή η f παρουσιάζει μέγιστο στην Επίσης παρατηρούμε ότι για κάθε [ 5,5] και επιπλέον ( ) ( ) 5 0 f 5 = f 5 = 0. 3
Δηλαδή για κάθε [ 5,5] ισχύει ( ) ( ) στις θέσεις = 5και = 5 με ελάχιστη τιμή ίση με ( ) ( ) f() f 5 = f 5 = 0 δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο f 5 = f 5 = 0. Β) Για κάθε είναι 8 + 8 4 4 0 8 8+ 4 και επιπλέον f( 0) =. Άρα για κάθε είναι f() f ( 0) = δηλαδή η f παρουσιάζει μέγιστο στην θέση = 0με μέγιστη τιμή f( 0) =. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ αγ, ] και γνησίως φθίνουσα στο [ γβ, ] τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στην θέση γ με μέγιστη τιμή f ( γ ). Επίσης αν αποδείξουμε ότι για κάθε ισχύει f() κ για κάποιο κ και υπάρχει γ ώστε f ( γ ) =κτότε η f έχει μέγιστη τιμή στο το κ. 4
Παράδειγμα 0. Α) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο και για κάθε ισχύει f(f()) + g() = 0 () τότε να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο. B) Αν f(f()) + = 0 για κάθε τότε να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Α) Με άτοπο: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο. η Περίπτωση: f γνησίως αύξουσα στο. Τότε για κάθε, με < είναι: f f () g < f( ) < f( ) f(f( )) < f(f( )) g( ) < g( ) g( ) > g( ) > ΑΤΟΠΟ! η Περίπτωση: f γνησίως φθίνουσα στο. Τότε για κάθε, με < είναι: f f () g < f( ) > f( ) f(f( )) < f(f( )) g( ) < g( ) g( ) > g( ) > ΑΤΟΠΟ! Σε κάθε περίπτωση οδηγούμαστε σε άτοπο άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη στο. Β) Εφαρμογή του Α ερωτήματος όπου g() = η οποία είναι της μορφής α +β με α> 0 δηλαδή γνησίως αύξουσα στο. Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη υποθέτουμε ότι είναι και για < κατασκευαστικά και με χρήση των δεδομένων καταλήγουμε σε άτοπο. 5
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Έστω f: γνησίως μονότονη συνάρτηση, αν η C f τέμνει τους άξονες και yy στα σημεία με τετμημένη - και τεταγμένη αντίστοιχα. α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. β) Αν g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο, να εξετάσετε την μονοτονία της g g και της f g. α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται (τέμνει τους άξονες) από τα σημεία Α(-,0) και Β(0,). Παρατηρούμε ότι για A < B ( < 0), ισχύει y A < y B (0 < ) και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως αύξουσα. Αν f γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η C f διέρχεται από σημεία A( A, y A) και B( B, y B), τότε, αν ( A B), (ya y B) ομόσημοι η f είναι γνησίως αύξουσα, ενώ αν ( ), (y y ) ετερόσημοι η f είναι γνησίως φθίνουσα. A B A B β) Επειδή η g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο, για κάθε, έχουμε: < g( ) > g( ) g(g( )) < g(g( )) (g g)( ) < (g g)( ) άρα η g g είναι γνησίως αύξουσα. f γν. αυξ. < g( ) > g( ) f(g( )) > f(g( )) (f g)( ) > (f g)( ) άρα η f g είναι γνησίως φθίνουσα. Αν g γνησίως μονότονη συνάρτηση τότε με την χρήση των ανισοτήτων που προκύπτουν από τον ορισμό της μονοτονίας αποδεικνύεται ότι η g g είναι γνησίως αύξουσα. Ενώ αν f,g γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε αποδεικνύεται ότι η f g (και η g f ) είναι γνησίως φθίνουσα. 6
Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση 7 f () = 3 + 5 με D f = [0, + ). α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα. γ) Να λύσετε την ανίσωση f( + ) > 0 στο [0, + ). 4 3 α) Για κάθε, [0, + ) με < έχουμε: < < > και < 3 > 3 7 7 7 7 άρα 3 > 3 3 + 5 > 3 + 5 f ( ) > f ( ) 7 7 7 7 Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν για οποιαδήποτε, Df με < προκύπτει ισοδύναμα, με εφαρμογή των ιδιοτήτων στις ανισότητες, f( ) > f( ) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν προκύψει f( ) < f( ) τότε η f θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Για να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση στο [0, + ). Παρατηρούμε ότι f () = 0, δηλαδή μια ρίζα της f είναι το =. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και άλλη ρίζα της εξίσωσης (f ( ) = 0). Αν < = επειδή f γνησίως φθίνουσα τότε f( ) > f( ) f( ) > 0 f( ) 0 άτοπο. Αν > = επειδή f γνησίως φθίνουσα τότε f( ) < f( ) f( ) < 0 f( ) 0 άτοπο. Συνεπώς η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση στο [0, + ). Βρίσκουμε μία προφανή ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο D f, υποθέτουμε ότι έχει και η ρίζα ( < ή > ) και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη καταλήγουμε σε κάτι άτοπο (f ( ) 0). 7
γ) 3 3 + άρα 4 4 + 0, για κάθε, οπότε 4 3 f γν. φθιν. 3 3 3 f( + ) > 0 f( + ) > f() + < < 4 4 4 4 και επειδή 0 τελικά η λύση της ανίσωσης είναι: 0 <. < < <. Αν f γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) και f(g()) > f( ) με g(a) D f, Df τότε g() > (ή g() < αντίστοιχα) και ισοδύναμα λύνουμε την ανίσωση. 8
Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει: ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα. 5 3 f () e = 6f () για κάθε. Να δείξετε 5 3 5 3 Η αρχική σχέση γίνεται f () e = 6f () f () + 6f () = e + (). Έστω ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για οποιαδήποτε, με < θα ισχύει f( ) > f( ) () () f ( ) > f ( ) (ν = 5, περιττός εκθέτης) 5 5 () f ( ) > f ( ) 6f ( ) > 6f ( ) (ν = 3, περιττός εκθέτης) 3 3 3 3 Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: () e γν. αυξ. 5 3 5 3 + > + + > + > > f ( ) 6f ( ) f ( ) 6f ( ) e e e e Άτοπο, άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Όταν δίνεται συναρτησιακή σχέση για μια συνάρτηση f, και θέλουμε να δείξουμε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα (ή γνησίως αύξουσα) στο A αρκεί να υποθέσουμε ότι είναι, δηλαδή για κάθε, A με < ισχύει ότι f( ) > f( ) ( ή f( ) < f( ) αντίστοιχα ) και να καταλήξουμε σε κάτι άτοπο. Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/0 9