ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6

ΜΑΡΤΙΟΣ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη θέρµανση ενός δωµατίου είναι οι εξής: x 4. 7. x 7. u w x = + 7. 357. x 35 + y x [ ] x = = x όπου, x : θερµοκρασία του δωµατίου. x : θερµοκρασία του θερµαντικού σώµατος. u : θερµοκρασία του υγρού που κυκλοφορεί στο θερµαντικό σώµα. w : θερµοκρασία του περιβάλλοντος, η οποία θεωρείται σαν διαταραχή. α) Να εξεταστεί η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα της περιγραφής. β) Αγνοώντας τη διαταραχή, να εκφραστεί ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου συναρτήσει του µετασχηµατισµού Laplace της εισόδου και των αρχικών συνθηκών. γ) Εάν σαν είσοδος θεωρηθεί η u=r-k x να βρεθεί για ποιές τιµές του K το αντισταθµισµένο σύστηµα παραµένει ασυµπτωτικά ευσταθές. Λύση A) Η µήτρα ελεγξιµότητας είναι [ ] 4.5 P= c B AB= 35-49.5 Επειδή βαθµός(p c )=, η περιγραφή είναι ελέγξιµη. Η µήτρα παρατηρησιµότητας είναι C P= o = CA -.4.7 Επειδή βαθµός(p ο )=, η περιγραφή είναι παρατηρήσιµη. Β) Θα είναι ή και sx(s)-x()=ax(s)+bu(s) - - X(s)=[sI-A] x()+[si-a] BU(s) - - Y(s)=C[sI-A] x()+c[si-a] BU(s)

Καθώς s+35.7.7 s+35.7.7 (s+.4)(s+35.7)-.7.7 s+.4 s +37.s+49.49.7 s+.4 - [si-a] = = s+35.7.7 s+35.7.7 x() Y(s)= [ ] U(s)+ [ ] (s +37.s+49.49.7 s+.4 35 s +37.s+49.49.7 s+.4 x() 4.5 s+35.7.7 = U(s)+ x ()+ x () (s +37.s+49.49 s +37.s+49.49 s +37.s+49.49 Γ) Εάν οι εξισώσεις καταστάσεως γίνονται u=r-kx x -. 4 7. x 7. ( r Kx) w x = - 7. - 357. x + 35 + = -. 4 7. x 7. = + r+ w. 7 35K - 35. 7 x 35 = Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της περιγραφής θα είναι s+.4 -.7 ψ c(s)=det[si-a c]=det 35K-.7 s+35.7 Εφαρµόζουµε το κριτήριο Routh =s +37.s+49.49+4.5K s 49.49+4.5K s 37. s 49.49+4.5K Για να παραµένει το σύστηµα ασυµπτωτικά ευσταθές πρέπει ή ισοδύναµα <49.49+4.5K -.<Κ 3

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) - - Για τον κινητήρα του Σχήµατος (a), T= Nm A Χi, J=Kg m και B= Nm s, ενώ µετράται η γωνία στροφής του άξονα του κινητήρα, θ. i e a + T,ω J B (α) R(s) K I(s) Θ(s) Σ G( s ) + _ s + (β) Σχήµα : Κινητήρας συνεχούς ρεύµατος µε φορτίο, (α) συνδεσµολογία, (β) λειτουργικό διάγραµµα συστήµατος κλειστού βρόχου. α) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς Q(s) G(s)=. I(s) β) Στο σύστηµα χρησιµοποιήθηκε ελεγκτής K K(s) = (s +), όπως στο Σχήµα (β). Με χρήση του θεωρήµατος του Nyquist να προσδιοριστεί για ποιές τιµές του K το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ασυµπτωτικά ευσταθές καθώς και το περιθώριο κέρδους. Για την κατασκευή του διαγράµµατος Nyquist να δοθεί προσοχή:. Στο όριο του πραγµατικού µέρους της εικόνας καθώς ω.. Στο σηµείο που το διάγραµµα τέµνει τον πραγµατικό άξονα. 3. Στο όριο του ορίσµατος της εικόνας του χωρίου καθώς ω. γ) Ο συντελεστής τριβής B εξαρτάται από το ιξώδες του λιπαντικού λαδιού και µεταβάλλεται µεταξύ Nm/s και 4Nm/s. Για την οικογένεια των συστηµάτων που προκύπτει εξετάζοντας τα σηµεία τοµής µε τον αρνητικό πραγµατικό άξονα να βρείτε:. Για ποιές τιµές του K όλα τα συστήµατα που προκύπτουν είναι ασυµπτωτικά ευσταθή.. Για ποιές τιµές του K όλα τα συστήµατα που προκύπτουν είναι ασταθή. δ) Εάν Ο είναι η αρχή των αξόνων, Α το σηµείο (-, ) του µιγαδικού επιπέδου K - και Μ η εικόνα του σηµείου j ω =jrads στό διάγραµµα Nyquist, 4

. Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση µεταφοράς OM H(j )=, AM ω Q(s) H(s)= R(s), θα είναι όπου ΟΜ, ΑΜ είναι µιγαδικοί αριθµοί.. Εάν Κ= και r(t)=.ηµ(t), να βρεθεί η θ(t) στη µόνιµη κατάσταση χρησιµοποιώντας το διάγραµµα Nyquist. Λύση Θα είναι dω d θ = ( ) = + ω = + dθ T Ai t J B J B dt dt dt Εφαρµόζοντας Μετασχηµατισµό Laplace µε µηδενικές αρχικές συνθήκες, λαµβάνεται ή ισοδύναµα () = () = ( + ) Θ() Ts AIs Js Bs s ( s) ( ) Θ A Gs () = = Is Js + Bs Β) Θεωρώντας το Κ σαν µεταβλητό κέρδος του απευθείας δρόµου, η συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου θα είναι Για s=jω, θα είναι ( ) A A Gs= () * = s+ Js + Bs (s+)(js+b)s G j ω = = + j = Χ + jy. Καθώς ω A -A( ω B+ ω J) 3 A( ω J ωβ) (j ω+)(jj ω+b)j ω 4 (ω +ω )(J ω +B ) 4 (ω +ω )(J ω +B ) -A(B+J) lim X= ω B 3 A( ω J ωβ) lim Y= lim ω ω (ω +ω 4 )(J ω +B ) =. Για το σηµείο τοµής µε τον πραγµατικό άξονα θα είναι Y= ή ισοδύναµα ή 3 ω J-ωΒ= ω =Β/J Για την τιµή αυτή του ω το Χ γίνεται 5

X Για το όρισµα της εικόνας θα είναι -A(B + J) -AJ = = (+B/J)(J B/J+B ) B(J+B) c και φ=τοξεφ 3 Y A( ω J = τοξεφ X -A( B ωβ) ω +ω J) 3 ( ω J ωβ) -ωj lim lim lim ω ω -( ω B+ ω J) ω B + J φ= τοξεφ = τοξεφ = τοξεφ(- ) Επειδή καθώς το ω τείνει στο άπειρο Χ< και Υ>, θα ισχύει Για τις τιµές Α=, J= και Β= o lim φ=-7 ω -A(B+J) lim X= =-.75 ω B -AJ X= c =- B(J+B) 6 Το διάγραµµα Nyquist είναι όπως στο Σχήµα ιάγραµµα Nyquist Nyquist Diagrams From: U() 6 4 Λεπτοµέρεια ιαγράµµατος Nyquist Nyquist Diagrams From: U().8.6 x i s A a ry n g i a Im ) ( Y T o: - x i s A a ry n g i a Im ) ( Y T o:.4. -. -4 -.4-6 - -.9 -.8 -.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -. -. Real Axis -.6 -.8 -.5 -. -.5 -. -.5 Real Axis Το περιθώριο κέρδους θα είναι g m = =6 X c 6

Γ) Για την οικογένεια των συστηµάτων που προκύπτουν για τις διάφορες τιµές του Β, τα σηµεία τοµής µε τον πραγµατικό άξονα θα ικανοποιούν τις σχέσεις -AJ -AJ Xc B (J+B ) B (J+B ) max max min min θα είναι -* = - X -* c =- 4(+4) (+) Εάν -/Κ<-/ ή ισοδύναµα <Κ< όλα τα συστήµατα κλειστού βρόχου που προκύπτουν είναι ασυµπτωτικά ευσταθή γιατί ο αριθµός των περιτριγυρισµάτων του -/Κ είναι ίσος µε µηδέν και το σύστηµα ανοικτού βρόχου δεν έχει πόλους εντός του χωρίου D. Εάν -/Κ>-/ ή ισοδύναµα <Κ όλα τα συστήµατα κλειστού βρόχου που προκύπτουν είναι ασταθή γιατί ο αριθµός των περιτριγυρισµάτων του -/Κ είναι ίσος µε δύο και το σύστηµα ανοικτού βρόχου δεν έχει πόλους εντός του χωρίου D. Για <Κ< κάποια από τα συστήµατα κλειστού βρόχου είναι ασυµπτωτικά ευσταθή και άλλα ασταθή, εξαρτώµενα από την τιµή του Β. ) 8 Nyquist Diagrams From: U() 6 4 x i s A a ry n g i a Im ) ( Y T o: - -4 -/K A M O -6-8 -.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -. -. Real Axis Ο µιγαδικός αριθµός ΑΜ θα είναι 7

οπότε Για ω=rad/sec η εικόνα θα είναι οπότε AM= +OM= +G jω K K ( ) OM G( jω) KG( jω) = = =H ω AM +G( jω) +KG( jω) K (Χ,Υ)=(-.3,-.) ( j ) OM. + 3. H( jω ) = = =.447 AM 7. +. -. Arg { OM } =τοξεφ =-.8rad -.3 οπότε -. Arg { AM } =τοξεφ =-.4rad.7 { ( )} Arg H j =-.8-(-.4)=-.68rad. Η µόνιµη κατάσταση της θ(t) θα είναι ηµιτονοειδής και θα ισχύει { } ( ) ( ) θ(t)=.* H j *ηµ[*t+arg H j ]=.*.447*ηµ[*t+(-.68)]=.447*ηµ[*t+(-.68)] 8

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) ίνεται το λειτουργικό διάγραµµα του Σχήµατος, όπου A R(s)= s και D(s)=M. D( s ) R(s) + Σ K + Σ 3 + + Σ (s + ) s( s + ) Y(s) K b Σχήµα : Λειτουργικό διάγραµµα µε είσοδο αναφοράς R(s), διαταραχή D(s) και έξοδο Y(s). α) Να µετασχηµατίσετε το λειτουργικό διάγραµµα σε ισοδύναµη περιγραφή µε ένα µόνο κλάδο ανάδρασης. β) Να προσδιοριστούν οι περιοχές τιµών των Κ και Κ b, έτσι ώστε η επίδραση της διαταραχής στην έξοδο του συστήµατος να εξουδετερώνεται στη µόνιµη κατάσταση και ταυτόχρονα η έξοδος του συστήµατος να ακολουθεί το σήµα lim y(t)-r(t) = ). εισόδου στη µόνιµη κατάσταση (δηλ. { } Λύση (από Α. Σολδάτο) t α) Μια ισοδύναµη περιγραφή µπορεί να προκύψη αν µεγαλώσουµε τον εσωτερικό κλάδο ανάδρασης προς τα έξω και τον ενσωµατώσουµε µε τον εξωτερικό: 9

R(s) + Σ _ 3K s + D(s) + Σ + s( s + ) Y(s) K b + K β) Υπολογίζουµε την έξοδο του κλειστού συστήµατος εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας: και οπότε, 3K Y(s) s s(s ) + + 3K = = r R(s) + 3 3K K s + s + s+ 5K+ 3K b b + (s )(s s) + + K Y(s) = s( s + ) = (s + ) d D(s) + 3 3K K s + s + s+ 5K + 3K b b + (s )(s s) + + K 3K A (s + ) Y(s) = Y(s) r + Y d(s) = + M s + s + s+ 5K + 3K s s + s + s+ 5K + 3K Για να αποκόπτεται η διαταραχή, 3 3 b d(t ), στη µόνιµη κατάσταση θα πρέπει lim y ( t ) = t d Χρησιµοποιούµε το θεώρηµα τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace που ισχύει µε την προυπόθεση ότι η sy d ( s ) είναι ευσταθής. Κατασκευάζουµε τον πίνακα Routh για τον προσδιορισµό κατάλληλων συνθηκών. b ( )

s s s 3 s 5K + 3Kb 5K + 3K 5K 3K b b οπότε, για να διασφαλίζεται η ζητούµενη ευστάθεια πρέπει < 5K + 3K b < Με την προυπόθεση ότι ισχύουν οι ανισότητες, από το θεώρηµα τελικής τιµής προκύπτει ότι (s + ) lim y d( t ) = lim sy d( s ) = lim s 3 ( M ) t s s s + s + s+ 5K + 3Kb Η δεύτερη συνθήκη είναι, t ( r(t) ) = lim y(t) = Με την ικανοποίηση των πιο πάνω ανισοτήτων η θεώρηµα τελικής τιµής θέτουµε sy( s ) είναι ευσταθής και από το 3K A lim ( y( t ) r( t )) = lim ( s Y r( s ) s R( s )) = lim s A t s s 3 s + s + s+ 5K + 3Kb s 3 KA = A = 5K + 3K b οπότε, Kb = 5K Η τελευταία σχέση µε τις πιο πάνω ανισότητες συναληθεύουν για < K < και 5 < K b < µε Kb = 5K 3 Αυτές οι τιµές των K και K εξασφαλίζουν τις απαιτήσεις του προβλήµατος. b

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) ίνεται σύστηµα µοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης µε συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού βρόχου K(s + ) G( s ) = 9 s(s + ), K > α) Να δειχθεί ότι υπάρχει K για το οποίο οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι όλες πραγµατικές και ίσες µεταξύ τους και να προσδιοριστεί η τιµή του. β) Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών για το ανωτέρω σύστηµα. Σηµ.: Μπορείτε, αν θέλετε, να χρησιµοποιήσετε για το ερώτηµα (α) µια γενική εξίσωση που έχει τριπλή ρίζα το ρ. Λύση (από Α. Σολδάτο) α) Έστω ρ η τριπλή πραγµατική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Τότε, χρησιµοποιώντας την υπόδειξη θέτουµε, (s ) s s s 3 3 3 + ρ = + 3ρ + 3ρ + ρ = Η χαρακτηριστική εξίσωση του δοθέντος συστήµατος είναι K(s + ) + 9 = + s(s ) οπότε, s + s + Ks+ K = 9 3 Συγκρίνοντας τους συντελεστές των οµοιοβαθµίων όρων, ρ = = = 3 3 9 3, K, ρ K Η τελευταία εξίσωση όντως επαληθεύεται µε τις ευρεθείσες τιµές των ρ και K διότι 3 ρ 3 = = = 3 3 3 3 9 K

Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι ρ = = 3. 333 3 K = = 33. 333 όταν οι ρίζες έχουν την τιµή 3 β) Μερικά συµπληρωµατικά στοιχεία για το σχεδιασµό του γεωµετρικού τόπου των ριζών είναι τα ακόλουθα: K(s + ) G(s) = 9, K >, n = 3, m s(s + ) Η G( s ) έχει τρείς πόλους, εποµένως υπάρχουν τρείς διακεκριµένοι τόποι (κλάδοι του γεωµετρικού τόπου των ριζών). Το τµήµα του άξονα των πραγµατικών αριθµών που βρίσκεται µεταξύ του και του =. ανήκει στο γεωµετρικό τόπο των 9 ριζών επειδή είναι στα αριστερά ενός περιττού αριθµού πόλων και µηδενικών. Το κέντρο των ασυµπτώτων βρίσκεται στο = n m p i zj i= j= 9 4 σ 4 443 = = = =. n m 3 9 όπου pi είναι οι πόλοι και z i τα µηδενικά της G( s ). Οι γωνίες των ασυµπτώτων δίνονται από τα O ( ρ + ) 8 θρ =, ρ =,,,,n m n m Εποµένως, οι γωνίες των ασυµπτώτων είναι 9 O και 7 O. Τα σηµεία θλάσης µπορούν να υπολογιστούν από K(s ) d + 9 3 4 = s s s= + 3 9 ds s ( s ) Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι s = και s = 3. 333 (διπλή). Οι αντίστοιχες αποδεκτές τιµές του K για αυτές τις ρίζες βρίσκονται από τη χαρακτηριστική εξίσωση και είναι K =, και K = 33. 333 (όπως στο ερώτηµα (α)). 3

8 6 4 s A xi g a Im - -4-6 -8 - -8-6 -4-4 Real Axis 4

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέµβριος 5) ίδεται η περιγραφή ενός συστήµατος συνεχούς χρόνου: x (t) x(t)= x(t)+ u(t), x()=x, x(t)= x (t), - x 3(t) ( ) y(t) = x(t) α) Να εξεταστεί η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα της περιγραφής. β) Να ευρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς Y(s) G(s)=. U(s) γ) Να µελετηθεί ως προς την ευστάθεια η περιγραφή του συστήµατος. δ) Αν εφαρµοσθεί ο νόµος ελέγχου, u(t)=r(t)-fx (t)-fx (t) µε r(t) µια είσοδο αναφοράς και F, F πραγµατικούς αριθµούς, να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του αντισταθµισµένου συστήµατος. ε) Να εξετασθεί για ποιές τιµές των F, F του ερωτήµατος (δ), το αντισταθµισµένο σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Επίσης, να δειχθεί ότι αν F =- F,, δεν είναι δυνατόν να ευσταθειοποιηθεί το δοθέν σύστηµα για οποιαδήποτε τιµή του F. Λύση A) Η µήτρα ελεγξιµότητας είναι - 5 P c = B AB A B = - Επειδή βαθµός(p c )=3, η περιγραφή είναι ελέγξιµη. Η µήτρα παρατηρησιµότητας είναι C - P= o CA = - CA - - 4 Επειδή det(p ο )=, βαθµός(p ο )=3 και η περιγραφή είναι παρατηρήσιµη. Β) Η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι s - = - - s+ [ ] - G(s)=C[sI-A] BU(s)= s - - 5

Είναι M M M3 M3 M3 = [ ] M M M 3 = sss [ ( + ) ] (s+)(s ) M M M 3 3 33 +3 - +3 s M 3(s)= (-) = M 3(s)= (-) =s s - - -(s-) G(s)= (s+)(s-)(s+) Γ) Για την ευστάθεια εξετάζονται οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ψ(s)=det[si-a]=(s+)(s-)(s+) Καθώς το ψ(s) έχει τη ρίζα s= η οποία βρίσκεται στο δεξιό ηµιεπίπεδο, η περιγραφή του συστήµατος είναι ασταθής. ) Η περιγραφή του συστήµατος µετά την εφαρµογή του νόµου ελέγχου θα είναι όπου Οι εξισώσεις καταστάσεως γίνονται x=ax+b(r-fx)=(a-bf)x+br F= [ F F ] y=cx x(t)= x(t)+ r(t) -F -F - ( ) y(t) = x(t) Ε) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι s - 3 ψ c(s)=det[si-a c]=det s - =s[s(s+)+f-]+f-=s +s +(F-)s+F- F- F- s+ Εφαρµόζουµε το κριτήριο Routh 6

s 3 F- s F- s [(F -)-F +]/ s F- Καθώς > και >, για να είναι το αντισταθµισµένο σύστηµα ασυµπτωτικά ευσταθές πρέπει ή ισοδύναµα [(F -)-F +]/=F -F > και F -> F -F >> Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι τα F,F πρέπει να είναι θετικά. Εάν F =-F, τα F,F είναι ετερόσηµα και δεν είναι δυνατόν να ικανοποιείται η αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ασυµπτωτική ευσταθειοποίηση. 7

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέµβριος 5) ίδεται το ακόλουθο µοντέλο ενός θερµικού συστήµατος: 6 3 x(t) 3 i x(t) = + u(t) + d(t) 8 8 x(t) 4 όπου, x(t) η θερµοκρασία του δωµατίου, y( t ) = x ( t ) x(t) η θερµοκρασία του θερµαντικού σώµατος, u( t ) η παροχή θερµότητος του θερµαντικού υγρού, d(t ) η θερµοκρασία του περιβάλλοντος η οποία θεωρείται σαν διαταραχή. ) Να εκφραστεί ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου συναρτήσει των µετασχηµατισµών Laplace των u( t ) και d(t ) για µηδενικές αρχικές συνθήκες. ) α) Εάν εφαρµοστεί ο έλεγχος του Σχήµατος, να εκφραστεί η Y(s) συναρτήσει των R(s) και D( s ). β) Να διερευνηθεί για ποιές τιµές του K, όταν η διαταραχή είναι µηδενική, το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση σε βηµατική είσοδο αναφοράς δεν υπερβαίνει το 5%. R(s) Σ + _ K D(s) U(s) Θερµικό Σύστηµα Y(s) Σχήµα : Λειτουργικό διάγραµµα µε είσοδο αναφοράς R(s), διαταραχή D( s ) και έξοδο Y(s). π d(t ) = ηµ t 3) Εάν 4, για K της επιλογής σας ώστε να ισχύει η απαίτηση του ερωτήµατος (β), να ευρεθεί το πλάτος του κυµατισµού της θερµοκρασίας του δωµατίου στή µόνιµη κατάσταση. Λύση A) Aπό την περιγραφή του συστήµατοςµε µετασχηµατισµό Laplace για µηδενικές αρχικές συνθήκες θα είναι s+6-3 3 (si-a)x(s)= X(s)= U(s)+ D(s) -8 s + 8 4 8

Συνεπώς s+8 3 3 Y(s)= [ ] X(s)= [ ] U(s)+ D(s) s+4s+4 8 s+6 4 3(s+8) = U(s)+ D(s) s +4s+4 s +4s+4 Β) Για την αντιστάθµιση που δίδεται θα είναι U(s)=K[R(s)-Y(s)] Αντικαθιστώντας στην έκφραση της Y(s) λαµβάνεται 3(s+8) Y(s)= KR(s)- KY(s)+ D(s) Επιλύοντας ως προς Y(s), λαµβάνεται s +4s+4 s +4s+4 s +4s+4 3(s+8) KR(s) D(s) s +4s+4 s +4s+4 K 3(s+8) Y(s)= + = R(s)+ D(s) s +4s+4+K s +4s+4+K s +4s+4+K s +4s+4+K s +4s+4 s +4s+4 Για µηδενική διαταραχή θα είναι Y(s)= K s +4s+4+K R(s) Εάν η είσοδος αναφοράς είναι µοναδιαία βηµατική, R(s)=/s και εάν το αντισταθµισµένο σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές, από το θεώρηµα της τελικής τιµής το σφάλµα µόνιµης κατάστασης θα είναι K lim{ r(t)-y(t) } = lim{ s[r(s)-y(s)] } = lim s[- ]R(s) t s s s +4s+4+K K 4 =lim s[- ] = s s +4s+4+K s 4+K Για την ευστάθεια του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείταιτο κριτήριο Routh στο χαρακτηριστικό πολυώνυµο της περιγραφής θα είναι ψ c (s)=s +4s+4+K Εφαρµόζουµε το κριτήριο Routh s 4+Κ S 4 s 4+Κ Καθώς το Κ είναι θετικό η πρώτη στήλη δεν εµφανίζει αλλαγές προσήµου και το αντισταθµισµένο σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές για κάθε Κ>. Από τον τύπο του σφάλµατος, καθώς Κ> προκύπτει ότι αυτό είναι θετικό, οπότε το Κ επιλέγεται ώστε 9

ή 4 lim{ r(t)-y(t) } =.5 t 4+K 57*8 38 K = Στη µόνιµη κατάσταση το τµήµα της εξόδου το οποίο οφείλεται στη διαταραχή θα είναι από την εφαρµογή της αρχής της επαλληλίας όπου π πt π y(t)=g(j d d )ηµ +arg[g d(j ) 4 4 4 ] 3(s+8) G d = s +4s+4+K Εάν ληφθεί Κ=5, για το πλάτος του κυµατισµού θα ισχύει π 8+j.6 A o= G d(j ) =*3 =.385 4 4+6-.6 +j4*.6

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέµβριος 5) R(s) Σ + _ E(s) K U(s) Y(s) G(s) Y(s) Για το σύστηµα κλειστού βρόχου του Σχήµατος µε Κ δίδεται ότι s+s+4 s+s+4 G(s)= = (s+)(s+4)(s +3s+3) s 4 +8s 3 +s +7s+ Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών του συστήµατος για Κ αφού προσδιοριστούν Οι περιοχές του πραγµατικού άξονα οι οποίες είναι µέρη του τόπου. Οι ασύµπτωτες του γεωµετρικού τόπου. Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων µε τον πραγµατικό άξονα. Οι γωνίες αναχώρησης από τους πόλους του συστήµατος ανοικτού βρόχου. Οι γωνίες άφιξης στα µηδενικά του συστήµατος ανοικτού βρόχου. Τα σηµεία τοµής µε το φανταστικό άξονα. Το σηµείο θλάσης. 5 4 3 ιδεται ότι οι ρίζες του πολυωνύµου p(s)=s +5.5s +88s +477.5s +868s+534 είναι -.37±j.44, -3. και.3±j8.93. Λύση Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα 5 5 s A xi g a Im 5-5 - -5 - -5-6 -5-4 -3 - - 3 Real Axis

Α) Τα σηµεία του πραγµατικού άξονα που ανήκουν στον τόπο είναι στο διάστηµα [-4,-]. Β) Καθώς το σύστηµα έχει τέσσερις πόλους και δύο µηδενικά, θα έχει δύο ασύµπτωτες µε γωνίες ως προς τον πραγµατικό άξονα (+k)8 θ = k== 9 n-m (+k)8 θ = k==7 n-m o o Γ) Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων µε τον πραγµατικό άξονα είναι 4 p- i zk i= k= 8 ( ) σ= = = 3.5 n-m (χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα ότι το άθροισµα των ριζών του πολυωνύµου a n x n +a n- x n- + +a είναι -a n- / a n ). ) Το σύστηµα έχει δύο πόλους µιγαδικούς πόλους στις θέσεις -3 ± j 3. Η γωνία αναχώρησης από τον πόλο -3 ± j 3 θα είναι θ αν =8+Arg(--j5.43)+Arg(--j7.6)-Arg(-.5+j.866)-Arg(.5+j.866)-Arg(+j.73)= =8-.43+97.94--9.-9=-5.59 Η γωνία αναχώρησης από τον συζυγή πόλο θα είναι αντίθετη της γωνίας που προσδιορίστηκε. Ε) Το σύστηµα έχει ένα ζεύγος µιγαδικών µηδενικών στις θέσεις θ αφ o o -+j 59 =-8-9+Arg(.5+j6.3)+Arg(3.5+j6.3)+Arg(+j5.43)+Arg(+j7.7)= =8-9+85.46+6.94+79.56+8.6=38 Η γωνία αναχώρησης από το συζυγές µηδενικό θα είναι αντίθετη της γωνίας που προσδιορίστηκε.

ΣΤ) Για την εύρεση των σηµείων τοµής µε τον φανταστικό άξονα χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 4 +K +4K s 3 8 7+K s 8( +Κ) 7 Κ 49+7Κ +4K = 8 8 s (49+7Κ)(7+Κ) 96 3Κ 8 (49+7Κ) 8 s +4K Για να εµφανίζονται ρίζες επάνω στο φανταστικό άξονα πρέπει ή ισοδύναµα η οποία δίδει τις ακόλουθες λύσεις (49+7Κ)(7+Κ) 96 3Κ = 8 7Κ Κ + 355 = Κ =.47 Κ = 35.96 Για την τιµή.47 το βοηθητικό πολυώνυµο γίνεται το οποίο έχει ρίζες 49+7Κ 8 Β(s)= s ++4K=9.9s +7.8 7.8 s, = ± j = ± j.88 9.9 Για την τιµή 35.96 το βοηθητικό πολυώνυµο γίνεται το οποίο έχει ρίζες 49+7Κ 8 Β(s)= s ++4K=95.9s +65 65 s, = ± j = ± j6.5475 95.9 Τα σηµεία j.88, j6.5475 είναι τα σηµεία τοµής µε τον φανταστικό άξονα. Ζ) Το σηµείο θλάσης βρίσκεται από την εξίσωση 3

4 3 dk d d s +8s +s +7s+ = = - = - = ds ds G(s) ds s +s+4 = 3 4 3 (4s +4s +44s+7)(s +s+4)-(s+)(s +8s +s +7s+) (s +s+4) Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι το σηµείο θλάσης s πρέπει να είναι ρίζα του πολυωνύµου 5 4 3 p(s)=s +5.5s +88s +477.5s +868s+534 ίδεται ότι οι ρίζες του πολυωνύµου είναι -.37±j.44, -3. και.3±j8.93. Για s =-3., Κ=.36 πραγµατικό και θετικό, συνεπώς αποδεκτό. Για s =-.37+j.44, Κ=.96-j.5 µιγαδικό, συνεπώς µη αποδεκτό. Για s =-.37-j.44, Κ=.96+j.5 µιγαδικό, συνεπώς µη αποδεκτό. Για s =-.3+j8.93, Κ=4.37-j5.89 µιγαδικό, συνεπώς µη αποδεκτό. Για s =-.3-j8.93, Κ=4.37+j5.89 µιγαδικό, συνεπώς µη αποδεκτό. Εποµένως µοναδικό σηµείο θλάσης είναι το σηµείο (-3.,) 4

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 5 r ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Πρόσθετη Εξέταση Νοέµβριος 5) Για το σύστηµα ελέγχου του Σχήµατος δίδονται + z u + Κ(s) e - G(s) y F(s) G(s)= s+ F(s)=as K(s)= s. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς Y(s) H(s)= R(s).. Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου καθώς το a µεταβάλλεται στο διάστηµα (, ). 3. Να ευρεθεί για ποιές τιµές του a η βηµατική απόκριση του συστήµατος είναι πεπερασµένη και δεν εµφανίζει ταλαντώσεις. Λύση. Θα είναι Y(s) G(s) = Z(s) +G(s)F(s) οπότε K(s)G(s) Y(s) +G(s)F(s) K(s)G(s) s(s+) H(s)= = = = = K(s)G(s) + as + + +G(s)F(s) s(s+) R(s) +G(s)F(s)K(s)G(s) (+a)s +s+. Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών µπορεί να ευρεθεί αναλυτικά. Έστωσαν (x,y) οι συντεταγµένες ενός σηµείου του τόπου. Θα ισχύει (+a)(x+jy) +x+jy+=(+a)(x -y +jxy)+x+jy+= Εξισώνοντας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος µε το, λαµβάνονται 5

(+a)(x -y )+x+= (+a)(xy)+y= Από τη δεύτερη σχέση λαµβάνονται εναλλακτικά. Α) y=. Αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση απαιτεί (+a)x +x+=, αδύνατο για a> καθώς η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική. Β) (+a)x+=. Επιλύοντας ως ορος a και αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαµβάνεται ή ισοδύναµα - x ( )(x -y )+x+= x +y +x+=(x+) +y = Η τελευταία σχέση είναι εξίσωση περιφέρειας κύκλου µε κέντρο το σηµείο (-,) και ακτίνα. Τµήµα αυτής της περιφέρειας αποτελεί τον ζητούµενο γεωµετρικό τόπο. ος Τρόπος Εάν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο γραφεί ψ c (s)=as +s +s+ θα αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός συστήµατος απλού βρόχου µε ελεγκτή σταθερό κέρδος a και συνάρτηση µεταφοράς του προς έλεγχο συστήµατος G (s)= eq s + s + Ο γεωµετρικός τόπος που ζητείται µπορεί να κατασκευαστεί µε τους κανόνες ως εξής: Ο αριθµός των κλάδων του τόπου είναι. Ο γεωµετρικός τόπος δεν έχει τµήµα του επάνω στον πραγµατικό άξονα, καθώς δεν υπάρχει σηµείο του πραγµατικού άξονα το οποίο να έχει προς τα δεξιά του περιττό αριθµό πόλων και µηδενικών. Ο γεωµετρικός τόπος αρχίζει από τους πόλους της G eq (s) που είναι τα σηµεία s -± -4 s,= =-.5 ± j.3 και καταλήγει στα µηδενικά της που είναι το σηµείο s=, διπλό µηδενικό. Ο γεωµετρικός τόπος δεν έχει ασύµπτωτες. Η γωνία αναχώρησης από τον πόλο.5+j.3 θα είναι o o o o o o φ p=8 +Arg(-.5+j.3)-Arg(j.64)=8 +*99. -9 =88. 88.-36=-7.8 6

Οι γωνίες άφιξης στο διπλό µηδενικό θα είναι o o o φ z =-8 +Arg(.5+j.3)+Arg(.5-j.3)=-8 φ z =-9 o o o φ z =8 +Arg(.5+j.3)+Arg(.5-j.3)=8 φ z =9 Ο γεωµετρικός τόπος φαίνεται στο ακόλουθο Σχήµα..6.4. s A xi g a Im -. -.4 -.6 -.4 -.3 -. -....3 Real Axis 3. Καθώς η βηµατική απόκριση πρέπει να είναι πεπερασµένη και να µην εµφανίζει ταλαντώσεις, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου πρέπει να βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και να είναι πραγµατικές. Από το κριτήριο Routh λαµβάνεται s +a s s +a> ή ισοδύναµα a>- Για να έχει το τριώνυµο πραγµατικές ρίζες, η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική, ήτοι =-4(+a)=-39-4a> Ή ισοδύναµα Οι ανισότητες συναληθεύουν για a<-39/4=-9.75 -<a<-9.75 7

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Πρόσθετη Εξέταση Νοέµβριος 5) Το µοντέλο ενός συστήµατος στη βιοµηχανία σιδήρου συνδέει το πάχος hτου προϊόντος µε την τάση του σ ως εξής h+ησ=(-η)h-3ησ+.94u ah+4.5σ=(a-δ)h-σ+4.75u όπου σαν είσοδος λαµβάνεται η τάση u διέγερσης του κινητήρα, a,δ,η είναι παράµετροι και µετράται το πάχος h.. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσµα x=[h σ] Τ.. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς. 3. Να προσδιοριστούν οι σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούν τα a,δ,η ώστε το σύστηµα να είναι µη ελέγξιµο ή µη παρατηρήσιµο. Λύση. Οι εξισώσεις έχουν τη µορφή όπου Θα είναι Ex=A x+bu η -η -3η.94 E= A = Β = a 4.5 a-δ - 4.75 - - 4.5 -η -η -3η 4.5 -η.94 x=e Ax+E Bu= x+ u= 4.5-aη -a a-δ - 4.5-aη -a 4.75 4.5-8.5η-ηa+ηδ -.75η 3.995-4.75η = x+ 4.5-aη ηa-δ 3aη- 4.5-aη 4.75-.94a u= y=cx= [ ] x. Η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι - - - - - - - - G(s)=C[sI-A] B=C[sE E-E A ] E B = C[sE-A ] EE B = C[sE-A ] B οπότε 8

s-+η ηs+3η.94 G(s)= [ ] as-a+δ 4.5s+ 4.75 = { } [ ].94 = 4.5s+ -ηs-3η (s-+η)(4.5s+)-(ηs+3η)(as-a+δ) = 4.75 (3.995-4.75η)s+(.8-4.5η) = {(4.5-aη)s +(7.75-ηa+8.5η-δη)s+(-+4η-3ηδ+3ηa) } 3. Το σύστηµα θα είναι µη ελέγξιµο ή µη παρατηρήσιµο εάν υπάρχει κοινός παράγοντας µεταξύ των πολυωνύµων του αριθµητή και του παρονοµαστή της G(s). Καθώς ο αριθµητής είναι πολυώνυµο πρώτου βαθµού, η ρίζα του (.8-4.5η) s = (3.995-4.75η) πρέπει να είναι και ρίζα του παρονοµαστή. Συνεπώς η ζητούµενη σχέση είναι.8-4.5η.8-4.5η (4.5-aη) + (7.75-ηa+8.5η-δη) + (-+4η-3ηδ+3ηa)= 3.995+4.75η 3.995+4.75η 9