ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig( [ 5 ]) eig( ) eig( [ ]). Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της 4 5 χαρακτηριστικής εξίσωσης όπως προκύπτει από την τελευταία γραμμή του ή 3 root( + 5 + 4+ ) + + 4,, 4. Οπότε οι 5 (πέντε) ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι { 5} {,, 4} { }. ( )( ) { }. [ β] Βρείτε τις συναρτήσεις μεταφοράς Gi ( ), i,, 3 έτσι ώστεy() Gi() Ui() Επειδή ( ) G () C I A B, όπου B i είναι η i -οστή στήλη του πίνακα B : α) η πρώτη είσοδος έχει G () i i επειδή B [ ] T, β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και G() [ ] I. Επειδή η όλη αναπαράσταση είναι σε controller canonical form, η 4 5 3 + + ( + ) 3 συνάρτηση μεταφοράς εξάγεται άμεσα ως G() 3 3, γ) η τρίτη 3 + 5 + 4+ + + 4 + 4 3 i ( )( ) είσοδος επηρεάζει μόνο τον κάτω δεξιά πίνακα G3( ) [] ( I [ ] ) [ ] + u k.3 [ β] Υπολογίστε νόμο ελέγχου u u k k3 k4 x + r έτσι ώστε οι ελέγξιμοι πόλοι του u3 k5 συστήματος να είναι στις θέσεις -, -3, -4, και -. Επειδή η πρώτη είσοδος υπεισέρχεται μέσω του πίνακα μηδενικού διανύσματος B, δεν επηρεάζει τις ιδιοτιμές του πίνακα A. Θέτω k για να μην επηρεαστεί και από τις άλλες εισόδους λόγω του όρου k. Η τρίτη είσοδος επηρεάζει μόνο τον πόλο που ανήκει στον κάτω δεξιά πίνακα, ο οποίος από την συνάρτηση μεταφοράς είναι στο -. Αν επιλέξω να παραμείνει ό ίδιος πόλος για αυτό το τμήμα, τότε δεν χρειάζεται να τον μετακινήσω και k 5. Η δεύτερη είσοδος θα πρέπει να μετακινήσει τους 3 πόλους της G () -συνάρτησης μεταφοράς έτσι ώστε να d 3 δημιουργηθεί ένα νέο χαρακτηριστικό πολυώνυμο D ( ) ( + )( + 3)( + 4) + 8 + 9+. Επειδή Σελίδα επί συνόλου 6
3 ( ) ( 4 3 ) d D () + 5 + 4+ 3k + k+ k, τότε [ k k3 k 4] [ ( + ) ( 9 + 4) ( 8 + 5) ] [ 4 5 ]. 3 Τονίζεται ότι αυτός δεν είναι ο μοναδικός συνδυασμός (υπάρχουν 4 συνδυασμοί) κερδών αφού μπορεί να επιλεγεί για τον κάτω δεξιά πίνακα αντί του πόλου στο -, οποιοσδήποτε άλλος από τους -,-3 και -4. Y().4 [ β] Υπολογίστε την συνάρτηση μεταφοράς () R () G. 3 3( + ) 4 + 7 + 5+ Με βάση τα προαναφερθέντα G () + 3 ( + 8 + 9+ ) + ( + )( + )( + 3)( + 4).5 [ β] Έστω rt () Hrt () όπου rt () μία βηματική είσοδος. Να υπολογιστεί το κέρδος Η έτσι ώστε lim yt ( ). Επειδή lim y( t) lim Y ( ) lim R( ) HG( ) lim HG( ) H. Οπότε H t 4.6 [ β] Έστω ότι εφαρμόζεται ο νόμος ελέγχου από το ερώτημα.3, αλλά u u3, δηλαδή u u u k k3 k4 x + r και υποθέστε την αλλαγή του στοιχείου (4,) του πίνακα Α από σε u 3 --γ. Δείξτε τους πόλους του κλειστού συστήματος καθώς το γ μεταβάλλεται. Ποια είναι τα όρια του γ για τα οποία το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές; 3( + ) Το ονομαστικό κλειστό σύστημα σε αυτή την περίπτωση έχει G (). Η διαφορά έγκειται στο 3 ( + 8 + 9+ ) ότι αν αλλαχθεί το (4,) στοιχείο από σε -γ, τότε η συνάρτηση μεταφοράς θα αλλάξει σε 3 γ γ + 8 + 9+ + γ ή + ή + Οι πόλοι του κλειστού 3 + 8 + 9+ ( + )( + 3)( + 4) συστήματος καθώς το γ μεταβάλλεται προκύπτει από τον Γεωμετρικό τόπο των ριζών για το σύστημα, όπως φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα για γ ( + )( + 3)( + 4) t. Είτε από τον ΓΤΡ, είτε από το κριτήριο Routh μπορούν να υπολογιστούν τα όρια για το γ. Για το συγκεκριμένο σύστημα το κριτήριο Routh έχει τον ακόλουθο πίνακα Σελίδα επί συνόλου 6
3 9 8 + γ ( + γ ) 8 9, όπου προκύπτει ότι για να έχουμε ευστάθεια γ 4. 8 + γ Όμοια και εδώ τονίζεται ότι ανάλογα με το ποιοι πόλοι επελέγησαν για τον 3 3 πίνακα τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά. Σελίδα 3 επί συνόλου 6
ο ΘΕΜΑ [. βαθμοί] x x + u Ax + Bu. [ β] Έστω συνεχές σύστημα και x(). 4 5 y x [ ] Υπολογίστε την έκφραση της εξόδου του συστήματος y(t) για οποιαδήποτε είσοδο ut (). t yt () e u( t) dt. Για τον υπολογισμό του πίνακα λ λ παρατηρούμε ότι A M λ M λ λ λ 3 λ M λ3 λ λ λ3 λ3 At ( t ) Η έξοδος του συστήματος είναι [ ] t e.5.5 At t οι ιδιοτιμές του πίνακα A. Ο πίνακας e 4 e.33.33 4t 6 e.83.83. [ β.] Αν η είσοδος είναι βηματική, υπολογίστε lim yt ( ) + lim y( t) lim Y ( ) lim R( ) G( ) lim G( ) lim t 3 + 5 + 4 4 t At e, όπου [ λ, λ, λ 3] [,, 4] Σελίδα 4 επί συνόλου 6
3 ο ΘΕΜΑ [3. βαθμοί] 3. [ β.] Αναγνωρίστε την συνάρτηση μεταφοράς G () με το ακόλουθο Bode -διάγραμμα Η ονομαστική συνάρτηση μεταφοράς είναι προκύπτει από το lim G ( ) G () K 5 5 5 5 ( + + i)( + i)( + + i)( + i), όπου το K. Σε κάθε προσέγγιση θα πρέπει να προκύψουν τουλάχιστον 4 πόλοι πιο πολλοί από μηδενικά καθώς η φάση της lim G( jω) 4 ( 9 ). Οι μιγαδικοί πόλοι προκύπτουν από την υπερύψωση του μέτρου στις ω συγκεκριμένες συχνότητες που είναι εφάμιλλη με αυτή ενός συστήματος δευτέρας τάξης. Μπορούν να υπάρξουν πολλές προσεγγίσεις στο όλο θέμα. Ακόμα και αν δεν υπολογιστούν μιγαδικές τιμές για πόλους αλλά πραγματικά μηδενικά και πόλοι στην περιοχή του rad/ec και rad/ec πάλι είναι αποδεκτή η λύση. 5/ 3. [β] Έστω ότι η G () αλλάζει σε kg( ), k [, ]. Υπολογίστε προσεγγιστικά τα περιθώρια κέρδους και φάσης για διαφορετικές τιμές του k. Για k το περιθώριο κέρδους είναι rad ω..6 db 4.4 ec Για.db ω 8 5/ k το περιθώριο κέρδους είναι ( ) ω 8 rad 7 ωdb ec. rad.5 ec. 5 db.5 rad ec και το περιθώριο φάσης είναι και το περιθώριο φάσης είναι + r y - 3.3 [ β.] Να σχεδιαστεί ελεγκτής C() έτσι ώστε ταυτόχρονα: ) το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για μία βηματική είσοδο να είναι όσο πιο μικρό γίνεται, και ) να αυξηθεί το περιθώριο φάσης κατά τουλάχιστο. Σελίδα 5 επί συνόλου 6
Ένας απλός ολοκληρωτής C () κάνει το σφάλμα μόνιμης κατάστασης σε βηματική είσοδο. Παράλληλα δε αλλάζει το rad περιθώριο φάσης σε 88.6 ωdb. ec. Οποιαδήποτε λύση με ένα lag-ελεγκτή για τις χαμηλές συχνότητες και ένα lead-ελεγκτή για να αυξήσει το περιθώριο φάσης κατά τουλάχιστο είναι επίσης αποδεκτή. Σελίδα 6 επί συνόλου 6