LANUL 37 4. LANUL 4.1 Repreentre plnului. Relţi punt reptă pln Un pln orere [] este eterint în spţiu e trei punte neolinire, e o reptă şi un punt eterior ei, e ouă repte prlele su onurente. Şi în epură un pln se repreintă prin proieţiile eleentelor geoetrie re îl eterină. Astfel, în figurile urătore plnele sunt efinite upă u ureă: - prin trei punte neolinire, A(, ), B(, ) şi C(, ) plnul [] fig.4.1; - print-o reptă AB(, ) şi un punt eterior ei C(, ) plnul [Q] fig.4.2; - prin ouă repte prlele AB(, ) şi MN(n, n ) plnul [R] fig.4.3; - prin ouă repte onurente AB(, ) şi MN(n, n ) u puntul e onurenţă în I(i,i ) plnul [T] fig.4.4; Repreentre plnelor prin ourile preentte i sus nu este estul e sugestivă, iă nu rtă u sufiientă lritte poiţi plnului fţă e plnele e proieţie. entru înlătur estă proleă, în Geoetri esriptivă, în o frevent un pln orere [] este repreentt prin urele sle. Urele plnului repreintă reptele e interseţie intre plnul orere [] şi plnele e proieţie. Aeste sunt : ur oriontlă, ur vertilă şi ur lterlă (fig.4.5, ). Urele sunt repte onţinute în plnele e proieţie şi nue ur oriontlă,, este o oriontlă e otă ero, ur vertilă,, este o frontlă e epărtre ero şi ur lterlă,, ' ' ' M ' B ' A [L] " [] ) ) Fig.4.1 Repreentre plnului eterint prin trei punte neolinire: ) în spţiu ; ) în epură Q' ' ' ' B ' M A [L] Q" [Q] Q ) ) Fig.4.2 Repreentre plnului eterint e o reptă şi un punt eterior: ) în spţiu ; ) în epură R' ' ' M ' n' n' N B ' [L] A R" n n R [R] ) ) Fig.4.3 Repreentre plnului eterint prin ouă repte prlele: ) în spţiu ; ) în epură
38 GEMETRIE DESCRITIVĂ T ' ' i' A ' M I i T n' B N [L] T " n [T] ' ' ) ) i' i o reptă e profil e sisă ero. Cele trei ure sunt onurente ouă âte ouă în puntele,, şi situte pe e, punte re repreintă interseţi intre plnul [] şi este e. Epur plnului [] (fig.4.5, ) se oţine prin rotire plnelor şi [L] peste plnul, până l suprpunere lor. În generl, urele oriontlă şi vertilă sunt sufiiente pentru reolvre proleelor, ur lterlă folosinu-se tuni ân prin proieţi pe plnul lterl se oţine o siplifire reolvării. Cunosân ur oriontlă şi vertilă unui pln, pentru oţinere urei lterle,, se roteşte puntul în jurul originii, în sens trigonoetri până se situeă pe 1, în 1, ir poi est punt se uneşte u puntul : 1 =. Treuie făută preire ă plnul in figur 4.5 este repreentt prin urele in ierul I şi ă este fiin repte, sunt infinite şi pot fi prelungite inolo e puntele e interseţie u ele. reptă este sitută într-un pln ă tote puntele reptei prţin plnului, su i siplu, ă re el puţin ouă punte onţinute în el pln. Ştiin ă o reptă, D, interseteă plnele e proieţie upă urele sle H(h,h,h ) şi V(v,v,v ) şi onsierân estă reptă inlusă într-un pln [], însenă ă urele reptei vor fi situte pe urele plnului. Astfel, în epură pute onsier ouă punte le reptei onţinute în pln hir urele oriontlă şi vertilă le reptei (fig.4.6, ). n' n Fig.4.4 Repreentre plnului eterint prin repte onurente: ) în spţiu ; ) în epură ' [] [L] " ) ) ' " Fig.4.5 Repreentre urelor plnului: ) în spţiu ; ) în epură L=l" V=v' ' ' ' M [] D H=h " [L] " " 1 1 ) ) l' l" v' v" ' ' " ' l " v " h' h" h 1 1 Fig.4.6 Relţi punt reptă pln, M D, D [] M []
LANUL 39 servţie : Coniţi neesră şi sufiientă o reptă să prţină unui pln este urele reptei să fie situte pe urele e elşi nue le plnului. În figur 4.6, rept D(,, ) prţine plnului [], eoree re proieţi oriontlă urei oriontle, h, pe ur oriontlă,, plnului, proieţi vertilă urei vertile, v, pe ur vertilă,, plnului şi proieţi lterlă urei lterle, l, pe ur lterlă,, plnului. entru se pute lu un punt într-un pln, treuie să se sigure fptul ă puntul se găseşte pe o reptă in pln. servţie : În epură, oniţi neesră şi sufiientă un punt să prţină unui pln, este puntul să fie situt pe o reptă in pln. În figur 4.6 puntul M(,, ) prţine plnului [], eoree este situt pe rept D(,, ) in pln, îneplinin oniţi e prtenenţă puntului l reptă, şi nue :,,. În prolee, se întâlneşte frevent erinţ e se lu o reptă într-un pln t fie prin ure, fie prin eleentele geoetrie e efinire estui. Dă plnul este t prin ure se proeeă stfel (fig.4.6): - se lege o proieţie reptei, fie est proieţi vertilă, ; - se eterină urele reptei h = şi v = ; - se u linii e orine in h până pe şi se eterină h şi in v până pe şi se eterină v ; - se eterină proieţi oriontlă reptei = h v. Dă plnul este t prin ouă repte prlele (fig.4.7, ) su onurente (fig.4.7, ), se eterină puntele e interseţie intre rept ăuttă şi reptele e efinire plnului, stfel: - se trseă un intre proieţiile reptei; fie proieţi vertilă ( ) şi se eterină proieţiile vertile le puntelor e interseţie u reptele prin re este t plnul: = n, e = ; ( = f, = g ); - se u linii e orine in n (f ) până pe şi in (g ) până pe e (), reultân proieţiile oriontle n (f) şi (g) le puntelor e interseţie; - se eterină proieţi oriontlă reptei, = n; ( = f g). 4.2 Deterinre urelor unui pln Dă se unos eleentele re eterină un pln se pot fl urele plnului, respetân oniţi e prtenenţă reptei l pln. Tote ele ptru uri e eterinre plnului preentte nterior, se reu l ouă uri e eterinre urelor unui pln, şi nue: pln eterint e ouă repte prlele şi pln eterint e ouă repte onurente. Într-evăr, ân plnul este t prin trei punte istinte su o reptă şi un punt eterior ei, in este eleente se pot efini ouă repte prlele su ouă repte onurente. entru eterinre urelor unui pln se pliă rţionentul invers, pleân e l oniţi e prtenenţă reptelor l pln, şi nue urele unui pln tre prin urele e ' ' e' e ) n' ' n ' g' g ' f' f ) Fig.4.7 Dreptă onţinută în pln : ) D(, ) [AB, CE], AB CE ; ) (, ) [AB, CB], AB CB = B
40 GEMETRIE DESCRITIVĂ elşi nue le reptelor re îl eterină. Astfel, se eterină urele ouă repte re prţin plnului şi se unes proieţiile e elşi nue oţinân urele plnului. Fie plnul [] efinit e ouă repte prlele D 1 ( 1, 1 ) şi D 2 ( 2, 2 ) (fig.4.8). entru eterinre urelor plnului se găses urele oriontle H 1 (h 1, h 1 ) şi H 2 (h 2, h 2 ) şi urele vertile V 1 (v 1,v 1 ) şi V 2 (v 2,v 2 ) le reptelor şi se unes proieţiile oriontle le urelor oriontle şi proieţiile vertile le urelor vertile : h 1 h 2 =, v 1 v 2 =. Dă repreentre este oretă, urele şi sunt onurente în pe. Construţi in figur 4.8 pote fi folosită şi ă plnul [] r fi t prin trei punte neolinire A, B, C su printr-o reptă AB şi un punt eterior ei C. v' 1 v' ' 2 ' ' ' v' 2 1 ' ' ' 2 1 ' 1 h' 2 h' 1 v 2 v 1 h' 2 h' 1 v1 h 2 1 h 2 1 h 1 2 2 v' 2 h 1 v 2 Fig.4.8 Urele plnului eterint e ouă repte prlele Fig.4.9 Urele plnului eterint e ouă repte onurente Urele unui pln [] re onţine reptele D(, ) şi D 1 ( 1, 1 ), onurente în puntul M(, ), se oţin în o siilr, upă eterinre urelor oriontle şi vertile le elor ouă repte : = h h 1, = v v 1 şi =, (fig.4.9). 4.3 Drepte prtiulre le plnului Într-un pln orere pe lângă reptele re oupă o poiţie orere, eistă şi repte re u o poiţi prtiulră fţă e plnele e proieţie. Aeste repte sunt : oriontlele, frontlele, reptele e profil şi liniile e e i re pntă le plnului. ' ' " " V=v' ' v"=l' " v' ' " l" [] 1 D L=l" v"=l' v v [L] 1 l l ) ) Fig.4.10 Repreentre oriontlei plnului: ) în spţiu ; ) în epură 4.3.1 riontl plnului riontl plnului [] este o reptă, D(,, ), onţinută într-un pln orere [] şi prlelă u plnul e proieţie (fig.4.10, ). Tote oriontlele unui pln sunt prlele între ele, ei u proieţiile prlele în epură. Deoree, ur oriontlă,, plnului este şi e o oriontlă uprinsă în plnul, reultă ă oriontl D re în epură proieţi oriontlă prlelă u ur plnului, (fig.4.10, ).
LANUL 41 Se pote ue oriontl unui pln şi ân est nu este t prin ure. De eeplu, se ere să se uă prin puntul A(, ) o oriontlă plnului triunghiului [ABC] (fig.4.11). entru est prin proieţi vertilă se ue proieţi vertilă g oriontlei, prlelă u. Se eterină puntul e interseţie intre est şi proieţi vertilă,, şi uân linie e orine, proieţi orespunătore,, pe proieţi oriontlă lturii BC. Se unes proieţiile oriontle şi şi se eterină proieţi oriontlă g oriontlei, g =. 4.3.2 Frontl plnului g' g ' ' Fig.4.11 riontl plnului eterint e ABC Frontl plnului este o reptă D(, ) prlelă u plnul vertil e proieţie şi onţinută în plnul [] (fig.4.12, ). Tote frontlele unui pln sunt prlele între ele, ei u proieţiile prlele în epură. Ur vertilă frontlei plnului [] este prlelă u ur vertilă plnului (re este şi e o frontlă uprinsă în plnul e proieţie) şi tree prin h e pe. Frontl plnului re ur oriontlă H(h,h ) sitută pe ur oriontlă plnului []. roieţi oriontlă frontlei tree prin h şi este prlelă u (fig.4.12, ). ' l' [] " l' l" ' L=l" " ' " ' D " 1 h' h' h" [L] 1 H=h l=h" h l ) ) Fig.4.12 Repreentre frontlei plnului: ) în spţiu ; ) în epură f' ' i' i f Fig.4.13 Frontl plnului eterint e ABC entru onstrui o frontlă într-un pln eterint prin trei punte neolinire A(, ), B(, ) şi C(, ), plnul triunghiului ABC, se ue proieţi oriontlă f frontlei, printr-unul in punte, C spre eeplu. Se eterină puntul i, e interseţie u ltur, l oile punt l frontlei (fig.4.13). rin i se ue lini e orine re eterină proieţi i puntului, pe proieţi vertilă. Se uneşte u i şi se eterină proieţi vertilă frontlei, f =. Astfel, frontl F(f,f ) plnului [ABC(, )] este eterintă în ele proieţii.
42 GEMETRIE DESCRITIVĂ 4.3.3 Drept e profil plnului Drept e profil plnului este o reptă D(,, ) prlelă u plnul lterl e proieţie şi sitută în plnul [] (fig.4.14, ). V=v' v" v' v" " " ' [] ' " ' ' D " 1 h'=v h'=v [L] h" 1 h" H=h h ) ) Fig.4.14 Repreentre reptei e profil plnului: ) în spţiu ; ) în epură 4.3.4 Liniile e e i re pntă le unui pln În epură, rept e profil plnului [] re proieţi lterlă prlelă u ur lterlă plnului,, eoree tote reptele e profil le unui pln sunt prlele între ele (fig. 4.14, ). Drept e profil re nui ură oriontlă H(h,h,h ) şi ură vertilă V(v,v,v ), u proieţiile h sitută pe şi v sitută pe. rin este ure tre proieţiile oriontlă şi vertilă le reptei e profil, perpeniulre pe şi suprpuse. Liniile e e i re pntă le unui pln orere sunt reptele onţinute în el pln şi re foreă unghiurile ele i ri u plnele e proieţie. Dei, într-un pln pot eist trei repte e e i re pntă : fţă e plnul oriontl e proieţie, fţă e plnul vertil e proieţie şi fţă e plnul lterl e proieţie. Aeste se vor not în ontinure, presurtt, l...p. ) L...p. fţă e plnul este o reptă onţinută în plnul [] şi perpeniulră pe tote oriontlele plnului, ei ipliit şi pe ur oriontlă plnului (fig.4.15). În epură, rept D(, ) onsiertă l...p. fţă e plnul, re proieţi oriontlă perpeniulră pe proieţi oriontlă oriărei oriontle G(g,g ) plnului [], onfor teoreei unghiului rept. roprietăţi le l...p. fţă e plnul : 1) l...p. fţă e plnul ăsoră între e şi proieţi ei pe plnul oriontl unghiul ieru intre plnul orere [] şi plnul. Aeste plne foreă între ele ' v' v' v 1 ' g' v ' " 1 ' g' G ' ' D v h' v 1 h' v [L] g v 0 ' h g v 0 ' h ) ) Fig.4.15 Repreentre l...p. fţă e plnul : ) în spţiu ; ) în epură unghiul ieru, ărui uhie este ur oriontlă plnului []. Mărie estui unghi se ăsoră u unghiul pln fort între ouă repte perpeniulre pe ur, âte un în fiere in ele ouă plne [] şi. Aeste sunt l...p. fţă e plnul, D şi proieţi ei pe plnul,, onurente în h, pe ur oriontlă. În figur 4.15, se oservă ă unghiul fe prte in triunghiul reptunghi hvv,
LANUL 43 le ărui tete sunt ot vv şi proieţi oriontlă hv. În epură (fig.4.15, ), se pote onstrui est triunghi rotin ot vv până evine perpeniulră pe hv, oţinân puntul v 0. Unin v 0 u h se oţine triunghiul reptunghi în v u = vhv 0 '. 2) l...p. fţă e plnul eterină singură plnul în re se găseşte (singurul ân un pln pote fi eterint e o singură reptă). În figur 4.16 se onsieră tă rept D(, ), fiin l...p. fţă e plnul plnului [] şi se ere să se eterine urele estui pln. Cunosân ă v' ' proieţi oriontlă reptei treuie să fie ' perpeniulră pe ur oriontlă plnului re o onţine, se eterină urele reptei şi se ue prin ur h ur plnului stfel înât,. L interseţi u se găseşte. Ur vertilă plnului tree prin şi prin v, = v. L...p. fţă e plnul pote fi trstă şi ă plnul este t în lt fel eât prin ure. În figur 4.17 plnul este eterint e trei punte neolinire A(,, ), B(,, ) şi C(,, ) şi se ere trsre unei l...p. plnului [ABC] fţă e plnul, (,, ). entru est este neesră o oriontlă plnului şi pentru uşur onstruţi, est se ue printr-un punt e efinire plnului, puntul A. rin se ue o prlelă l, g, proieţi vertilă oriontlei, re interseteă o reptă plnului,, în, l oile punt l oriontlei. roieţi oriontlă oriontlei, g, v fi tă e. erpeniulr usă in (su in lt punt l plnului [ABC]) pe,, este proieţi oriontlă l...p. fţă e plnul. Celltă proieţie ei se găseşte ţinân se ă prţine plnului, ei este onurentă u rept AC în puntul N(n,n ), = n, = n. ) L...p. fţă e plnul este o reptă plnului [] re este perpeniulră pe tote frontlele plnului, ei şi pe ur vertilă. Fie D(, ) l...p. plnului [] fţă e plnul (fig.4.18). roieţi este perpeniulră pe proieţi f unei frontle in plnul [], ât şi pe ur plnului. Şi pentru l...p. fţă e plnul se pot nli proprietăţi siilre u ele le l...p. fţă e plnul. Astfel, l...p. fţă e plnul ăsoră între e şi proieţi ei pe plnul unghiul ieru intre plnele [] şi. Unghiul este în spţiu unghi l triunghiului v' ' ' f' h 1 ' v h' h 1 f F D h 0 [L] " h' h v Fig.4.16 ln eterint prin l...p. fţă e plnul g' g ' ' n' ' n Fig.4.17 L...p. plnului [ABC] fţă e plnul h ) ) ' h 1 ' h 1 ' v' f' v f h h' Fig.4.18 Repreentre l...p. fţă e plnul : ) în spţiu ; ) în epură h 0
44 GEMETRIE DESCRITIVĂ reptunghi v h h (fig.4.18, ). entru eterinre lui în epură se onstruieşte est triunghi pornin e l tet v h şi rotin elltă tetă h h până evine perpeniulră pe v h, oţinân puntul h 0. Unghiul ăutt este = h v h 0. C şi în ul nterior şi l...p. fţă e plnul eterină singură plnul (se fe un rţionent siilr). 4.4 oiţiile prtiulre le unui pln fţă e plnele e proieţie lnul re oupă în spţiu o nuită poiţie fţă e plnele e proieţie se nueşte pln prtiulr. lnele prtiulre pot ve urătorele poiţii : - plne perpeniulre pe unul in plnele e proieţie; - plne prlele u unul in plnele e proieţie. 4.4.1 lne perpeniulre pe unul in plnele e proieţie lnul perpeniulr pe unul in plnele e proieţie portă nuele e pln proietnt fţă e plnul pe re este perpeniulr. lnul proietnt interseteă tote ele trei plne e proieţie, ei re trei ure şi tie ouă e e proieţie, u trei fiin prlel. ) ln proietnt fţă e plnul oriontl e proieţie (pln vertil) lnul proietnt fţă e plnul oriontl e proieţie este nuit şi pln vertil. ' " " ' " ' [L] ' A " B " " 1 [] 1 " C " ) ) Fig.4.19 Repreentre plnului proietnt fţă e plnul : ) în spţiu ; ) în epură ' ' n n' Fig.4.20 ln vertil, eterint e ouă repte prlele Ur oriontlă estui pln este o reptă orere în plnul. Urele vertilă şi lterlă sunt repte perpeniulre pe plnul, în şi respetiv, vân în veere ă plnele [], şi [L] sunt perpeniulre pe plnul, ei şi reptele lor e interseţie sunt perpeniulre pe elşi pln (fig.4.19). În epură şi 1. Unghiurile pe re le foreă plnul [] u plnul,, şi u plnul [L],, se regăses în epură între ur oriontlă şi,, şi respetiv între ur oriontlă şi,. rie punt, reptă su figură geoetriă onţinută într-un pln vertil se proieteă pe plnul oriontl, pe o reptă, suprpusă u ur oriontlă plnului. Triunghiul ABC in plnul vertil [] re proieţi oriontlă şi proieţiile vertilă şi lterlă eforte fţă e ărie relă (fig.4.19). În prolee, plnul proietnt vertil se efineşte prin vlorile te pentru istnţele pe ele şi ( şi ), fiin prlel u, =.
LANUL 45 Un pln t prin eleentele re îl eterină, pote fi ientifit pln vertil, ă în proieţi oriontlă ele eleente se suprpun. În figur 4.20 plnul [] este efinit e ouă repte prlele, AB MN, le ăror proieţii oriontle se suprpun, fiin ientie u ur oriontlă plnului n. Despre est pln se pote spune ă este perpeniulr pe plnul oriontl e proieţie. ) ln proietnt fţă e plnul vertil e proieţie (pln e păt) lnul perpeniulr pe plnul vertil e proieţie este nuit pln e păt (fig.4.21). Aest re ur oriontlă perpeniulră pe în, ur lterlă perpeniulră pe în şi ur vertilă înlintă fţă e ele şi. Unghiurile pe re le fe ur u, şi u,, sunt unghiurile pe re le fe plnul e păt [] u plnul, şi respetiv u plnul [L],. rie eleent geoetri onţinut e plnul e păt [] re proieţi vertilă suprpusă peste ur vertilă plnului. În figur 4.21 plnul [] onţine triunghiul ABC, u proieţi vertilă. Triunghiul, în nslu, se proieteă efort pe tote plnele e proieţie. În prolee, plnul e păt se efineşte prin vlorile te pentru istnţele pe ele şi ( şi ), fiin prlel u, =. Cân plnul e păt este t în lt o eât prin ure, poiţi lui pote fi ieit eusă ă se stuiă proieţiile vertile le eleentelor re efines plnul. Astfel, în figur 4.22 reptele prlele AB(, ) şi MN(n, n ) eterină un pln proietnt fţă e plnul, eoree proieţiile lor vertile sunt suprpuse. Ele eterină ur vertilă plnului. ) ln proietnt fţă e plnul lterl e proieţie În ul plnului perpeniulr pe plnul lterl se întâlnes ouă situţii : 1 pln prlel u lini e păânt este un pln [] perpeniulr pe plnul [L] e proieţie re re ur oriontlă şi ' ' [] " C " ' ' " B [L] A " ) ) ' [] B " Fig.4.21 Repreentre plnului e păt : ) în spţiu ; ) în epură ' " ' n' n " " 1 Fig.4.22 ln e păt, eterint e ouă repte prlele ' " " ' C " " ' " " A [L] " " ) ) Fig.4.23 Repreentre plnului prlel u lini e păânt : ) în spţiu ; ) în epură 1
46 GEMETRIE DESCRITIVĂ vertilă prlele u şi ur lterlă înlintă fţă e ele u unghiul şi fţă e 1 u unghiul, unghiuri e repreintă unghiurile pe re le fe plnul [] u plnul,, respetiv u plnul,. (fig.4.23). Tote eleentele geoetrie e prţin unui pln prlel u lini e păânt se proieteă pe plnul lterl suprpuse pe ur lterlă plnului. Triunghiul ABC prţine plnului [] şi re proieţi oriontlă şi vertilă eforte, ir proieţi lterlă suprpusă pe ur lterlă plnului, (fig.4.23). Cân plnul este t prin trei punte neolinire în figur 4.24, se pote spune ă est este un pln prlel u lini e păânt, eoree proieţiile lterle le elor trei punte sunt în linie reptă (olinire) şi ele eterină hir ur lterlă plnului pe re îl efines (fig.4.24). În prolee, plnul prlel u lini e păânt se efineşte prin vlorile te pentru istnţele pe ele şi ( şi ), fiin prlel u, =. 2 pln il : tot pln proietnt fţă e plnul [L] este şi plnul re tree prin şi portă nuele e pln il. ' ' =' B " " " " 1 Fig.4.24 ln prlel u lini e păânt, eterint e trei punte neolinire ' " " [] " A C " =' " " " " 1 [L] ) ) lnul il [] re ur oriontlă şi vertilă suprpuse şi ientie u şi ur lterlă înlintă fţă e ele şi şi tree prin origine (fig.4.25). lnul [] este înlint fţă e plnul u unghiul şi fţă e plnul u unghiul, unghiuri re se regăses în epură între ur lterlă plnului şi 1, respetiv Fig.4.25 Repreentre plnului il []:. Dă =, ) în spţiu ; ) în epură plnul il este pln isetor. Dă plnul il este t în epură prin ur oriontlă şi vertilă, plnul nu este eterint, eoree prin pot tree o infinitte e plne, tote vân urele oriontle şi vertile pe lini e păânt. entru fi eterint unul intre ele, treuie să se i e, pe lângă ele ouă ure ientie, el puţin înă un eleent, u r fi un punt in el pln. 4.4.2 lne prlele u un pln e proieţie lnele prlele u un pln e proieţie sunt perpeniulre pe elellte ouă plne e proieţie, ei se pote spune ă sunt proietnte fţă e este (ulu proietnte). Aeste plne u nui ouă ure şi interseteă o singură ă e proieţie, perpeniulră pe ele.
LANUL 47 ) ln e nivel lnul e nivel [N] este un pln prlel u plnul oriontl e proieţie. Ur oriontlă plnului este l infinit, ir ur vertilă N şi lterlă N sunt prlele u, respetiv (fig.4.26, ). În epură, plnul este repreentt prin ur vertilă N şi lterlă N, în prelungire, prlele u, re tre prin puntul e interseţie u, N (fig.4.26, ). Avân în veere ă plnul e nivel este prlel u plnul, orie figură geoetriă se proieteă pe plnul oriontl în evărtă ărie, ir pe plnul vertil şi lterl, suprpusă peste ur vertilă, respetiv lterlă plnului. Triunghiul ABC, onţinut în plnul [N] este proiett în evărtă ărie în proieţi oriontlă ABC şi re proieţi vertilă N şi proieţi lterlă N. Un pln e nivel este eterint ă se unoşte ot oriărui punt in est pln, fiin stfel efinit : N =, N =, N =. ) ln e front lnul e front [F] este prlel u plnul vertil e proieţie (fig.4.27, ). Ur oriontlă F plnului este prlelă u lini e păânt, ur vertilă F este l infinit, ir ur lterlă F este prlelă u. lnul e front tie nui, în puntul F. În epură, urele plnului tre prin F şi respetiv F 1. ' " " " N' ' N N' N N" B " "" A N" [N] C [L] ) ) ' Fig.4.26 Repreentre plnului e nivel [N]: ) în spţiu ; ) în epură F" " " B " [L] C " ' " F" F 1 1 A " [F] F F F F ) ) Fig.4.27 Repreentre plnului front [F] : ) în spţiu ; ) în epură rie figură geoetriă onţinută într-un pln e front se proieteă în evărtă ărie pe plnul vertil, ir pe plnul oriontl şi lterl respetivele ure le plnului. În figur 4.27,, triunghiul ABC re proieţi vertilă în ărie relă, ABC şi proieţiile oriontlă şi lterlă suprpuse pe urele plnului : F, F. lnul e front este efinit ân se unoşte epărtre oriărui punt e prţine plnului, fiin efinit stfel : F =, F =, F =. ) ln e profil lnul e profil [] este prlel u plnul lterl e proieţie (fig.4.28). 1
48 GEMETRIE DESCRITIVĂ Aest pln tie nui lini e păânt, în, punt prin re tree şi re ur oriontlă, şi vertilă, perpeniulre pe şi în prelungire. Ur lterlă plnului e profil este l infinit. ' ' A [] B C " entru onstruţi unei figuri geoetrie e prţine unui pln e profil se lureă şi pe plnul lterl, eoree în estă proieţie figur pre neefortă. În figur 4.28 triunghiul in plnul e profil [] se proieteă pe plnul oriontl şi vertil e proieţie suprpus peste urele plnului : şi, ir pe plnul lterl se proieteă în evărtă ărie, ABC, fiin prlel u est pln. Un pln e profil este eterint ân se unoşte sis unui punt l plnului, fiin t în prolee, stfel : =, =, =. 4.5 rolee reolvte ' ' [L] " " ) ) Fig.4.28 Repreentre plnului e profil [] : ) în spţiu ; ) în epură 1. Să se eterine urele plnului [], efinit e trei punte neolinire : A(13,4,22), B(22,8,12), C(37,4,8). Reolvre : Se repreintă în epură puntele A(, ), B(, ) şi C(, ). Reolvre erinţei proleei se pote fe pliân ele ouă ouri e eterinre urelor unui pln, preentte în linitul 4.2, upă u ureă : ) folosin ouă repte prlele : u jutorul puntelor A şi B se trseă rept D 1 ( 1, 1 ), ir prin puntul C se ue rept D 2 ( 2, 2 ) prlelă u rept D 1, 2 1, " " " 1 v' 2 ' ' v' 1 ' v' 1 ' h 2 h' 2 h' 1 2 ' 1 ' 2 v 1 h 1 v 2 1 ' 1 ' 2 h' 2 h' 1 v 1 h 2 1 2 h 1 ) ) Fig.4.29 Reolvre proleei 1
LANUL 49 2 1. Se eterină urele oriontle H 1 (h 1, h 1 ), H 2 (h 2, h 2 ) şi urele vertile V 1 (v 1,v 1 ), V 2 (v 2,v 2 ) le reptelor şi se unes proieţiile e elşi nue le lor, iniferent în e orine : h 1 h 2 =, v 1 v 2 = (fig.4.29, ). ) folosin ouă repte onurente : u jutorul puntelor A şi B se trseă rept 1 (δ 1,δ 1 ), ir prin puntul C se ue rept Δ 2 (δ 2,δ 2 ) onurentă u rept Δ 1 în puntul A, δ 2 δ 1 =, δ 2 δ 1 =. entru repte se eterină urele oriontle H 1 (h 1, h 1 ), H 2 (h 2, h 2 ) şi ur vertilă V 1 (v 1,v 1 ). Drept Δ 2 fiin reptă frontlă nu re ură vertilă. Trsre urelor plnului înepe u ur oriontlă, h 1 h 2 =, re l interseţi u eterină puntul. Ur vertilă este tă e ur vertilă V 1 şi e puntul : v 1 = (fig.4.29, ). 2. Să se eterine urele plnului [], efinit e puntul A(35,20,30) şi e vertil D(, ) : ' ' B(50,35,20), C(50,35,40). ' Reolvre : untul A(, ) şi rept D(, ), re este o vertilă, eterină un pln proietnt vertil. Ur oriontlă estui pln este eterintă e proieţi oriontlă reptei, şi e proieţi oriontlă puntului, : =, vân în veere ă un punt su o reptă onţinută într-un pln vertil se == proieteă pe plnul oriontl suprpusă pe ur oriontlă plnului. Ur interseteă în Fig.4.30 Reolvre proleei 2 puntul, e une se trseă o perpeniulră pe, e repreintă ur vertilă plnului (fig.4.30). ' 3. Să se eterine urele unui pln prlel u Q' " re fe 45 0 u plnul oriontl şi onţine ' "=" puntul C(15,8,10). rin puntul C să se trsee o 45 0 1 fronto-oriontlă D(,, ) şi un pln e profil [Q]. 1 Reolvre : Ur lterlă plnului prlel u se trseă prin proieţi lterlă, înlintă l 45 0 fţă e 1. Aest interseteă ele e Q ooronte în puntele şi 1. Ur oriontlă şi vertilă se trseă prlele u, prin puntele şi, une este oresponentul puntului 1 pe. Fronto-oriontl D(,, ) se trseă stfel : proieţi lterlă, un punt ienti u ur lterlă =, ir proieţiile oriontlă şi vertilă prlele u, prin proieţiile oriontlă şi vertilă, le puntului C. lnul e profil [Q] nu re ură lterlă, ir urele oriontlă Q şi vertilă Q sunt suprpuse peste lini e orine puntului C, pe re îl onţine, în prelungire (fig.4.31). 4. Fie plnul orere [], efinit prin ure : = 40, = 23 şi = 31. Să se eterine proieţiile triunghiului ABC(, ), le ărui vârfuri prţin plnului [], ştiin : A(25, A,5), B(5,10, B ) şi C(10,,20). Reolvre : Se repreintă urele plnului orere, fiân tăieturile u ele e ooronte,, şi, l Fig.4.31 Reolvre proleei 3 v 1 ' v 1 3 ' ' h 2 ' v 3 ' v 3 2 h 1 2 ' 1 ' 3 2 ' Fig.4.32 Reolvre proleei 4
50 GEMETRIE DESCRITIVĂ istnţele te. Se unes ouă âte ouă, stfel : = şi =. entru eterinre proieţiilor oriontlă şi vertilă le triunghiului ABC treuie eterinte epărtările A, C, respetiv ot B. În est sop se trseă oriontlele, D 1 ( 1, 1 ), D 3 ( 3, 3 ), prin proieţiile, şi frontl D 2 ( 2, 2 ) prin proieţi, stfel înât este repte să prţină plnului [] (să iă urele situte pe urele e elşi fel le plnului). Se trseă linii e orine prin proieţiile vârfurilor triunghiului unosute şi se respetă G g ' g' ' Fig.4.33 Reolvre proleei 5 ' h' h ' ' 10 10 Fig.4.34 Reolvre proleei 6 oniţi e prtenenţă puntului l pln, eterinân proieţiile,, şi ipliit proieţiile triunghiului (fig.4.32). 5. Să se găsesă grfi, ot puntului G, stfel înât ptrulterul ABCG să fie o plă rigiă, unosân : A(5,25,20), B(15,0,30), C(30,5,15) G(25,20, G ). Reolvre : Se repreintă în epură puntele şi se trseă lturile posiile le plăii. entru puntul G să prţină plnului eterint e puntele A, B şi C se ipune est să fie situt pe o reptă in pln, şi nue pe igonl BG. Se trseă igonl AC(, ) şi proieţi oriontlă g igonlei BG. Aeste se interseteă în puntul M(, ). Unin proieţiile u şi prelungin până l interseţi u lini e orine puntului G se oţine proieţi g şi ot estui punt, istnţ e l l g : G = 9 (fig.4.33). 6. Să se eterine loul geoetri l puntelor in plnul [], efinit prin ure : = 35, = 20, = 25, re sunt situte l 10 e plnul vertil. Viuliţi un punt M(, ) situt pe rept D, re să fie situt l 10 e plnul lterl [L]. Reolvre : Se repreintă urele plnului [], fiân puntele e interseţie u ele e ooronte,, şi, l istnţele te. Se unes ouă âte ouă, stfel : = şi =. Loul geoetri l puntelor in plnul [] situte l 10 e plnul vertil, este o reptă frontlă D(, ). entru flre proieţiilor ei, se ăsoră pe 10 şi se trseă o prlelă l, re repreintă proieţi oriontlă. Frontl D treuie să fie sitută în plnul [], respetiv să iă ur oriontlă H(h,h ) sitută pe urele plnului, ei = h. roieţi vertilă se trseă prin proieţi h, prlelă u ur vertilă plnului. entru viulire puntului M(, ), situt l 10 e plnul lterl [L], se trseă o linie e orine l 10 e origine, în sens poitiv, şi se interseteă u proieţiile reptei frontle reultân proieţiile şi, fiere pe proieţi e elşi fel reptei (fig.4.34). 7. Să se eterine urele plnului [], efinit prin lini e e i re pntă fţă e plnul oriontl, D(, ) : A(12,-9,37), B(20,5,12). Ce vlore re unghiul pe re îl fe plnul [] u plnul oriontl? Reolvre : Se repreintă puntele A(, ) şi B(, ) în epură, se eterină proieţiile reptei D(, ), unin proieţiile puntelor e elşi fel şi se eterină urele oriontlă H(h,h ) şi vertilă V(v,v ) le reptei. Cunosân ă proieţi oriontlă l...p. fţă
LANUL 51 e plnul oriontl treuie să fie perpeniulră pe ur oriontlă plnului re o onţine, se ue prin ur h, ur plnului stfel înât,. L interseţi u se găseşte puntul. Ur vertilă plnului tree prin şi prin v, = v (fig.4.35). Unghiul pe re îl fe plnul [] u plnul oriontl se regăseşte între l...p. fţă e plnul, D şi proieţi ei pe plnul,, onurente în h. În epură unghiul se ăsoră în triunghiul hvv 0 : = vhv 0 ' = 55 0. untul v 0 se oţine rotin ot vv, în jurul lui v, până evine perpeniulră pe hv. 8. Fie plnul orere [], efinit e trei punte neolinire : A(13,15,22), B(22,8,12), C(37,4,20). Să se trsee o linie e e i re pntă plnului fţă e plnul oriontl, D(, ), fără onstrui urele plnului. Reolvre : Din ele trei punte se onstruies ouă repte D 1 ( 1, 1 ) şi D 2 ( 2, 2 ), onurente în puntul B, re efines plnul []. L...p. fţă e plnul oriontl este perpeniulră pe tote oriontlele plnului [], ei şi pe oriontl G(g,g ), trstă prin puntul A. roieţi vertilă g se ue prlelă l, prin proieţi. L interseţi u proieţi 2 se eterină proieţi şi oorân linie e orine până pe proieţi 2, proieţi. Reultă g =. Confor teoreei unghiului rept proieţi se trseă perpeniulră pe proieţi g. Se lege l...p. fţă e plnul oriontl să se onstruisă prin puntul B l plnului [], reultân l interseţi u proieţi g, puntul n, şi respetiv n pe g : = n, = n (fig.4.36). 9. Să se eterine plnul e nivel e onţine puntul A(20,8,18) şi să se trsee prin A(,, ) o oriontlă D(,, ), re fe 30 0 u plnul vertil. Reolvre : Urele vertilă N şi lterlă N se trseă prin proieţiile şi, prlele u. roieţi oriontlei fe 30 0 u şi tree prin proieţi. roieţiile şi sunt suprpuse peste urele plnului, N, N. 4.6 rolee propuse 1. Să se eterine urele plnului [], efinit e trei punte neolinire, pentru fiere in urile urătore : ) A(50,13,37), B(70,-12,52), C(20,5,70); ) A(23,10,60), B(10,70,5), C(50,15,40); ) A(100,10,70), B(60,70,90), C(20,30,20); ) A(50,5,15), B(35,30,5), C(70,50,60); e) A(45,10,20), B(70,0,40), C(100,40,0). ' h' v' v ' ' h ' ' 1 n' g' ' Fig.4.35 Reolvre proleei ' 7 ' 2 1 n 2 g Fig.4.36 Reolvre proleei 8 ' N'=' 30 0 N 1 N"=" " v 0 ' Fig.4.37 Reolvre proleei 9
52 GEMETRIE DESCRITIVĂ 2. Să se eterine urele plnului [], eterint e rept D (efinită e puntele A şi B) şi e puntul C, eterior ei, pentru fiere in urile urătore : ) D(, ) : A(130,90,20), B(110,10,80) şi C (40,70,30); ) D(, ) : A(80,40,50), B(20,15,10) şi C (45,10,40); ) D(, ) : A(95,20,5), B(70,10,25) şi C (50,10,20); ) D(, ) : A(35,5,30), B(15,30,10) şi C (70,10,25); e) D(, ) : A(80,15,40), B(60,40,10) şi C (30,10,30). 3. Fie plnul [] efinit prin ouă repte oriontle prlele D 1 ( 1, 1 ) : A(70,5,20), B(30,35,20) şi D 2 ( 2, 2 ) : C(40,10,30). Să se eterine urele plnului. 4. Să se eterine urele plnului [], efinit e puntul A(80,25,15) şi e rept e păt D(, ) : B(50,20,40), C(50,50,40). Să se trsee prin puntul A o frontlă plnului []. Se pote trs prin puntul A şi o oriontlă plnului []? 5. Să se eterine urele plnului [], efinit e puntul A(25,10,30) şi e vertil D(, ) : B(40,20,20), C(40,20,40). Să se trsee prin puntul A o oriontlă plnului []. Se pote trs prin puntul A şi o reptă e profil plnului []? 6. Să se eterine urele unui pln prlel u re fe 60 0 u plnul oriontl şi onţine puntul A(35,5,20). rin puntul A să se trsee o fronto-oriontlă Δ(δ,δ,δ ) şi un pln e profil [R]. 7. Să se eterine urele unui pln il re fe 30 0 u plnul oriontl şi să se trsee o fronto-oriontlă, onţinută în pln, sitută l ot eglă u 15. 8. Fie plnul orere [], efinit prin ure : = 100, = 50 şi = 70. Să se eterine proieţiile triunghiului ABC(, ), le ărui vârfuri prţin plnului [], ştiin : A(60, A,5), B(5, B,30,) şi C(40,10, C ). 9. Să se găsesă grfi ot su epărtre puntelor e i jos, stfel înât ptrulterul ABCG să fie o plă rigiă : ) A(45,10,20), B(70,0,40), C(100,40,0) G(70, G,10); ) A(10,30,30), B(50,20,50), C(90,70,10) G(20,50, G ); ) A(15,70,60), B(90,60,50), C(70,30,10) G(30, G,30); ) A(70, A,10), B(110,10,20), C(60,70,60) G(30,30,30); e) A(120,50,40), B(70,10,20), C(20,30, C ) G(30,60,80). 10. Să se eterine loul geoetri l puntelor in plnul [], efinit prin ure : = 105, = 60, = 75, re sunt situte l 30 e plnul vertil. Viuliţi un punt M(, ) re să fie situt l 30 e plnul lterl [L]. 11. Să se eterine loul geoetri l puntelor in plnul [], efinit prin ure : = 105, = 60, = 75, re sunt situte l 35 e plnul vertil. Viuliţi un punt M(, ) re să fie situt l 25 e plnul lterl [L]. 12. Să se eterine urele plnului [], efinit prin lini e e i re pntă fţă e plnul oriontl, D(, ) : A(15,70,60), B(70,30,10). Ce vlore re unghiul pe re îl fe plnul [] u plnul oriontl? 13. Să se eterine urele plnului [], efinit prin lini e e i re pntă fţă e plnul vertil, D(, ) : A(60,70,60), B(30,30,35). Ce vlore re unghiul pe re îl fe plnul [] u plnul vertil? 14. Fie plnul orere [], efinit e trei punte neolinire : A(120,50,40), B(70,10,20), C(30,60,80). Să se trsee âte o linie e e i re pntă plnului fţă e plnul oriontl, D(, ) şi fţă e plnul vertil, Δ(δ,δ ), fără onstrui urele plnului. 15. Să se eterine plnele e nivel şi e front e onţin puntul A(50,30,40) şi să se trsee prin A o oriontlă şi o frontlă re f 60 0 u plnul, respetiv.