CAPITOLUL 4 CONICE 1. CONSIDERAŢII GENERALE

Transcript

1 CAPITOLUL 4 CONICE In urm prurgerii estui pitol: veţi şti definiţii le onielor louri geometrie, veţi retuliz euţi generlă şi euţiile nonie le onielor şi veţi dispune de o modlitte de reduere euţiei generle l ele nonie, veţi şti un mod de predre prolemelor de tngenţă privind oniele, veţi şti proprietăţile optie le onielor. 1. CONSIDERAŢII GENERALE În evoluţi geometriei studiu l figurilor geometrie din pln şi spţiu, metodei de rţion diret pe figură, numită şi metod sintetiă, i s- dăugt metod nlitiă propusă în esenţă de R. Desrtes. Aestă metodă prin re lulul lgeri vine în sprijinul geometriei şi re impulsiont într-o măsură onsiderilă studiul lgerei, s- etins înât lăst într-o numită umră metod sintetiă şi impus, printr-un uz, termenul de geometrie nlitiă. Geometri nu pote fi deât un. Metodele ei pot fi mi multe. Rportul între metodele sintetiă şi nlitiă, genertor de dispute în mtemti şolră, influenţt permnent progrmele şolre şi epunerile din mnule. Adepţii metodei sintetie susţin ă estă metodă dezvoltă în mi mre măsură gândire elevilor şi omponentele psihie le retivităţii. Susţinătorii metodei nlitie preiză ă rţionmentul sinteti este pre greoi pentru elevi şi red ă metod sintetiă pote să le reze unor dintre ei esul spre geometrie. Metod nlitiă âştigt teren după el de l doile răzoi mondil mi les în ţările din Europ de Vest şi SUA, ir reent şi în ţările est-europene. Aest fpt pote fi uşor onsttt printr-o nliză mnulelor [1], [6], [7]. În Români, etensiune metodei nlitie se proeză prin iniţiere în estă metodă înepînd u ls IX- şi nu u ls XI- um se proed până în Suliniem ă metod nlitiă genert un progres l geometriei tât prin rezolvre unor proleme vehi, ât şi prin ridire noi proleme şi etindere unor rezultte. Aestă metodă făut posiilă onepere spţiilor u mi mult de trei dimensiuni, stt l z introduerii metodei diferenţile. Pe surt, e se flă l origine geometriei moderne. Revenind l disput între metodele sintetiă şi nlitiă fără intenţi de lege nepărt o le de mijlo, onsiderăm ă ele două metode treuie să fie folosite într-o ominţie u dozj ditt de utilitte şi omoditte. Cu lte uvinte, să trtăm prolemele ridite de geometrie u metod re le fe ât mi lre, ât mi esiile şi re neesită ât mi puţin timp. Este un idel spre re r treui să tindem. Un eemplu de mnul forte prope de est idel este [4], deşi se numeşte trdiţionl de "Geometrie nlitiă". În mod oişnuit, urele plne: elips, hiperol şi prol se numes seţiuni, onie, pe surt onie. Este de nott fptul interesnt ă denumirile lor provin de l proleme ntie de onstruţii geometrie [4]. Astfel, Pitgor (500 î.e.n.) şi şol lui pusese şi rezolvse următorele proleme:

2 Conie 68 ) Să se fă prol unei rii, diă, dt un segment p şi o rie, să se onstruisă un segment înât dreptunghiul de lturi p şi să fie ehivlent (prolă, în greă) u pătrtul de rie. Segmentele şi stisf dei euţi p, diă ele pot fi sootite drept oordontele unui punt l prolei reprezentte de estă euţie. ) Să se fă elips unei rii, diă, dt un segment p, ri şi numărul strt m, să se onstruisă segmentul în ş fel ri lturi p şi mişortă (elipsă, în greă) u de m să fie eglă u ri dreptunghiului de ori ri pătrtului de ltură. Segmentele şi stisf dei euţi p m, diă pot fi sootite drept oordontele unui punt l elipsei reprezentte de estă euţie. ) Să se fă hiperol unei rii, diă dt fiind un segment p, ri şi un număr strt m, să se onstruisă segmentul stfel ri să fie eglă u ri dreptunghiului de lturi p şi mărită (hiperolă, în greă) u de ori ri pătrtului de ltură. Segmentele şi stisf euţi p m şi dei pot fi sootite drept oordontele unui punt l hiperolei reprezentte de estă euţie. Denumirile de "prolă" (ehivlenţă), "elipsă" (lipsă) şi "hiperolă" (ees) u fost trnsferte mi târziu l urele de seţiune le unei suprfeţe onie de rotţie u diferite plne, ure numite onie. Desoperitorul onielor este onsidert Menehmos (300 î.e.n.). Mi tîrziu, Apollonius din Perg (170 î.e.n.) sris un trtt supr onielor, e mi importntă operă mtemtiă ntihităţii, după "Elemente" de Eulid. ie σ o suprfţă oniă de rotţie. Dă un pln tie numi o pînză suprfeţei onie, seţiune este o elipsă (er, dă plnul este perpendiulr pe de rotţie). Dă un pln seţineză mele feţe, seţiune este o hiperolă, ir dă plnul sent este prlel u un din m ig. 1 genertore, tuni seţiune este o prolă (fig. 1). Evident ă l îneput teori onielor fost dezvolttă pe le sintetiă. Introduere metodei nlitie ondus l soluţii noi pentru proleme vehi preum şi l proleme noi. Totodtă e lăst în umră unele rezultte frumose le ăror demonstrţii nlitie neesită lule loriose su mre ilitte în onduere lor.

3 69 Cpitolul 4 Metod nlitiă evidenţit fptul ă dă legem în pln un reper O, tuni oordontele (,) le puntelor onielor pr soluţii le unor euţii lgerie de grdul l doile. Aest fpt ondus l studiul mulţimii soluţiilor euţiilor lgerie generle de grdul l doile în două vriile. Prin etensiune, este mulţimi se numes tot onie. Mi preis se formuleză definiti [5]: O mulţime (Г) plnului π este o oniă dă oordontele (,) le puntelor M Γ, în rport u un reper ortonormt O din π sunt soluţiile unei euţii de form: (1) f(, ) u oefiienţii 11, 1, nu toţi nuli. Se rtă ă estă definiţie nu depinde de reper. Prin shimări onvenile de reper se oţin forme le euţiei (1) re evidenţiză ă soluţiile ei pot fi, pentru unele vlori le oefiienţilor, drepte (onurente, prlele, onfundte) su mulţime soluţiilor se redue l un punt su l mulţime vidă. Se onsttă stfel ă definiţi de mi sus lărgeşte noţiune de oniă dăugând l urele menţionte mi sus şi figuri geometrie mi simple (perehi de drepte, punte) numite în mod oişuit onie degenerte şi tuni elips, hiperol şi prol se numes onie nedegenerte. O trtre ompletă onielor r treui să uprindă: ) definiţiile onielor louri geometrie; ) euţiile onielor în repere legte de elemente de simetrie le lor, euţii numite nonie; ) desenre onielor nedegenerte (u elemente de nliză mtemtiă, prin punte et.); d) interpretre onielor seţiuni le unei suprfeţe onie de rotţie prin diferite plne; e) reduere euţiei generle (1) onielor l formele nonie şi determinre elementelor oniei în funţie de oefiienţii euţiei (1). În ele mi multe progrme nlitie de lieu ultimele două suiete nu sunt trtte. Penultimul neesită o ună mânuire unoştinţelor de geometrie spţiului. El este mi mult de interes istori, înât renunţre l el este nturlă. Ultimul treuie preedt de o trtre shimărilor de repere în pln, ee e neesită ore suplimentre. Considerăm, totuşi, ă est suiet treuie trtt, evitând eventul studiul shimărilor generle de repere, el puţin pentru următorele motive: ) Eistă proleme în re oni pre su o euţie diferită de ele nonie ( se vede prolemele de onstruţie de mi sus). ) În ls IX- se studiză funţi de grdul l II-le, şi se fe grfiul ei, despre re se spune ă este o prolă. Dr euţi noniă prolei este p. Se impune după trtre prolei în ls XI- să justifiăm denumire folosită în ls IX-, ee e se pote fe prin shimări onvenile de repere (su oordonte). ) Shimările de oondonte sunt implite în multe proleme de geometrie preum şi în pliţii le geometriei în fiziă. În ontinure propunem o modlitte de predre onielor printr-o ominre metodelor nlitiă şi sintetiă.

4 Conie 70. DEINIŢIA COMUNĂ A CONICELOR O pitră de înerre în studiul geometriei este, fără îndoilă, rezolvre prolemelor de lo geometri. Metod nlitiă oferă posiilităţi suplimentre de rezolvre unor semene proleme. Mulţi elevi onsideră, din lipsă de eperienţă su de sues în ordre diretă, ă metod nlitiă este hir mi efie deât e sintetiă. După introduere elementelor de ză le metodei nlitie şi stilire euţiilor dreptei şi erului, ordre unor proleme de lo geometri prin estă metodă se impune ozie de folosire metodei şi, u proleme ine lese, prilej de evidenţiere pităţii ei. În unele mnule pr prgrfe su pitole distinte referitore l metod nlitiă în rezolvre prolemelor de lo geometri. Un semene pops dedit prolemelor de lo geometri pote fi înheit u formulre următorei proleme re pote fi punt de plere în studiul onielor: Să se determine loul geometri l puntelor din pln re u rportul distnţelor l un punt fi şi o dreptă dtă, onstnt, dt. ie puntul fi şi (d) drept dtă. Notăm prin M puntele pentru re ăutăm loul geometri şi fie N piiorul perpendiulrei din M pe (d). Condiţi prolemei este M e, M N, unde e este un număr rel pozitiv. MN În momentul ând reprezentăm dtele prolemei într-un pln, oservăm ă suntem nevoiţi să onsiderăm seprt situţiile ) (d) şi ) (d). În situţi ) oţinem fig., M M N d d ) ) ig. În triunghiul dreptunghi MN, vem M (ipotenuză) mi mre deât MN (tetă). Aşdr pentru să eiste punte M le loului geometri ăutt, treuie în mod neesr e > 1. Dă e < 1, tuni nu eistă punte u propriette din prolemă şi spunem ă loul geometri este mulţime vidă. Eistă punte M în zul e l? Oservăm ă puntele M de pe drept perpendiulră în pe (d) şi numi ele u propriette MMN. Aşdr pentru e 1 loul geometri este et estă dreptă (punttă în fig., ) ). Revenind l zul e > 1, notând u α unghiul suţit formt de dreptele d şi M 1 oţinem e şi dei, unghiul α este onstnt. Rezultă ă loul geometri este formt din sin α două drepte re tre prin şi sunt simetrie ftă de drept (d) (desente puntt în fig., )). Dă e tinde spre 1, ele două drepte tind să se suprpună pe drept perpendiulră pe (d) în re dei pote fi gândită formtă din două drepte onfundte. În rezumt, putem

5 71 Cpitolul 4 spune ă în situţi (d), loul geometri ăutt este formt din două drepte onurente dă e > l, din două drepte onfundte dă e 1 şi este multime vidă pentru 0 < e < 1. Dă figurăm situţi ) (d) oţinem fig. 3 u M e. MN M ig. 3 N d Ne mintim ă în situţi ), în zul e > 1 loul geometri er formt din drepte simetrie fţă de (d). Se menţine estă simetrie în situţi )? Considerând simetriul M' l lui M fţă de (d), onsttăm ă el nu prţine loului geometri (nu ştim înă loul geometri M' dr este lr ă e ). Dei eşe. Privind fig., ) onsttăm ă loul geometri MN prezintă şi o simetrie fţă de perpendiulr pe (d) în. Considerând în situţi ) drept prin perpendiulră pe (d) şi notând u M" simetriul lui M fţă de e, onsttăm imedit ă M" e şi dei estă dreptă este ă de simetrie loului geometri ăutt. M" N Întrerupem leţi ii şi erem elevilor să trteze nliti, să, situţi ). În leţi următore este forte proil să pră soluţi re urmeză. Considerăm un reper u origine în şi (d) siselor. Condiţi prolemei, u M(,) se srie: ( 1 e ) 0, 0 e, 0 e, 0 Dă e 1, ondiţi este ehivlentă u 0, dei loul geometri este ordontelor onsidertă de două ori, u lte uvinte, loul geometri este drept perpendiulră pe (d) în sootită de două ori (dulă). Dă 0 < e < 1, euţi ( 1 e ) 0 re soluţie numi (0,0) dr re nu stisfe ondiţi 0, dei loul geometri este mulţime vidă. Pentru e > 1, u 1 e m euţi loului geometri devine ( m)( m) 0 m 0 m 0 su m 0, şi dei loul geometri este reuniune două drepte prin simetrie fţă de (d) preum şi fţă de perpendiulr pe (d) în.. În est moment putem să punem în evidenţă importnţ legerii reperului propunând relure lulelor într-un reper re să iă origine ritrră, siselor prlelă u (d) şi ordontelor evident perpendiulră pe e (fig. 4).. O ig. 4

6 Conie 7 Euţi dreptei (d) este de form (onstntă pozitivă în fig. 4), ir (,), u > 0, onstntă de semene pozitivă în fig. 4. Condiţi prolemei, onsiderând M(, ) este: ( ) ( ) e, ( 1 e ) ( 1 e ) ( 1 e ) 0,, şi deşi unoştem loul geometri (soluţi sintetiă) nu mi suntem pili să-l reunoştem imedit în euţi de mi sus. Dei legere reperului pote să ne de nezuri. Totuşi, eistă proleme în re suntem onstrânşi l o nume legere reperului şi r treui să găsim proedee de reunoşte loul geometri şi tuni ând pre su form unor euţii mi omplite. Revenind l ondiţi prolemei, oservăm ă pentru e 1 e se redue l euţi ( ) 0 0 şi reunoştem ă loul geometri este drept perpendiulră pe d în. Pentru e 1 să gândim ondiţi prolemei o euţie de grdul II în ( prmetru) şi să înerăm desompunere uzulă ( 1 )( ) 0, unde 1 şi ( )( sunt rădăinile ei. Disriminntul estei euţii 4 1 e ) este pozitiv pentru e > 1, z în re euţi loului geometri devine ( ) 1 ( ) 1 e e 0, dei ( ) e 1 0 su ( ) e 1 0. Aşdr, loul geometri este formt din două drepte re tre prin, de pnte 1 1 şi respetiv, de unde rezultă ă sunt simetrie fţă de drept (d) (liniile e 1 e 1 puntte în fig. 4), şi fţă de perpendiulr pe (d) în. Pentru e < 1 euţi loului geometri nu pote fi desompusă în ftori liniri. E pote fi srisă în form ( ) ( 1 e )( ) 0, dei o sumă de numere pozitive re se nuleză numi pentru,. Dr, din ondiţi prolemei, vem, dei loul geometri este în est z mulţime vidă. Ultim formă euţiei loului geometri pote fi evident folosită şi pentru trt zul e > 1. Am prefert proedeul de mi sus pentru ă este mi generl. Trtăm prin metod nlitiă situţi ( d ). Alegem ă siselor drept prin perpendiulră pe (d), origine un punt O pe estă dreptă, deomdtă ritrr şi evident ordontelor v fi perpendiulr în O pe siselor, dei prlelă u (d). Punem (,0) şi D(d,0), unde D ( d ) O. Condiţi prolemei, u M(,) devine ( ) e d ( ) ( d ), d e, ( 1 ) ( de ) e d 0 d e, d. Se vede ă treând în - euţi loului geometri nu se modifiă, diă mulţime lo geometri re ă de simetrie perpendiulr din pe (d) ee e onsttsem şi diret. Pentru e 1 mulţime puntelor loului geometri ăutt interseteză O într-un d punt A, 0. Alegem O să oinidă u A, ehivlent d 0, su O este mijloul segmentului D. Euţi loului geometri devine (P) p, p > 0 (m les > 0, d < 0).

7 73 Cpitolul 4 Din euţi (P) rezultă p su p, dei loul geometri este reuniune două grfie de funţii ontinue, diă o ură. Numim ur de euţie (P) prolă. Alte proprietăţi le ei vor fi stilite ulterior. Aii fem primul pel l Anliză mtemtiă, mi et l un fpt eperimentt de elevi înepând u ls VII-, ă f, u f o funţie relă uminte reprezintă o ură plnă. Pentru e 1, legem ( ) origine O stfel ă de 0 de, unde rezultă ă şi d u elşi semn, u lte uvinte, O este eterior segmentului H. Euţi loului geometri devine ( 1 e ) ( 1 e ) 0. Pentru e < 1, notând şi ( 1 e ), oţinem e e (E) 1 0. Alegînd > 0 şi >0 vem şi 1 e > 0. Remrăm şi eglitte e 1 ( ). Mulţime (E) este reuniune două re de ură dte de funţiile ontinue şi re formeză o nouă ură pe re o vom numi elipsă. Alte proprietăţi le ei vor fi stilite ulterior. Pentru e > 1, vom not, ( e 1) şi euţi loului geometri devine e (H) 1 0 Aestă nouă ură o vom numi hiperolă. Vom lege, de semene, > 0, > 0 şi dei > 0. Avem eglitte. În onluzie, în situţi ( d ) loul geometri propus este prolă pentru e 1, elipsă pentru 0 < e < 1 şi hiperolă pentru e > l. Reprezentre grfiă urelor (P), (E) şi (H) se oţine prin mijloe de Anliză mtemtiă. Eistă şi mijloe elementre su menie de oţine este reprezentări, dr în vedere integrării geometriei nlitie u Anliz mtemtiă preferăm reprezentre grfiă onielor prin Anliză mtemtiă. Nu insistăm, totuşi, supr estui spet. Grfiele funţiilor 1 şi pot fi trste u uşurinţă de ătre elevi. Notăm ă elips este o ură mărginită (onţinută într-un dreptunghi de lturi şi ), ir hiperol re două simptote de euţii ±. În est moment eistă două posiilităţi de ontinu: 1) se iu pe rând ele trei ure şi se studiză pentru fiere eeşi prolemtiă (tngente, dimetri onjugţi, polre ş..); ) se formuleză prolemti pentru tote trei şi se eploteză ât mi mult semănările formle între diverse euţii. Vrint 1) este prefertă în mnulele şolre. În multe dintre este se onsideră ordine elipsă, hiperolă, prolă. Totuşi simplitte euţiei prolei şi unor proprietăţi le ei motiveză ordine prolă, elipsă, hiperolă folosită în [4]. Noi vom urm vrint dou pentru ă ne permite formulre unor oservţii de ntură didtiă omune elor trei ure.

8 Conie ALTE DEINIŢII PENTRU ELIPSĂ ŞI HIPERBOLĂ Este ine unosută posiilitte de defini elips (hiperol) loul geometri re re sum (diferenţ) distnţelor l două punte fie dte, onstntă. Pot fi urmte el puţin două ăi: ) Ignorăm pentru un moment onsiderţiile preedente şi ne propunem să determinăm prin metod nlitiă loul geometri l puntelor din pln re u sum (diferenţ) distnţelor l două punte fie, onstntă. Dă se noteză ele două punte fie prin şi ' şi prin M puntele loului geometri ăutt, ondiţi M M' ( un număr rel fit; se lege pentru onvenienţă), într-un reper ortonormt definit de drept ' şi perpendiulr pe e în mijloul segmentului ', este ehivlentă u euţi (E), u M(,). Cu lte uvinte, loul geometri este o ură numită elipsă. Ehivlenţ mentiontă se justifiă printr-un lul u rdili re neesită o tenţie sporită în justifire fptului ă dă M(,) este pe ur (E), tuni M M' ( se onsult [4]). Condiţi M-M', în elşi reper de mi sus, se dovedeşte ehivlentă u euţi (H), dei um loul geometri este ur numită hiperolă. Ehivlenţele menţionte du definiţii noi (dr tot louri geometrie) pentru elipsă şi hiperolă. ) Luăm punte de plere euţiile (E) şi (H). În urm reprezentării grfie urei (E) oţinem fig. 5 fără puntele ', M, M', N şi drept d' pe re le vom dăug ulterior. În zul elipsei, relţiile între,, d, e ondu l ordine din fig. 5 puntelor O,, A (vârf) şi D (piiorul perpendiulrei din for pe diretore). d' d N' D' M M(,) ' 0 (,0) A(,0) N D(d,0) ig. 5 Ştim de mi sus ă drept D este ă de simetrie elipsei. Dă în euţi (E) treem în, estă euţie nu se shimă, dei elips este simetriă şi fţă de perpendiulr în O pe D ( O). ie ' simetriul lui fţă de O şi d' simetri dreptei d fţă de O. Considerăm M pe elipsă. Atuni M emn unde N este proieţi lui M pe diretore. Simetriul lui M fţă de O, nott prin M', prţine elipsei şi stisfe evident relţi (1) M'' em'n'. Cum M prurge elips în totlitte, M' v desrie eeşi elipsă, ir ondiţi (1) ne rtă ă ' şi d' joă rol de for şi, respetiv, diretore pentru elips (E). Aşdr elips re două fore şi două diretore simetrie fţă de o dreptă. Ne propunem să lulăm sum M M' pentru un punt M(, ) l elipsei (E). Avem

9 Cpitolul 4 75 ( ) ( ) ( ) ( ). M' M 1 1 Înlouind ( ) 1 e şi e, oţinem M M' e e e d e d. Poziţi diretorei dtă în fig. 5 ne impune MM' e( d) e( d) ed. Aşdr, puntele M le elipsei (E) u şi prpriette () MM' ( onstnt). Reipro, dte şi ', în reperul din fig. 5 puntele M(, ) re stisf () verifiă şi euţi (E) după um rezultă din impliţiile: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u. Ineglitte > este o onseinţă- ineglităţii triunghiulre în M'. Aşdr putem spune ă elips este loul geometri l puntelor re u sum distnţelor l două punte fie, onstntă. Se proedeză poi similr pentru hiperol (H). Grfiul urei (H) este în fig. 6 ' A' D' O D A d d' ig. 6 Relţiile între,, d, e ondu l ordine O D A. Hiperol este simetriă şi fţă de O. Introduem ' şi d' simetrie le lui şi respetiv d fţă de O şi oţinem ă este joă rol de for şi respetiv diretore pentru hiperol (H). Dei şi hiperol re două fore şi două diretore, simetrie fţă de o dreptă, de simetrie hiperolei. Pentru M(,) situt pe (H) oţinem M e e d şi M' e e d. Pentru > d (puntele M sunt pe rul de ură, din drept în fig, 6) vem M' M ed, ir pentru < d (puntele M sunt pe rul de ură din stâng în fig. 6) vem M M' şi dei pentru puntele hiperolei (H) vem (3) M M'. Printr-un lul simiplu oţinem ă puntele M din pln re verifiă (3) stisf, în reperul din fig. 6, euţi (H).

10 Conie PROBLEME DE TANGENŢĂ În multe proleme supr onielor intervine noţiune de tngentă şi normlă (perpendiulr pe tngentă). Deoseim două punte de vedere în ordre noţiunii de tngentă. Unul dintre ele, utilizt frevent, este el în re tngent l oniă într-un punt l ei este drept re interseteză oni numi în el punt. Aest este oret şi nu soliită elemente de topologie plnului, i eploteză tât de mult form prtiulră onielor, înât nu pote fi trnsltt l ure mi generle deât în form modifită şi nu pre utilă; tngent într-un punt l unei ure este drept re lol interseteză ur numi în el punt. Pentru lrifire termenului lol folosit ii intuitiv, sunt neesre noţiuni de topologie. Un lt punt de vedere este de folosi mi mult nliz mtemtiă şi nume rezulttul ă dă f ( ), [,] este o funţie derivilă, tuni tngent l grfiul ei (o ură) într-un punt ( 0, 0 ) l ei este drept prin ( 0, 0 ) de pntă f ' ( 0 ) şi dei euţi ei este 0 f ' ( 0 )( 0 ). Coniele (nedegenerte) sunt reuniuni de grfie de semene funţii şi dei rezulttul menţiont se pote folosi pentru dedue euţi tngentei într-un punt orere l ei. Aest l doile punt de vedere produe o mi ună integrre geometriei nlitie u nliz mtemtiă, dr este pândit de formlism prin pierdere suportului intuitiv. olosire lui neesită o revedere (enefiă!), noţiunii de derivtă unei funţii (operită de numerosele lule de rutină pentru învăţre formulelor de derivre), u insistenţă pe interpretre geometriă noţiunii de derivtă, re nu este ltev deât modlitte de junge l tngentă într-un punt drept poziţi limită sentelor prin el punt. Se suliniză ă lol tngent interseteză ur numi în el punt printr-un ontreemplu dt de fig. 7. Drept din fig. 7 este tngentă în M şi N l ură, dr pote să interseteze ur într-o infinitte de lte punte. M ig. 7 N Shiţăm în ontinure trtre tngentelor l onie folosind l doile punt de vedere. Considerăm elips şi hiperol într-o singură euţie (1) ε 1 0, ε ±1, ε 1. Cur este reuniune grfielor funţiilor 1( ) ε( ) şi ( ) ε( ). Într-un punt ( 0 ), 0 situt pe grfiul funţiei 1( ) euţi ε tngentei este ( ) 0 ε 0 ( ) ( 0 ) re, prin înmulţire u ε 0 ε ( 0 ) ondue l ε( ) ε () ε

11 77 Cpitolul 4 Dă ( 0, 0 ) este situt pe grfiul funţiei ( ), lule similre ondu l eeşi euţie (). O situţie prte prezintă puntele A(,0) şi A' (,0) de pe elipsă (hiperolă), numite şi vârfuri, re se flă l interseţi grfielor funţiilor 1 şi. În este punte funţiile 1 şi rămân derivile, dr derivtele nu mi sunt finite. Rezultă ă în este punte eistă tngente prlele u O. Cu lte uvinte, dreptele şi sunt tngente l elipsă (hiperolă) în puntele A şi A ' respetiv. Înlouind în euţi (): 0, 0 0 şi 0, 0 0, găsim eleşi euţii pentru tngent în A şi respetiv A '. Aşdr, euţi () reprezintă tngent l elipsă (hiperolă) pentru tote puntele ei. Să determinăm euţi tngentei de pntă dtă m l (E) (H). Considerăm drept m n u n urmând fi determint. Aestă dreptă este tngentă l elipsă (hiperolă) dă şi numi dă este identiă u drept de euţie () pentru un nume punt ( 0, 0 ). Condiţi dreptele în disuţie să fie identie este dtă de (3) ε, m n ondiţie re ere n 0 (nu eistă drepte prin origine tngente l elipsă (hiperolă)). Din (3), prin lule se oţine n ± m ε şi dei euţi tngentei de pntă dtă m este (4) m ± m ε. Euţiile tngentelor dintr-un punt nesitut pe elipsă (hiperolă) se oţin determinând m din euţi (4) prin ondiţi el punt să fie pe drept de euţie (4). Proedând similr, găsim euţi tngentei l prolă (P) într-un punt ( 0, 0 ) (P) de form (5) 0 p( 0 ), ir euţi tngentei l prol (P) prlelă u o direţie dtă determintă de pnt m este de form p (6) m. m Tngent în ( 0, 0) l (P) re euţi 0, rezultt re onordă u (5). Dei euţi (5) reprezintă euţi tngentei în tote puntele prolei. 5. ECUAŢIA GENERALĂ A CONICELOR În 1 m introdus euţi generlă onielor, menţionând mi multe rţiuni pentru re estă euţie r treui studită în lieu. Totuşi studiul ei omplet re inlude lsifire urelor de ordinul l doile, reprezentre grfiă estor ure, determinre elementelor lor în funţie de oefiienţii euţiei generle et. este lorios şi neesit mult timp. În onseinţă, mnulele de geometrie nlitiă su nu trteză delo estă prolemtiă, su o trteză prţil, su o inlud într-un tet u literă miă, indiând opţionlitte în prezentre l lsă. Considerăm ă o trtre prţilă euţiei generle onielor um este e din [l] r pute oup le de mijlo prin re să se relizeze un ompromis eptil. Desriem o semene trtre în ontinure fără insist totuşi pe lsifire urelor de ordinul l II-le.

12 Conie 78 Astfel, şi în [1], vom disut numi euţi (1) , 11 > 0. Aşdr, omitem termenul e onţine. Motivul este ă est termen nu pre în euţiile nonie le onielor găsite mi sus, ir eliminre lui din euţi generlă nu se pote fe deât printr-o rotţie reperului. Aest re o epresie mi omplită deât trnslţiei re v fi utiliztă în trtre euţiei (1). Notăm δ 11 şi nlizăm zurile δ > 0, δ < 0 şi δ 0. În zul δ > 0, putem presupune după o eventulă înmulţire elor doi memri i euţiei (1) u -1 ă 11 şi sunt pozitivi. Euţi (1) se pote pune în form () Punem (3) 1 ', ' 11 şi euţi () devine (4) 11 ' ' 0, δ Euţiile (3) defines o trnslţie reperului iniţil în puntul 1 C,. 11 Anlizăm zurile > 0, < 0 şi 0. În zul > 0 euţi (4) nu re soluţii. Cu lte uvinte, oni este (mulţime) vidă. ' ' Dă < 0 sriem euţi (4) în form 1 0, ir u δ11 δ ' ',, est devine 1 0, re este o elipsă. Centrul δ 11 δ estei elipse este C, ir ele ei de simetrie sunt prlele u ele reperului iniţil. Dă 0, euţi (4) re o singură soluţie. Coni se redue l un punt şi nume C. Pentru R oţinem un er de entru C şi rză R. Czul δ < 0. Putem presupune, după o eventulă înmulţire memrilor euţiei (1) u 1, 11 > 0, < 0 şi punem euţi (1) în form (4) u notţiile (3). Se impune să disutăm din nou zurile 0, > 0, < 0. Pentru 0 oţinem 11 ' ' 0 ( 11 ' ' )( 11' ' ) 0 11 ' ' 0 su 11 ' ' 0. Aşdr, oni este reuniune două drepte onurente în C. Ele pot fi desente după resriere euţiilor lor în şi prin intermediul formulelor (3). Pentru este o hiperolă. Pentru < 0, u > 0, u, δ 11, δ 11 ' ' oţinem 1 0. Dei oni δ δ oţinem euţi ' ' 1 0, re,

13 79 Cpitolul 4 u sustituţi ' Y, ' X (rotţie de 90 reperului), devine 1 0 şi dei oni reprezintă din nou o hiperolă, dr u trnsversă prlelă u O. Hiperol de ' ' euţie 1 0 se numeşte hiperol onjugtă hiperolei de euţie ' ' 1 0. Cele două hiperole u eleşi simptote. Grfiele lor pr în fig. 8 (hiperol onjugtă este trst puntt). O ig. 8 Czul δ 0. Considerăm pe rând situţiile 11 0 şi 0, respetiv 11 0 şi 0. În prim situţie euţi oniei se pote srie stfel: Dă 1 0, în urm trnslţiei ', ' estă euţie devine ' k, unde k. Pentru k < 0 estă ultimă euţie nu re nii o soluţie, dei oni este vidă. Pentru k > 0 oni este reuniune două drepte ' ± k su în reperul iniţil k şi k. Aeste drepte sunt prlele şi se onfundă pentru şi numi pentru k 0. Dă 1 0, resriem euţi oniei în form 1 0 şi efetuăm trnslţi ', 1 1 '. Euţi oniei devine ' p' u p 1, dei oni este o prolă u vârful V, şi u de simetrie (trnsversă) prlelă u O. 1 În dou situţie ( 11 0 şi 0 ) euţi oniei se srie Cu sustituţi ' (rotţi de 90 reperului) est pătă

14 Conie 80 form euţiei din prim situţie, dei oni este fie o reuniune de două drepte (prlele su eventul onfundte), fie o prolă u trnsversă prlelă u O. Putem proed şi stfel: u 0, euţi oniei se pote pune în form, u renotţii lre. 4 Dăm estei euţii form utiliztă într-o lsă nterioră: şi 4 efetuăm trnslţi reperului în 4 V,. Euţi devine ' ' şi u rotţi de reprerului: ' Y, ' X, oţinem Y X, 0, dei o prolă. Vârful ei este V,, ir trnsversă este prlelă u O. Am regăsit stfel proprietăţi esenţile 4 le trinomului de grdul II. 6. PROPRIETĂŢI OCALE ALE CONICELOR Prin trtre estui suiet pre prilejul de evidenţi o legătură onielor u fenomenul de refleie luminii onretiztă într-o plire prtiă prolei şi hiperolei. Este vor de onstruire unor oglinzi de refletore u suprfeţe de form elor oţinute prin rotire unei prole su r de hiperolă în jurul ei trnsverse. Îninte de trt spetul geometri se impune să remintim ă o rză de lumină se refletă pe o suprfţă luiosă în ş fel, înât unghiul de inidenţă (unghiul făut de rză u norml l suprfţă în puntul de ontt) este egl u unghiul de refleie (unghiul rzei reflette u norml l suprfţă în puntul de ontt). ie o suprfţă luiosă oţinută prin rotire unei prole (P) în jurul ei trnsverse. Suprfţ se numeşte proloid de rotţie. Considerăm o sursă luminosă în forul l prolei. Se onsttă eperimentl ă rzele din se refletă pe estă suprfţă după direţi ei trnsverse (rzele reflette sunt tote prlele u estă ă). Aşdr, surs puntiformă de lumină (e) din produe prin refleie un fsiol de rze prlele re pote penetr întuneriul l distnţe mri, în funtie de putere sursei luminose. Cu lte uvinte, oglinzile de form proloidului de rotţie sunt utile în onstruţi refletorelor de distnţă. Pentru o suprfţă luiosă oţinută prin rotire unui r de hiperolă în jurul ei trnsverse, rzele unei surse luminose din for (soit elei rmuri) se refletă împrăştiindu-se, ee e ondue l iluminre unei suprfeţe mri. Asemene suprfeţe sunt utile în onstruţi refletorelor re să lumineze pe rii etinse. enomenele menţionte se justifiă prin ş-numitele proprietăţi optie le onielor. Aeste evlueză unghiul între normlă su tngentă într-un punt M l oniei u drept M numită şi rză folă. Vom formul este proprietăţi şi le vom d demonstrţii sintetie. Ele derivă din proprietăţi le tngentei şi pre o idee omună în demonstrţi sintetiă: se onsideră o sentă l oniă şi se găses numite proprietăţi le simetriului forului fţă de estă sentă. Se onsideră poi situţi ând sent devine tngentă. Vom înepe u prol unde onfigurţi este mi simplă şi propriette optiă soită este mi importntă. ie o sentă δ re tie prol în puntele M1 şi M, fig. 9.

15 81 Cpitolul 4 d M P D 1 M 1 M δ ig. 9 Notăm prin 1 simetriul lui în rport u δ. Perpendiulr din 1 pe diretore interseteză δ într-un punt M re este interior segmentului M 1 M. Pentru vede est luru onsiderăm erul u entrul M1 tngent diretorei. Aest v tree prin şi 1. Dei 1 este situt de eeşi prte diretorei şi forul şi poi vem în vedere ă M M1 < MP. Presupunem ă sent devine tngentă, fig. 10. Atuni M 1 M M şi 1 oinide u P. Putem dei onhide ă simetriile forului prolei fţă de tngentele l prolă se flă pe diretore. d M P P T D O M 1 ig. 10 Din eeşi fig. 10 itim: Tngent în M este isetore unghiului MP. Norml l prolă în puntul M este isetore unghiului MP'. A dou propriette se numeşte propriette optiă prolei. ig. 10 sugereză şi un mod de onstrui un punt l prolei şi tngent în el punt ând se dă forul şi diretore: se uneşte u un punt P l diretorei; meditore lui P este tngent, ir M este l interseţi estei u perpendiulr pe diretore în P. ie δ o sentă l elipsă u M1 şi M puntele ei de interseţie u elips (fore, '). Considerăm 1 simetriul forului ' fţă de δ şi notăm prin M interseţi dreptei δ u drept 1, fig. 11.

16 Conie 8 1 M δ M 1 M ' ig. 11 Din M M1 1 < M1 M11 M1 ' M1 rezultă ă M este interior elipsei şi, dei, este interior segmentului M 1 M. Presupunem ă sent devine tngentă: M 1 M M, fig. 1. t 1 N M ' Rezultă imedit ă tngent l elipsă este egl înlintă pe rzele vetore su ehivlent: norml l elipsă în M este isetore unghiului M'. Aest este propriette optiă elipsei. Pentru hiperolă se proedeză similr. Propriette folă hiperolei: norml l hiperolă în M este isetore unghiului M'.

17 83 Cpitolul 4 BIBLIOGRAIE 1. Alef 0 1. Geometrie II. Elemente de geometrie fină şi eulidină, Buureşti, EDP, Mihăilenu N., Leţii omplementre de geometrie, Buureşti, EDP, Miron R., Geometrie nlitiă, Buureşti, EDP, Mller A., Geometrie nlitiă, Buureşti, EDP, Pop I., Curs de geometrie nlitiă, Işi, Univ. Al. 1. Cuz, Udrişte C., Tomulenu V., Geometrie nlitiă. Mnul ls XI-, Buureşti, EDP, Moise E., Downs., Geometrie, Buureşti, EDP, REZUMAT După e menţionăm origine termenilor de elipsă, hiperolă şi prolă şi elui generi de onie, dăm definiţi omună onielor lo geometri şi, prin rezolvre prolemei de lo geometri, jungem l euţiile nonie (reduse) le elipsei, hiperolei şi prolei. Continuăm u definiţiile uzule lo geometri le elipsei şi hiperolei şi ne oupăm de proleme de tngenţă. Se introdue euţi generlă onielor şi se disută reduere ei l formele nonie. In finl se demonstreză proprietăţile optie le onielor. Peste tot se indiă metode şi proedee de predre l lsă. TEMĂ DE CONTROL 1. Dedueţi euţiile onielor într-un reper u origine într-un for şi de simetrie ă siselor. Desenţi.. Imginţi predre legăturii între prolă şi trinomul de grdul l doile. 3. Găsiţi loul geometri l puntelor din re se pot due tngente perpendiulre l o oniă. 4. Demonstrţi nliti proprietăţile optie le onielor.