CURS 11, Analiză matematică, semestrul I,

Transcript

1 CURS, Anliză mtemtiă, semestrul I, 4 5 Integrle duble Fie R un domeniu ompt înhis şi mărginit. Să presupunem ă,,..., n este un şir finit de domenii ompte, fără punte interiore omune, stfel înât... n. Vom spune ă relţi defineşte o desompunere domeniului şi notăm u : { i } i,n ls tuturor mulţimilor e formeză estă desompunere. Pentru o mulţime omptă A R, e mi mre distnţă dintre două punte din A se numeşte dimetrul mulţimii A. În zul desompunerii domeniului, el mi mre dintre dimetrele mulţimilor,..., n se noteză u şi se numeşte dimetrul desompunerii. Fie um o funţie ontinuă pe domeniul. Vom onsider, în fiere subdomeniu i, âte un punt ξ i, η i i, ir poi formăm sum n f ξ i, η i Ari i. i Aestă sumă se v numi sum Riemnn soită funţiei f, domeniului, desompunerii şi puntelor {ξ i, η i } i,n, şi o notăm u σ f; ξ i, η i. efiniţi. Fie R un domeniu ompt şi f : R. Funţi f se numeşte integrbilă Riemnn pe domeniul dă există I R stfel înât, pentru orie ε >, există δ > stfel înât, pentru orie desompunere u < δ şi orie r fi puntele ξ i, η i i i, n este stisfăută relţi: σ f; ξ i, η i I < ε. În estă situţie, numărul I se numeşte integrl dublă în sens Riemnn funţiei f pe domeniul şi se noteză prin fx, ydy. În bz definiţiei preedente ne rezultă, luând fx, y, x, y, ă f este integrbilă Riemnn pe şi Ari dy. 3 Teorem. Fie R un domeniu ompt şi f : R ontinuă pe. Atuni f este integrbilă pe domeniul.

2 Prezentăm în ontinure âtev zuri în re integrl dublă se pote lul, e reduându-se l lulul două integrle Riemnn obişnuite. efiniţi.3. omeniul se numeşte simplu în rport u x Oy dă pote fi reprezentt sub form: { x, y R x [, b], ϕ x y ψ x }, 4 unde ϕ, ψ : [, b] R x sunt funţii ontinue pe [, b] u ϕ x < ψ x, x, b.. omeniul se numeşte simplu în rport u x Ox dă pote fi reprezentt sub form: { x, y R y [, d], ϕ y x ψ y }, 5 unde ϕ, ψ : [, d] R sunt funţii ontinue pe [, d] u ϕ y < ψ y, y, d. Observţi.4 Observăm din definiţi de mi sus ă un domeniu este simplu în rport u x Oy dă orie prlelă dusă prin puntele intervlului [, b] l Oy interseteză Fr în ext două punte, u exepţi eventulă puntelor situte pe dreptele de euţii x su x b. O observţie nlogă re lo pentru zul domeniilor simple în rport u x Ox. y A 4 Gψ yψx A 3 A Gφ A x O x yφx xb Figure : omeniu simplu în rport u Ox Figur. simplu Oy Figur. simplu Ox Figur 3 nu e simplu in rport nii u Ox, nii u Oy. Lemm.5 Fie R un domeniu simplu în rport u x Oy şi funţi f : R ontinuă pe. Atuni funţi I : [, b] R, dtă prin I x ψx f x, y dy este ontinuă pe [, b], dei integrbilă Riemnn pe [, b].

3 emonstrţie. Să presupunem dei ă este dt de relţi 4. Făând shimbre de vribilă vom ve: ei, ψx gx,, f x, y dy y gx, t + t ψx, gx, ψx, g t ψx. fx, + t ψx ψx dt. Cum funţi din ultim integrlă, nottă hx, t, este ontinuă în rport u nsmblul vribilelor x, t pe [, b] [, ], ir ψx f x, y dy hx, tdt, în bz ontinuităţii integrlelor u prmetru vom ve ă funţi x dei funţi x I x este ontinuă pe [, b]. hx, tdt este ontinuă, Lemm.6 ă m fx, y M pe, ir f este ontinuă pe, simplu în rport u x Oy, tuni b ψx m Ari f x, y dy M Ari. 6 emonstrţie. su În bz relţiei de monotonie integrlei, vem ψx m dy ψx ψx f x, y dy M dy, ψx m ψx f x, y dy M ψx. Integrând estă relţie de l l b, obţinem 6. Următore teoremă pune în evidenţă un mod de lul l integrlelor duble pentru domenii simple în rport u un dintre xe. Teorem.7 Fie f : R R, integrbilă Riemnn pe domeniul. ă:. este simplu în rport u x Oy şi re reprezentre 4, tuni re lo formul b ψx f x, y dy f x, y dy. 7. este simplu în rport u x Ox şi re reprezentre 5, tuni re lo formul d ψy f x, y dy f x, y dy. 8 ϕy 3

4 emonstrţie. Vom demonstr dor relţi 7, elltă formulă rătându-se nlog. Să presupunem dei ă este dt de relţi 4. Să onsiderăm o desompunere domeniului, efetută u jutorul unor drepte prlele de form x x, x x,..., x x n, unde x < x <... < x n b este o diviziune intervlului [, b], şi unor urbe definite prin relţii de form unde y ϕ x, y ϕ x,..., y ϕ n x, ϕ x, ϕ x + ψx, n ϕ n x + ψx, n... ϕ n x + n ψx ψx. n Figur... În bz proprietăţii de ditivitte integrlei Riemnn în rport u intervlul, obţinem b ψx n x i ψx f x, y dy f x, y dy. ix i Folosind eeşi propriette, vem însă şi x i ψx f x, y dy x i + ϕ x ϕ x f x, y dy În bz prorpietăţii de liniritte integrlei, vem x i ψx x i f x, y dy x i + x i x i ϕ x ϕ x x i x i x i ϕ x ϕ x f x, y dy ϕ nx ϕ n x ϕ x ϕ x f x, y dy + f x, y dy. f x, y dy + x i x i ϕ nx ϕ n x f x, y dy. Aşdr, vom ve ă b ψx f x, y dy n n x i i jx i ϕ j x ϕ j x f x, y dy. 4

5 Fieărui termen l sumei duble din relţi nterioră i se pote pli Lem.6. Notăm Folosind Lem.6, obţinem ij {x, y x [x i, x i ], y [ϕ j x, ]} m ij inf ij fx, y, m ij Ari ij x i x i m ij sup ij fx, y. ϕ j x ϕ j x f x, y dy M ij Ari ij, de unde, prin sumre, n i j n m ij Ari ij b ψx f x, y dy n n M ij Ari ij. i j r, um f este ontinuă pe domeniul ompt ij, vlorile m ij şi M ij se ting, în bz Teoremei lui Weierstrss, în punte din domeniul ij, diă sumele din drept şi stâng relţiei preedente sunt sume Riemnn. Mi mult, norm desompunerii relizte de noi v tinde ătre ând n, ir um f este integrbilă pe, v rezult ă mbele sume tind ătre f x, y dy. e ii, relţi 7. Observţi.8 Uneori, pentru uşurre srierii, preferăm notţiile: b ψx b ψx f x, y dy not f x, y dy, d ψy ϕy f x, y dy not d dy ψy ϕy f x, y. În zul unui domeniu dreptunghiulr, [, b] [, d], se observă fptul ă est este simplu şi în rport u Oy, şi u Ox, putând fi reprezentt sub orire din formele 4 şi 5. Spre exemplu, putem lu şi ψx d pentru orie x [, b]. În est z, formulele 7 şi 8 devin, respetiv, [,b] [,d] [,b] [,d] f x, y dy f x, y dy b d d b f x, y dy f x, y dy b d dy d b f x, y dy, 9 f x, y. 5

6 Mi mult, dă f este o funţie u vribile seprte, diă f se pote srie sub form f x, y f x f y pentru orie x, y [, b] [, d], tuni integrl dublă se luleză un produs efetiv de două integrle Riemnn simple, diă: b d f x, y dy f x f y dy. [,b] [,d]. Proprietăţi le integrlei duble Teorem.9 Propriette de liniritte în rport u integrndul Fie un domeniu ompt din R, f, g două funţii integrbile pe şi α un număr nenul. Atuni funţiile f + g, α f sunt integrbile pe şi, în plus: f + g x, ydy f x, y dy + g x, y dy, α fx, ydy α f x, y dy. Teorem. Propriette de ditivitte în rport u domeniul ă şi şi sunt seprte printr-o urbă netedă, ir f este integrbilă pe, tuni f este integrbilă pe i, i, şi rezultă fx, ydy fx, ydy + fx, ydy. Reipro, dă f este integrbilă pe i tuni f este integrbilă pe şi re lo eeşi relţie. Teorem. Fie un domeniu ompt din R,ir f o funţie integrbilă pe. Atuni funţiile f este integrbilă pe şi re lo: f x, y dy f x, y dy. Teorem. monotonie ă f, g : R sunt integrbile pe şi fx, y gx, y, x, y, tuni fx, ydy gx, ydy. ă pentru orie x, y re lo tuni este devărtă şi ineglitte m ri m fx, y M fx, ydy M ri. Teorem.3 de medie pentru integrl dublă Fie un domeniu ompt din R şi f : R o funţie ontinuă pe. Atuni există un punt x, y stfel înât f x, y dy f x, y Ari. 6

7 . Interpretre meniă integrlei duble Considerăm o plă plnă, de grosime neglijbilă, vând în fiere punt densitte de msă dtă printr-o funţie ontinuă şi pozitivă ρ x, y.. ms plăii mterile este: M ρ x, y dy.. oordontele entrului de greutte l plăii mterile sunt dte de formulele: x G M x ρ x, y dy, y G M y ρ x, y dy. 3. momentul de inerţie l plăii mterile, sitută în plnul xoy, în rport u o dreptă d su u un punt P este: r x, y ρ x, y dy unde r r x, y este distnţ de l un punt urent l plăii, M x, y, l drept d, respetiv l puntul P. În prtiulr, momentele de inerţie I Ox şi I Oy le plăii mterile în rport u xele de oordonte Ox, respetiv Oy, sunt: I Ox y ρ x, y dy şi I Oy x ρ x, y dy. e semene, momentul de inerţie l plăii mterile în rport u origine xelor de oordonte este: I O x + y ρ x, y dy. Evident, re lo: I O I Ox + I Oy... Exemple Exeriţiul.4 Clulţi următorele integrle duble pe domeniile indite: [. sin x + y dy, unde, π ] [, π ]. Soluţie. Cum este dreptunghiulr, vem, în bz formulei 9, Cum I x π π π sin x + y dy os x + y π π sin x + y dy. sin x + os x, rezultă sin x + os x. 7

8 dy., unde [, ] [, ]. x + y + Soluţie. Obţinem I x dy x + y +, x + y + dy x + y + x + x +, de unde 3. x + 4 ln. x + 3 xy dy, unde este domeniul pln limitt de prbol de euţie y 4x şi de drept de euţie x. Soluţie. Fig 5. omeniul este simplu în rport u mbele xe de oordonte. rport u x Ox, vem: de unde 4. I y 4 y dy 4 y xy, xy x y y y6 dy 3 3. y y6 3, 4 y Considerându-l simplu în x + y dy, unde este domeniul pln limitt de urbele de euţii: y x şi y x. Soluţie. Figur 6 omeniul hşurt pe figură este simplu în rport u mbele xe de oordonte. { Considerându-l domeniu simplu în rport u x Oy, îl putem srie sub form : x x y x, dei x x x + y dy x 5 + x 3 x [ x y + y ] x y yx 8

9 { y Considerând domeniu simplu în rport u x Ox, îl putem srie sub form : y x y, de unde 5. [ y x + y ] dy y y y 3 3 y6 y 3 [ x 3 x ] y 3 + xy dy dy x + y dy, unde este domeniul pln mărginit de dreptele de euţii: y x, y x +, y şi y 3. Soluţie. Figur 7 ă privim domeniul în rport u x Oy, trebuie să-l desompunem est domeniu în trei domenii, şi 3, simple în rport u estă xă, poi vom ve, folosind Teorem., ă x + y dy + x + y dy + x + y dy. 3 omeniul mărginit de prlelogrmul ABC este însă simplu în rport u x Ox, putând fi sris sub form { x, y R y [, 3], y x y }. Atuni dei 6. I y 3 y y dy x + y, y x + y x3 y xy 3 xy xy 3 y3 xy y 3 3 y 3 dy y 3 + y dy dy, unde: { x, y R y 8x, y x, y + 4x 4 }. x 3 + y, Soluţie. Figur 8. omeniul este hşurt în figur de mi sus. Pentru lul, împărţim domeniul în trei subdomenii simple în rport u x Oy şi vem dy I x, 3 9 dy I x dy 8 I 3 3 x x 8 3 x x 9 x 8x 8x 8x 4 4x 8 9 8x x dy x dy x + x x 9 x + 8x 4 x 4 x 4 4x + 8x x 9. 3 x + 9, 9

10 Aşdr, I + I + I Să se luleze ms plăii plne mterile re oupă domeniul pln: { x, y R x y 7, y 7 x } şi re re densitte ρ x, y Soluţie. Figur 9. Avem M 3 y + 7. dy ρ x, y dy y y dy 7 + y y y 7 + y dy Să se luleze momentele de inerţie in rport u xele de oordonte şi momentul de inerţie fţă de origine pentru pl mterilă plnă re oupă domeniul { x, y R x + y, x, y } şi re re densitte mterilă de msă dtă de ρ x, y + xy. Soluţie. Figur. Obţinem I Ox I Oy x x I O I Ox + I Oy 6. y + xy dy, x + xydy,.3 Shimbre de vribilă în integrle duble Considerăm două domenii ompte şi din R şi o trnsformre T :, de form x xu, v y yu, v, u, v, unde:. x, y sunt de lsă C ;. T este surjetivă; x u x x 3. Jobinul J u, v u v y y pe. u v O funţie u este proprietăţi v fi numită shimbre de vribile su de oordonte. Teorem.5 ă f este integrbilă pe, tuni re lo fx, ydy fxu, v, yu, v J u, v dudv.

11 Observţi.6 Sopul shimbării de vribile în integrl dublă este înlouire domeniului de integrre printr-un lt domeniu, sris, eventul, într-o formă mi simplă, e permite lulul mi uşor l integrlei..3. Shimbări de vribilă frevent utilizte. Coordonte polre Un dintre ele mi utilizte shimbări de vribile este treere de l oordonte rteziene l oordonte polre, şi se foloseşte în zul în re domeniul este un dis irulr, un setor irulr, o oronă irulră, et. În zul disului de rză r, trnsformre de oordonte este dtă prin { x ρ os θ y ρ sin θ, ρ, θ, unde { ρ, θ R ρ r, θ π }. x Jobinul trnsformării este: J ρ, θ ρ y ρ Figurile,. Coordonte polre generlizte x θ y ρ. θ ă domeniul este un dis elipti, un setor elipti, o oronă eliptiă, et. oordonte polre generlizte. În zul disului elipti definit prin } {x, y R x + y b, vom ve trnsformre { x ρ os θ y bρ sin θ, ρ, θ, unde { ρ, θ R ρ, θ π } În est z jobinul trnsformării este J ρ, θ bρ..3. Exemple Exeriţiul.7 Clulţi următorele integrle duble, pe domeniile plne speifite: sin x. + y dy, unde { x, y R π x + y 4π }. x + y Soluţie. Figurile, 3 Treem l oordonte polre. Vom ve { x ρ os θ y ρ sin θ, ρ [π, π], θ [, π]. Jobinul este dei sin x + y dy x + y J ρ, θ ρ, sin ρ π π ρ ρ dρdθ dθ sin ρ dρ 4π. π treem l

12 }. x y dy, unde: {x, y R x b + y b. Soluţie. omeniul este disul elipti de semixe, b >. Treem l oordonte polre generlizte. Vom ve x y b dy ρ bρdρdθ 3. π b dθ πb 3 ρ 3 ρ ρ dρ πb πb 3. ρ ρdρ x y dy, unde este domeniul pln mărginit de urbele de euţii: x + y ; y x; y 3x, >, x. Soluţie. omeniul de integrre este setorul irulr din figur de mi jos. Figur 4. Treem l oordonte [ polre. omeniul se trnsformă în domeniul l noilor vribile, π unde ρ [, ] şi θ 4, π ] dreptunghi u lturile prlele u xele de oordonte. Obţinem: 3 π ρ 3 ρdρdθ dθ ρ ρ dρ π3 π x + y 3 x y dy, unde este domeniul pln mărginit de dreptele d : x + y, d : x y, d 3 : x + y 3 şi d 4 : x y. Soluţie. Figurile 5, 6 Shimbăm vribilele prin: { x + y u x y v Atuni jobinul v fi x x J u, v u v y y u v ir integrl devine u 3 v dudv 3 x u + v y ; u [, 3], v [, ]. u v, u 3 du v dv 3. Exemplul.8 Să dăm un exemplu de lul pentru o integrlă impropie lrg utiliztă în teori probbilităţilor numită şi integrl lui Guss: e x.

13 [, [, Conform riteriului în α, rezultă imedit ă este onvergentă. Să înerăm să-i determinăm vlore. Ne vom oup de integrl improprie e x y dy I. Prin generlizre estă integrlă improprie este onvergentă dă există şi este finită limit lim n I n, unde I n : dy, ir Treând l oordonte polre, obţinem x y e n n : { x, y R x + y n }. I n π n ρe ρ dρ π e ρ n, de unde lim n I n π 4. Aşdr, π. Formul integrlă Riemnn-Green Aestă formulă integrlă ne dă legătur dintre integrl dublă pe un domeniu pln, înhis şi mărginit, şi integrl urbilinie pe frontier estui domeniu, onsidertă o urbă înhisă formtă dintr-un număr finit de re netede. Teorem. Fie R un domeniu mărginit de o urbă γ, de lsă C netedă şi fie γ, înhidere estui domeniu. Fie, de semene, P, Q funţii ontinue pe, împreună u derivtele prţile P y, Q. Presupunem ă este domeniu simplu în rport u mbele xe. În ipotezele x preedente re lo Q P x, y + Qx, ydy x P dy. 3 y γ emonstrţie. Presupunem ă este domeniu simplu în rport u x x. Integrl dublă P dy pote fi lultă pe domeniul simplu y {x, y x b, y ψx} şi vem b b P x, y ψx P y dy b b ψx P y dy P x, ϕ x P x, ϕ x b P x, y ϕ x ϕ x P x, ϕ x P x, ϕ x 3

14 P x, y C C C AB P x, y P x, y AB P x, y P x, y AB P x, y P x, y BC P x, y. γ A P x, y Figur 7. Am obţinut stfel P y dy P x, y. 4 γ Anlog se rtă ă Q x dy Qx, y. 5 γ in 4 5 rezultă prin dunre formul lui Green. Observţi. Formul rămâne vlbilă dă domeniul se desompune într-un număr finit de domenii simple, su dă γ este netedă pe porţiuni. Putem demonstr um o teoremă e re drept onseinţă independenţ de drum integrlei urbilinii de speţ dou. Teorem.3 Fie un domeniu simplu onex şi P, Q funţii ontinue pe împreună u derivtele prţile P y, Q. Presupunem ă este domeniu simplu, şi fie γ o urbă netedă înhisă inlusă x în. Următorele următorele firmţii sunt ehivlente: i P x, y + Qx, ydy. γ i P y Q, x, y. x emonstrţie. ii i ă pliăm formul lui Green, reltiv l domeniul mărginit de γ, obţinem Q P x, y + Qx, ydy x P dy. y γ ii i Reipro, presupunem ă deşi re lo i, există un punt P x, y stfel în est P y x, y Q x x, y. in ontinuitte derivtelor se pote presupune ă există un domeniu şi δ > stfel Q x P y > δ >. Apliăm formul lui Green, reltiv l domeniul, mărginit de γ, şi obţinem Q P x, y + Qx, ydy γ x P dy > y > δdy >. in estă ontrdiţie rezultă vlbilitte firmţiei ii i. 4

15 . Exemple Exeriţiul.4 Utilizând formul integrlă Riemnn-Green, lulţi următorele integrle urbilinii: [. x + y + y xy + lnx + ] x + y dy, unde C este frontier dreptunghiului C [, 4] [, ], prursă în sens trigonometri. Soluţie. Avem P x, y x + y, Q x, y xy + y ln x + x + y. Atuni Apliând Formul Riemnn-Green, obţinem C I R G Q x P y y. y dy 4. y + x dy, unde C : x + y, y. y dy 8. Soluţie. omeniul este determint de semidisul de rză din semiplnul superior. Figur 8. Vom ve I R G x y dy 3. C x x y dy x x x 4 3. x + y +x + y dy, unde C este onturul triunghiului ABC, u A, ; B, ; C, 3, prurs în sens trigonometri. Soluţie. A se observ figur următore. Figur 9. Obţinem I R G x y dy, unde euţiile dreptelor e mărgines domeniul sunt AB : y x, BC : y 4 x, CA : x. Aşdr, 4 x x x y dy 4 x