Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει φορτίο κτνεμημένο ομοιόμορφ στον όγκο του με πυκνότητ -1. μ/. Υπολογίστε I) την έντση του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο που πέχει πόστση ) >5c, β) πό c<<5c κι γ) < c πό το κέντρο του σφιρικού φλοιού II) τη διεύθυνση κι το μέτρο της τχύτητς με την οποί θ πρέπει ν εκτοξευθεί έν πρωτόνιο πό σημείο που πέχει πόστση = c πό το κέντρο του σφιρικού φλοιού ώστε ν εκτελεί ομλή κυκλική κίνηση. (Η μάζ κι το φορτίο του πρωτονίου είνι P =1.67 x 1-7 kg κι q =1.6 1-19 ντίστοιχ) Β. Ένς μκρύς ευθύγρμμος ρευμτοφόρος γωγός βρίσκετι πάνω σε μί οριζόντι επιφάνει κι διρρέετι πό ρεύμ έντσης 1. μα. Eν πρωτόνιο κινείτι πράλληλ με τον γωγό -προς την ντίθετη διεύθυνση του ρεύμτος- με στθερή τχύτητ. x 1 4 /s ώστε το διάνυσμ της τχύτητάς του κι ο ευθύγρμμος γωγός ν είνι στο ίδιο κτκόρυφο επίπεδο. Ν υπολογίσετε την τιμή της πόστσης d μετξύ του γωγού κι του πρωτονίου. Θεωρείστε ότι η επιτάχυνση της βρύτητς είνι g=9.81/s κι γνοήστε το μγνητικό πεδίο της Γης. Η μάζ κι το φορτίο του πρωτονίου είνι P =1.67 x 1-7 kg κι q =1.6 x 1-19 7 ντίστοιχ, μ ο = 4π x1 T / A. ΛΥΣΗ 1A. I) Κτσκευάζουμε μι σφιρική γκουσινή επιφάνει ομόκεντρη με το κέλυφος κι υπολογίζουμε το φορτίο που εγκλωβίζετι σε κάθε μι πό τις πρπάνω ποστάσεις οπότε εφρμόζοντς το νόμο του Gauss βρίσκουμε το ηλεκτρικό πεδίο το οποίο έχει κτινική διεύθυνση
Ε(4π )= Ε ( 4π ) = Ε= k (1) ε ) γι >5c το συνολικό φορτίο μέσ στη γκουσινη σφίρ είνι το άθροισμ του φορτίου που περικλείετι μέσ στο σφιρικό κέλυφος κι του φορτίου του σωμτίου. Ο όγκος του σφιρικού κελύφους είνι 4 V = π ( 5. ) (. ) = 19. x1 Κι το φορτίο του ( )( ) 6 8 Q = ρv = 1. x1 /. 19 x1 = 4. 5x1 9 8 7 άρ = 6x1 4. 5x1 = 1. x1 οπότε το ηλεκτρικό πεδίο διευθύνετι κτινικά προς μέσ κι δίνετι πό την (1) β) γι c<<5c το φορτίο του κελύφους είνι 4π 4π = ρ = ρ = ρ 4π = ρ = ρ Q V dv d V. (. ) οπότε = + κι άρ το ηλεκτρικό πεδίο δίνετι πό την (1). 9 6x1 Q γ) γι < c το συνολικό φορτίο μέσ στη γκουσινη σφίρ είνι μόνο το φορτίο του σωμτίου 9 6x1 = οπότε το ηλεκτρικό πεδίο δίνετι πό την (1) II) Γι το πρωτόνιο υ Σ F = a qe = υ = q E Το ηλεκτρικό πεδίο Ε υπολογίζετι πό την περίπτωση 1) γι = c ( ) 9 7 Q 8. 99x1 N 1. x1 εσ 4 k 11. x1 N / Ε= = = (. ) 19 4 qe 16. x1 ( 11. x1 N /). 5 Οπότε υ = = = 55. x1 / s 7 167. x1 kg Η διεύθυνση της τχύτητς πρέπει ν είνι κάθετη στο ηλεκτρικό πεδίο.
1B Έστω ότι το ρεύμ Ι είνι προς τ δεξιά. Στη θέση του πρωτονίου ο γωγός δημιουργεί μγνητικό πεδίο έντσης μι B = π d Αφού το πρωτόνιο κινείτι με στθερή τχύτητ σε πόστση d πό το σύρμ Σ F = άρ ) ) μ q g( j) q ( i)x ο Ι ) υμ k d ο Ι + υ = = πd π g 19 4 7 6 ( 16. x1 )(. x1 / s)( 4π x1 T/ A )( 1. x1 A) 7 4π ( 1. 67x1 kg )( 9. 81/ s ) = = 54. c ΘΕΜΑ Α. Σωμτίδιο μάζς =1.67 x 1-7 kg κι φορτίου q=1.6 x 1-19 εισέρχετι στην περιοχή (Ι) όπου επικρτεί ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης μέτρου Β=1 - T, με τχύτητ υ Α κάθετη στις μγνητικές γρμμές κι κάθετη στην πλευρά AB. Το σωμτίδιο διγράφει τετρτοκύκλιο μέχρι το σημείο Γ όπου κι εξέρχετι πό το μγνητικό πεδίο με τχύτητ μέτρου υ ο =1 6 /s. Στο σημείο Ο υπάρχει μί μικρή οπή μέσω της οποίς το σωμτίδιο εισέρχετι σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο που σχημτίζετι νάμεσ σε δύο πράλληλες μετλλικές πλάκες ΕΔ, ΖΗ με τχύτητ πράλληλη στις δυνμικές του γρμμές. Το πεδίο έχει έντση μέτρου Ε=.5 1 N/ κι φορά όπως φίνετι στο σχήμ. a) Ν βρείτε το μέτρο της τχύτητς υ Α του σωμτιδίου ότν εισέρχετι στο μγνητικό πεδίο. b) Ν υπολογίσετε την κτίν της τροχιάς που διγράφει το σωμτίδιο μέσ στο μγνητικό πεδίο. c) Ν υπολογίσετε τη διφορά δυνμικού μετξύ των πλκών ΕΔ, ΖΗ ώστε το σωμτίδιο ν φτάσει με μηδενική τχύτητ στην πλάκ ΖΗ.
d) Ν βρείτε το συνολικό χρόνο κίνησης του σωμτιδίου πό τη στιγμή της εισόδου του στο μγνητικό πεδίο μέχρι ν φτάσει στην πλάκ ZH. Η επίδρση του πεδίου βρύτητς ν θεωρηθεί μελητέ. B. Λεπτός δίσκος πό διηλεκτρικό κτίνς είνι φορτισμένος με επιφνεική Q πυκνότητ φορτίου σ = κι περιστρέφετι με στθερή συχνότητ v ως προς π a άξον κάθετο στην επιφάνει του κι διερχόμενο πό το κέντρο του. Υπολογίστε το μγνητικό πεδίο στο κέντρο του δίσκου. Υπόδειξη: Κάθε στοιχειώδες φορτίο στην επιφάνει του δίσκου είνι κίνητο ως προς το δίσκο. Συνεπώς κάθε στοιχειώδες φορτίο,, εκτελεί ως προς κίνητο πρτηρητή ομλή κυκλική κίνηση γύρω πό το κέντρο του δίσκου. Η ως άνω κίνηση των στοιχειωδών φορτίων είνι ισοδύνμη με κυκλικά ηλεκτρικά ρεύμτ με κέντρο το κέντρο του δίσκου. ΛΥΣΗ Α a) Αφού το μγνητικό πεδίο δεν λλάζει το μέτρο της τχύτητς υ Α = υ ο b) -7 6 ( 1.67 x 1 kg )( 1 /s) -19 - ( 1.6 x 1 ) 1 T υ R = Α = = 14. qb c) d) 1 υ Kτελ Κ ρχ = qv υ = qv V = q -7 6 ( 1.67 x 1 kg)( 1 /s) -19 ( 1.6 x 1 ) V = = 519V π Τ υ Bq υ π υ tολ = tμγν + tηλ = + = + = 4 4 qe q + = Β Ε -7 6 1.67 x 1 kg π 1 /s 4 6 6-19 + - = ( 1. 64x 1 4. 175x1 ) s = 5. 8x1 s 1.6 x 1 x1 T.5 1 N/ B. Θεωρούμε κυκλικό δκτύλιο κτίνς κι πάχους d. Το φορτίο στο δκτύλιο υτό είνι: Q Q π dq = σπd = πd = d
Ότν ο δκτύλιος περιστρέφετι με στθερή συχνότητ ν ως προς άξον κάθετο στην επιφάνει του το ηλεκτρικό ρεύμ λόγω της κίνησης του είνι Q = = ν κι το μγνητικό πεδίου εξ υτού του ρεύμτος στο κέντρο του di νdq d δκτυλίου θ είνι: μ di db = uz κι συνεπώς το συνολικό μγνητικό πεδίο θ προέλθει πό την π ολοκλήρωση σε όλη την επιφάνει του δίσκου: B = u d = u d = u = u μq 1 μq μq 1 μν Q zν ν ν π z z z 4π Ν πντηθούν όλ τ θέμτ. Τ θέμτ είνι βθμολογικά ισοδύνμ.