Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 6 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για παραγώγους (θεωρητική) Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f () 9 f. (). 4. f () f () 6 6 6 5. f () 9 4 6. 7. f () f () 8. f () 6 9. Δίνεται συνάρτηση f () υπολόγισε : 0,,,,,, f f f f f f f f 0. Δίνεται συνάρτηση f f f f f f f f 0 f (), να λύσεις τις εξισώσεις :. Δίνεται συνάρτηση f (),,0,, βρεις σύνολο τιμών Πεδίο ορισμού : h() f ()() 0 g g () f ()()() g0 g f () ln()() g 0 g
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 a a 6. Δίνεται συνάρτηση f (), a, η οποία τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο με τετμημένη, να βρεις : Πεδίο ορισμού Την τιμή του α Να αποδείξεις ότι f () a b. Δίνεται η συνάρτηση f () Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις τα α,β Να βρεις που τέμνει άξονες Να δείξεις ότι f () 8 4. Δίνεται συνάρτηση f () 7, να βρεις : Πεδίο ορισμού f, f Να λύσεις 7 f, η οποία διέρχεται από τα σημεία : A,5, B4, 5. Δίνεται συνάρτηση f () a, η οποία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα σε σημείο με τεταγμένη, να βρεις : Την τιμή του α Πεδίο ορισμού 6. Δίνεται συνάρτηση Πεδίο ορισμού f, f f () 6 Να λύσεις f 7 7. Δίνεται συνάρτηση α,β f, f f f () Να βρεις το πρόσημο : 8. P 9. P 6, να βρεις : a, b, όπου f f 5, να βρεις :
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 0. P. P 4. P P 4. 5 4. P 5. P 6. P 7. P Πρόσημο τριωνύμου: a b c Βρίσκεις ρίζες(αν υπάρχουν) και τις βάζεις στον πίνακα τιμών. Ξεκίνα από δεξιά με το πρόσημο της μεγαλύτερης δύναμης και κάθε φορά που περνάς από ρίζα αλλάζεις πρόσημο. Το νου σου : Αν Δ=0, θα έχω διπλή ρίζα, άρα δε θα έχω εναλλαγή προσήμου. Να λυθούν οι ανισώσεις γινομένου και πηλίκου : 8. 4 7 0 9. 6 4 4 0 0. 5 0... 9 0 4. 5. 6. 4 4 0 7 4 0 7. 0 5 6 0 9 0 4 0 7 4 0 0 8. 0 9. 40. 4. 0 Ανίσωση P 0 Q τότε λύνεις την ανίσωση : P Q 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 4. 4. 44. 0 5 0 0 Όρια 0 0 45. Να υπολογίσεις τα όρια : 46. 6 lim,lim 8 5 47. Να υπολογίσεις τα όρια : 48. 49. lim 0 lim 4,lim 4 lim,lim 6 9 6 lim,lim 7 5 6 4 5 5 5 5,lim 8 50. Να υπολογίσεις τα όρια : lim,lim 4 5. 5. 5. 54. 4 4 lim,lim 4 lim,lim 6 lim,lim 0 0 4 lim,lim 7 49 0 55. Να υπολογίσεις τα όρια : 56. 57. lim,lim 4 8 5 4 0 4, 5 lim 4 5 5 5 lim,lim 6 8 5 h 4 5 lim,lim, lim, lim 5 0 5 h h 6 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornrσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές D l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το lim()f τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει...() f... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά. 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 a, 58. Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 59. Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, a, 60. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a, lim() f a, 6. Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο 4, 4, 6. Αν f () 4,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 6. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 64. Αν (), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 65. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 66. Αν f () 5 a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το lim() f, 67. Αν f (), lim(),lim(),lim(),lim() f f f f 5, 0 a, 68. Αν f (), να υπολογίσεις lim(), f lim() f, 69. Στην παραπάνω να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο 70. Δίνεται συνάρτηση, f () 5,, να βρεις : f (),(),(),lim() f f f 7. Δίνεται συνάρτηση f () 9, 09, να βρεις f (0),(),(),lim() f f f Συνέχεια 7. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο 4 7. Αν (), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5, 5, 74. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 75. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης, f () 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 76. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 77. Να μελετήσεις τη συνέχεια των συναρτήσεων : 9, 09,, 0 78. Ομοίως : f (),() f,() f f (),() 69 4,, 0, 0, 0 4, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της,, 0 f 4,, 0 79. Να βρεις το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f (),() ab, 80. Αν είναι συνεχής η f (),, να βρεις τα α,β a b5,, 8. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η f () b, a, a b, 8. Να βρεις τα α,β αν είναι συνεχής η συνάρτηση : f () a b,,,, a a a 5, f a, a b, 5, 8. Δίνεται η συνάρτηση f () (a ) b,, ή a, b ; b, 84. Αν η συνάρτηση διέρχεται από Α(,), f (), ή a, b ; a6, Επαναληπτικές ασκήσεις 85. Να βρεις τα όρια : ( ) a a lim,lim,lim a a 4 86. Να υπολογίσεις : lim,lim,lim 9 87. Να υπολογίσεις : a lim,lim a a 88. Να υπολογίσεις : 4 5 lim,lim 0 4 5, 89. Αν f (), lim(),lim(),lim(),lim() f f f 5, 0 f a, 90. Αν f (), να υπολογίσεις lim(), f lim(), f 6 9 6 9. Υπολόγισε τα όρια : lim,lim,lim 4 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 9. 4 lim,lim,lim 0 g() lim(),lim() lim (),lim,lim f ()() 9. Αν f g f 94. Αν 95. Αν 0 0 0 0 0 f () lim() f ;,lim() ; f 9 f () g f ()()()() h f f h f f ()(),(), f f,lim h ; h h 0 h 96. Να υπολογίσεις τα όρια : 97. 98. lim 0 lim 9 7,lim 6 6,lim 4 lim,lim 6 6 9 8 5 99. Να υπολογίσεις τα όρια : lim,lim 5 4 5 4 00. lim, lim 4 8 0. Δίνεται συνάρτηση f () a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β 0. Δίνεται συνάρτηση 0. Δίνεται συνάρτηση f (), να βρεις τα α,β όταν lim() f,lim() 4f f () a b a, να βρεις α,β ώστε lim() f b 0 04. Να εξετάσεις αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : f (),() g και να διέρχεται από Α(,),0 4, 5,48 4,5 05. Δίνεται η συνάρτηση f () a 4,, a b,(, A ), B, b 7 Να βρεις α,β. 06. Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η, 0 f (), 0 65, 07. Να εξετάσεις αν είναι συνεχής η συνάρτηση f () 5, 4, 08. Να εξετάσεις αν έχει όριο στο η συνάρτηση h() 5, και επιπλέον αν είναι συνεχής η συνάρτηση, 6, 09. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :() f ab,(), g, ablim(),lim(), f, g; a b 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Όλα είναι παράγωγοι... Παραγώγιση συναρτήσεων 0.. 4 f f () (). f (). f () 4. f () 5. f () 6. f () 7. () 8. () 9. f f f () f 0. (). f () ln. f () ln. f () ln 4. () 5. 6. 7. 8. f f () f () f () f () Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' ' ' ' ' ' ' v v a ' v ln ' ' Κανόνες παραγώγισης f g ' f ' g ' f g ' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g ' 8
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 9. f () 0. f (). f (). f (). f () ln 4. f () 5. f () ln 6. f () 7. () 8. 9. 40. 4. f f () ln f () f () f () 4. f () 4. f () ln 44. f 45. f () 4 46. f () 47. f () ln 48. () f () f 49. () 50. 5 f () 9
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 5. f () f 5. () 5 4 5. 54. 55. 56. 57. 58. f () 4 ln f () f () ln f () f () 59. () 60. 6. 6. 6. 64. f () 9 5 f f () ln f () f () ln f () 5 f () 65. f () ln Μονοτονία ακρότατα Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 66. 67. f () 4 f () 68. f () ln 69. f () Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '() Λύνω f '() 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '() 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 f 70. () 7. 7. 7. 74. 75. 76. 77. 78. 79. f () ln f () 8 f f () () 7 f () f () 4 f () f () 80. () 4 4 f () f 8. f (),, 8. f () f f () 8. () 84. 85. f () 86. f () 87. f () ln 88. 89. 90. 9. f () f () f () 6 f () 6 5 9. f () 9. f () 4 94. f () 95. f () ln 96. 97. f () f ()
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 98. () 99. f f () ln 00. f () ln 0. f () ln 0. f () 0. f () 04. f () 05. f () 06. f () ln 07. 08. 09. f () ln f () f () ln 0. f. f () 4. f () ln. () () f 4. 5. 6. 7. 8. 9. f () 4 ln f () f () f () f () f () 9 5 ln
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 0.. f () f () 5. f (). f () 4. 5. 6. 7. f () f () f () f () Σύνθετη παραγώγιση 8. 9. f () f () 0. f () ln. f (). f (). f () 5 Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 4. 5. f () 4 f () 6 5 6. f () ln 7. f () ln 8. f () ln 9. f ()( ) 40. f () 4. f () ln f ()() f ' f '() f () ' f'() () f f () '() '() f f f () '() '() f f ()() v v f v '() f f ln() f ' '() f f () f () ' f () f '() f () ' f () f '() 4. f () 4. f () ln
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 44. f () 45. f () 46. f () 47. f () 48. 49. f () f () 50. f () ln f () 5. 5. f () 5. f () f 54. () 55. f () 56. f () ln 5 57. f () ln 58. f () 59. f () ln 60. f () ln 5 6. 6. f () f () ln 6. f () 64. f () ln f () 65. 0 66. f () 67. f () ln 68. f () Το νου σου a ' a ln a ln ln ' ' '... Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 69. f () 70. f () ln 7. f () ln 9 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 f () 7. f () 7. 4 f () 74. 75. f () 4 76. f () ln 77. f () 6 9 78. () 79. 80. 8. 8. 8. f f () f () f () 5 7 4 8 f () f () 84. f () 85. 86. 87. 88. 89. 90. () f () f () f () ln f () ln f () f Προβλήματα 9. Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 9. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 9. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 94. Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά. Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 95. Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 96. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία. Ν.δ.ο. η υποτείνουσα 0 a. Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 97. Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του. Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 98. Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό Θυμίζω : τετμημένη, o τεταγμένη y, yo Μορφή εφαπτομένης (ε) y y o o y0 f o f ' 99. Δίνεται f () a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι 4 00. Δίνεται o o f () Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με (ε) διέρχεται από :, y (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 o (ε) / / y (ε) y o (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' () τετμημένη 0 0. Δίνεται 0. Δίνεται f () 5 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f () a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 0. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f (), ' στο σημείο με τετμημένη 4 04. Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 05. Δίνεται f () / / ' f (), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη 6 06. Δίνεται η συνάρτηση f (), να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ. άξονα 07. Να βρεις την εφαπτομένη της 08. Να βρεις την εφαπτομένη της f () που είναι / / y f () που είναι 4y 0 09. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f () a,() b g, να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 0. Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της f ().. Αν b. Να βρεις α,β όταν f (), f '() f () a f''() () f f () a b f''()() 0a f. Αν 4. Αν f () f''() '()() f 0 f 5. Αν f () () ''() f0 f Εφαρμογή Frmat 6. Αν f () b a 4, να βρεις τα α,β ώστε να έχει μέγιστο στο - με τιμή 7. Αν, να βρεις τα α,β αν η συνάρτηση έχει στο τοπικό μέγιστο με τιμή 5 4 f () a b 8. Αν 9. Αν f () a b, να βρεις τα α.β ώστε να έχει ακρότατο στο και να διέρχεται από το Α(0,) f () a, να βρεις το α ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στο π/ 0. Να βρεις πολυώνυμο ου βαθμού με P ''() 0,() P, P'() 0,() P a b. Να βρεις τα α,β για να έχει ακρότατο στο Α(,-) η συνάρτηση f () Επαναληπτικές ασκήσεις. Να βρεις παραγώγους f (),() f,() f ln,() f f () ln,() f ln 4,() f,() f 5,() f ln f (),() f,() lnf,() f. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού f 0 (),() ln,() ln,() f f f 0 f (),() f,() f. 4. Να βρείς μονοτονία,ακρότατα (πρώτα πεδίο ορισμού) (),() f f,() f ln,() ln f, f () ln 4, 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 f () 4,() f ln 9,() f 4,() ln f 6,. f (),() f 6 9,() f 0 5. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f 6. Να βρείς τα α,β,γ ώστε 7. Να βρείς τα α,β ώστε 8. Να βρείς τα α,β ώστε 9. Να βρείς το α ώστε 0. Να βρείς τα α,β ώστε. Να βρείς τα α,β ώστε f () (),,. f (),(0) f,(0) f, ''(0) f. f (),() f, '() f. f (),(0) f, '(0) f. f (),να έχει ακρότατο στο χ=. f (),να έχει τ.μ. στο χ= με τιμή 5., να έχει τ.ε.στο χ= με τιμή. Προσοχή η Το νου σου : η f έχει ακρότατο (τ.μ ή τ.ε.)στο χ=0 f '(0) 0. f έχει ακρότατο (τ.μ ήτ.ε) στο χ=0 με τιμή 0 f '(0) 0,(0) f 0 f () ln,() f 4,() lnf 9,() f. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού. Ομοίως 0 6 f (),() f,() f ln 5,() f f () ln 4 4. Ομοίως, 0 f () 6,() f,() f 5. 9 5. Να βρεις πεδίο ορισμού και μονοτονία,ακρότατα (),() f f,() fln,() ln 5 f, f () 6,() f ln 8,() f 4,() ln f,. f (),() f 4 4,() f 0 6. Να βρείς τα α,β ώστε f a b f f () 5, 0 0, '. 8
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 7. Να βρείς τα α,β,γ ώστε 8. Να βρείς τα α,β ώστε 9. Συμπλήρωσε τον πίνακα : fέχει τ.ε. στο χ=5 f έχει τ.μ. στο χ=- f έχει ακρότατο στο χ=0 f έχει τ.ε. στο χ= με τιμή f έχει τ.μ. στο χ=- με τιμή f έχει ακρότατο στο χ=-5 με τιμή f () a,() f,() f, ''() f. f (),() f, '() f 5. 40. Να βρείς τα α,β ώστε 4. Να βρείς το α ώστε 4. Να βρείς τα α,β ώστε 4. Να βρείς τα α,β ώστε f () f (),() f, '() f. f (),να έχει ακρότατο στο χ=. f (),να έχει τ.μ. στο χ= με τιμή 6., να έχει τ.ε. στο χ=- με τιμή. 44. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής των συναρτήσεων f (),() f ln,() f 45. Να βρεις τα α, β ώστε η συνάρτηση να διέρχεται από το Α(,) και να έχει ρυθμό μεταβολής στο χ= με τιμή 5 όταν f () a b. 46. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f () 47. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα της f '() όταν. 48. Να βρεις το ρυθμό του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης : f () f () 49. Ορθογώνιο έχει περίμετρο 00. Να βρεις διαστάσεις του ώστε να έχει μέγιστο εμβαδό 50. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 0. Να βρεις τους αριθμούς ώστε το γινόμενο του ενός επί το τετράγωνο του άλλου να γίνεται μέγιστο 5. Αν f () a b c, a, b c ; όταν η συνάρτηση διέρχεται από το Α(-,), έχει ελάχιστο στο χ= και έχει ρυθμό μεταβολής στο χ= ίσο με 5. Δίνεται τετράγωνο πλευράς χ. Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδό του. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου και του εμβαδού όταν η πλευρά είναι 5. Δίνεται κύβος πλευράς χ. Να βρεις εμβαδό και όγκο. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν το χ= 54. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετράγωνη βάση πλευράς χ και ύψος χ. Να βρεις τοεμβαδό και τον όγκο. Να βρεις το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του όγκου όταν χ= 55. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα του ρυθμού μεταβολής της 56. Να βρείς τα α,β ώστε 57. Να βρείς τα α,β ώστε f () f () f () ln,να έχει τ.μ. στο χ= με τιμή 5., να έχει τ.ε.στο χ= με τιμή. 9
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 58. Να βρεις τα ακρότατα της f ''() :() f 4 0