ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο λευκές από την Α και τοποθετούνται στην Β Ε : εξάγονται δύο µαύρες από την Α και τοποθετούνται στην Β Ε 3 : εξάγονται µία λευκή και µία µαύρη και τοποθετούνται στην Β P(Ε ) 3 3 6, P(Ε ) 3 3, P(Ε 3 ) 6 3 3 6 Έστω Λ: το ενδεχόµενο να εξάγεται λευκή από την Β. Τότε (τύπος ολικής πιθανότητας) P(Λ) P(Λ/E )P(E ) + P(Λ/E ) P(E ) + P(Λ/E 3 ) P(E 3 ) () Όταν πραγµατοποιείται το Ε το περιεχόµενο της Β κάλπης θα είναι 6 + 8 λευκές και 8 µαύρες άρα P(Λ/E ) 8 6 Όταν πραγµατοποιείται το Ε το περιεχόµενο της Β κάλπης θα είναι 6 λευκές και 8 + µαύρες άρα P(Λ/E ) 6 6 Όµοια P(Λ/E 3 ) 7 6

Αντικαθιστούµε στην () τις τιµές αυτές και τις P(E ), P(E ), P(E 3 ) που βρήκαµε παραπάνω και έχουµε το τελικό αποτέλεσµα. Άσκηση.34 σελ. 45 α) P( A B ) P(A) + P(B) P(A B) Όµως P(A B) P(B/A)P(A) άρα P( A B ) P(A) + P(B) - P(B/A)P(A),4 +,55,8,4 Τελικά P( A B ),63 β) P(A B ) P((A B) ) - P( A B ),63,37 Άσκηση.35 σελ. 45 Έστω Λ το ενδεχόµενο λειτουργίας της µηχανής Α το ενδεχόµενο η µηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση Α Β το ενδεχόµενο η µηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση Β Από την εκφώνηση P(Λ/A) 4 5, P(Λ/Β) 5, P(A) 3 4, P(B) 4 α) P(Λ) P(Λ/Α)P(Α) + P(Λ/Β) P(Β),7 β) Έστω Υ ο αριθµός ανταλλακτικών στα 4 που καθιστούν δυνατή τη λειτουργία της µηχανής. Υ είναι τ.µ. µε τιµές,,,3,4 και κατανοµή b( N4, p,7). Ζητείται η : 4 P( ) P(<) - P( ) - p (- p) 4 Άσκηση.36 σελ 46 α) Λ : λευκή κατά την πρώτη λήψη, P(Λ ) 4 9 Μ : µαύρη κατά την πρώτη λήψη, P(M ) 5 9 Λ : λευκή κατά την δεύτερη λήψη Μ : µαύρη κατά την δεύτερη λήψη Ζητείται η P(Λ ). Έχουµε :

P(Λ ) P(Λ /Λ )P(Λ ) + P(Λ /Μ ) P(Μ ) () Όµως P(Λ /Λ ) 7 διότι όταν πραγµατοποιείται το Λ προστίθενται 3 λευκές στην κάλπη και το περιεχόµενό της είναι 7 λευκές και 5 µαύρες. Όµοια P(Λ /Μ ) 4. Αντικαθιστούµε στην () και βρίσκουµε P(Λ ),46 β) Έστω Λ 3 : λευκή κατά την τρίτη λήψη. Κατά τις δύο πρώτες λήψεις πραγµατοποιείται ένα από τα ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα : Ε Λ Λ, Ε Λ Μ, Ε 3 Μ Λ, Ε 4 Μ Μ Σύµφωνα µε τον τύπο ολικής πιθανότητας : P(Λ 3 ) P(Λ 3 /Ε )P(Ε ) + P(Λ 3 /Ε ) P(Ε ) + P(Λ 3 /Ε 3 )P(Ε 3 ) + P(Λ 3 /Ε 4 ) P(Ε 4 ) () Όµως P(E ) P(Λ Λ ) P(Λ /Λ )P(Λ ) 7 4 9 8 8 P(E ) P(Λ Μ ) P(Μ /Λ )P(Λ ) 5 4 9 8 P(E 3 ) P(Μ Λ ) P(Λ /Μ )P(Μ ) 4 5 9 99 P(E 4 ) P(Μ Μ ) P(Μ /Μ )P(Μ ) 7 5 9 35 99 Επίσης P(Λ 3 /Ε ) 5, P(Λ 3/Ε ) 7 4, P(Λ 3/Ε 3 ) 7 4, P(Λ 3/Ε 4 ) 4 3 Αντικαθιστούµε στην () και βρίσκουµε P(Λ 3 ),473 γ) P(Λ Λ 3 ) P(Λ Λ ) P(Λ 3) P( Λ Λ ) P(( Λ Λ ) Ω ) P(( Λ Λ ) ( Λ Μ ) Όµως 3 3 3 P(( Λ Λ Λ ) ( Λ Λ Μ )) P( Λ Λ Λ ) + P( Λ Λ Μ ) 3 3 3 3 P( Λ / Λ Λ )P( Λ Λ ) + P( Λ / Λ M )P( Λ M ) 3 3 P( Λ / E )P(E ) + P( Λ / E )P(E ),65 3 3,65 Άρα P( Λ/ Λ 3),56, 473 3

Άσκηση. σελ. 9 Αν Χ ο αριθµός λευκών σφαιρών στην Α τότε Χ 4, 5, 6 Η σ.µ.π. είναι οι πιθανότητες P(4), P(5), P(6) Λ Α Λ Β : το ενδεχόµενο λευκή από την Α στη Β και λευκή από τη Β στην Α Λ Α Μ Β : το ενδεχόµενο λευκή από την Α στη Β και µαύρη από τη Β στην Α Μ Α Λ Β : το ενδεχόµενο µαύρη από την Α στη Β και λευκή από τη Β στην Α Μ Α Μ Β : το ενδεχόµενο µαύρη από την Α στη Β και µαύρη από τη Β στην Α Τότε : P(Λ Α Λ Β ) P(Λ B /Λ A )P(Λ Α ) 4 5 9 9 P(Λ Α Μ Β ) P(Μ B /Λ A )P(Λ Α ) 6 5 9 3 9 P(Μ Α Λ Β ) P(Λ B /Μ A )P(Μ Α ) 3 4 9 9 P(Μ Α Μ Β ) P(Μ B /Μ A )P(Μ Α ) 7 4 9 8 9 Τώρα P(4) P(Λ Α Μ Β ) 3 9 P(5) P(Λ Α Λ Β Μ Α Μ Β ) P(Λ Α Λ Β ) + P(Μ Α Μ Β ) 9 + 8 9 48 9 P(6) P(Μ Α Λ Β ) 9 Άσκηση.7 σελ. 9 Η υπόθεση P( t < T < t + dt T>t ) β(t)dt νοείται µε την έννοια ότι P( t < T < t + h T>t ) β(t)h για µικρά h >. Άρα P({t < T < t+h} { T>t }) β(t)h P( T>t ) και συνεπώς P( t < T < t+h) ( P( T t ))β(t)h άρα F( t+h ) - F( t ) h ( F( t ) )β(t) όπου F η σ.κ. της Τ. Για h έχω F ( t ) ( F( t ) )β(t) (*) 4

α) Αν β(t) αt µε α> τότε F ( t ) ( F( t ) ) αt F (t) -( - F(t)) αt αt - F(t) - F(t) + [l(- F(t)] αt l(- F(t)) αt c Επειδή είναι λογικό να υποθέσουµε ότι F() βρίσκουµε c και άρα (t) F (t) αte αt, t > (Raleigh) β) Αν β(t) α µε α > τότε όµοια όπως στο α) βρίσκουµε F(t) e -at, t και συνεπώς (t) αt -at, t> (Εκθετική) γ) Από την (*) έχω F ( t ) ( F ( t ) )β (t), F ( t ) ( F ( t ) )β (t) άρα F ( t ) ( - F ( t ) )²β (t) ( - F ( t ) )²β (t) F ( t ) ( - F ( t ) )²β (t) ( - F ( t ) )²κβ (t) F (t) F (t) κ -F (t) -F (t) κ[l(-f (t))] [l(-f (t))] άρα κ [l(-f (t)) ] [l(-f (t))] και αφού F()F () έχω - F (t) [ - F (t) ] κ δηλαδή P(T >t) [P(T >t)] κ. άρα Άσκηση.8 σελ. 9 P(A) P(B) Αν Τ ο χρόνος ζωής του ανταλλακτικού τότε από εκφώνηση P( T t A) e -αt, P( T t B) e -βt για t> και µηδέν για t. H σ.κ. της Τ είναι: α) F(t) P(T t) P( T t A)P(A) + P( T t B)P(B) { -αt -βt, t e e, t> P( t < T t B)P(B) β) P(B t <T<t ) P( t < T < t ) (Baes) 5

-αt -βt e e Όµως P(t <T<t ) F(t ) F(t ) -αt -αt -βt -βt e e + e e -αt -βt e e Εξάλλου P( t < T t B) P ( { (T t ) (T t )} B) P(T t B) P(T t B) -βt -βt -βt -βt e ( e ) e e Αντικαθιστούµε στον τύπο του Baes παραπάνω έχουµε : P(B t <T<t ) -βt -βt (e e ),5 -βt -βt -αt -αt (e e + e e ),5 Άσκηση. σελ. 9 Έστω Τ η διάρκεια ζωής του ανταλλακτικού Τότε P(T> A) ενώ P(T> B) P(>) - x 3 3 (x)dx [ e ] e Τώρα P(T>) P(T> A)P(A) + P(T> B)P(B) Όµως P(T>).9, P(B) P(A) και συνεπώς.9 P(A) + 3 e ( P(A) ) άρα 3 3.9 P(A) e P(A) + e.9 e P(A) e 3 3 Άσκηση.3 σελ. 9 (x,) για <x<<, και παντού αλλού 6

α) (x) + (x,)d για x (,) (x,) T άρα (x) για x (,) έχω (x) (x, )d + d (x, )d d + [l ] l x Συνολικά: (x) { x c x (,). x -lx, x (,), x (,) β) (x,) ( x) (x) l l όταν <x<< και παντού αλλού. γ) P(+> ) (x,)d όπου Α{(x,): x+> } A Επειδή όµως εκτός του τριγώνου Τ και θέτοντας Γ Τ (Β Β ), (δες σχήµα) έχουµε: P(+> ) dxd dxd B Γ dxd dxd B B B 4 dxd dxd 4 d 4 d 4 4 d + d d 4 4 7

[l ] l,6534 4 Άσκηση.5 σελ. 9 (x,) c(x + ) όταν (x,) (,) (,) και παντού αλλού α) + + T (x, )dxd c(x + )dxd c (x + )dxd 3 c ( + )d c ( + ) c 3 3 3 3 β) P({< } ( < }) (x )dxd + 4 γ) Έστω T (,) (,) και A {(x,):x+ > } Επειδή εκτός του Τ τελικά αποµένει : 3 P( + > ) (x + )dxd 3 3 ( (x ))dxd + 4 B δ) + P( < ) P({ < } { < <+ }) (x, )dxd 3 3 3 3 5 (x + )dxd ( )d ( )d ( ) + 4 4 + + 4 3 6 Άσκηση. σελ. 9 (διορθωµένη) (x,) x ρx e όταν x>, > και παντού αλλού. Με ρ (,). ρ Θα βρούµε πρώτα τις περιθώριες κατανοµές (x) και (). Για x έχω + (x) d 8

Για x> έχω + + (x) e d e e d e [ e ρ ρ ρ ρ x+ x ρx x ( ρ x+ ) x ( ρ x+ ) + Συνολικά x e ρ +ρ x e x (x), x> x ρ +ρ x, x Όµοια e (), > ρ +ρ x, Όταν p τότε x x (x,) e, (x)e, ()e για όλα τα x,>. Προφανώς (x,) (x) () x,> άρα Χ,Υ ανεξάρτητες. Αντίστροφα: Όταν Χ,Υ ανεξάρτητες τότε (x,) (x) () για όλα τα x, άρα ] x x ρx e e e x,> άρα ρ +ρ x +ρ άρα ρx lim e lim ( + ρ x)( +ρ )( ρ ) x x άρα e x,> (+ρ x)(+ρ)( ρ) ρx e άρα ρ ρ Άσκηση.3 σελ. 93 c(x ), x (x,) { +, παντού αλλου Πρέπει + + (x, )dxd c(x )dxd c (x )dxd T + + 9

+ c ( )d c + (x) (x,)d (x,)d αφού όταν (,) Όταν x (,) τότε (x,) T και (x,) άρα (x) d Όταν x x (,) τότε (x) d + (x + )d 3x x x + + 3x x, x άρα (x) { + + < <, x (,) () (x, )dx (x, )dx άφου όταν x (,) + Όταν (,) τότε (x,) T και (x,) άρα () dx Όταν (,) τότε () dx + (x + )dx 3 άρα () { 3, < <, (,) Επειδή (x) () ( 3x + x + ) 3 (x + ) (x, ) για (x,) T συµπεραίνω ότι Χ,Υ εξαρτηµένες. Άσκηση.5 σελ. 93 Έστω,,..., τ.µ. ανεξάρτητες και ισόνοµες µε σ.κ. F. Θέτουµε Υ max{ } και Ζ mi{ }. Να ευρεθεί η κατανοµή των Υ και Ζ. Από υπόθεση F(x) P(,,...,,,..., i x), x για κάθε i,,,. Από τον ορισµό της σ.κ. έχουµε για την F της τ.µ. Υ F () P( ) P(max{,,..., } ) Όµως max{,,..., } ισοδυναµεί µε { } { }... { } Άρα F () P({ } { }... { }) και λόγω ανεξαρτησίας F () P(i ) F() (F()), i i Άρα F() (F()),

Αν υπάρχει σ.π.π. της τ.µ. Υ τότε (F())' άρα () (F()) () F (z) P(Z z) P(mi{,,..., } z) P(mi{,,..., } > z) Z P({ > z} { > z}... { > z} P( > z) ( P( z)) ( F(z)) άρα i i i i i F Z(z) ( F(z)), z Όσο για την σ.π.π. της τ.µ. Ζ είναι: Z(z) ( F(z)) (z), z Άσκηση.6 σελ. 93 Εύκολα βρίσκουµε τις επιµέρους κατανοµές των Χ, Υ (x) x { > e, x, x< () Υ e, > {, < Αφού (x) () (x,) συµπεραίνουµε ότι οι τ.µ. Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. α) Όταν τα εξαρτήµατα είναι «εν σειρά» τότε η διάρκεια ζωής του συστήµατος είναι η µικρότερη των διαρκειών ζωής των δύο εξαρτηµάτων (δεν ξέρουµε όµως ποια από τις δύο είναι). Έτσι η διάρκεια ζωής Τ του συστήµατος είναι Τmi{,}οπότε έχει σ.π.π. σύµφωνα µε το προηγούµενο(ασκ..5) : t T (t) ( F(t))e, t > όπου F η σ.κ. των Χ,Υ δηλ. Άρα t T (t) e, t > Συνεπώς η ζητούµενη πιθανότητα είναι : P( < T < ) e dt [ e ] e e F(t) t t (ω)dω e, t - > t t 4 * β) Αν T η διάρκεια ζωής του συστήµατος των δύο εξαρτηµάτων τότε είναι η µεγαλύτερη από τις δύο αφού είναι «εν παραλλήλω» άρα t Συνεπώς * (t) F(t) e, t > T t t t t Άρα * (t) ( e )e e e, t > T * T max{,}.

Άρα P( < T < ) (t)dt... * T Άσκηση 3. σελ. 7 Έστω Χ η διάρκεια ζωής (σε έτη). Από την εκφώνηση ~ N(µ,σ ). Έστω t ο ζητούµενος χρόνος εγγύησης. Όταν <t αντικαθίσταται ο λέβητας, αλλιώς όχι. Συνεπώς το ποσοστό των αντικαθιστώµενων λεβήτων θα είναι επιθυµητό να είναι : Όµως P( < t), µ t t P( < t) P( ) Φ( ) άρα σ P( < t) t Φ( ), () Στους πίνακες της Κανονικής κατανοµής αναζητώ αριθµό α τέτοιο ώστε Φ(α), δηλ. Φ(α),98 δηλ. Φ (-α),98 και βρίσκω ότι -α,5 άρα α,5. Συνεπώς από την () έχω και είναι t Φ( ) Φ(α) Φ(,5) και επειδή η Φ αύξουσα συµπεραίνω ότι t,5 άρα t 7,(έτη). Άσκηση 3.3 σελ. 7 κ λ λ ~ P( λ) δηλ. P( κ) e, κ,,,... κ! α) Έστω Υ ο αριθµός των καταγραφοµένων ατελειών. Τότε Υ,,, και προφανώς Υ Χ. Ζητούµε την P( m) P( m κ)p( κ) (τύπος ολικής πιθανότητας). Όµως όταν κ < m τότε P( m κ ) διότι είναι αδύνατο να καταγραφούν m ατέλειες όταν οι πραγµατικές είναι κ < m και συνεπώς P( m) P( m κ)p( κ ). Όµως οι καταγραφόµενες ατέλειες στις κ κ m πραγµατικές µε πιθανότητα καταγραφής p της κάθε µιας ακολουθούν διωνυµική κ m κ m κατανοµή b(n κ,p) δηλαδή: P( m κ) p ( p) και άρα m κ κ λ P( m) p ( p) e p e ( p) κ m m κ! m! κ m( κ m)! κ m κ m λ m λ κ m κ m λ λ m

κ m m λ m [ λ( p)] m λ λ( p) [ λ( p)] p e λ ( λp) e ( + + +...) m! ( κ m)! m!!! κ m m m λ λ( p) λp ( λp) ( λp) e e e, m,,, m! m! δηλαδή η τ.µ. Υ ακολουθεί κατανοµή Poisso µε παράµερο λ p. β) P( > 3 ) P( 3 ) P( 3 ) P({ } { 3} ) P(x ) P( 3 ) P( και ) P( 3 και ) P() P() Όµως P( και Υ ) P( )P( ), P( 3 και Υ ) P( 3)P( 3) όπου: P( ) p ( p) Άσκηση 3.4 σελ. 7 και 3 P( 3) p ( p) 3 l x l t x e P( ) (x)dx e dt ( (l ). σ π Φ σ µ Όµως σ, µ άρα P( ) Φ( (l )) Φ (),9775 Άσκηση 3.5 σελ. 7 α) Το ποσοστό των κατάλληλων είναι η πιθανότητα : 5 5 µ 5+ 5 µ P(5 < < 5+ ) P( < < ) P( < < ),5 σ,5 Φ() Φ( )Φ() ( Φ())Φ(),9775,955 β) Έστω Υ,,,3,4 ο αριθµός των κατάλληλων στα 4. Τότε Υ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή δηλ.: 4 k k 4 k P( k) p ( p) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: όπου p,955 4 4 3 4 3 4 P( 3) P({ 3} { 4}) P( 3) + P( 4) p ( p) + p ( p) όπου p,995. Άσκηση 3.7 σελ. 7 α) Από τον τύπο ολικής πιθανότητας: σ 3

P( < 4) P( < 4/ A)P(A) + P( < 4/ B)P(B) Όµως αν είναι τύπου Α τότε Άρα ~N( µ 44, σ 3 ) µ 4 44 P( < 4/ A) P( < ) Φ ( ) Φ ( ),84,6 σ 3 Και όµοια Άρα Συνεπώς µ 4 36 P( < 4/ B) P( < ) Φ ( 5 ),95 σ 3 3 P( < 4),6 +,95,4 3 3,6 P( < 4/ A)P(A) P(A / < 4) 3,5 P( < 4),4 β) Έστω,,,..., ο αριθµός ανταλλακτικών στα µε διάρκεια ζωής µικρότερη του 4. Τότε η τ.µ. Υ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή b(n,p,4) και άρα P( 5) P( > 5) P({ 6} { 7}... { }) P( 6) P( 7)... P( ) p ( p)... p ( p) 6 όπου p,4 Ασκηση 4. σελ.5 (c+x) (c-x), για καθε x () () + x w+ c + + + - 6 4 I x(x)dx ( w+ c) ( w+ c) dw w( w+ c) dw+ c( w+ c) dw + + + c w z + w ( c w) dw + c ( w + c) dw w ( c w) dw + c ( c z) ( z) dz + c + + c ( z) dz z ( z) dz + c c I + c c I I c I c () Ασκηση 4.5 σελ.5 N( µ, σ ) συνεπώς (x) e σ π ( x µ ) Χρησιµοποιώντας τον τύπο + E[g(x)] g(x)(x)dx έχουµε 4

E() x µ (x µ ) ω ω x σ + σω µ + σ + σ π π e e dx e e dω ω ωσ ω σω+ σ σ + ( ) + ( ) ω µ µ e e d e e dω π π ( ω σ) σ σ ( ω σ) + µ + + ω µ e e e d e e dω π π σ z σ σ + + + + µ µ µ e e dz e e π διότι e π z είναι η σ.π.π. της Ν(,) Για την διασπορά υπολογίζουµε πρώτα την και κατόπιν χρησιµοποιούµε τον τύπο Ασκηση 4.4 σελ.5 x E( ) E(e ) V() E( ) [E()] µε ανάλογο τρόπο Το ενδεχόµενο αποδοχής της κατασκευής είναι A B και αφού Χ,Υ ανεξάρτητες τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ανεξάρτητα δηλαδή, P(A B) P(A)P(B).6 S 5.6 P(A) P(5.6 < < 5 +.6) P( < < ) Τώρα.3.3.3 Φ(,) Φ(,) Φ(,).87375.687.8 37.8 P(B) P(37.8 < < 37 +.8) P( < < ) και.6.6.6 Φ(.33) Φ(.33) Φ(.33).984.86 άρα P(A B).687*.86.56 Το ενδεχόµενο να πραγµατοποιείται µία ακριβώς από τις προδιαγραφές Α, Β c είναι (A B) (A B c c ) και επειδή τα A,Bείναι ανεξάρτητα όπως επίσης και τα c A,B θα έχω : c c c c c c P((A B) (A B )) P(A B) P(A B ) P(A )P(B) P(A)P(B ) + + [ P(A)]P(B) + P(A)[ P(B)] (.67).86 +.687(.86).55 +.6.38 c c Το ενδεχόµενο να µην ικανοποιούνται οι προδιαγραφές Α,Β είναι A B όπου c c c c c c A,B ανεξάρτητα συνεπώς P(A B ) P(A )P(B ) [ P(A)][ P(B)].57 Έστω τώρα η τυχαία µεταβλητή Υ κόστος κατασκευής ανα κοµµάτι. Τότε 5

5A B c c) 6(A B) (A B 7A c B Αρα Ε(Υ)5*.56+6*.38+7*.57556 Σηµείωση : Ασκηση 4.4 σελ.53 c c c c P(A B ) P(A B) P((A B) (A B )) Έστω P( ) p, P( ) p και P( ) p, P( ) p Όταν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες είναι γνωστό από την θεωρία ότι είναι και ασυσχέτιστες. Θα δείξουµε τώρα το αντίστροφο. Υποθέτουµε ότι είναι ασυσχέτιστες και θα δείξουµε ότι είναι ανεξάρτητες Αρκεί να δείξω ότι : P(, ) P()p(), P(, ) P()P() P(, ) P()p(), P(, ) P()P() Έχουµε ότι Cov(,) δηλαδή E()-E()E() E()E()E(), () Όµως Ε(ΧΥ) P() + P() P() και E() P(), E() P() και άρα από την () έχουµε P() P()P() όµως P() P(, ) Συνεπώς P(, ) P()P(), () c Επίσης P(, ) P({ } { } ) P() - P({ } { }) () P() P()P() P()[-P()] P()P() Άρα P(,) P()P(), (3) Όµοια δείχνουµε ότι P(, ) P()P(), (4) Μένει να δείξουµε ότι P(o, ) P()P(). Πράγµατι P(, ) (4) c P({ } { } ) P( ) P({ } { }) P( ) P( )P( ) P( )[ P( )] P( )P( ) Άσκηση 4.5 σελ.53 c µ σ σ ( Χ, Χ) Ν( µ, Σ) όπου µ µ και Σ σ σ είναι γνωστό ότι µ i Ε( i) και σi V( i), σ σ Cov(, ) 6

Η από κοινού σ.π.π. των (, ) είναι (x,x ) e π (det Σ) Q(x,x ) x µ Q(x, x ) (x µ, x µ ) Σ x µ σ Αφού γνωρίζω ότι Cov(, ) θα είναι Σ σ σ Άρα Σ και συνεπώς σ x µ x µ x µ (x µ ) (x µ ) Q(x, x ) (, ) ( ) + σ σ x µ σ σ όπου (x µ ) (x µ ) σ σ Άρα (x,x ) e e,δηλαδή (x,x) h(x)g(x) π (det Σ) και συνεπώς οι τ.µ. Χ, Χ είναι ανεξάρτητες Ασκηση 4.8 σελ.54 (x,) k(x+- x Εύρεση σταθεράς κ ) όταν <x< ή << και αλλού (x, )dxd k (x x )dxd + k ( (x+ x )dx)d k k 3 Εύρεση των σ.π.π. για για και + (x) (x,)d x (,) (x,) T άρα (x) d x (,) είναι 3 + + (x) (x, )d d + 3(x + x )d + d 3 3 (x+ x )d 3(x + [ ] x [ ] ) 3 3(x + x ) 3( x + x + ) 3x + 3x + 3 6 δηλαδή 3x + 3x +, x (,) (x), x (,) 7

οµοίως 3 + 3 +, (,) (), (,) είναι προφανές ότι είναι εξαρτηµένες. (x,) (x) () για (x,) (,) και συνεπώς οι τ.µ. Χ,Υ Εύρεση Ε(), Ε(), E() + E() x (x)dx x( 3x 3x )dx + + + E() ()d ( 3 3 )d + + + + E() x (x, )dxd x3(x + x )dxd 4 Άρα Cov(,) E() E()E() 4 Συνεπώς οι Χ,Υ είναι ασυσχέτιστες Άσκηση 4.33 σελ.55 Cov(U, T) ρ (U,T), Χ,Υ,Ζ E( a) V(U) V(T) Cov(U,T) Cov( +, + Z) Cov(,) + Cov(, Z) + Cov(,) + Cov(, Z) Cov(,) V() a διότι Χ,Υ,Ζ ανεξάρτητες. Επίσης για τον ίδιο λόγο V(U) V( + ) V() + V() + a a a V(T) V( + Z) V() + V(Z) + a a a Άρα ρ ( UV, ) a a a a a Παρατηρήσεις: Από την θεωρία χρησιµοποιήθηκαν τα Αν Χ,Υ ανεξάρτητες τότε Χ,Υ ασυσχέτιστες και Cov(,)V() Επίσης ότι η διασπορά της εκθετικής Ε(α) είναι a από τους πίνακες κατανοµών. 8

Άσκηση 4.36 σελ.55 Cov(Z, W) ρ (Z,W) V(Z) V(W) Cov(Z, W) Cov(a b, a b) a Cov(, ) abcov(, ) abcov(, ) b Cov(, ) + + a V() b V() (a b )V() διότι Χ,Υ ανεξάρτητες άρα Cov(,) και ισόνοµες άρα V()V() Επίσης V(Z) a V() + b V() (a + b )V() και V(W) a V() + b V() (a + b )V() (a b )V() a b ρ(z,w) (a + b )V() a + b συνεπώς Άσκηση 5. σελ.76 U(,) lx δηλαδή x (,) (x) x x (,) S (,) g(x) lx x g () e T g(s) (, + ) και Άρα () dg () () x(g ()) e e για T (, + ) d αλλού. e > Τελικά () δηλαδή Υ E() Άσκηση 5.5 σελ.76 π π x (, ) π (x) x π π x (, ) εφx x τοξεφ άρα αν g(x) εφ x τότε g () τοξεφ π π S (, ) και T g(s) συνεπώς dg () () x(g ()), d π + π( + ) 9

Άσκηση 5.5 σελ.76 π π x (, ) π (x) x π π x (, ) εφx x τοξεφ άρα αν g(x) εφ x τότε g () τοξεφ π π S (, ) και T g(s) συνεπώς dg () () x(g ()), d π + π( + ) Άσκηση 5. σελ.77 α) Αφού a,x> και Γ( p) p p ax (x) x e a,> Γ( p) q q a () e p+ q a p q a(x+ ) και Χ,Υ ανεξάρτητες θα είναι (x,) x e, x,> Γ (p) Γ (q) και παντού άλλού β) Θα βρούµε την από κοινού σ.π.π. του ζεύγους (R,S). x Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό r, s x x+ + ο οποίος αντιστρέφεται στον xrs, s-rs µε <r <, s> και έχει Ιακωβιανή ορίζουσα άρα s r s( r) sr s sr sr s s r + +, s> a για < r <, s> Γ (p) Γ (q) p+ q p p q q as RS(r,s) r s s ( r) e s p+ q a p q p+ q as ή RS(r,s) r ( r) s e µε <r<, s> Γ(p) Γ(q) αφού η RS(r,s) γράφεται σαν γινόµενο µιας συνάρτησης του r επί µια συνάρτηση του s οι τ.µ. R, S είναι ανεξάρτητες γ) p+ q + a p q p+ q as R(r) RS(r,s)ds r ( r) s e ds Γ(p) Γ(q) p+ q as t p+ q a p q p q as a p q + p+ q t p+ q r ( r) s e ds r ( r) t e dt Γ(p) Γ(q) Γ(p) Γ(q) a p q r p ( r) q, ό <r<. Γ( + ) ταν Γ(p) Γ(q) Η τελευταία είναι η σ.π.π. της κατανοµής Βήτα

Άσκηση 5.7 σελ.78 Οι τ.µ. Χ,Υ έχουν εκθετική κατανοµή (α) και αφού είναι ανεξάρτητες το ζεύγος (Χ,Υ) έχει από κοινού κατανοµή: ax a (x+ ) (x,) (x) () ae ae a e για x, >. Θα βρούµε τώρα την κατανοµή U,W (u,w) του ζεύγους (U,W) όπου: U+, W. x Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό T:u x+ και w u w+ uw T :x w+ και x x w u w (w ) u Η Ιακωβιανή ορίζουσα του T u w + + είναι u (w + ) u w w+ (w+ ) Άρα η σ.π.π. του ζεύγους (U,W) είναι uw (u,w) uw u u x(x, ) για u,w> w+ w+ (w+ ) uw u a( + ) u w+ w+ au u άρα uw (u,w) ae ae για u,w> (w + ) (w + ) Συνεπώς η περιθώρια κατανοµή της τ.µ. είναι: + au u w(w) uw(u,w)du a e du (w + ) a a (w + ) (w + ) a (w + ) Τελικά για w>, W (w). (w + ) Άσκηση 6.6 σελ.94 άρα δηλαδή, au ue du R N( µ 6,4 ) R N( µ 7,5 ) και R,R,R 3 ανεξάρτητες R 3 N( µ 3 8,6 ) R R+ R + R3 N(6 + 7 + 8,4 + 5 + 6 ) R µ R N(,77* ) Z N(,) σ Άρα P(95<R<)

95 P( < Z < ) P(.7 < Z <.) Φ(.) Φ(.7) Φ(.) [ Φ(.7)] 77 77 Φ(.) + Φ(.7).86433+.95543.8 Άσκηση 6.7 σελ.94 Είναι γνωστό ότι : Αν N( µ, σ ) και N( µ, σ ) και Χ,Υ ανεξάρτητες τότε a + b N( µ αµ + b µ, σ a σ + b σ ) συνεπώς στην παρούσα περίπτωση 6 R - (-)+ ακολουθεί κατανοµή N( µ σ 5. 5, 4* ) δηλαδή Συνεπώς 6 R N(., 4* ) P(.5* * ) P(.5* R * ) < < < < µ P( < < ) P( < Z < ) * σ * * * P(.5 < Z < 5) Φ(5) Φ(.5) Φ(5) + Φ(.5) +.99379.99379 Παρατήρηση:Φ(5).5*. R *..5*. *. 3 3 3 3 Άσκηση 7.9 σελ8 Κάθε µια από τις τ.µ. έχει σ.π.π. x (,) (x) x (,) και α.σ.κ t F(t) (x)dx δηλαδή, x < F(t) t, x <, x Τώρα η α.σ.κ. της τ.µ. είναι : F() P( ) P( mi{x,..., x } ) P(mi{x,..., x } ) P(mi{x,..., x } ) > (λόγω ανεξαρτησίας) P({ > }... { > }) P({ > }) ( P({ })) ( F( )) i i i i i, < <, ( F( )) ( ),

Για τυχόν < έχω < και άρα F() συνεπώς lim F () για <. Για τυχόν > υπάρχει : > < δηλαδή F() ( ), > και συνεπώς lim F () e. Τελικά F() lim F () < o e > Η α.σ.κ. είναι η εκθετική () ' < διότι F() e > Οµοίως για την ακολουθία τ.µ. Z ( max{ j} ). Άσκηση 7.9 σελ.9 Στη διάρκεια της i-µονάδας του χρόνου η συµπεριφορά του σωµατιδίου µπορεί να αποδοθεί από την τ.µ. µε πιθανοτητα p.45 i µε πιθανοτητα q. µε πιθανοτητα r.45 Με το τέλος της χρονικής µονάδας η θέση του σωµατιδίου είναι: + +... +, όπου οι τ.µ. i είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µέση τιµή: E( i) *.45 + *. + ( )*.45 και διασπορά: V( ) E( ) [E( )] E( ) *.45 + *. + ( ) *.45.9 i i i i α )P( 6 +... + 6) P( ) κ. o. θ. Φ(.4) Φ(.4) Φ(.4).84 6 +... + 6.9.9.9 β 6 +... 6 ) P P( 6 +... 6) P( )... 6 Φ( ).9* κοθ.9*.9*.9* Άρα 6 lim P lim Φ( ) Φ()..9 3

Άσκηση 7. σελ. Έστω,,..., οι διάρκειες ζωής των ανταλλακτικών. Τότε οι τ.µ. (x 5) είναι ανεξάρτητες ισόνοµες µε σ.π.π. (x) e όταν x>5 και όταν x<5 x 5 + (x 5) Άρα E( i) x (x)dx x e dx ( 5) e d + 5 e d + 5 e d 5 5 + i αφού 346). e, > είναι η σ.π.π. της εκθετικής (βλέπε πίνακες κατανοµών σελ. Επίσης x 5 + (x 5) V( i) (x 5) (x)dx (x 5) e dx ( ) e d 5 διασπορά της εκθετικής V( ) i e, > (βλέπε πίνακες) και συνεπώς Ζητείται η * 5 45 * 5 i i P( i > 45) P( > ) i 45 *5 5 Φ(+ ) Φ( ) Φ( ) Φ(.55) Φ(.55).7 Άσκηση 7. σελ. Οι τιµές των 5 αντιστάσεων είναι τ.µ.,..., 5. Η συνολική αντίσταση είναι R +... + 5 όπου E( i ) 6 και V( i ) σ. Αναζητείται η τιµή του σ έτσι ώστε +... + 5 5*6 3 P( R 5 3).95 P( ).95 σ 5 σ 5 +... + 5 5*6 Σύµφωνα µε το κ.ο.θ. Z N(,) σ 5 4

+... + 5 5*6 3 3 Συνεπώς προσεγγιστικά P( ) P( Z ) σ 5 σ 5 σ 5 3 3 3 P( Z ).95 P( Z ).95 σ *5 5* σ 5* σ Άρα 3 3 3 3 Φ( ) Φ( ).95 Φ( ).95 Φ( ).975 Φ(.96) 5σ 5σ 5σ 5σ 3 3 Και αφού η Φ είναι γνησίως αύξουσα.96 σ.96 5σ 5 5