Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα ΙΙ, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοπός Μελέτη Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Περιοχή Σύγκλισης Απόκριση Συχνότητας Συστημάτων Διακριτού Χρόνου Φίλτρα 4
Ορισμός Αναλύοντάς το σε όρους έχω: Z[x(n)] X(z) x(n) z n Όπου z μια μιγαδική μεταβλητή Ο εκθέτης του z δείχνει τη θέση κάθε δείγματος και ο συντελεστής του z το πλάτος του δείγματος. x(n) x(0) (n) 0 Παράδειγματα : n 203 1 0 1 149 X(z)... x( 203) z... x( 1) z x(0) z x(1) z... x(149) z... X(z) Z[x(0) (n)] x(0) z x(0) x(n) x(m) (nm) X(z) Z[x(m) (n m)] x(m) z m x(n) (n 2) 2 (n1) 3 (n) (n1) 2 (n 2) X(z) z 2z 3z z 2z 2 1 0 1 2 5
Μετασχηματισμός Ζ: Z[A (nm)] Az m Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ: Z 1 [Az m ] A (nm) Σημειώσεις: Το z -1 αντιπροσωπεύει μια καθυστέρηση (D) κατά ένα δείγμα ή κατά μια μονάδα χρόνου (μοναδιαία καθυστέρηση) Σε ένα διακριτού χρόνου σύστημα το Χ(z) είναι ανεξάρτητο της δειγματοληψίας Τ. Ο παράγοντας z -n, όταν συνδυαστεί με το x(n), αντιστοιχεί στον χρόνο t=nt και κατά συνέπεια, το z -n σημαίνει μια καθυστέρηση κατά nt δευτερόλεπτα σε σχέση με τη χρονική στιγμή t=0. 6
Παράδειγμα: Υπολογίστε το μετασχηματισμό Z των παρακάτω: (Οι υπογραμμισμένοι μπλε αριθμοί υποδηλώνουν τον χρόνο n=0) a. {x 1 (n)}={3,4,5,0,1,2} b. {x 2 (n)}={3,4,5,0,1,2} c. {x 3 (n)}={0,0,3,4,5,0,1,2} d. {x 4 (n)}={4,6,5,0,1,2} e. x 5 (n)=δ(n) f. x 6 (n)=δ(n-m), m>0 g. x 7 (n)=δ(n+m), m>0 a. X 1 (z)=3+4z -1 +5z -2 +z -4 +2z -5, ROC:όλο το z-επίπεδο εκτός από z=0 b. X 2 (z)=3z 2 +4z+5+z -2 +2z -3, ROC:όλο το z-επίπεδο εκτός από z=0 και z= c. X 3 (z)=3z -2 +4z -3 +5z -4 +z -6 +2z -7, ROC: όλο το z-επίπεδο εκτός από z=0 d. X 4 (z)=4z 2 +6z+5+z -2 +2z -3, ROC: όλο το z-επίπεδο εκτός από z=0 και z= e. X 5 (z)=1, ROC: όλο το z-επίπεδο f. X 6 (z)=z -m, όπου m>0, ROC: όλο το z-επίπεδο εκτός από z=0 g. X 7 (z)=z m, όπου m>0, ROC: όλο το z-επίπεδο εκτός από z= 7
Z x(n) X(z) X(z) x(n) z n n z j re 8
O Μετασχηματισμός Ζ υπολογιζόμενος στον μοναδιαίο κύκλο ισούται με τον Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) z j re j j n n j n n X (re ) x(n)(re ) x(n) r e F x(n) r j j ze X (z) X (e ) F x(n) 9
Ύπαρξη μετασχηματισμού Ζ Αφού ο μετασχηματισμός Ζ είναι μια άπειρη δυναμοσειρά, μπορεί να μη συγκλίνει για όλες τις τιμές του z. Η περιοχή σύγκλισης (Region-of-Convergence (ROC)) της X(z) είναι το σύνολο των τιμών του z για τις οποίες η Χ(z) παίρνει πεπερασμένη τιμή. X(z) n x(n)z n n x(n)r n e jn n x(n)r n e jn n x(n)r n 10
Άσκηση 1: Υπολογίστε το μετασχηματισμό Ζ και την περιοχή σύγκλισης της x 1 (n)=α n u(n). X 1 (z) = å x 1 (n)z -n = å a n u(n)z -n = å a n z -n = az -1 n=- n=- n=0 å n=0 ( ) n Για 1 a z 1 z a η σειρά συγκλίνει στο X (z) 1 z 1az z 1 1 Η περιοχή σύγκλισης είναι το εξωτερικό ενός κύκλου με ακτίνα a. *Σημείωση: Ένας πόλος δε περιλαμβάνεται ποτέ στην περιοχή σύγκλισης. Παρατηρήστε ότι το α είναι πόλος για την ανωτέρω συνάρτηση. 11
Άσκηση 2: Υπολογίστε το μετασχηματισμό Ζ και την περιοχή σύγκλισης της x 2 (n)=-α n u(-n-1). Για X 2 (z) = å x 2 (n)z -n = -å a n u(-n-1)z -n = -å a n z -n = n=- = -å a -n z n =1- a -1 z n=1 1 a z 1 z a X 2 (z) =1- å n=0 n=- ( ) n η σειρά συγκλίνει στο: 1 1- a -1 z = 1 1- az -1 = z z -a -1 n=- Η περιοχή σύγκλισης είναι το εσωτερικό ενός κύκλου με ακτίνα a. 12
Άσκηση 3: Να υπολογιστεί η περιοχή σύγκλισης της αμφίπλευρης εκθετικής ακολουθίας x(n)=α lnl, α>0. 13
14
Χαρακτηριστικές οικογένειες σημάτων με την περιοχή σύγκλισής τους (ROC) 15
Θέση πόλων και συμπεριφορά αιτιατών σημάτων στο πεδίο του χρόνου (απλός πραγματικός πόλος) 16
Θέση πόλων και συμπεριφορά αιτιατών σημάτων στο πεδίο του χρόνου (διπλός πραγματικός πόλος) 17
Μετασχηματισμός Ζ 18
Ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ 19
Συνέλιξη και Μετασχηματισμός Ζ Πεδίο διακριτού χρόνου Πεδίο μετασχηματισμού Ζ x(n) h(n) y(n) X(z) H(z) Y(z) y(n) h(n) x(n) Y (z) H(z) X(z) Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος ορίζεται ως: y(n) h(m) x(nm) m Από τον μετασχηματισμό Ζ έχω: n n Y (z) [ h(m) x(n m)] z h(m) x(n m) z n lnm h(m) x(n m) z m m l m l h(m) x(l) z z h(m) z x(l) z H (z) X(z) n m m n n m l m l 20
Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Άσκηση 4: Υπολογισμός του μετασχηματισμού Ζ με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά 21
Άσκηση 5: Υπολογισμός του μετασχηματισμού Ζ με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα. 22
23
Άσκηση 6: 24
Συνάρτηση Μεταφοράς και Εξίσωση Διαφορών 25
Δομές συστημάτων Διακριτού χρόνου- Δομές 2 ης τάξης 26
27
Δομές Πραγματοποίησης Συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σε σειρά: Παράλληλα: 28
Φίλτρα 29
Απόκριση Συχνότητας Συστημάτων Διακριτού Χρόνου Για μια εκθετική είσοδο Το Η(e jω ) ονομάζεται απόκριση συχνότητας του συστήματος και είναι μια μιγαδική συνάρτηση του ω με περίοδο 2π. Εξαρτάται από τη συχνότητα εισόδου ω και την κρουστική απόκριση του παλμού h(n). όπου 30
Pole Zero Placement 31
Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων στο πεδίο Ζ Σε ένα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα η κρουστική απόκριση h(n) ικανοποιεί τη συνθήκη: h(n)=0 για n<0 Σε ένα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα η περιοχή σύγκλισης του Μετασχηματισμού Ζ είναι το εξωτερικό ενός κύκλου. Κατά συνέπεια, ένα ΓΧΑ σύστημα είναι αιτιατό εάν και μόνο εάν η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του είναι το εξωτερικό ενός κύκλου με ακτίνα r<, συμπεριλαμβανομένου του σημείου z=. Έτσι Αφού το z= περιλαμβάνεται στην περιοχή σύγκλισης, ο βαθμός του αριθμητή του Η(z) δε μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή. 32
Ευστάθεια Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ένα ΓΧΑ σύστημα ευσταθές Φραγμένης Εισόδου-Φραγμένης Εξόδου(BIBO) είναι: n h(n) Η συνθήκη συνεπάγεται ότι η Η(z) πρέπει να περιέχει τον μοναδιαίο κύκλο στην περιοχή σύγκλισης. Έτσι, ένα σύνηθες ΓΧΑ σύστημα είναι BIBO ευσταθές αν οι πόλοι της H(z) βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. 33
Γραφικός Υπολογισμός Απόκρισης Συχνότητας Άσκηση 7: 34
Φίλτρα Εγκοπής (Notch Filters) Άσκηση 8:Να σχεδιαστεί ψηφ. φίλτρο που να αποκόπτει τη συχνότητα ω 0. 35
Φίλτρα Εγκοπής (Notch Filters) Τοποθετούμε ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων: 36
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 14, 15, 16, 17: J.G. Proakis, D. G. Manolakis: Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications, Prentice-Hall, 1996. Διαφάνεια 29: Α. Σκόδρας, Β. Αναστασόπουλος: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων, ΕΑΠ, 2003. 37
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα ΙΙ, Μετασχηματισμός Ζ». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/ opencourses.php 38