ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controller Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να εισάγει τον αναγνώστη στο αντικείμενο των ελεγκτών. Να παρουσιάσει τα είδη των ελεγκτών. Να παρουσιάσει την επίδραση των ελεγκτών στη δυναμική απόκριση του συστήματος και πως η αύξηση του κέρδους το επηρεάζει. 4
Περιεχόμενα ενότητας 1. Εισαγωγή στους Ελεγκτές 2. Ορισμοί 3. Είδη Ελεγκτών 4. Επίδραση Ελεγκτών στη δυναμική απόκριση του συστήματος 5
1. Εισαγωγή στους Ελεγκτές
Controller - Ελεγκτές (1/4) Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται εν μέρει στην σθεναρή και εν μέρει στην απλή τους λειτουργία, κάτω από πολλές και διαφορετικές συνθήκες. Η υλοποίηση ενός τέτοιου ελεγκτή βασίζεται στον προσδιορισμό των τριών παραμέτρων, i, d 7
Controller - Ελεγκτές (2/4) Ο ελεγκτής παράγει το σήμα διέγερσης για το ελεγχόμενο σύστημα. Ελεγχόμενο σύστημα 8
9 Controller - Ελεγκτές (3/4) Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του χρόνου Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του Lalace dt t de dt t e t e t u d t i ) ( ) ( ) ( ) ( 0 = ) ( ) ( E U d i =
Controller - Ελεγκτές (4/4) Η έξοδος του ελεγκτή PID σχηματίζεται από το άθροισμα τριών όρων: ενός όρου Ρ (Proortional) αναλόγου του σφάλματος, ενός όρου Ι (Integral) αναλόγου του ολοκληρώματος του σφάλματος και ενός όρου D (Derivative ) αναλόγου της παραγώγου του σφάλματος. 10
2. Ορισμοί
Ορισμοί u( t) = = e( t) 1 e( t) Ti i t 0 e( t) dt t 0 d e( t) dt T d de( t) dt de( t) dt integral time contant σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης derivative time contant σταθερά χρόνου διαφόρισης όπου Ti =, Td = i d i roortional gain Αναλογικό κέρδος integral gain Ολοκληρωτικό κέρδος derivative gain Διαφορικό κέρδος 12
Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (1/3) Ο αναλογικός όρος P βοηθά στη βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος τόσο στην μεταβατική όσο και στην μόνιμη κατάσταση, αλλά αδυνατεί να εξαλείψει πλήρως το μόνιμο σφάλμα. Δεν μπορεί να αντεπεξέλθει ικανοποιητικά σε όλους τους τύπους των συστημάτων και των εξωτερικών διαταραχών, γι' αυτό (όπου απαιτείται) συνδυάζεται μαζί με άλλους όρους. 13
Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (2/3) Ο ολοκληρωτικός όρος Ι χρησιμοποιείται σε συστήματα που παρουσιάζουν σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, αφού για όσο χρόνο υπάρχει σφάλμα, η έξοδος του ελεγκτή, λόγω του ολοκληρώματος αυξάνεται με αποτέλεσμα την εξάλειψη του σφάλματος, αλλά αυτό γίνεται σε βάρος της ταχύτητας απόκρισης και της ευστάθειας του συστήματος. 14
Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (3/3) Ο διαφορικός όρος D αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και βελτιώνει τη συμπεριφορά του κατά τη μεταβατική κατάσταση, αλλά λόγω της επιβολής στην πράξη περιορισμού της εξόδου του ελεγκτή δεν χρησιμοποιείται ποτέ από μόνος του. 15
Επιρροή των P, I και D στην απόκριση του συστήματος κλειστού βρόγχου Rie time Χρόνος ανόδου ή ανύψωσης (tr) Maximum overhoot Μέγιστη υπερύψωση (ym) Settling time Χρόνος αποκατάστασης (t) Steady-tate error Μόνιμο σφάλμα P ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ I ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗ D Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ Μικρή αλλαγή Να σημειωθεί ότι η συσχέτιση στον πίνακα μπορεί να μην είναι ακριβής, διότι οι όροι Κ, i και d είναι αλληλοεξαρτώμενοι. 16
Παράδειγμα εφαρμογής Έστω ότι έχουμε το εικονιζόμενο μηχανικό σύστημα. Η μαθηματική περιγραφή είναι: m x bx kx = Μετασχηματίζοντας σε Lalace, παίρνουμε: PID ελεγκτή (1/2) f 2 m X ( ) bx ( ) kx ( ) = Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: F( ) X ( ) F( ) = 2 m 1 b k 17
έστω Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή (2/2) m = 1 kg, b = 10N. / m, k = 20N / m, f = 1N Με αυτές τις τιμές η συνάρτηση που προκύπτει είναι: X ( ) F( ) = 2 1 10 20 Σκοπός μας είναι να δούμε, πως κάθε ένας από τους όρους συμβάλει στο να έχουμε: Μικρό χρόνο ανόδου Ελάχιστη υπερύψωση Μηδενικό μόνιμο σφάλμα 18
Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου είναι: X ( ) F( ) = 2 1 10 20 Η τιμή της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση είναι: x = lim t x( t) = lim 0 X ( ) = lim 0 F( ) X ( ) F( ) = 1 20 19
Βηματική Απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόγχου 0.05=1/20 είναι η τελική τιμή της εξόδου X(t) σε μοναδιαία βηματική διέγερση. Αυτό σημαίνει ότι το μόνιμο σφάλμα στο ανοιχτό σύστημα είναι 95%. Ο χρόνος αποκατάστασης Τς είναι περίπου 1,5 ec. 20
3. Είδη Ελεγκτών
P Controller Αναλογικός Ελεγκτής (1/2) Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: X F 10 20 () 2 10 20 = = 2 ( ) 10 (20 ) 1 2 22
P Controller Αναλογικός Ελεγκτής (2/2) Επιλέγοντας Κ =300 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και το μόνιμο σφάλμα, αυξάνει την υπερύψωση και επιφέρει μικρή αλλαγή στο χρόνο αποκατάστασης. 23
Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: 24 PI Controller Αναλογικός- Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (1/2) i i i i F X = = ) (20 10 20 10 / 1 20 10 / ) ( ) ( 2 3 2 2
PI Controller Αναλογικός- Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (2/2) Επιλέγοντας Κ =30, i =70 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα. 25
Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: 26 PD Controller Αναλογικός- Διαφορικός Ελεγκτής (1/2) ) (20 ) (10 20 10 1 20 10 ) ( ) ( 2 2 2 d d d d F X = =
PD Controller Αναλογικός- Διαφορικός Ελεγκτής (2/2) Επιλέγοντας Κ =300, d =10 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο Αναλογικός-Διαφορικός ελεγκτής, μειώνει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης ενώ έχει μικρή επιρροή στο χρόνο ανύψωσης και στο μόνιμο σφάλμα 27
Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: 28 PID Controller (1/2) i d i d i d i d F X = = ) (20 ) (10 20 10 / 1 20 10 / ) ( ) ( 2 3 2 2 2
PID Controller (2/2) Επιλέγοντας: Κ =300, i =300, d =5500 Βέλτιστη Απόκριση 29
Γραφικές παραστάσεις απόκρισης ελεγκτών P PD PI PID 30
4. Επίδραση ελεγκτών στην απόκριση του συστήματος Επίδραση του Αναλογικού, Ολοκληρωτικού και Διαφορικού κέρδους στη Δυναμική Απόκριση του Συστήματος
Αναλογικός Ελεγκτής E( ) = U ( ) u( t) e( t) = 32
Μεταβολή του κέρδους σε Αναλογικό Ελεγκτή Αύξηση του κέρδους: Βελτιώνει την μεταβατική και την μόνιμη απόκριση. Μειώνει το μόνιμο σφάλμα. Μειώνει την Ευστάθεια! 33
Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος 34
Ολοκληρωτικός Ελεγκτής E( ) i = U ( ) u( t) = i t 0 e( t) dt Το Ολοκλήρωμα του σφάλματος με σταθερό κέρδος επιφέρει: Αύξηση του τύπου του συστήματος κατά 1. Εξάλειψη του μονίμου σφάλματος σε βηματική διέγερση. Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. 35
Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό- Ολοκληρωτικό Ελεγκτή (PI) Αύξηση του κέρδους: Δεν βελτιώνει τη μόνιμη απόκριση. Αυξάνει ελαφρώς το χρόνο αποκατάστασης. Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. 36
Διαφορικός Ελεγκτής E( ) = U ( ) u( t) = d d de( t) dt Διαφόριση του σφάλματος με σταθερό κέρδος: γρήγορη ανίχνευση των μεταβολών της εξόδου, μείωση υπερύψωσης και ταλαντώσεων, δεν επηρεάζει τη μόνιμη απόκριση, βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης. 37
Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό- Διαφορικό Ελεγκτή (PD) Αύξηση του κέρδους: Βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης. Μείωση της κορυφής και του χρόνου ανόδου. Αύξηση της υπερύψωσης και του χρόνου αποκατάστασης! 38
Περιγραφή PID Ελεγκτή Ο βασικός τύπος PID ελεγκτή περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις: U () = i E () d 1 or U () = 1 T E() d Ti 39
Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID 40
Συμπεράσματα Αυξάνοντας το αναλογικό κέρδος μειώνεται το μόνιμο σφάλμα, αν όμως το αυξήσουμε πολύ το σύστημα αποσταθεροποιείται. Ο Ολοκληρωτικός έλεγχος επιφέρει ισχυρή μείωση του μόνιμου σφάλματος, αλλά συχνά μειώνει την ευστάθεια του συστήματος. Ο Διαφορικός έλεγχος αυξάνει την απόσβεση και βελτιώνει την ευστάθεια χωρίς να επηρεάζει το μόνιμο σφάλμα. 41
Τέλος Ενότητας