Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Σχετικά έγγραφα
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

ολοκληρωτικος λογισμος

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

( 0) = lim. g x - 1 -

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Transcript:

Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις

Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες ευθείες, έν επίπεδο χωρίο Ω,γι το οποίο θέλουμε ν υπολογίσουμε το εμβδόν του Ε(Ω) Βσική προϋπόθεση σε όλες τις περιπτώσεις είνι η συνέχει των συνρτήσεων.. Χωρίο που ορίζετι πό την C f τον άξον κι τις ευθείες = κι =β Γενικός τύπος υπολογισμού του εμβδού E ( ) f () d Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της f στο διάστημ [, β] κι έχουμε:. Αν f () 0 γι κάθε [, ] τότε E ( ) f () d = Ω Cf =β Ο β β. Αν f () 0 γι κάθε [, ] τότε E ( ) f () d = Ο Ω Cf β =β γ. Αν η f δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, β] τότε το εμβδόν είνι το άθροισμ των εμβδών των χωρίων στ διστήμτ που η f είνι θετική ή ρνητική. Ε(Ω)=Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 )= f ()d f ()d f () d όπου γ,δ οι ρίζες της f στο [,β] = Ω γ Ω Cf δ Ω3 =β β

. Χωρίο που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g κι τις ευθείες = κι =β 3. Χωρίο που ορίζετι πό την τομή των γρφικών πρστάσεων f κι g Γενικός τύπος υπολογισμού του εμβδού E ( ) f () Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς f()-g() στο διάστημ [,β]. Τότε: Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = f () g() d g() f () f () g()d d όπου γ,δ οι ρίζες της διφοράς f()-g() στο διάστημ [,β] g() d Λύνουμε την εξίσωση f() = g() κι βρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων τομής. Αν = η μικρότερη κι =β η μεγλύτερη πό τις τετμημένες το εμβδό είνι E ( ) f () g() d Cf Cg γ δ β = =β 4. Ανοικτά χωρί 4. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τον άξον, κι την ευθεί = υπολογίζετι ως εξής: Πίρνουμε λ> Βρίσκουμε το εμβδό Ε(λ) που ορίζει η C f, o κι οι ευθείες =, =λ Ο = Ω λ =λ Τότε Ε (Ω )= lim E( ) 3

Ανοικτά χωρί 4β. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τoυς άξονες y y, κι την = υπολογίζετι ως εξής: Πίρνουμε 0<λ< Βρίσκουμε το εμβδό Ε(λ) που ορίζει η f, o κι οι ευθείες =λ, = Τότε Ε(Ω )= lim E( ) 0 Ο λ =λ Ω = 4γ. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f κι τoυς άξονες y y, υπολογίζετι ως εξής Ε(Ω) = Ε(Ω ) +Ε(Ω ) όπου Ω, Ω τ χωρί των περιπτώσεων 4β,4 Ο Ω = Ω Ω 5 Χωρίο που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις περισσότερων των δύο συνρτήσεων Οι οριζόντιες ευθείες, ο άξονς οι εφπτόμενες κ.τ.λ. θεωρούντι γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων Από κάθε κορυφή φέρουμε κτκόρυφες ευθείες κι χωρίζουμε το χωρίο σε μικρότερ χωρί της περίπτωσης. Το εμβδό του χωρίου είνι: E( ) f () h() d () h() d (σχήμ) f () g() d Cf Ο Cg Ω Ω3 Ω γ δ β Ch Cφ 6. Χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της ντίστροφης συνάρτησης f - Το εμβδό του χωρίου Ω μετξύ C f, κι = είνι ίσο με το εμβδό μετξύ των C f, y y κι y= (λόγω συμμετρίς των C f, C f ως προς την ευθεί y=) Επομένως θ είνι: Ε(Ω)= ()d f () d 0 (όπου f(β)=) 0 f = f(β) = f - () Cf y= C f - Ω 0 β 4

Αποδείξεις. Έστω δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημ [, β] με f() g() 0 γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β. Ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Ε(Ω)= ( f () g()) d Έχουμε: Ε(Ω)=Ε(Ω )-Ε(Ω )= f ()d g()d f () g() Άρ: Ε(Ω)=( f () g()) d. Έστω δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημ [, β] με f() g() γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β. Ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, β], θ υπάρχει ριθμός c R τέτοιος ώστε f () c g() c 0, γι κάθε [, ]. Τότε το χωρίο Ω (σχ. ) έχει το ίδιο εμβδόν με το χωρίο Ω' (σχ. β) Επομένως: E ( ) ( ) Ε(Ω)= ( f () g()) d f () c g() cd f () g() Άρ: Ε(Ω)=( f () g()) d d d 5

Αποδείξεις 3. Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τον άξον τη γρφική πράστση της συνάρτησης g με g() 0 γι κάθε [, ] κι τις ευθείες = κι =β δίνετι πό τον τύπο Ε(Ω)= g () d Απόδειξη: Επειδή ο άξονς είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f()=0 έχουμε: E( ) f () g() d g() g()d d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() 0 γι κάθε [, ], τότε: Ε(Ω)= g () d 4. Ότν η διφορά f()-g() δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,β] ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β είνι ίσο με Ε(Ω)= f () Απόδειξη: Έχουμε: Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = f () g() d g() f () f () g() d f () g() d f () g() d Άρ Ε(Ω)= f () f () g() d f () g() d g() d g() 6

Προτεινόμενες Ασκήσεις Εκφώνηση. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 3 τις ευθείες =0,= κι τον άξον Σχήμ. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()=-συν τις ευθείες, κι τον άξον 3. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= - τις ευθείες =0, = κι τον άξον 4. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()= κι g()= - 5. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()=e κι g()=e - κι την ευθεί με εξίσωση = 6. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 3 κι την ευθεί με εξίσωση y= 7. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()=e κι τις ευθείες με εξισώσεις =-, =. 8. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 5 κι την ευθεί με εξίσωση y=6-7

9. Δίνετι η συνάρτηση f()=e. Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη ε της C f στο σημείο A(,e) έχει εξίσωση y=e. β. Ν βρείτε το εμβδόν E(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την ευθεί ε, τον άξον κι την ευθεί =λ με λ<0. γ. Ν βρείτε το lim E( ). e 0. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ.. β. Αν Ε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις 3 e e ευθείες = κι =3, τότε ν δείξετε ότι: E. 4 9 3. Δίνετι η συνάρτηση f ()... Ν βρείτε την πλάγι σύμπτωτη της C f, στο. β. Ν βρείτε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη C f,, την σύμπτωτη κι τις κτκόρυφες ευθείες =0 κι =.. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()=- + κι g()=- +. Ν βρεθεί η τιμή του (0,), γι την οποί η C g, χωρίζει το χωρίο που περικλείετι πό τη C f, κι τον άξον σε δυο ισεμβδικά χωρί. 3. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0 κι η ευθεί : y, [, ]. Ν βρεθεί το εμβδό E() του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την ευθεί ε κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι =. β. Ν βρεθεί γι ποι τιμή του, το Ε() γίνετι ελάχιστο. 4. Δίνοντι οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g με f () g () 3 γι κάθε R κι f()=,g()=0. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι ευθείες =- κι =. 5. Δίνοντι οι συνρτήσεις f,g οι οποίες είνι δυο φορές πργωγίσιμες στο R με f () g () γι κάθε R. Αν στ σημεί (0,f(0)) κι (0,g(0)) οι εφπτόμενες των C f κι C g ντίστοιχ, είνι πράλληλες κι επιπλέον f(0)=g(0)=0, τότε ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι τις ευθείες κι =π 8

6. Δίνετι η συνάρτηση f()= -4.. Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων της C f, στ σημεί που τέμνει τον άξον. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις δυο εφπτόμενες κι τη C f 7. Δίνετι η συνάρτηση f () με (0,) (, ) ln. Ν δείξετε ότι η C f έχει πλάγι σύμπτωτη στο την ευθεί y=+. β. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την σύμπτωτη κι τις κτκόρυφες ευθείες =e κι =e. 3 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ().. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι. β. Αν f η ντίστροφη της f, ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες =4 κι =3 9. Δίνετι η συνάρτηση f (),. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι στο [, ) f β. Αν η ντίστροφη της f, ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι νάμεσ στις C f κι C f 0. Δίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι πργωγίσιμη στο R κι γι την οποί ισχύει f(0)=0 κι f () γι κάθε R. Αν E το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις ευθείες =0 κι =, τότε ν δείξετε ότι E 6 ln. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0.. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της. β. Ν βρείτε το εμβδό E() του χωρίου που περικλείετι πό τη C f κι τις κτκόρυφες ευθείες e κι = με (0, e). γ. Ν βρείτε το όριο lim E( ). 0 e. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () κι g()=ln.. Ν ποδείξετε ότι οι C f κι C g έχουν μονδικό κοινό σημείο. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι την ευθεί =λ, λ>0. γ. Ν υπολογίσετε το όριο: A lim E( ) 9

3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()=e κι g()=e -.. Ν υπολογίσετε το εμβδόν E(t) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι την ευθεί =t,t>0. E(t) β. Ν υπολογίσετε το όριο: A lim t t t e γ. Ν βρείτε την τιμή του t >0 ώστε E(t)+=e +e - δ. Η ευθεί y= χωρίζει το εμβδόν Ε(t) σε δύο χωρί Ω κι Ω i. Ν βρείτε τ Ε(Ω ),Ε(Ω ) ii. Ν ποδείξετε ότι το έν μόνο πό υτά τ εμβδά τείνει ν γίνει ίσο με το εμβδόν του Ω κθώς t 4. Δίνετι η συνάρτηση f()=e +, R. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κοίλ. β. Ν εξετάσετε ν η f ντιστρέφετι κι ν νι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι νάμεσ στην C f τον άξον κι την ευθεί =e+ 5. Δίνετι η συνάρτηση f () e. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την f κι τις ευθείες με εξισώσεις =0 κι =e. C τον άξον, 6. Δίνετι η συνάρτηση f () e ln,. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί. β. Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις =0 κι =e. 7. Δίνετι η συνάρτηση f () dt, R 0 t. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. ln() β. Ν ποδείξετε ότι: dt dt, 0 0 t t γ. Ν ποδείξετε ότι:f(εφ)=,, δ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g(), R, τον άξον κι τις ευθείες =0 κι = 0

ln, 0 8. Δίνετι η συνάρτηση f () 0, 0. Ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής. β. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f κι τον άξον 9. Δίνετι η συνάρτηση F() 0 dt με F().Ν βρείτε το εμβδόν του t 4 χωρίου που περικλείετι πό τη C F τους άξονες, y y κι την ευθεί = 30. Έστω μι συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν γι κάθε R f () 0 t f 0 (u)du dt e Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f τους άξονες κι την ευθεί =, y y

Βιβλιογρφί. Εμβδά Επιπέδων Χωρίων ( 3.7) Μύρος Ιωάννης http://users.sch.gr/jblack/globalsch-autosch/iware/. Στοιχεί Ολοκληρωτικού Λογισμού http://www.enalla.com/ 3. Ολοκληρώμτ. Επιμέλει: Μάριος Ελευθεριάδης http://math.pblogs.gr/ 4. Ψηφικά Εκπιδευτικά Βοηθήμτ http://www.study4eams.gr/ 5. Μθημτικά Γ Λυκείου-Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Αν. Μπάρλς 6. Μθημτικά : Γ Λυκείου Πράγωγος-Ολοκλήρωμ Γ Χ. Στεργίου-Χ. Νάκης-Ι. Στεργίου