i) Για ένα στερεό σώµα να αποδείξετε την παρα κάτω πρόταση, που αποτελεί το λεγόµενο γενικεύµενο θεώρηµα των ροπών.

i) Για ένα στερεό σώµα να αποδείξετε την παρα κάτω πρόταση, που αποτελεί το λεγόµενο γενικεύµενο θεώρηµα των ροπών. Εάν σ ένα στερεό σώµα ενεργούν πολλές δυνάµεις, τότε η ολική ροπή τους, περί µια αρχή O, είναι ίση µε την ολική ροπή των δυνά µεων περί το κέντρο µάζας C του σώµατος, συν την ροπή περί την αρχή O της συνισταµένης δύναµης που θα προκύψει από την ανα γωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας του σώµατος Aπόδειξη: Έστω ότι στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις F 1, F,... F n. Eάν r i, r i ' είναι οι επιβατικές ακτίνες ενός οιουδήποτε σηµείου A i του φορέα της δύναµης F i, ως προς την αρχή O και το κέντρο µάζας C του σώµατος αντιστοίχως και R η επιβατική ακτίνα του C ως προς το O, τότε θα έχουµε: r i = R+ r i ( r i F i ) = ( R F i )+( r i F i ) τ (O) i =( R F i )+ (C) τ i (1) Σχήµα 1 όπου τ (O) i, (C) τ i οι ροπές της δύναµης F i περί την αρχή O και περί το κέντρο µάζας C αντιστοίχως. Aνάλογες σχέσεις προς την (1) µπορούµε να γράψουµε για όλες τις δυνάµεις που ενεργούν πάνω στο σώµα, οπότε θα έχουµε:

(Ο τ ) 1 = R F 1 (Ο τ ) = R F ( ) + (C) τ 1 ( ) + (C) τ.......... (Ο τ ) n = R F n (O) ( τi ) ( ) + τ n (C) = R F i ( ) = ( R F i ) + (+ ) (O) ( τi ) (C) ( τi ) + τ (O) ολ = R F ολ (C) ( τi ) ( ) + τ ολ όπου F ολ η συνισταµένη που θα προκύψει, από την αναγωγή των δυνάµεων F 1, F,... F n στο κέντρο µάζας C του σώµατος, (O) τ ολ η ολική ροπή αυτών περί την αρχή O και τ (C) ολ η ολική ροπή τους περί το κέντρο µάζας C του σώµατος. Παρατήρηση: Eάν από την αναγωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας του σώµατος προκύψει συνισταµένη δύναµη µηδέν, τότε η ολική ροπή των δυνάµε ων είναι ανεξάρτητη της αρχής O, δηλαδή είναι η ίδια ως προς οποιαδήποτε αρχή. Aυτό σηµαίνει ότι το σύστηµα των δυνάµεων του σώµατος ανάγεται σ ένα ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή είναι ίση προς την ολική ροπή των δυνάµεων περί οποιαδήποτε αρχή. ii) Aν ένα στερεό σώµα στρεφεται περί σταθερό άξονα που τέµνει κάθετα στο Ο το κατακόρυφο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας του C, τότε υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Κ της ευθείας ΟC ως προς το οποίο αναγόµενες οι δυνάµεις που ενεργούν επί του στερεού, προκύ πτει µόνο συνισταµένη δύναµη. Το σηµείο Κ ονοµάζεται κέντρο κρού σεως του στερεού. Aπόδειξη: Θεωρούµε στερεό σώµα µάζας m, που µπορεί να στρέφεται περί σταθερό άξονα ο οποίος τέµνει στο σηµείο Ο το κατακόρυφο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας C του σώµατος, στο οποίο ενεργούν οι δυνάµεις F F,... και η αντίδραση A του άξονα περιστροφής του. (σχ. ). Eάν οι δυνάµεις αυτές (C) 1, () F n Σχήµα Σχήµα 3 Σχήµα 4 αναχθούν στο κέντρο µάζας C θα προκύψει µια συνισταµένη δύναµη µε συνι

στώσες m a κ και m a ε, εκ των οποίων η m a κ αποτελεί για την κίνηση του κέν τρου µάζας κεντροµόλο δύναµη µε κατεύθυνση προς το Ο η δε m a ε αποτελεί επιτρόχιο δύναµη µε εφαπτοµενική κατεύθυνση, συµβατή προς την φορά της γωνια κής επιτάχυνσης ω του σώµατος (σχ. 3). Εξάλλου από την αναγωγή των δυνάµεων στο C θα προκύψει επί του σώµατος συνισταµένη ροπή I C ω περί το C, όπου Ι C η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο στον άξονα περιστροφής του και διερχόµενο από το C (σχ. 3). Ας δεχθούµε ότι επί της ευθείας ΟC υπάρχει σηµείο Κ ως προς το οποίο αναγόµενες όλες οι επί του σώµατος δυνάµεις δίνουν µόνο συνισταµένη δύναµη, δηλαδή η συνιστα µένη ροπή περι το Κ είναι µηδενική. Είναι προφανές ότι η συνισταµένη αυτή δύναµη θα έχει συνιστώσες m a κ και m a ε, διότι η αναγωγή δυνάµεων δίνει την ίδια συνισταµένη δύναµη για κάθε σηµείο (σχ. 4). Σύµφωνα µε το συµπέ ραςµα του πρώτου ερωτήµατος µπορούµε να γράψουµε την σχέση: τ (K) ολ = (KC F ολ ) + τ ολ = + KC ma ε Ι C ω =ma ε (C) ( ) + Ι C KC = KC ma κ +ma ε ( ) ω Ι ω = -KC ma C ε mk ω =mr ω r C κ -r ( ) ( ) + Ι ω C ( ) r = k κ ( +r C ) /r (3) k C =r r κ -r όπου k C η ακτίνα αδράνειας του σώµατος ως προς το κέντρο µάζας του C. H σχέση (3) καθορίζει την θέση του σηµείου Κ, το οποίο αποτελεί το κέντρο κρούσεως του σώµατος και είναι µονοσήµαντα ορισµένο. Πράγµατι αν δεχθού µε ότι επί της ευθείας ΟC υπάρχει και άλλο σηµείο Κ, περί το οποίο η συνολι κή ροπή όλων των δυνάµεων που δέχεται το σώµα είναι µηδενική, θα έχουµε: K ) = K C F ολ ( τ ολ KC F ολ ( ) + τ ολ ( ) + τ ολ (C) (C) = K C F ολ ( ) + τ ολ δηλαδή το Κ ταυτίζεται µε το Κ. = K C F ολ ( ) + τ ολ (C) KC (C) = K C iii) Aν το στερεό ισορροπεί και κάποια στιγµή δέχεται δύναµη κρού σεως (ωστική δύναµη) της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο κρούσεώς του, τότε κατά την διάρκεια δράσεως της δύναµης η αντίδ ραση του άξονα περιστροφής του στερεου είναι κατακόρυφη.

Απόδειξη: Ας δεχθούµε ότι το στερεό σώµα ευρισκόµενο στην θέση ευστα θούς ισορροπίας του δέχεται δύναµη κρούσεως (ωστική δύναµη) F της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο κρούσεως αυτού Κ. Στην διάρκεια του πολύ µικρού χρόνου dt δράσεως της δύναµης αυτής η θέση του σώµατος ελάχιστα µεταβάλλεταιτο δέχεται δε αυτό, εκτός της κρουστικής δύναµης, το βάρος του m g και την αντίδραση A του άξονα περιστροφής Ο που αναλύεται στην οριζόν τια συνιστώσα A x και στην κατακόρυφη συνιστώσα A y, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το Κ (σχ. 5). Σύµφωνα µε τον ορισµό που δοθηκε για το κέντρο κρούσεως στερεού σώµατος η συνολική ροπή όλων των παραπάνω δύνάµεων περί το Κ είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: (Κ τ ) ολ = (Κ τ ) mg + τ F (Κ ) + (Κ τ A ) + (Κ τ ) = (4 ) x A y Όµως οι ροπές περι το Κ των δυνάµεων m g, F και A y είναι µηδενικές και η σχέση (4) δίνει: (Κ τ A ) = ΚΟ Α x ( x ) = Σχήµα 5 A x = ( 5) Αφού λοιπόν η οριζόντια συνιστώσα της A είναι µηδενική σηµαίνει ότι η A είναι κατακόρυφη στην διάρκεια που ενεργεί η κρουστική δύναµη. P.M. fysikos H κίνηση του φυσικού εκκρεµούς Kάθε στερεό σώµα που µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο σταθερό άξονα, µη διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C, ονοµάζεται φυσικό εκκρεµές. Όταν

το φυσικό εκκρεµές βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας του, τότε το βάρος του w και η αντίδραση A του άξονα περιστροφής του θα έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίσα µέτρα, που σηµαίνει ότι ο φορέας της A είναι κατακόρυφος (σχ. 6). Oταν εκτρέψουµε το σώµα και το αφήσουµε ελεύθερο, τότε η δύναµη A θα αλλάζει διεύθυνση και µέτρο, αλλά η ροπή της, περί τον άξονα περιστροφής του σώµατος θα είναι συνεχώς ίση µε µηδέν, αφού ο φορέας της δύναµης αυτής τέµνει τον άξονα. Εξάλλου η ροπή τ του βάρους w του σώµατος, περί τον άξονα περιστροφής του, θα είναι διάφορη του µηδενός και µάλιστα τείνει να επαναφέρει το σώµα στην θέση ισορροπίας του, δηλαδή σε αριστερόστροφη γωνιακή εκτροπή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του, η ροπή τ τείνει να το στρέψει δεξιόστροφα και αντιστρόφως. Έτσι υπό την επίδ ραση της ροπής επαναφοράς τ το σώµα θα εκτελεί στροφική κίνηση, κατά την οποία η ευθεία OC αυτού θα παλινδροµεί εκτατέρωθεν της κατακόρυφης διεύθυνσης Oy, στρεφόµενη περί το σταθερό της άκρο O στο κατακόρυφο επίπε δο, που διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος και είναι κάθετο στον άξο να περιστροφής του. Kατά την εξέλιξη της κίνησης αυτής η ροπή τ θα έχει στα Σχήµα 6 Σχήµα 7 θερό φορέα τον άξονα περιστροφής του σώµατος, η φορά της θα µεταβάλλεται, το δε µέτρο της θα δίνεται από την σχέση: τ =wrηµϕ =mgrηµϕ (1) όπου r η απόσταση OC και φ η γωνιακή µετατόπιση του σώµατος, σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του. Eάν θεωρήσουµε θετικές τις τιµές της γωνίας φ, όταν η εκτροπή του σώµατος είναι δεξιόστροφη, τότε η αλγεβρική τιµή της ροπής, θα ικανοποιεί την σχέση: τ = -mgrηµϕ ( Στην σχέση () το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η φορά της ροπής τ είναι

κάθε στιγµή αντίθετη εκείνης που καθορίζει η αντίστοιχη γωνιακή εκτροπή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του. Eφαρµόζοντας για το σώµα τον θεµελιώ δη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: I (Ο ) ω =τ dω I (Ο ) dt =-mgrηµϕ I d ϕ (Ο ) dt =-mgrηµϕ d ϕ dt + mgr I (Ο ) ηµϕ = d ϕ dt + k ηµϕ = (3) όπου I (O) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του και k θετική ποσότητα που ικανοποιεί την σχέση k =mgr/i (O). H (3) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως και η λύση της δεν προκύπτει µε αναλυτικό τρόπο αλλά µόνο αριθµητικά, µέσω κατάλληλου µαθηµατικού προγ ράµµατος που τρέχει σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Aς εξετάσουµε τώρα την ειδική περίπτωση που η γωνιακή εκτροπή του σώµα τος από την θέση ισορροπίας του είναι πολύ µικρή. Tότε κάθε στιγµή θα ισχύει ηµφ»φ και η (3) παίρνει την προσεγγιστική µορφή: d ϕ dt + k ϕ = (4) H (4) είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται ηµιτονική λύση της µορφής: ϕ =ϕ ηµ(kt+θ) (5) όπου φ η µέγιστη τιµή της γωνιακής εκτροπής του σώµατος και θ σταθερή γωνία, η οποία εξαρτάται από την θέση του κατά τη στιγµή t= που αρχίζουµε να εξετάζουµε την κίνησή του και από την φορά περιστροφής του εκείνη την στιγµή. Mια τέτοια στροφική κίνηση του στερεού σώµατος, κατά την οποία η γωνιακή εκτροπή του φ είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου ονοµάζεται στροφική αρµονική ταλάντωση. H µέγιστη τιµή φ της γωνίας φ ονοµάζε ται πλάτος της ταλάντωσης, η γωνία θ ονοµάζεται αρχική φάση αυτής και τέλος η ποσότητα k= mgr/i (O) ονοµάζεται γωνιακή συχνότητα της στροφικής αρµο νικής ταλάντωσης. Eίναι προφανές ότι, η στροφική αρµονική ταλάντωση του στερεού σώµατος είναι περιοδική κίνηση, της οποίας η περίοδος T συνδέεται µε την γωνιακή της συχνότητα k, µέσω της σχέσεως: T= π k = π mgr /I (O) = π I (O) mgr (6)

Παρατηρήσεις: i) H σχέση (6) που παρέχει την περίοδο Τ µιας στροφικής αρµονικής ταλάντω σης φυσικού εκκρεµούς µπορεί να γραφεί µε την µορφή: T=π I (O) mgr =π L α g (7) όπου L α το λεγόµενο ανηγµένο µήκος του φυσικού εκκρεµούς, ίσο µε την ποσότητα I (O) /mr. Mε βάση την σχέση (7) προκύπτει ότι το ανηγµένο µήκος φυσι κού εκκρεµούς είναι ίσο µε το µήκος ενός µαθηµατικού εκκρεµούς, το οποίο εκτελώντας ταλάντωση µικρού πλάτους στον ίδιο τόπο που βρίσκεται το φυσι κό εκκρεµές, έχει την ίδια περίοδο µε αυτό. Eξάλλου για το ανηγµένο µήκος L α του φυσικού εκκρεµούς έχουµε: L α = I (O) mr = I +mr (C) mr = I (C) mr +r L α > r (8) όπου I (C) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C. Aν λοιπόν προεκτείνουµε την OC (σχ. 7) και λάβουµε στην προέκτασή της ένα σηµείο P, που απέχει από το O απόσταση OP=L α και θεωρήσουµε σ αυτό συγκεντρωµένη την µάζα m του φυσικού εκκρεµούς, τότε θα προκύψει ένα µαθηµατικό εκκρε µές της ίδιας περιόδου µε το φυσικό εκκρεµές. Tο σηµείο P ονοµάζεται κέντρο αιώρησης του φυσικού εκκρεµούς, που αντίστοιχεί στο κέντρο εξάρτησής του O. Aς υποθέσουµε τώρα ότι το φυσικό εκκρεµές εκτελεί στροφική αρµονική ταλάντωση περί οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο αιώρησής του P και ας ονοµάσουµε L' α το νέο ανηγµένο µήκος του εκκρεµούς. Tότε θα έχουµε: r L α = I (P) m r = I +m (C) m r = I (C) m r + r L = α I (C) m(l α -r) + L α -r ( 8) I (C) L α = m I (C) /mr ( ) + I (C) mr L α =r + I (C) mr = L α (9) Δηλαδή το νέο ανηγµένο µήκος του φυσικού εκκρεµούς είναι ίσο µε το αρχικό, που σηµαίνει ότι, το εκκρεµές θα παρουσιάζει την ίδια περίοδο µε την αρχική. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο αιώρησης P του φυσικού εκκρεµούς το γενι κευµένο θεώρηµα των ροπών, παίρνουµε την σχέση: τ (P) ολ = PC F ολ ( ) + τ ολ (C) τ (P) ολ = PC ma κ +ma ε ( ) + Ι ω (1) (C)

όπου τ (P) ολ η συνολική ροπή περί το σηµείο P των δυνάµεων που δέχεται το στερεό, (C) τ ολ η αντίστοιχη ολική ροπή περί το κέντρο µάζας του C ίση µε Ι (C) ω και m a κ, m a ε οι συνιστώσες της ολικής δύναµης F ολ που θα προκύψει από την αναγωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας C, από τις οποίες η m a κ αποτε Σχήµα 8 λεί για την κίνηση του κέντρου µάζας κεντροµόλο δύναµη µε κατεύθυνση προς το Ο η δε ma ε αποτελεί επιτρόχιο δύναµη µε εφαπτοµενική κατεύθυνση, συµβατή προς την φορά της γωνιακής επιτάχυνσης ω του σώµατος (σχ. 8). Όµως ισχύει PC ma κ ( ) = οπότε η (1) γράφεται: τ (P) ολ = PC ma ε ( ) + Ι (C) Εξάλλου τα διανύσµατα Ι (C) ω και ω (11) PC ma ε ( ) είναι αντίρροπα, οπότε οι αλ γεβρικές τιµές των διανυσµάτων της σχέσεως (11) ικανοποιούν την σχέση: τ (P) ολ = - PC τ (P) ολ = ω ( ) ma ε + Ι (C) ω τ (P) ολ = - L α -r ( ) mr (8) ω + Ι (C) ω ( -I C /mr ) mr+ Ι (C) = (1) H (1) δηλώνει ότι το σηµείο P εκτός από κεντρο αιώρησης αποτελεί και κέντρο κρούσεως του σώµατος. P.M. fysikos Ένα στερεό σώµα µάζας m µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που τέµνει το επίπεδο κίνησης του κέν

τρου µάζας C του στερεού κάθετα σε σηµείο Ο, που απέχει από το C απόσταση r. Εκτρέπουµε το σώµα από την θέση ευσταθούς ισορρο πίας και το αφήνουµε ελεύθερο. Nα δείξετε ότι η δύναµη δεσµού A που ασκείται από τον άξονα στο στερεό δίνεται κάθε χρονική στιγµή από την διανυσµατική σχέση: A=-m( g+ rk ηµϕ) µε k =Ι (Ο) g/r όπου Ι (O) η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστρο φής του, φ η γωνιακή εκτροπή του από την θέση ισορροπίας, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και r το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας του ως προς το Ο. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση παρατηρούµε ότι αυτό δέχε ται το βάρος του mg και την δύναµη A από τον άξονα περιστροφής του (δύνα µη δεσµού) της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο Ο. Εφαρµόζοντας στην θέση αυτή για το κέντρο µάζας του σώµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα παίρνουµε την σχέση: m d r dt = m g+ A A =m d r dt -m g =m d r dt - g (1) Σχήµα 9 Όµως για το διάνυσµα θέσεως r του κέντρου µάζας ισχύει: r =x C i +yc j=rηµϕ i +rσυνϕ j () όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των ορθογώνιων αξόνων Οx, Οy αντιστοί χως και x C, y C oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () ως προς τον χρόνο t έχουµε:

d r dt =rσυνϕ dϕ dt dϕ i -rηµϕ j dt d r dt =-rηµϕ d ϕ d ϕ i -rσυνϕ j dt dt d r dt =-r d ϕ dt ( ηµϕ i+συνϕ j) ηµϕ i=-r d ϕ r (3) dt Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: A =m -r d ϕ r-g dt =-m r d ϕ r+ g dt (4) Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σώµα κατά την χρονική στιγµή t τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: dω I (O) dt = (τ) I d ϕ (O) dt = (τ) (5) όπου Σ(τ) το αλγεβρικό άθροισµά των ροπών των δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί τον άξονα περίστροφής του και φ η γωνιακή του εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του. Όµως η ροπή της A είναι συνεχώς ίση µε µηδέν, αφού ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχετα από το Ο, ενώ η ροπή του βάρους mg του σώµατος τείνει να το επαναφέρει στην θέση ισορροπίας του, δηλαδή σε αριστερόστροφη γωνιακή εκτροπή του η ροπή αυτή τείνει να το στρέ ψει δεξιόστροφα και αντιστρόφως. Έτσι η σχέση (5) γράφεται: d ϕ dt = - mgr ηµϕ =-k ηµϕ µε k = mgr (6) I (O) I (O) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: A =-m( g+ rk ηµϕ) P.M. fysikos Θεωρούµε στερεό σώµα µάζας m, το οποίο µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που τέµνει το κατακόρυ φο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας του C στο σηµείο Ο. Εξασκού µε στο σώµα δύναµη βραχείας διάρκειας (ωστική δύναµη), της οποίας ο φορέας ανήκει στο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας και τέµνει

στην ΟC στο κέντρο κρούσεως K του σώµατος σχηµατίζοντας µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ<π/ (σχ. 1). i) Eάν r C, r K είναι oι αποστάσεις των C και Κ αντιστοίχως από το Ο και Ι (O) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστρο φής του, να δείξετε την σχέση: I (O) =mr C r K ii) Eάν µετά την δράση της δύναµης η µέγιστη γωνιακή απόκλιση του σώµατος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του είναι φ max <π/, να δείξετε ότι το µέτρο της ώθησης της δύναµης δίνεται από την σχέση: ηµ ( ϕ Ω F =mr max /) C συνϕ g r K iii) Nα δείξετε ότι η γωνιακή επιτάχυνση ω * του σώµατος την στιγµή που αρχίζει η επαναφορά του στην αρχική του θέση έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: ω * =g ηµϕ max /r K ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί επί τoυ σώµατος η ωστική δύναµη F, το σώµα δέχεται ακόµη το βάρος του w και την δύναµη Α από τον άξονα περιστροφής, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος, διότι η ωστική δύναµη κατευθύνεται προς το κέντρο κρούσεως Κ του σώµατος. Εφαρ µόζοντας για το κέντρο µάζας C του σώµατος κατά την οριζόντια διεύθυνση, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση: ( ) mv = + Ω Fx mv =Ω Fx mv = F x dt mv = Δt ( Fσυνϕdt) mv = συνϕ ( Fdt) mv = Ω F συνϕ (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας C αµέσως µετά την δράση της ωστικής δύναµης F και Ω F η ώθηση της δύναµης. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για τo σώµα ο νόµος µεταβολής της στροφορµής, που µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: Δt Δt

I (O) ω = Δt Δt + ( τ F dt) I (O) ω = OK F ( ) ( ) dt Δt I (O) ω = OK Fdt Δt I (O) ω = OK Ω F () ( ) όπου τ F η ροπή της ωστικής δύναµης F περί τον άξονα περιστροφής του σώµα τος και ω η γωνιακή ταχύτητα του σώµτος αµέσως µετά την δράση της δύνα µης. Η διανυσµατική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση µέτρων της µορφής: I (O) ω = OK ( ) Ω F ηµ π -ϕ (1) I (O) ω = r K ( mv /συνϕ) συνϕ I (O) ω = r K mv I (O) ω = r K mω r C I (O) =mr C r K (3) Σχήµα 1 Σχήµα 11 ii) Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας κάτα την περιστροφή του από την κατακόρυφη θέση στην θέση της µέγιστης γωνιακής εκτροπής του φ, παίρνουµε: I (O) ω =mg ( r C -r C συνϕ max ) mr C r K ω = mgr C ( 1-συνϕ max ) r K v /r C = 4gηµ ϕ max / ( ) (1) r K Ω F συν ϕ m r C = 4gηµ ϕ max / ( )

Ω F = 4m r ηµ ( ϕ max /) C συν ϕ g r K ηµ ( ϕ Ω F =mr max /) C συνϕ g r K (4) iii) Ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης εφαρµοζόµεµος για το σώµα την στιγµή που αρχίζει να κινείται προς την αρχική του θέση (σχ. 11, δίνει: (3) I (O) ω * =mgr (C) ηµϕ max mr C r K ω * =mgr C ηµϕ max (5) όπου ω * η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση του σώµατος την στιγµή που αρχί ζει να κινείται από την θέση µέγιστης εκτροπής προς την αρχική του θέση. P.M. fysikos Ένας κυλινδρικός οχετός από µπετόν ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίςθηση πάνω σε οριζόντιο έδαφος και στο εσωτερικό του βρίσκεται ένας νεαρός που ισορροπεί ως προς τον οχετό. Κάποα στιγµή η γωνιακή ταχύτητα του οχετού είναι ω η δε θέση του νεαρού είναι τέτοια ώστε η ευθεία που συνδέει το κέντρο µάζας C του συστή µατος νεαρός-οχετός µε το κέντρο Κ του οχετού να είναι οριζόντια, µε ΚC=s. Eάν η ακτίνα αδράνειας του συστήµατος ως προς το κέντρο µά ζας του είναι r C, η επιτάχυνση της βαρύτητας g, να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του κυλινδρικού οχετού κατα την θεωρούµενη χρονική στιγµή. ΛΥΣΗ: Η κυλιση χωρίς ολίσθηση του κυλινδρικού οχετού είναι µια επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας κάθε στιγµή το µέτρο της επιτάχυνσης a K του κέντρου Κ του οχετού συνδέεται µε το µέτρο της γωνιακής του επιτάχυνσης ω µέσω της σχέσεως a K =R ω. Εξάλλου αν a C είναι η επιτάχυνση του κέν τρου µάζας C του συστήµατος οχετός-νεαρός την στιγµή που η γωνιακή ταχύ τητα του οχετού είναι ω, θα έχουµε την σχέση: a C = a K -ω KC ( ) + ( ω KC) a Cxi + acy j = aki -ω s i + a Cxi +acy j= ω Ri-ω s i+ ω s k i ( ω k s i) ( ) a Cxi + acy j = ( ω R-ω s) i + ω s j

a Cx = ω R-ω s a Cy = ω s (1) όπου a Cx, a Cy οι συνιστώσες της επιτάχυνσης a C κατά τις διευθύνσεις των ορθο γώνιων αξόνων x, y αντιστοίχως i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών και k το κάθετο στο επίπεδο κίνησης µοναδιαίο διάνυσµα (σχ. 1). Το σύστηµα στην θέση που το εξετάζουµε δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και Σχήµα 1 Σχήµα 13 στην στατική τριβή Τ (σχ. 13) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα στην θέση αυτή το γενικευµένο θεώρηµα των ροπών παίρνουµε: τ (Α) = τ (C) + ΑC F ολ mgsk=i C ω k+ AK ma Cx ( ) ( ) + ( KC ma Cy ) mgsk=i C ω k+ma Cx Rk+ma Cy sk mgs=mr C ω +ma Cx R+ma Cy s gs=r C ω +a Cx R+a Cy s () όπου F ολ η συνισταµένη δύναµη που θα προκύψει από την αναγωγή όλων των δυνάµεων στο κέντρο µάζας C του συστήµατος που είναι ίση µε το διανυσµα τικό άθροισµα m a Cx +m a Cy. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: ( ) R+ gs=r C ω + ω R-ω s ( ) ω s gs= r C +R +s ω -ω sr

s( g + ω R) = ( r C + R +s ) ω ( ) ω = s g + ω R r C + R +s (3) P.M. fysikos Mια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα µάζας m και µήκους L, κρατείται από το ένα άκρο της ώστε να είναι κατακόρυφη, ενώ το άλλο της άκρο εφάπτεται του οριζοντίου εδάφους. Kάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη και τελικά σωριάζεται στο ορι ζόντιο έδαφος. Με την προυπόθεση ότι κάθε κρίκος της αλυσίδας κτυ πώντας στο έδαφος ηρεµεί, να υπολογίσετε: i) την ταχύτητα των κρίκων του αιωρούµενου τµήµατος της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µήκος του x και ii) το µέτρο της δύναµης που εξασκεί στο έδαφος η αλυσίδα, σε συνάρ τηση µε τον χρόνο και να δώσετε την γραφική παράσταση της σχέσε ως που θα βρείτε. iii) Εάν την στιγµή t= εφάρµόζεται στο άνω άκρο της αλυσίδας κατα κόρυφη ανοδική δύναµη F σταθερού µέτρου F<mg, όπου g η επιτά χυνση της βαρύτητας, να βρείτε την συνθήκη ώστε η καθοδική κίνηση της αλυσίδας να µετατραπεί σε ανοδική την στιγµή που το άνω άκρο της απέχει από το έδαφος απόσταση L/4. ΛΥΣΗ: i) Επειδή το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας αποτελεί σώµα που η µάζα του µειώνεται µε τον χρόνο, µπορούµε κάθε χρονική στιγµή t για το τµήµα αυτό να γράψουµε την σχέση: dv m x dt = m g- dm v x dt σχ (1) όπου v σχ η σχετική ταχύτητα κάθε αφαιρούµενου κρίκου ως προς το αιωρούµε νο τµήµα της αλυσίδας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή, dm/dt ο αντί στοιχος ρυθµός µε τον οποίο αφαιρείται µάζα και m x η αντίστοιχη µάζα του αιωρούµενου τµήµατος. Όµως κάθε χρονική στιγµή ισχύει v σχ = και dm=µdx, όπου dx η µείωση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+dt και µ η µάζα της αλυσίδας ανά µονάδα µήκους, ίση µε m/l. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: µx d v dt = µx g d v dt = g ()

δηλαδή οι κρίκοι της κατερχόµενης αλυσίδας εκτελούν ελεύθερη πτώση. Αυτό σηµαίνει ότι το µέτρο της ταχύτητας v κάθε κρίκου την στιγµή t ικανοποιεί την σχέση: v = g ( L-x) v= g ( L-x), x L (3) ii) Aς εξετάσουµε κατά την χρονική στιγµή t ολόκληρη την αλυσίδα, δηλαδή και το αιωρούµενο τµήµα της και εκείνο που βρίσκεται σε ηρεµία πάνω στo οριζόντιο έδαφος. Είναι προφανές ότι ολόκληρη η αλύσίδα αποτελεί σώµα σταθε Σχήµα 14 ρής µάζας (dm/dt=) που κάθε στιγµή δέχεται την δύναµη επαφής R(x) από την έδαφος και το βάρος της m g. H ορµή της αλυσίδας µεταβάλλεται χρονικά, διότι η ορµή του αιωρούµενου τµήµατός της µεταβάλλεται και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του θα ισχύει η σχέση: d dt m v+ m-m x x ( ) =m g+ R(x) d dt µxv ( ) = µlg-r(x) µ dx () dv v + µx dt dt = µlg-r(x) (3) µv + µxg = µlg-r(x) µg ( L-x) + µxg = µlg-r(x) R(x)= 3µg ( L-x), x L (4) H (4) δηλώνει ότι το µέτρο της δύναµης R(x) είναι τριπλάσιο του µέτρου του βάρους του τµήµατος της αλυσίδας που έχει σωριασθεί στο έδαφος. Εξάλλου κατά τον χρόνο πτώσεως της αλυσίδας θα ισχύει: L-x=gt / µε t L/g οπότε η (8) παίρνει την µορφή:

R(t)= 3µgt / = 3mgt /L, t L/g Eίναι προφανές ότι για t > L/g θα είναι R(t)= µlg =mg που σηµαίνει ότι η ζητούµενη συνάρτηση R(t) έχει την µορφή: R(t)= 3mgt /L, t mg, t > L/g L/g (5) H γραφική παράσταση της (5) εικονίζεται στο σχήµα (15). Σχήµα 15 iii) Aς δεχθούµε ότι την στιγµή t= εφαρµόζεται στο άνω άκρο της αλυσίδας κατακόρυφή σταθερή δύναµη F µε φορά προς τα πάνω, της οποίας το µέτρο είναι µικρότερο του µέτρου mg του βάρους της αλυσίδος. Στην περίπτωση αυτή η αλυσίδα θα αποκτά καθοδική κίνηση η οποία θα περιγράφεται από την διαφο ρική εξίσωση: dv m x dt =m g-f - dm v x dt σχ µx dv = µxg -F - dt dv dt = g - F µx vdv dx = g - F µx LF vdv= gdx - m dx x (6) Oλοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε: v ( vdv) = g dx - LF m x L x dx x v = g x-l L ( ) - LF ( ln x-lnl) (7) m Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η καθοδική κίνηση της αλυσίδας αναστρέφεται την χρονική στιγµή που είναι x=l/4, δηλαδή την στιγµή αυτή

µηδενίζεται η ταχύτητα των κρίκων του αιωρούµενου τµήµατος της αλύσίδας και η σχέση (7) δίνει: = g L 4 -L - LF m ln L / 4 L g -3L 4 = LF m ln 1 4 3gL 4 = ( ln 4 ) LF m F ( ) mg = 3 4 ln 4 Η (8) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. (8) P.M. fysikos Mια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα είναι κατά το µεγαλύτερο µέρος της σωριασµένη σε οριζόντιο έδαφος, ενώ ένα τµήµα αυτής µήκους x κρατείται κατακόρυφο. Την στιγµή t= εφαρ µόζεται στο ελευθερο άκρο της αλυσίδας κατακόρυφη δύναµη F, της οποίας το µέτρο είναι διπλάσιο από το µέτρο του βάρους του αιωρού µενου τµήµατος αυτής, µε αποτέλεσµα η αλυσίδα να ανέρχεται. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση της ανοδικής κίνησης του αιω ρούµενου τµήµατος της αλυσίδας. ii) Χρησιµοποιώντας την διαφορική εξίσωση κίνησης να βρείτε την ταχύτητα των κρίκων του κινούµενου τµήµατος της αλυσίδας, σε συ νάρτηση µε το µήκος του x. iii) Να βρείτε την το µέγιστο µήκος που θα αποκτήσει το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι κατά την ανοδική κίνηση της αλυσίδας το αιωρού µενο τµήµα αυτής έχει την χρονική στιγµή t µήκος x και ταχύτητα v. Επειδή το τµήµα αυτό αποτελεί σώµα που η µάζα του αυξάνεται µε τον χρόνο, µπο ρούµε για το τµήµα αυτό να γράψουµε κάθε χρονική στιγµή την σχέση: dv m x dt =m g+ F+ dm v x dt σχ (1) όπου v σχ η σχετική ταχύτητα κάθε προστιθέµενου κρίκου ως προς το αιωρούµε νο τµήµα της αλυσίδας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή, dm/dt ο αντί στοιχος ρυθµός µε τον οποίο προστίθεται µάζα και m x η αντίστοιχη µάζα του αιωρούµενου τµήµατος. Όµως κάθε χρονική στιγµή ισχύει v σχ = - v και dm=µdx, όπου dx η αύξηση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονι

κών στιγµών t και t+dt και µ η µάζα της αλυσίδας ανά µονάδα µήκους (γραµ µική πυκνότητα), οπότε η (1) γράφεται. Σχήµα 17 µx d v µdx dv = -µxg+f - v µx dt dt dt = -µxg +µx g -µ dx dt x d x dt = -xg +x g - dx dt x d x dt + dx dt + gx = x g () H () αποτελεί την διαφορική εξίσωση της ανοδικής κίνησης του αιωρούµενου τµήµατος της αλυσίδας είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση που δεν λύνεται µε αναλυτικό τρόπο, αλλά µόνο µε αριθµητική µέθοδο µέσω κατάλλη λου µαθηµατικού προγράµµατος που τρέχει σε υπολογιστή. ii) H διαφορική εξίσωση () µετασχηµατίζεται ως εξής: ( ) x dx dt + v dx dt = -gx + x g d xv dt d ( xv) dx/v = -gx + x ( ) g xvd xv dx = -gx + x g = -gx + x gx ( xv) d ( xv) = -gx dx + x gxdx (3) Oλοκληρώνοντας την (3) παίρνουµε την σχέση: xv ( ) = -gx3 3 + x gx +C (4)

H σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες κίνησης x()=x και v()= της αλυσίδας, οι οποίες ικανοποιούν την (4) οπότε αυτή δίνει: = - gx 3 3 + gx 3 +C C= - gx 3 3 (5) Συνδυάζοντας τις (4) και (5) παίρνουµε: ( xv) = -gx3 3 + gx x - gx 3 3 v = - gx 3 3 + gx -4gx 3x v = g - x 3 3 + x -x 3x, x x (6) iii) Όταν η ταχύτητα των κρίκων του ανερχόµενου τµήµατος της αλυσίδας µηδενιστεί, την στιγµή αυτήν το µήκος του θα λάβει την µέγιστη τιµή του x max και η (6) δίνει: = - x max 3 + x - x 3 3 x max -3x x max + x 3 = (7) 3x max Για την λύση της (7) την µετασχηµατίζουµε ως εξής: 3 x max -x 3-3x x max + 3x 3 3 = x max -x 3-3x x ( -x max ) = ( x max -x ) ( x max + x max x + x )-3x x max ( x max -x ) x max + x max x + x -3x x max -3x ( -x ) = ( ) = ( ) = (8) ( x max -x ) x max + x x max - x Oι ρίζες της (8) είναι x max = x (απορρίπτεται) και x max = x ( 1+ 3) (δεκτή) P.M. fysikos