ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρέθυμνο 0 Φεβρουαρίου 05 Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου
A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση Rx () = Ax (). Επειδή τα Ax (), Bx () είναι Bx () πολυώνυμα, η Rx () είναι συνεχής συνάρτηση σε κάθε διάστημα εκτός της ρίζας του παρανομαστή. Άρα σε αυτό το διάστημα είναι ολοκληρώσιμη. Η ρητή συνάρτηση Rx () = Ax (), γράφεται σαν άθροισμα ενός Bx () πολυωνύμου Π () x και μιας ρητής συνάρτησης υ () x < Β, δηλαδή: () υ() βαθµυ. βαθµ. Rx () = Ax =Π () x+ x. Bx () Bx () Bx (), όπου
Κάθε τώρα ρητή συνάρτηση υ () x, όπου βαθµυ. < βαθµ. Β, γράφεται Bx () σαν άθροισμα ρητών συναρτήσεων της μορφής: Α Bx +Γ,, ό nm, * n m που Ν και β 4αγ < 0 ( x ρ ) ( ) αx + βx+ γ που ονομάζονται απλά κλάσματα. To Bx () αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων και δευτεροβαθμίων πολυωνύμων με μιγαδικές ρίζες ως εξής: n n ( ) ( )...( ).( m )...( m Bx ax ρ x ρ k ax β x γ a x β x γ ) λ k λ λ λ αρ, i, a j, β j, γ j R, n i, m j, β j 4a j γ j < 0, n i, m j 0. = + + + +, όπου,
Άρα το υ () x γράφεται ως εξής: Bx () T υ( x) A A A T...... T n = + + + n + + + +... + k + Bx ( ) n x ρ x ρ x ρ ( ) ( ) k n x ρk x ρk x ρk Cx C x D E x Z... + D m +... m Ex... + Z m + m + + + + + + +... + λ λ. m m ax + βx+ γ ( ax + βx+ γ) a x β x γ ( a x β x γ ) λ λ + λ + λ λ + λ + λ Ax ( ) Οπότε κάθε συνάρτηση Rx ( ) = γράφεται ως εξής: Bx ( ) Ax ( ) A Bx+Γ Rx ( ) = =Π ( x) + + Bx ( ) n ( x ρ) ( αx + βx+ γ) m.
Α Β x +Γ Τα ολοκληρώματα: Π( x) dx, dx, dx n m ( x ρ ) είναι ( αx + βx+ γ) στοιχειώδεις συναρτήσεις, οπότε το R( x) dx είναι στοιχειώδης συνάρτηση, που βρίσκεται αν γράψουμε αυτή τη ρητή συνάρτηση σαν άθροισμα απλών κλασμάτων και ολοκληρώσουμε αυτά.
ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ «Κλασική μέθοδος» Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: x + dx. ( x )( x+ )( x+ ) Απάντηση Η συνάρτηση x + Α Β Γ = + + ( x )( x+ )( x+ ) x x+ x+ x + f( x) = ( x )( x+ )( x+ ) κάνοντας απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε ( ) γράφεται ως εξής:
+ =Α ( + 5 + 6) +Β( ) +Γ ( + ) x x x x x x x ( ) ( ) x x x + = Α+Β+Γ + 5Α Β+ Γ + (6Α Β Γ) Η τελευταία ισότητα μας δίνει: Α=, Β=-5 και Γ=5. Άρα x + 5 5 dx = dx + dx + dx = ln x 5ln x + + 5ln x + + c ( x )( x+ )( x+ ) x x+ x+
(Άλλη τεχνική).αν έχουμε hx ( ) f( x) gx ( ) gx ( ) = ( x ρ )( x ρ )...( x ρ ) µε ρ ρ... ρ, ρ R τότε k k i hx ( ) Α Α Αk = = + + + gx x ρ x ρ x ρ ( )... ( ) f x k = και καθένας από τους συντελεστές Α m, m =,,..., k υπολογίζονται ως hx ( ) εξής: Α = lim ( x ρ ), m=,,..., k m x ρm m gx ( ) h( ρm) δηλαδή Α m =, m=,,..., k g ( ρ ) m
Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: x + dx. ( x )( x+ )( x+ ) Απάντηση Η συνάρτηση f( x) = x + ( x )( x+ )( x+ ) γράφεται ως x + Α Β Γ εξής: = + + ( ) ( x )( x+ )( x+ ) x x+ x+ x + Α= lim ( x ) x = = ( x )( x )( x ) + + x + 5 Β= lim ( x ) 5 x + = = ( x )( x )( x ) + + x + 0 Γ= lim ( x ) 5 x + = = ( x )( x )( x ) + + 4
ή αν hx ( ) = x + και g ( x) = ( x+ )( x+ ) + ( x )( x+ ) + ( x )( x+ ) h( ρm) τότε έχουμε ( Α =, m=,,..., m g ( ρ ) m k ): h Α= = = = g ().4 () + ( ) h( ) + 5 Β= = = = 5 g ( ) ( ) + ( ) h( ) 0 Γ= = = = 5 g ( ) 4 4 Άρα x + 5 5 dx = dx + dx + dx = ln x 5ln x + + 5ln x + + c ( x )( x+ )( x+ ) x x+ x+
Αν έχουμε f( x) hx ( ) gx ( ) = και gx ( ) = ( x ρ ) ( x ρ )...( x ρ ) µε ρ ρ... ρ, ρ R τότε p k k i hx ( ) Α Α Α Α Αk f( x) = = + +... + + +... + gx ( ) ( x ρ ) ( x ρ ) x ρ x ρ x ρ p p p Οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: Α = p ( x ρ ) p ( x ρ ) ( x ρ)...( x ρk ) x = ρ d Α = ( ) dx hx ( ) p ( x ρ ) f x. x= ρ p d Α = ( x ρ ) p p p [ f( x)] ( p )! dx ρ x= k
Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 4 x x 7x + x+ 09 dx. ( x+ ) ( x ) Απάντηση H συνάρτηση γράφεται: 4 x x 7x + x+ 09 Α Β Γ Ε = + + + + ( x+ ) ( x ) x+ ( x+ ) x ( x ) ( x ), () Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με ( x + ) και θέτοντας x=-, έχουμε: 4 x x 7x + x+ 09 Γ =Α ( x+ ) +Β+ ( x+ )...() x= ( x ) x x= x= 4 + 54 5 + 09 5 =Β Β=.
Για να βρούμε το Α παραγωγίζουμε μία φορά την () και θέτουμε x=-, δηλαδή: d x x x + x+ dx ( x ) Α= 4 7 09 x= 4 ( x 6x 4x+ )( x ) ( x x 7x + x+ 09) 75 ( 5) 50 Α= 65 Α= =Α ( x ) 4 x= Το Ε βρίσκεται όπως το Β, δηλαδή: 4 7 09 x x x + x+ Ε= Ε= ( x + ) x=.
Όμοια: d x x x + x+ =.... dx = = x = 4 7 09 ( + ) x 4 4 d x x 7x + x+ 09 d 6x + 4x 8x 0x 5 Γ= 4 dx = Γ= ( x + ) dx ( x + ) x= x= Άρα Οπότε: 4 x x 7x + x+ 09 4 = + + ( x+ ) ( x ) x+ ( x+ ) x ( x ) ( x ) x x x + x+ dx = dx dx + dx dx + dx = ( x+ ) ( x ) x+ ( x+ ) x ( x ) ( x ) 4 7 09 4 = ln + + ( + ) + 4ln + ( ) ( ) + x x x x x c
«Αντικατάσταση» Παράδειγμα : f( x) = x ( x + ) 4 Απάντηση: Έχουμε x Α Α Α Α = + + + ( x+ ) x+ ( x+ ) ( x+ ) ( x+ ) 4 4 4 Θέτουμε x+ = ω x= ω, οπότε η () γίνεται: () ( ω ) Α Α Α Α4 = + + + 4 4 ω ω ω ω ω () ω ω 4ω+ 4 ω 4ω+ 4 = = = + + 4 4 4 4 () ω ω ω ω ω ω Αλλά ( ) Από () και () έχουμε: Α = 0, Α =, Α = 4, Α 4 = Οπότε: x 4 = + + ( x+ ) ( x+ ) ( x+ ) ( x+ ) 4 4
Παράδειγμα : x + 5 ( x ) ( + x ) dx x 5 Α Απάντηση: ( ) x ( + x ) x ( x ) ( x ) + Α Α Β x+γ = + + + + x () Θέτουμε x = ω x= ω+, οπότε η () γίνεται: 6 + ω Α Α Α Β ω+ ( Β+Γ) = + + + ω ω ω ω + ω+ ( + + ) ω ω ω 6 + ω Β ω+ ( Β+Γ) = Α +Α +Α + + ω+ ω ω + ω+ ( ω ω ) ω ( )
Παρατηρούμε ότι το Α ω +Α ω+α είναι το δευτεροβάθμιο πηλίκο της διαίρεσης του 6 + ω δια του + ω+ ω διατεταγμένα κατά τις ανιούσες δυνάμεις του ω. Η διαίρεση μας δίνει: ω 6+ ω 5 = ω ω+ + ω + ω+ ω ω + ω+ Έχοντας υπ όψιν και την (): () 6 + ω Β ω+ ( Β+Γ) = ( Α ω +Α ω+α ) + ω + ω+ ω ω + ω+, έχουμε:
5 Α =, Α =, Α =, Β=, Β+Γ= 5 x + = + + + + x x + 5 Οπότε: ( ) x ( + x ) x ( x ) ( x ) Άρα 5 x + 5 x + dx = dx + dx + dx + dx = + x ( ) ( ) x x x ( x ) + ( x ) 5 = ln x + + ln( + x ) + τοξεϕ x+ c x ( x )
Β. ΜΟΡΦΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΜΕΝΑ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ax Ι. Π( x) e dx αx αx ΙΙ. ηµ ( βx + γ) e dx, συν( βx + γ) e dx ΙΙΙ. Π( x) ηµ ( β x + γ ) dx, Π( x) συν ( β x + γ ) dx, ( ) ax ax IV. Π( x) ηµ ( βx + γ) e dx, Π( x) συν( βx + γ) e dx V. R( x) ln σ ( x) dx, Rx ( ή), ( x) σ ά= ρητ συν ρτηση VI. R( x) τοξηµ xdx και VII. R( x) τοξεϕσ ( ) x dx Π xώ= πολυ νυµο
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΩΤΕΡΩ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ I. η ax ax ax ax Περίπτωση. ( x) e dx ( x) ( e Π = Π ) dx = Π( x) e Π ( x) e dx ( ) a a a Το Π ( x) είναι πολυώνυμο με βαθμό κατά μία μονάδα μικρότερο του βαθμού του ( x) Π. Με διαδοχικές ολοκληρώσεις κατά παράγοντες θα έχουμε:
ax ax ax ax ( x) e dx ( x) ( e Π = ) dx ( x) e ( x) e dx a Π = Π a a Π = ax ax ax = Π( xe ) Π ( xe ) + ( xe ) dx a a a Π = ax ax ax ax ax ax =... = Π( xe ) Π ( xe ) +... + e dx ( xe ) ( xe )... e a a = Π Π + + = a a a ax ax = e ( Π( x) Π ( x) +.. +. ) =Π ( x) e a a a ax ax Άρα Π( x ) e d =Π x ( x ) e, όπου Π ( x) πολυώνυμο ίσου βαθμού με το Π ( x). Οι συντελεστές του Π ( x) υπολογίζονται με παραγώγιση των μελών, εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x και λύνοντας το σχηματιζόμενο σύστημα.
x x Παράδειγμα : ( x + ) e dx = ( ax + β ) e και παραγωγίζοντας x + e = ax + e + ax + e ( ) ( β) ( β) x x ( x ) e ( ax β a) e x x x ( ) + = + + a = a = β + a = β = 9 x Άρα ( ) x x + e dx = x + e + c 9
Παράδειγμα : (5 8 + ) x = ( + β + γ) και παραγωγίζοντας: x x e 5 dx ax x e 5x (5x 8x + ) e 5x = ax + e 5x + 5 ax + x + e 5x ( β) ( β γ)... (5x 8x + ) e 5x = 5ax + 5 ( a + 5β x ) x + ( β + γ) e 5a= 5 a= a + 5β = 8 β = β 5γ + = γ = Άρα (5 8 ) x ( ) x x + e 5 dx = x x + e 5x + c
Σχηματική μέθοδος Μία σχηματική μέθοδος για την ολοκλήρωση κατά παράγοντες του γινομένου συναρτήσεων του x θα παρουσιάσουμε στα επόμενα παραδείγματα. Παράδειγμα : To γινόμενο δύναμης του x με μία τριγωνομετρική συνάρτηση του x μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Έστω 5 f( x) = x και gx ( ) = συν x. Ι = συν 5 x xdx Γράφουμε τις παραγώγους της f ως προς x σε μία στήλη και τα ολοκληρώματα της g ως προς x σε
δεύτερη στήλη, συνεχίζοντας μέχρι την γραμμή όπου η ( n) f γίνεται 0. x 5 5x 4 0x 60x 0x συνx ημx -συνx -ημx συνx 0 ημx - 0 -συνx Οπότε: I =x 5 ημx+5x 4 συνx-0x ημx-60x συνx+0xημx+0συνx+c + - + - +
Παράδειγμα : Το γινόμενο μιας εκθετικής συνάρτησης με μία τριγωνομετρική Ι = e ax ηµ bxdx ax Έστω f( x) = e και g( x) = ηµ bx. Δουλεύουμε όπως στο παράδειγμα, αλλά συνεχίζουμε ως τη γραμμή όπου το ( n) γινόμενο f g n είναι σταθερό πολλαπλάσιο του δοθέντος. e αx + αe αx α e αx - + ημbx b συνbx b ηµbx
ax ax a ax a ax Ι = e ηµ bxdx = e συνbx + e ηµ bx e ηµ bxdx b b b ax ax a ax a Ι = e ηµ bxdx = e συνbx + e ηµ bx Ι b b b ax a ax a e ( bσυνbx + aηµ bx) Ι + Ι = e συνbx + ηµ bx Ι = + c b b b a + b Παράδειγμα : Ι x = xe ηµ xe x xdx ημx (x+)e x (x+)e x + - + συν x ηµ x 4
x x x Ι = xe συν x + e ( x + ) ηµ x ( x + ) e ηµ xdx 4 4 x x x x Ι = xe συν x + e ( x + ) ηµ x xe ηµ xdx e ηµ xdx 4 4 I x x x Ι + Ι = xe συν x + e ( x + ) ηµ x e ηµ xdx 4 4 xe συν x e ( x ) ηµ x e ηµ xdx () 5 5 5 x x x Ι = + + Έστω e x ηµ Ι= xdx I
e x ημx + e x συν x - e x + ηµ x 4 x x x x Ι= e ηµ xd = x e x e x e xd συν + 4 ηµ 4 ηµ x x Ι= e συν x+ eηµ x Ι 4 4 x x Ι= e συν x+ eηµ x () 5 5 () () x x 4 x x Ι = xe συν x+ e ( x+ ) ηµ x+ e συν x eηµ x 5 5 5 5 x e Ι = ( + 5x) ηµ x+ (4 0 x) συν x + c 5
Βιβλιογραφία: [] J.B.Reynolds, Undetermined coefficients in integration, American Mathematical Monthly, vol. 54 (947), pp. 7-8. [] K.W.Folley, Integration by parts, American Mathematical Monthly, vol. 54 (947), pp. 54-54. [] M.R.Spiegel, Partial fractions with repeated linear or quadratic factors, American Mathematical Monthly, vol. 57 (950), pp. 80-8. [4] Δ. Στρατηγόπουλος, Ανώτερα Μαθηματικά, Κλασσική Ανάλυση, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, Πάτρα 989.