Στατιστική Ι- Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 8 Οκτωβρίου 2016
Περιγραφή 1
Περιγραφή 1
Περιγραφή Η αποτελεί μέτρο διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής ωςπροςτημέσητηςτιμής Πως το εκτιμούμε; Στον πληθυσμό σ 2 = i=1 f i(x i x) 2 i=1 f i Στο δείγμα s 2 = N 1 i=1 f i(x i x) 2 N 1 όπου N = i=1 f iκαιησχέσηδειγματικήςκαιπληθυσμιακής διακύμανσης ορίζεται ως: s 2 = N N 1 σ2 Τυπική Απόκλιση βεαμερ-τυ-λογ
Συντελεστής Μεταβλητικότητας (CV) Περιγραφή Ο Συντελεστής μεταβλητικότητας αποτελεί ένα σχετικό μέτρο διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής καθώς μετρά την τυπική απόκλιση ως ποσοστό του αριθμητικού μέσου Πως το εκτιμούμε; CV = 100 s x
Ερμηνεία του CV Τον χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τη διασπορά ανάμεσα σε πληθυσμούς που χρησιμοποιούν διαφορετικό μέτρο. Παράδειγμα Οταν συγκρίνουμε πωλήσεις εταιριών από δυο διαφορετικές χώρες που χρησιμοποιούν διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Πως τότε θα συγκρίνουμε τη μεταβλητηκότητα αυτών μέσω δυο δειγμάτων; Σε αυτήν την περίπτωση η διακύμανση μετράται στη μονάδα μέτρησης της κάθε χώρας. Άρα η σύκριση μέσωτωνδιαφορετικών s 2 δενθαήταναντικειμενική.εδώτο CV παρουσιάζει ένα μέτρο διασποράς που κάνει τις πωλήσεις των δυο εταιριών συγκρίσιμες
Παράδειγμα: θερμοκρασίες σε Λονδίνο(Κελσίου) και Νέας Υόρκης (Φάρεναϊτ) Πίνακας: Θερμοκρασίες Κελσίου και Φάρεναϊτ x i Λονδίνο x i ΝέαςΥόρκη Δ. 15 40 Τ. 19 60 Τετ. 20 70 Π. 13 55 Παρ. 24 75 Σ. 18 65 Κ. 21 70
Παράδειγμα: θερμοκρασίες σε Λονδίνο(Κελσίου) και Νέας Υόρκης (Φάρεναϊτ) Temp. in LND and NY 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 5 6 7 days
Παράδειγμα: θερμοκρασίες σε Λονδίνο(Κελσίου) και Νέας Υόρκης (Φάρεναϊτ) x L = 15+ +21 = 18.57, 7 (15 18, 57)2 + +(21 18, 57) s L = 2 = 3, 690 7 1 x NY = 40+ +70 = 62.14, 7 (40 62, 14)2 + +(70 62, 14) s NY = 2 = 11, 852 7 1 CV L = 100 sl x L = 19, 871 > CV NY = 100 sny x NY = 19, 072. Παρατήρηση: Παρ ότι η θερμοκρασία στη Νέας Υόρκης εμφανίζει μεγαλύτερη διακύμανση σε σχέση με την αντίστοιχη της πόλης του Λονδίνου, σε όρους σχετικής διακύμανσης(cv) η Νέας Υόρκης εμφανίζει μικρότερη διακύμανση. βεαμερ-τυ-λογ
Ροπές Ροπές περί το μηδέν Η v-στήροπήπερίτομηδέν: µ v = i=1 f ixi v i=1 f, i Ηπρώτηροπήπερίτομηδέν Ηδεύτερηροπήπερίτομηδέν µ 1 = x µ 2 = i=1 f ixi 2 i=1 f, i Η τρίτη και τέταρτη ροπή περί το μηδέν αντίστοιχα µ i=1 3 = f ixi 3 i=1 f, µ i=1 4 = f ixi 4 i i=1 f. i
Ροπές(συν.) Ροπές περί τον μέσο Η v-στήροπήπερίτονμέσο: µ v = i=1 f i(x i x) v i=1 f, i Ηπρώτηροπήπερίτονμέσο Ηδεύτερηροπήπερίτονμέσο µ 1 = 0 µ 2 = i=1 f i(x i x) 2 i=1 f i σ 2, Η τρίτη τέταρτη ροπή περί τον μέσο αντίστοιχα i=1 µ 3 = f i(x i x) 3 i=1 i=1 f, µ 4 = f i(x i x) 4 i i=1 f. i
Ροπές(συν.) Πωςεκφράζουμετιςροπέςπερίτονμέσοσυναρτήσητωνροπώνπερίτομηδέν Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα: ( ) v µ v = ( 1) j µ j j 1 µ v j Ετσι έχουμε: µ 2 = µ 2 (µ 1) 2, µ 3 = µ 3 3µ 2µ 1 + 2(µ 1) 3, µ 4 = µ 4 4µ 3µ 1 + 6µ 2(µ 1) 2 3(µ 1) 4.
Συντελεστής Ασυμμετρίας Περιγράφη Ο συντελεστής Ασυμμετρίας μετρά το βαθμό ασυμμετρίας στην κατανομή συχνοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής Πως το εκτιμούμε; ή όπου µ 3 = a 1 = x m s 1 i=1 f i a 1 = µ 3 s 3 n f i (x i x) 3 i=1
Ερμηνεία Ασυμμετρίας 1 Οταν a 1 > 0έχουμεθετικήασυμμετρία(όπου x > m) 2 Οταν a 1 < 0έχουμεαρνητικήασυμμετρία(όπου x < m) 3 Οταν a 1 0έχουμεσυμμετρία
Είδη Ασυμμετρίας
Συντελεστής Κυρτότητας Περιγραφή Ο συντελεστής Κυρτότητας εξετάζει πόσο πεπλατισμένη ή οξεία είναι η κατανομή συχνοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής Πως το εκτιμούμε; Ο συντελεστής Κυρτότητας του Pearson όπου µ 4 = 1 i=1 f i a 2 = µ 4 s 4 n f i (x i µ) 4 i=1
Ερμηνεία Κυρτότητας 1 Οταν a 2 3 > 0έχουμελεπτόκυρτηκατανομή 2 Οταν a 2 3 < 0έχουμεπλατύκυρτηκατανομή 3 Οταν a 2 3 = 0έχουμεμεσόκυρτηκατανομή
Είδη Κυρτότητας
f βεαμερ-τυ-λογ Παράδειγμα: Αριθμός γεννήσεων ανά ώρα εντός ενός 24ώρου 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 x
Παράδειγμα: Αριθμός γεννήσεων ανά ώρα εντός ενός 24ώρου x i f i f i (x i x) 2 f i (x i x) 3 f i (x i x) 4 1 6 6 (1 x) 2 6 (1 3, 083) 3 6 (1 3, 083) 4 2 6 6(2 3, 083) 2 6 (2 3, 083) 3 6 (2 3, 083) 4 3 4 4(3 3, 083) 2 6 (3 3, 083) 3 6 (3 3, 083) 4 4 3 3(4 3, 083) 2 6 (4 3, 083) 3 6 (4 3, 083) 4 5 2 2(5 3, 083) 2 6 (5 3, 083) 3 6 (5 3, 083) 4 6 2 2(6 3, 083) 2 6 (6 3, 083) 3 6 (6 3, 083) 4 10 1 1(10 3, 083) 2 6 (10 3, 083) 3 6 (10 3, 083) 4 7 i=1 f i(x i x) 2 7 i=1 f i(x i x) 3 7 i=1 f i(x i x) 4 = 107, 8333 = 335, 0278 = 2583, 83
Παράδειγμα: Αριθμός γεννήσεων ανά ώρα εντός ενός 24ώρου, Συντελεστές Ασυμμετρίας και Κυρτότητας s 2 = N 7 N 1 [ i=1 f ixi 2 7 i=1 f i µ 3 = 335, 0278 24 έχουμε θετικά ασύμμετρη και λεπτόκυρτη κατανομή. x 2 ] = 24 107, 833 = 58, 695 23 s = 2, 165 = 13, 959, µ 4 = 2583, 83 24 α 1 = µ 3 13, 959 = 1, 375 > 0, s3 2, 1653 α 2 = µ 4 σ 4 = 107.6596 2, 165 4 4, 897 > 3, = 107, 659
Παράδειγμα: Τιμές αμόλυβδης βενζίνης για τους 51 νομούς της χώρας x i x i f i f i (x x) i f i (x x) i f i (x x) i [1, 65, 1, 67) 1,66 7 7 (1, 66 1, 7023) 2 7 (1, 66 1, 7023) 3 7 (1, 66 1, 7023) 4 [1, 67, 1, 69) 1,68 16 16 (1, 68 1, 7023) 2 16 (1, 68 1, 7023) 3 16 (1, 68 1, 7023) 4 [1, 69, 1, 71) 1,70 13 13 (1, 70 1, 7023) 2 13 (1, 70 1, 7023) 3 13 (1, 70 1, 7023) 4 [1, 71, 1, 73) 1,72 5 5 (1, 72 1, 7023) 2 5 (1, 72 1, 7023) 3 5 (1, 72 1, 7023) 4 [1, 73, 1, 75) 1,74 4 4 (1, 74 1, 7023) 2 4 (1, 74 1, 7023) 3 4 (1, 74 1, 7023) 4 [1, 75, 1, 77) 1,76 1 1 (1, 76 1, 7023) 2 1 (1, 76 1, 7023) 3 1 (1, 76 1, 7023) 4 [1, 77, 1, 79) 1,78 5 5 (1, 78 1, 7023) 2 5 (1, 78 1, 7023) 3 5 (1, 78 1, 7023) 4 7i=1 f i (x i x) 2 = 0, 0613 7i=1 f i (x i x) 3 = 0, 0020 7i=1 f i (x i x) 4 = 0, 0002
Μέτρα Διασπορας σε Δαπάνες για τιμές αμόλυβδης βενζίνης, Συντελεστές Ασυμμετρίας και Κυρτότητας s 2 = 7 i=1 f i(x i x) 2 = 1 N 1 50 [7 (1, 66 1, 7023)2 + + 5 (1, 78 1, 7023) 2 ] = 0, 001 7 i=1 µ 3 = f i(x i x) 3 7 i=1 f = 1 i 51 [7 (1, 66 1, 7023)3 + + 5 (1, 78 1, 7023) 3 ] = 4, 044128e 05, 7 i=1 µ 4 = f i(x i x) 4 7 i=1 f = 1 i 51 [7 (1, 66 1, 7023)4 + + 5 (1, 78 1, 7023) 4 ] = 4, 46725e 06,
Μέτρα Διασπορας σε Δαπάνες για τιμές αμόλυβδης βενζίνης, Συντελεστές Ασυμμετρίας και Κυρτότητας Ως συντελεστή ασυμμετράς έχουμε τον: a 1 = µ 3 4.044128e 05 = = 0, 9416 > 0. s3 0, 0350 3 Επομένως έχουμε θετική ασύμμετρια. Ενώ ως συντελεστή κυρτότητας έχουμε τον: a 2 = µ 4 s 4 Επομένως έχουμε πλατύκυρτη κατανομή. = 4.46725e 06 0, 0350 4 = 2, 9703 < 3,
f Ραβδόγραμμα: Τιμές αμόλυβδης βενζίνης για τους 51 νομούς της χώρας Ραβδόγραμμα συχνοτήτων, πρότυπη συμμετρική κατανομή με κυρτότητα ίση με3 16 0 5 10 15 0 7 13 5 4 1 5 1.65 1.70 1.75 βεαμερ-τυ-λογ x