Izbrn poglvj iz mtemtike BF Biologij Mtjž Željko Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 jnur 00
KAZALO Kzlo Števil 5 Nrvn števil 5 Cel števil 6 3 Rcionln števil 6 4 Reln števil 7 5 Urejenost relnih števil 8 6 Omejene množice relnih števil Množice 3 Množice 3 Opercije z množicmi 3 3 Preslikve med množicmi 5 4 Moč množic 8 3 Kombintorik 3 Preštevnj 4 Verjetnost 7 4 Osnovni pojmi in rčunnje z dogodki 7 4 Osnovne lstnosti verjetnosti 9 43 Algebr dogodkov 30 44 Lstnosti verjetnosti 30 45 Pogojn verjetnost 3 46 Zporedje neodvisnih dogodkov 35 47 Hrd-Weinbergov zkon 38 5 Mtrike 38 5 Opercije z mtrikmi 38 5 Permutcije 43 53 Determinnte 44 54 Rčunnje determinnt 46 55 Rzvoj po vrstici li stolpcu 48 56 Crmerjevo prvilo 50 57 Gussov metod 53 58 Inverz mtrike 60 59 Vektorski prostor 65 50 Lstne vrednosti 68 5 Leslijev model populcijske rsti 75 6 Zporedj 75 6 Zporedj 75 6 Rekurzivno podn zporedj 89 63 Beverton Holtov model populcijske rsti 9 7 Funkcije 93 7 Splošni pojem funkcije 93 7 Limit funkcije 98 73 Zveznost 03 74 Lstnosti zveznih funkcij 0
KAZALO 3 75 Zveznost elementrnih funkcij 3 8 Diferencilni rčun 4 8 Definicij odvod 4 8 Geometrični pomen odvod 8 83 Prvil z odvjnje 8 84 Odvodi elementrnih funkcij 0 85 Diferencil funkcije 6 86 Lstnosti odvedljivih funkcij 8 87 Konveksnost, konkvnost, prevoji 34 88 Ekstremi funkcij 36 89 Risnje grfov funkcij 43 80 L Hôpitlovo prvilo 48 9 Integrlski rčun 5 9 Nedoločeni integrl 5 9 Prvil z integrirnje 5 93 Določeni integrl 57 94 Geometrijski pomen integrl 59 95 Lstnosti določeneg integrl 60 96 Zvez med določenim in nedoločenim integrlom 6 97 Rčunnje določeneg integrl 63 98 Posplošeni integrl 67 99 Uporb integrl 73 0 Vrste 8 0 Številske vrste 8 0 Tlorjev vrst 93 Funkcije več spremenljivk 00 Splošni pojem funkcije 00 Odprte množice in okolice 03 3 Zveznost 04 4 Prcilni odvodi 07 5 Verižno prvilo 4 6 Loklni ekstremi 6 7 Metod njmnjših kvdrtov 8 Vezni ekstremi Diferencilne enčbe 7 Splošen pojem diferencilne enčbe 7 Diferencilne enčbe prveg red 8 Enčb z ločljivim spremenljivkm 9 3 Rdioktivni rzpd 3 4 Problem mešnj rztopin 3 5 Linern diferenciln enčb I red 33 6 Bernoullijev enčb 34 7 Diferencilne enčbe višjih redov 35 8 Homogene linerne diferencilne enčbe II red 36 8 Enčbe s konstntnimi koeficienti 37 9 Nehomogene linerne diferencilne enčbe II red 38
KAZALO 4 0Nihnje 4 Sistemi diferencilnih enčb 45 Sistem dveh diferencilnih enčb s konstntnimi koeficienti 46 3Nrvn rst 49 4Brtlnffev model rsti 50 5Verhulstov model rsti 5 3 Primeri vpršnj z teoretični del izpit 5
ŠTEVILA 5 Števil Nrvn števil Nrvn števil so števil, s kterimi štejemo:,, 3, 4, Množico nrvnih števil {,,3,} oznčimo z N Nrvn števil lhko med seboj seštevmo in množimo Vrstni red pri seštevnju in množenju ni pomemben, člene (pri seštevnju) li fktorje (pri množenju) lhko poljubno združujemo Torej z vsk tri nrvn števil, b in c velj + b b +, b b, ( + b) + c + (b + c), (b)c (bc) Prvi dve lstnosti imenujemo komuttivnost seštevnj oz množenj, drugi dve lstnosti p imenujemo socitivnost seštevnj oz množenj Če nrvn števil seštevmo in množimo, se mormo držti dogovor o vrstnem redu opercij Ker im množenje prednost pred seštevnjem, je + b c + (b c), b + c ( b) + c Če želimo njprej izrčunti +b in nto rezultt pomnožiti s c, zpišemo (+b) c V splošnem velj prvilo o distributivnosti množenj: ( + b)c c + bc, (b + c) b + c Nčelo mtemtične indukcije Nrvn števil so induktivn množic: če je S N tk podmnožic, d je S in velj sklep: če n S, potem n + S, je S N Tej lstnosti prvimo tudi nčelo mtemtične indukcije Zgled Z vsko nrvno število n velj + + + n n(n + ) () Rešitev Oznčimo S {n N; + + + n n(n+) } Množic S je torej množic tistih nrvnih števil, z kter drži enkost () (Induktivn hipotez je, d formul () drži z dno število n) Njprej preverimo, d je S Privzemimo sedj, d je n S Tedj je + + + n n(n+) Torej je ( + + + n) + (n + ) n(n+) + (n + ) (n+)(n+), kr pomeni, d je tudi n + S Po nčelu mtemtične indukcije je S N Torej velj formul + + + n n(n+) z vsko nrvno število n Mtemtično indukcijo lhko uporbimo tudi n množici N {0}
ŠTEVILA 6 Zgled Nj bo q Z vsko število n N {0} velj + q + + q n qn+ q Rešitev Z n 0 seved velj q0+ q V dokzu induktivneg kork p opzimo, d je + q + + q n + q n+ qn+ q + q n+ qn+ + (q )q n+ q qn+ q Penovi ksiomi Nrvn števil ksiomtično vpeljemo s pomočjo Penovih ksiomov: je nrvno število Vskemu nrvnemu številu n pripd ntnčno določeno nrvno število n +, ki g imenujemo nslednik števil n Število ni nslednik nobeneg nrvneg števil [Nčelo indukcije] Če je S N tk podmnožic, d je S in velj sklep: če n S, potem n + S, je S N S Penovimi ksiomi lhko v množico nrvnih števil vpeljemo tudi seštevnje in množenje Cel števil V množici nrvnih števil lhko seštevmo in množimo, ne moremo p odštevti D bi lhko nrvn števil odštevli, vpeljemo število 0 in negtivn števil Število 0 je tko število, d znj velj + 0 z vsko nrvno število K nrvnemu številu p pridružimo tko nsprotno število, d znj velj + ( ) 0 Množico celih števil oznčimo z Z N {0} { n; n N} To je njmnjš množic števil, v kteri je z vski nrvni števili in b rešljiv enčb b + 3 Rcionln števil V množici celih števil ne moremo deliti Če želimo število rzdeliti n b, b 0, enkih delov, bo vsk del velik b Rcionlno število b je torej tko število, z ktero velj b b Množico rcionlnih števil oznčimo z Q { b ;,b Z,b 0} To je njmnjš množic števil, v kteri je z vski celi števili in b, b 0, rešljiv enčb b
ŠTEVILA 7 Pri rčunnju s številom 0 je potrebno biti previden Jsno je + 0, 0, 0 0 Rcionlno število 0, 0, p ne obstj (oz deljenje z 0 ni dopustno), sj ne obstj tko število, z ktereg bi bilo 0 4 Reln števil Številsk premic Rcionln števil si lhko ponzorimo s točkmi n številski premici Številsk premic je poljubn premic, n kteri smo si izbrli dve rzlični točki, ki predstvljt O in E Točko O imenujemo koordintno izhodišče in upodblj število 0 Točk E upodblj število 0 O E Z nnšnjem dljice OE v eno li v drugo strn od koordintneg izhodišč dobimo slike celih števil 0 3 4 Z enostvno geometrijsko konstrukcijo (rzmerj) lhko upodobimo rcionln števil 0 3 3 5 Izkže se, d n premici obstjjo števil, ki niso upodobitve rcionlnih števil 0 Pojem števil zto še enkrt rzširimo in rečemo, d so reln števil vs števil, ki jih lhko upodobimo n številski premici Množico relnih števil oznčimo z R Med množicmi nrvnih, celih, rcionlnih in relnih števil velj zvez kjer so vse inkluzije prve N Z Q R,
ŠTEVILA 8 Decimlni zpis relneg števil Nj bo X točk n številski premici Številu X bomo priredili decimlno število Ker cel števil rzdelijo številsko premico n enotske intervle, obstj celo število 0, d leži točk X med 0 in 0 + (Če X ne upodblj celeg števil, je število 0 določeno enolično) Intervl med 0 in 0 + rzdelimo n deset enko dolgih delov Potem obstj število {0,,,9}, d leži točk X med 0 + 0 in 0 + 0 + 0 Postopek ponvljmo Točki X n številski premici smo tko priredili neskončno zporedje števk 0,, Prvimo, d je 0 3 decimlni zpis števil 0 0 + 0 + 0 0 + + 0 0 + 0 + 00 0 + 0 + + 00 Decimlni zpis ni nujno enoličen Število 5 4 49999 49 lhko zpišemo kot 5000 50 li Cel števil in rcionln števil oblike m 5 n imjo končen decimlni zpis Vs drug rcionln števil imjo neskončen periodičen decimlni zpis 5 3 7 666 6, 048574857 04857 Ircionln števil imjo neskončen neperiodičen decimlni zpis π 34596535897933846643383795 443563730950488068874097 5 Urejenost relnih števil Reln števil lhko primerjmo po velikosti Prvimo, d je število n številski premici pozitivno, če leži desno od točke 0 (torej n istem poltrku kot točk ) Prvimo, d je število n številski premici negtivno, če leži levo od točke 0 (torej n drugem poltrku kot točk ) negtivn števil 0 pozitivn števil
ŠTEVILA 9 Prvimo, d je število mnjše od b in oznčimo < b, če je število b pozitivno (tj b leži desno od ) Prvimo, d je število večje od b in oznčimo > b, če je število b negtivno (tj b leži levo od ) Število 0 ni ne pozitivno ne negtivno Simbol < lhko tudi obrnemo Prvimo, d je število večje od b, oznk > b, če je b < Če je < b li b, n krtko oznčimo b in prvimo, d je mnjše li enko b Če je > b li b, n krtko oznčimo b in prvimo, d je večje li enko b Pri rčunnju s pozitivnimi oz negtivnimi števili mormo biti ndvse pzljivi iz < b sledi + c < b + c z vsk c R, iz < b in c > 0 sledi c < bc, iz < b in c < 0 p sledi c > bc Zdnj lstnost enostvno pove, d se pri množenju z negtivnim številom neenkost obrne Absolutn vrednost Vskemu relnemu številu lhko priredimo nenegtivno relno število s predpisom {, če je 0, če je < 0 Število imenujemo bsolutn vrednost števil Velj + + trikotnišk neenkost Geometrijsko pomeni rzdljo od točke X, ki upodblj število, do točke O n številski premici Če st, relni števili, je rzdlj med njunim slikm n številski premici Intervli in okolice Nj bost in b, b, poljubni relni števili Definirjmo: [,b] { R; b} (,b] { R; < b} [,b) { R; < b} (,b) { R; < < b} zprt intervl od do b polodprt intervl od do b polodprt intervl od do b odprt intervl od do b [,b] (,b] [,b) (,b) b b b b
ŠTEVILA 0 Pri b je [,] {} in (,] [,) (,) Definirmo lhko tudi neskončne intervle, ki so pri vedno odprti, sj sploh ni število: Z vsk R in ε > 0 imenujemo intervl ε-okolic točke (,b] { R; b} (,b) { R; < b} [, ) { R; } (, ) { R; < } (, ) R ( ε, + ε) { R; ε < < + ε} ε + ε Zgled 3 Poišči vs reln števil, z kter je + > Rezultt zpiši z intervlom Rešitev Ker je 0 z, ločimo dv primer Če je <, je + Neenkost postne + > +, kr lhko preoblikujemo v 3 > oz > 3 Torej ( 3, ) Če p je, je Neenkost postne + >, kr lhko preoblikujemo v < 3 Torej [,3) Rešitev je ( 3, ) [,3), kr lhko krjše zpišemo kot ( 3,3) + 3 O 3 Zgled 4 Poišči vs reln števil, z kter je 3 Rešitev Ker je 0 z in 3 0 z 3, ločimo 3 primere Če je < 3, neenkost preoblikujemo v 3, kr nm d 3 Torej [ 3, 3 ) Če je >, neenkost preoblikujemo v 3, kr nm d Torej v tem primeru ni rešitev Če p je 3, velj 3 in 5 4 Torej [ 3, 5 4 ] Rešitev je [ 3, 3 ) [ 3, 5 4 ], kr lhko krjše zpišemo kot [ 3, 5 4 ]
ŠTEVILA 3 O 5 4 3 Zgled 5 Poišči vs reln števil, z kter je < + Rešitev Ker je 0 z ±, ločimo 3 primere, ki p ji lhko združimo v : in > Če je, velj < + Torej + > 0 Ker je + 0 z 0 in, mor biti > 0 li < Ob pogoju to pomeni [, ) (0, ] Če p je >, velj < + Torej 4 < 0 Ker je 4 0 z, ± 7, ob pogoju > to pomeni ( 7, ) (, + 7 ) Rešitev je torej ( 7, ) (0, + 7 ) + 7 O + 7 6 Omejene množice relnih števil Nj bo A neprzn množic relnih števil Če obstj število M, d je M z vsk A, prvimo, d je M zgornj mej množice A Prvimo, d je množic A nvzgor omejen, če obstj kkšn zgornj mej množice A Če obstj število m, d je m z vsk A, prvimo, d je m spodnj mej množice A Prvimo, d je množic A nvzdol omejen, če obstj kkšn spodnj mej množice A m A M
ŠTEVILA Množic A je omejen, če je omejen nvzgor in nvzdol Število M je ntnčn zgornj mej množice A, če je zgornj mej množice A in če z vsk ε > 0 obstj A, d je > M ε (Ntnčn zgornj mej je torej njmnjš zgornj mej množice A) A M ε M Ntnčno zgornjo mejo množice A oznčimo s supa in poimenujemo supremum množice A Ntnčn zgornj mej vskeg (odprteg, zprteg, polodprteg) intervl med in b je število b Število m je ntnčn spodnj mej množice A, če je spodnj mej množice A in če z vsk ε > 0 obstj A, d je < m + ε (Ntnčn spodnj mej je torej njvečj spodnj mej množice A) m m + ε A Ntnčno spodnjo mejo množice A oznčimo z inf A in poimenujemo infimum množice A Ntnčn spodnj mej vskeg (odprteg, zprteg, polodprteg) intervl med in b je število Zgled 6 Določi ntnčno spodnjo in zgornjo mejo množic inf(a), sup(a) inf(b) 0, sup(b) inf(c) 3, sup(c) 3 A {n + ; n Z} B { n ; n N}, C { R; < 3} Dedekindov ksiom Vsk neprzn nvzdol omejen podmnožic relnih števil im ntnčno spodnjo mejo Dedekindov ksiom je ekvivlenten trditvi, d im vsk neprzn nvzgor omejen podmnožic relnih števil ntnčno zgornjo mejo T ksiom rzloči med relnimi in rcionlnimi števili Množic A {; > in > 0} v množici rcionlnih števil nmreč nim ntnčne spodnje meje, v množici relnih števil p je ntnčn spodnj mej (ircionlno) število Zgled 7 Število je ircionlno Rešitev Dokz s protislovjem Recimo, d je p q, kjer je p q okrjšn ulomek Potem je p q Torej p p in p q Sledi q q in p q p q v resnici ni okrjšn ulomek
MNOŽICE 3 Množice Množice Množic A je določen, če obstj prvilo, po kterem je mogoče z vsko reč odločiti li je v A li ne Če spd v množico A, prvimo, d je element množice A in oznčimo A Če ni element množice A, oznčimo / A Množico lhko podmo tko, d zpišemo njene elemente: A {,,3}, B { modr, zelen } Množico lhko podmo tudi tko, d povemo lstnost L, ki jo imjo ntnko vsi njeni elementi Torej A {; L()} C {; < }, D {n; n deli število } Možno je, d noben element nim lstnosti L; tedj je A przn množic, kr zpišemo A Opercije z množicmi Množic A je podmnožic množice B, z oznko A B, če vsk element množice A leži tudi v množici B Če je A B in B A, imt množici A in B iste elemente in st enki Oznk: A B A B Unij množic A in B je množic A B, definirn z A B {; A li B} A B A B Presek množic A in B je množic A B, definirn z A B {; A in B} A B Z poljubne množice A, B in C velj Komuttivnost in A B B A, A B B A A B Asocitivnost in (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) Idempotentnost in A A A, A A A Absorbcij A (A B) A, A (A B) A Lstnost A A, A A B
MNOŽICE 4 Izrek (Distributivnostn zkon) Z poljubne množice A, B in C velj A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A A A (B C) A (B C) B C B C Rzlik množic A in B je množic A \ B, definirn z A \ B {; A in / B} Množici A \ B prvimo tudi komplement množice B glede n A A \ B A B Včsih obrvnvmo le podmnožice neke fiksne, dovolj velike množice U, ki jo v tem primeru imenujemo univerzln množic Komplement množice A (glede n univerzlno množico U) je množic A c, definirn z A c U \ A A U U, A U A lstnost univerzlne množice U A A c U, A A c lstnost komplement (A c ) c A involutivnost komplement U c, c U komplementrnost U in Izrek (De Morgnov zkon) Z poljubne množice A, B in C velj (A B) c A c B c (A B) c A c B c A B A B (A B) c (A B) c Zgled 3 Izrčunj A B, A B in A\B z A {n ; n,,,7} in B {3n ; n,,,7} Rešitev Ker je A {,3,5,7,9,,3} in B {,4,7,0,3,6,9}, je A B {,3,4,5,7,9,0,,3, 6,9}, A B {,7,3} in A \ B {3,5,9,}
MNOŽICE 5 Nj bo A in B Urejeni pr elementov in je množic ki jo krjše oznčimo z (,) {{}, {,}}, Iz (,) (, ) sledi, d je in V urejenem pru je vrstni red zpis pomemben Z je (,) (,), vendr p {,} {,} Krtezični produkt množic A in B je množic urejenih prov A B {(,); A, B} A B ntnko tedj, ko je vsj en izmed množic A in B przn Z rzlični neprzni množici A in B velj A B B A Če je A B, pišemo nmesto A A kr A Potenčn množic množice A je množic vseh podmnižic množice A in jo oznčimo s P(A) Torej P(A) {X; X A} P( ) { } P(P( )) {, { }} P({,,3}) {, {}, {}, {3}, {,}, {, 3}, {,3}, {,, 3}} Z končno množico A z n elementi velj, d im potenčn množic P(A) ntnko n elementov 3 Preslikve med množicmi Preslikve med množicmi Nj bost A in B množici Preslikv f : A B je prvilo f, ki vskemu elementu množice A priredi ntnčno določen element f() množice B (Preslikvo pogosto imenujemo tudi funkcij, zlsti, če je A R in B R) f A f() B Množic A je lhko tudi przn, sj z vsko množico B obstj przn preslikv B Če p je množic B przn, obstj preslikv A, le če je tudi množic A przn Množico A imenujemo definicijsko območje li domen, množico f(a) {f(); A} B p zlog vrednosti li kodomen preslikve f Definicijsko območje funkcije f oznčimo tudi z D f, zlogo vrednosti p z Z f
MNOŽICE 6 f Z f A D f B Zgled 4 Ali st funkciji f () in f () enki? Ali st funkciji g () in g () enki? Preslikv f : A B je injektivn, če z vsk, A,, velj f( ) f( ) (Ekvivlentno: f je injektivn, če z vsk, A iz f( ) f( ) sledi ) f( ) f( ) A f f Preslikv f : A B je surjektivn, če je Z f B (Ekvivlentno: f je surjektivn, če z vsk b B obstj tk A, d je f() b) B A f Preslikv f je bijektivn, če je injektivn in surjektivn Grf preslikve f : A B je množic b B Γ(f) {(,f()); A} A B B f() Γ(f) A B Funkcij f je injektivn, če vsk vodorvn premic v A B sek grf Γ(f) njveč enkrt Funkcij f je surjektivn, če vsk vodorvn premic v A B sek grf Γ(f) vsj enkrt Zgled 5 Nriši grf funkcije f : [,] [,4], podne s predpisom f() Ali je funkcij injektivn oz surjektivn? Rešitev A
MNOŽICE 7 4 O Funkcij ni ne injektivn ne surjektivn Zgled 6 Funkcij f : R R, definirn s predpisom f() 3, je bijektivn Funkcij f : R R, definirn s predpisom f() 3, je surjektivn, ni injektivn Funkcij f : R R, definirn s predpisom f(), ni injektivn in ni surjektivn Funkcij f : R R R, definirn s predpisom f() (, ), je injektivn Funkcij f : R R R, definirn s predpisom f(, ), je surjektivn Nj bost f : A B in g: B C preslikvi Kompozitum preslikv f in g je preslikv g f : A C, definirn z (g f)() g(f()) g f f g A Zgled 7 Nj bo f : A B in g: B C f() B g(f()) C Če st f, g injektivni, je g f injektivn Če st f, g surjektivni, je g f surjektivn Če je g f injektivn, je f injektivn Če je g f surjektivn, je g surjektivn Rešitev Če, potem f( ) f( ) in g(f( )) g(f( )) Z c C obstj b B, d g(b) c Obstj A, d f() b Torej g(f()) c Če, potem g(f( )) g(f( )) in zto f( ) f( ) Z c C obstj A, d je g(f()) c Torej je g(b) c z b f() B Preslikvo f : A A, definirno z f(), imenujemo identičn preslikv množice A in oznčimo id A Nj bo f : A B preslikv Če obstj tk preslikv g: B A, d je g f id A in f g id B, prvimo, d je g inverz preslikve f in oznčimo f g
MNOŽICE 8 f A g f() B Trditev 8 Preslikv f : A B je bijektivn ntnko tedj, ko im inverz Zgled 9 Nj bo A {,,3,4} in f(n) n z n A Določi množico B in preslikvo g: B A, ki je inverz preslikve f Rešitev Po vrsti izrčunmo f(), f() 3, f(3) 5 in f(4) 7 Torej je množic B {, 3, 5, 7} zlog vrednosti preslikve f Ker iz f(n) n m sledi n m+ m+, je preslikv g: B A, podn z g(m), inverz preslikve f f : n n 3 4 3 5 7 g: m m+ Nj bo f : A B poljubn preslikv in à A podmnožic Zožitev preslikve f n podmnožico à je preslikv f à : à B, definirn z f Ã() f() Zgled 0 Funkcij f : R R, podn s predpisom f() +, ni bijektivn Z A {; 0} in B {; } je zožitev f A : A B funkcije f bijektivn Rešitev Funkcij f ni injektivn, sj je f() f( ) z vsk R Funkcij f ni surjektivn, sj je f() z vsk R Injektivnost zožitve Če je f A( ) f A ( ), je + +, od koder sledi oz ( )( + ) 0 Če je + 0, je zrdi 0 in 0 lhko le 0 Če je + 0, mor biti 0 oz Surjektivnost zožitve Vzemimo poljuben Tedj z velj f A () 4 Moč množic Moč množic Prvimo, d st množici A in B ekvipolentni, če obstj bijektivn preslikv f : A B Oznčimo A B Ekvipolenc množic je ekvivlenčn relcij, sj velj refleksivnost: A A simetričnost: iz A B sledi B A trnzitivnost: iz A B in B C sledi A C Zgled Množici N in N (sod števil) st ekvipolentni
MNOŽICE 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Rešitev Iskn bijekcij f : N N je n n Zgled Množici Z in N st ekvipolentni 4 3 0 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 ; n 0, Rešitev Iskn bijekcij f : Z N je n n; n > 0, n + ; n < 0 Zgled 3 Množici N in Q st ekvipolentni Rešitev Zdošč poiskti bijekcijo Q + N Okrjšne ulomke zpišemo v prvokotno shemo in jih preštejemo 3 4 5 6 3 5 7 9 3 3 4 3 5 3 7 3 8 3 4 3 4 5 4 7 4 9 4 4 5 5 3 5 4 5 6 5 7 5 Z vsko nrvno število n oznčimo N n {,,,n} Neprzn množic A je končn, če obstj nrvno število n, d je A N n Tudi z przno množico prvimo, d je končn Število elementov končne množice oznčimo z A Če množic ni končn, prvimo, d je neskončn Množic je neskončn ntnko tedj, ko je ekvipolentn kkšni svoji prvi podmnožici Izrek 4 Množici N in R nist ekvipolentni
MNOŽICE 0 Dokz Dokzli bomo, d ne obstj surjektivn preslikv N (0,] f() 038374 f() 030684 f(3) 004093 f(4) 0007664 f(5) 0905688 f(6) 098340 f(7) 070837 f(?) 085967 Vs števil n intervlu lhko enolično zpišemo z neskončnim decimlnim zpisom (Končni decimlni zpis, ki se konč s smimi 0, spremenimo v neskončni decimlni zpis, ki se konč s smimi 9) Recimo torej, d obstj surjektivn preslikv f : N (0,] Oglejmo si decimlno število 0 3, z ktereg velj: števk k n k-tem decimlnem mestu ni enk števki k n k-tem decimlnem mestu števil f(k) Torej število 0 3 ni slik nobeneg števil iz N (Ker reln števil nimjo enoličneg decimlneg zpis, se mor števk k dovolj rzlikovti od k ; npr k ( k + 5) mod 0) Izrek 5 Z vsko množico je A P(A) Dokz Dokžimo trditev s protislovjem Recimo, d obstj bijekcij f : A P(A) Oglejmo si množico X { A; / f()} Ker je f surjekcij, obstj neki A, d je X f() Če je X, potem / f() Protislovje, sj je f() X Če p / X, potem f() po smi definiciji X Protislovje, sj je f() X Izrek 6 (Cntor-Bernsteinov izrek) A B Če obstjt injektivni preslikvi A B in B A, je Končne množice in preslikve Nj bost A in B končni množici Če obstj injektivn preslikv f : A B, velj A B Če obstj surjektivn preslikv f : A B, velj A B Če obstj bijektivn preslikv f : A B, velj A B
3 KOMBINATORIKA 3 Kombintorik 3 Preštevnj Osnovni izrek kombintorike Izrek 3 (Prvilo produkt) Če lhko izbirnje oprvimo v dveh zporednih neodvisnih korkih, dobimo število vseh izborov tko, d pomnožimo število izborov v prvem korku s številom izborov v drugem korku V jeziku teorije množic zpišemo, d z končni množici A in B velj A B A B Prvilo lhko posplošimo n poljubno število neodvisnih fz Izrek 3 (Prvilo vsote) Če lhko izbirnje oprvimo n dv neodvisn nčin, dobimo število vseh izborov tko, d seštejemo število izborov n prvi nčin in tistih n drugi nčin V jeziku teorije množic zpišemo, d z končni disjunktni množici A in B velj A B A + B Prvilo lhko posplošimo n poljubno število disjunktnih končnih množic Zgled 33 V restvrciji nudijo 7 vrst sokov in 5 vrst minerlne vode N koliko nčinov lhko gost izbere eno pijčo? N koliko nčinov lhko gost izbere pijčo, če bo sok mešl z vodo? Rešitev V prvem primeru st izbiri sok li minerlne vode med seboj izključujoči, zto lhko gost izbere pijčo n 7+5 nčinov V drugem primeru p gre z priprvo mešnice v dveh neodvisnih korkih, zto je vseh nčinov enko 7 5 35 Zgled 34 Poslovni kovček im dve ločeni ključvnici s trimestnim številkm Koliko kombincij z zklepnje nudit ti dve ključvnici skupj? V njveč koliko poskusih lhko odpremo kovček? 9 0 6 4 3 0 Rešitev N vski ključvnici so števil od 000 do 999; torej 0 3 možnosti Skupj immo 0 3 0 3 0 6 možnosti (tj vs števil od 000000 do 999999) Število poskusov, potrebnih z odpirnje kovčk, p je bistveno mnjše Zkj? Ker st ključvnici ločeni, bomo prvo odprli njksneje v 0 3 poskusih In ko bo prv ključvnic odprt, bomo tudi drugo odprli v njveč 0 3 poskusih Torej potrebujemo njveč 0 3 poskusov
3 KOMBINATORIKA Nčelo vključitev in izključitev Pri izbirnju iz več množic mormo pziti, d je vsk element izbrn ntnko enkrt Kdr torej izbirmo med elementi ene li druge množice, p se nekteri elementi lhko pojvijo v obeh množich (presek množic ni przen), dobimo število vseh elementov tko, d seštejemo število elementov v prvi množici s številom tistih v drugi in odštejemo število elementov v preseku (te smo upoštevli dvkrt) V jeziku teorije množic zpišemo, d z poljubni končni množici A in B velj A B A + B A B Če izbirmo med elementi treh množic, mormo njprej sešteti števil elementov vseh posmeznih množic, odšteti število elementov v presekih po dveh množic in prišteti število elementov, ki nstopjo v preseku vseh treh množic (te smo njprej trikrt prišteli, nto trikrt odšteli in jih mormo torej še enkrt vključiti) V jeziku teorije množic zpišemo, d z poljubne končne množice A, B in C velj A B C A + B + C A B A C B C + A B C Anlogno rvnmo, če se število množic še povečuje Zgled 35 V restvrciji je 5 gostov nročilo sok, 7 minerlno vodo, 3 p so nročili oboje Koliko gostov je sploh nročilo kkšno pijčo? Rešitev Če z A oznčimo množico gostov, ki so nročili sok, z B p tiste, ki so nročili minerlno vodo, velj A 5, B 7 in A B 3 Torej je A B A + B A B 5 + 7 3 9 Permutcije Permutcij pomeni spremembo vrstneg red (Npr pri igri s krtmi krte n zčetku premešmo) Permutcij množice A je bijektivn preslikv σ: A A Nj bo A {,, n } končn množic Torej lhko σ() zvzme eneg izmed n možnih elementov Potem p lhko σ() zvzme eneg izmed preostlih n elementov Ker so izbire n vskem korku med seboj neodvisne, je vseh permutcij ntnko P n n (n ) n! Permutcij s ponvljnjem je tk permutcij, pri kteri nekterih elementov med seboj ne ločimo Če im torej množic z n elementi nekj skupin enkih elementov (s po n, n,, n k enkimi elementi v vski skupini, kjer je n + + n k n), je število permutcij s ponvljnjem enko P n,n,,n k n n! n! n! n k! Običjno zpis poenostvimo tko, d izpustimo tiste n i, ki so enki Tko je P,,, n P n Zgled 36 Koliko rzličnih besed lhko sestvimo iz črk besede KEMIJA? (Vsko črko uporbimo ntnko enkrt)
3 KOMBINATORIKA 3 Rešitev V besedi so vse črke rzlične To so permutcije: P 6 6! 70 Zgled 37 Koliko rzličnih besed lhko sestvimo iz črk besede MATEMATIKA? (Vsko črko uporbimo ntnko enkrt, enkih črk med seboj ne ločimo) Rešitev V besedi se črki M in T ponovit dvkrt, A p trikrt To so permutcije s ponvljnjem: P 3,,,, 0 0! 3!!! 500 Vricije Z elementi končne množice z n elementi tvorimo zporedje r elementov Pri vricijh s ponvljnjem lhko vsk element izberemo tudi večkrt Torej je število vricij s ponvljnjem enko V r n n r Število vseh preslikv iz končne množice A, A r, v končno množico B, B n, je enko V r n Res: Vzmemo lhko, d je A N r in B N n Dni preslikvi f : N r N n priredimo r-terico (f(),,f(r)) (N n ) r Pri vricijh brez ponvljnj p sme biti vsk element izbrn njveč enkrt Torej je število vricij brez ponvljnj enko n(n )(n ) (n r + ), }{{} r fktorjev kr lhko zpišemo kot V r n { n! (n r)!, če je r n 0, če je r > n Število vseh injektivnih preslikv iz končne množice A, A r, v končno množico B, B n, je enko Vn r Res: Vzmemo lhko, d je A N r in B N n Dni injektivni preslikvi f : N r N n priredimo r-terico (f(),,f(r)) (N n ) r rzličnih števil Zgled 38 Koliko rzličnih besed iz treh črk lhko sestvimo iz črk besede KEMIJA? (Posmezno črko lhko uporbimo njveč enkrt) Rešitev To so vricije brez ponvljnj: V 3 6 6 5 4 0 Zgled 39 Koliko rzličnih besed iz treh črk lhko sestvimo iz črk besede KEMIJA? (Posmezno črko lhko uporbimo tudi večkrt) Rešitev To so vricije s ponvljnjem V 3 6 6 3 6 Kombincije Kombincij je izbir r-elementne podmnožice iz množice z n elementi Iz množice z n elementi lhko tvorimo Vn r zporedij dolžine r, ker pri podmnožici vrstni red ni pomemben, je rzličnih podmnožic le V n r n! r! r! (n r)! Število kombincij je torej enko ( ) n Cn r r n! r! (n r)!
3 KOMBINATORIKA 4 Kombincij s ponvljnjem je izbir r-elementne podmnožice iz množice z n elementi, kjer lhko kkšen element nstop v tej r-elementni podmnožici tudi večkrt Kombincijo s ponvljnjem red r si lhko predstvljmo kot rzporeditev r kroglic v n šktel, kjer lhko dmo v neko šktlo tudi več kroglic B B B n Gornjo rzporeditev lhko shemtično opišemo kot, kjer t zpis pomeni, d rzporejmo r 5 kroglic (oznčenih s ) v n 7 šktel (s je oznčenih n 6 predelčnikov med njimi) To p pomeni, d immo v shemi n + r znkov (tj in ) in lhko spreminjmo položj r (tj ) izmed njih Število kombincij s ponvljnjem je tko enko ( ) C r n + r n Cn+r r r (n + r )! r! (n )! Število vseh strogo nrščjočih preslikv iz končne množice A R, A r, v končno množico B R, B n, je enko Cn r Res: Vzmemo lhko, d je A N r in B N n Dni strogo nrščjoči preslikvi f : N r N n priredimo r-terico (f(),,f(r)) (N n ) r števil, ki tvorijo strogo nrščjoče zporedje Obrt: Vski podmnožici z r elementi množice N n lhko priredimo nrščjoče zporedje r števil, ki nm potem določ strogo nrščjočo preslikvo N r N n Število vseh nepdjočih preslikv iz končne množice A R, A r, v končno množico B R, B n, je enko Cn r Res: Vzmemo lhko, d je A N r in B N n Dni nepdjoči preslikvi f : N r N n priredimo r-terico (f(),,f(r)) (N n ) r števil, ki tvorijo nepdjoče zporedje Vskemu nboru z r (ne nujno rzličnimi) elementi množice N n lhko priredimo nepdjoče zporedje r števil, ki nm potem določ nepdjočo preslikvo N r N n Zgled 30 Koliko rzličnih šopkov iz 4 rzličnih vrst rož lhko sestvimo, če immo n voljo 7 rzličnih vrst rož? Rešitev Ker vrstni red ni pomemben, gre z kombincije C 4 7 ( 7 4) 35 Zgled 3 Koliko rzličnih šopkov iz 4 vrst rož lhko sestvimo, če immo n voljo 7 rzličnih vrst rož? Rešitev V šopku se lhko rože tudi ponvljjo, vrstni red p ni pomemben Torej gre z kombincije s ponvljnjem: C 4 7 ( 7+4 ) ( 4 0 ) 4 0
3 KOMBINATORIKA 5 Brez ponvljnj S ponvljnjem Permutcije P n n!, P 3 6 P n,,n k n n! n! n k!, P, bc bc cb cb cb bc Vricije V r n n! (n r)!, V Kombincije b c d b bc bd c cb cd d db dc bb bb bb bb bb bb 4 V r n nr, V 4 6 b c d b bb bc bd c cb cc cd d db dc dd Cn r ( n) r, C 4 6 C r n ( n+r ) r, C 4 0 b c d b c d bc bd bb bc bd cd cc cd dd 4 6 Vezne kombincije Končn množic A z n elementi nj bo rzdeljen n disjunktne množice A i z močmi A i n i Torej A A A A m in n + n + + n m n Število nčinov, n ktere lhko iz množice A izberemo r r + r + + r m elementov tko, d z vsk i iz množice A i izberemo r i, r i n i elementov, je enko ( )( ) ( ) C r,r,,r m n n nm n,n,,n m Tk nčin izbirnj elementov pogosto imenujemo vezne kombincije n n n 3 r Porzdelitve Pri izrčunu veznih porzdelitev smo končno množico z n elementi rzdelili n m množic A i tko, d je bilo v množici A i ntnko n i elementov Število tkih porzdelitev je enko ( )( )( ) ( ) n n n n n n n n n n m, kr lhko preoblikujemo v n! n! n! n m! Do slednje formule hitreje pridemo tko, d opzimo, d lhko vsko porzdelitev množice z n elementi opišemo z besedo iz n znkov, kjer je n znkov enkih, n znkov enkih,, n m znkov enkih m Število podmnožic dne množice Število vseh podmnožic dne množice z n elementi je enko n ( ) n n r r0 Do enkeg rezultt lhko pridemo tudi po drugčni poti Vski podmnožici X A dne končne množice A { 0,, n } z n elementi lhko priredimo število n i0 n i i, kjer je n i, če i X in n i 0, če i / X T preslikv predstvlj bijekcijo n množico vseh celih števil od vključno 0 do vključno n i0 i n ; tkih števil p je rvno n r r m n m
3 KOMBINATORIKA 6 Zgled 3 Koliko rzličnih šopkov iz rzličnih vrst rož lhko sestvimo, če immo n voljo 7 rzličnih vrst rož? Rešitev Tu gre z število vseh neprznih podmnožic množice s 7 elementi: 7 7 Število je potrebno odšteti, ker ne dopustimo przne podmnožice Binomsk formul Pri rzvoju potence binom ( + b) n ( + b)( + b) ( + b) }{{} n fktorjev nstne vsot produktov oblike n r b r Tk produkt nstne, ko iz kterihkoli k fktorjev v zgornjem produktu izberemo člen b (kr gre n ( n r) nčinov), pri preostlih p Torej je n ( ) n ( + b) n n r b r r ( ( n 0) n ( n), n ) ( n n ) n ( n) ( r n ) n r ( n r ) + ( n r ) ( n+ n Psclov trikotnik ) r0 n 0 n n n 3 3 3 n 4 4 6 4 n 5 5 0 0 5 n 6 6 5 0 5 6 Zgled 33 Iz kup 3 igrlnih krt štirikrt izvlečemo po krto, jo pogledmo in vrnemo v kup Koliko rzličnih četveric je možnih? Koliko p jih je, če krte ne vrčmo? Rešitev V prvem primeru immo V 4 3 34 048576 možnosti, v drugem p V 4 3 3 3 30 9 863040 možnosti Zgled 34 V šktli immo 5 belih in 7 črnih kroglic Iz šktle hkrti izvlečemo 3 kroglice Koliko rzličnih trojic je možnih, če kroglic iste brve med seboj ne rzlikujemo? Koliko p jih je, če kroglice med seboj rzlikujemo? Rešitev Potegnemo lhko 0,, li 3 bele kroglice, torej 4 rzlične trojice Če p kroglice iste brve med seboj rzlikujemo, je tkih trojic ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 7 5 7 5 7 5 7 + + + 0 0 3 3 0 }{{}}{{}}{{}}{{} 35 5 0 7 0 Rzmislimo lhko tudi drugče Ker kroglice iste brve med seboj rzlikujemo, immo prvzprv 5 + 7 rzličnih kroglic in tkih trojic je ( 3 ) 0
4 VERJETNOST 7 4 Verjetnost 4 Osnovni pojmi in rčunnje z dogodki Poskus Poskus je dejnje, ki g oprvimo v ntnko določenih pogojih Z poskuse bomo privzeli, d jih lhko neomejeno velikokrt ponovimo Primeri: met igrlne kocke, iz šop 5 igrlnih krt izberemo eno krto, iz množice rstlin izberemo neko rstlino Poskuse oznčujemo z velikimi črkmi s konc becede, npr X, Y, X Dogodek Pojv, ki v množico skupj nstopjočih dejstev ne spd in se lhko v posmeznem poskusu zgodi li p ne, imenujemo dogodek Primeri: v poskusu met igrlne kocke je n primer dogodek, d vržemo piko; v poskusu, ko vlečemo igrlno krto iz kup 5 krt, je dogodek, d izvlečemo pikovo dmo, v poskusu, ko iz množice rstlin izberemo neko rstlino, im t bel cvet Dogodki se bodo nnšli n isti poskus Dogodke oznčujemo z velikimi črkmi z zčetk becede, npr A, B, A Dogodek je lhko: gotov (oznk G): ob vski ponovitvi poskus se zgodi Primer: dogodek, d vržemo njveč 6 pik pri metu igrlne kocke; nemogoč (oznk N): nikoli se ne zgodi Primer: dogodek, d vržemo 7 pik pri metu igrlne kocke; slučjen: včsih se zgodi, včsih ne Primer: dogodek, d vržemo piko pri metu igrlne kocke Rčunnje z dogodki Dogodek A je nčin dogodk B, kr zpišemo A B, če se vskič, ko se zgodi dogodek A, zgotovo zgodi tudi dogodek B Primer: Pri metu kocke je dogodek A, d pde en pik, nčin dogodk B, d pde liho število pik Če je dogodek A nčin dogodk B in hkrti dogodek B nčin dogodk A, st dogodk enk: Iz A B in B A sledi A B Vsot dogodkov A in B je dogodek, oznčimo g z A B (li tudi A + B), ki se zgodi, če se zgodi vsj eden od dogodkov A in B Primer: Vsot dogodk A, d vržemo sodo število pik, in dogodk B, d vržemo liho število pik, je gotov dogodek: A + B G
4 VERJETNOST 8 Izrek 4 Z vsoto dogodkov velj: A A B A B B A A N A A G G A A A A (B C) (A B) C Produkt dogodkov A in B, oznčimo g z A B (li tudi AB), se zgodi, če se zgodit A in B hkrti Primer: Produkt dogodk A, d vržemo sodo število pik, in dogodk B, d vržemo mnj kot 3 pike, je dogodek, d vržemo točno piki Izrek 4 Z produkt dogodkov velj: A B A A B B A A N N A G A A A A A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) Dogodku A nsproten dogodek A imenujemo negcij dogodk A Primer: Nsproten dogodek dogodku, d vržemo sodo število pik, je dogodek, d vržemo liho število pik Izrek 43 Z negcijo dogodk velj: A A N A A G N G A A A B A B A B A B Prvimo, d st dogodk A in B nezdružljiv, če je njun produkt nemogoč dogodek Primer: Produkt dogodk A, d vržemo sodo število pik, in dogodk B, d vržemo liho število pik, je nemogoč dogodek Poljuben dogodek in njegov nsprotni dogodek st vedno nezdružljiv Če lhko dogodek A izrzimo kot vsoto nezdružljivih in mogočih dogodkov, rečemo, d je A sestvljen dogodek Dogodek, ki ni sestvljen, imenujemo elementren dogodek li izid Primer: Pri metu kocke je šest izidov: E, d pde pik, E, d pdet piki,, E 6, d pde 6 pik Dogodek, d pde sodo število pik, je sestvljen dogodek iz treh osnovnih dogodkov (E, E 4 in E 6 ) Množico dogodkov S {A,A,,A n } imenujemo popoln sistem dogodkov, če se v vski ponovitvi poskus zgodi ntnko eden od dogodkov iz množice S To pomeni, d so vsi dogodki mogoči A i N,
4 VERJETNOST 9 prom nezdružljivi in njihov vsot je gotov dogodek A i A j N z i j A A A n G Primer: Popoln sistem dogodkov pri metu kocke sestvljjo n primer osnovni dogodki li p tudi dv dogodk: dogodek, d vržemo sodo število pik, in dogodek, d vržemo liho število pik Sttističn definicij verjetnosti Denimo, d smo n-krt ponovili dn poskus in d se je k-krt zgodil dogodek A Ponovitve poskus, v kterih se A zgodi, imenujemo ugodne z dogodek A, število f(a) k n p je reltivn frekvenc (pogostost) dogodk A v oprvljenih poskusih Sttistični zkon, ki g kže izkušnj, je: Če poskus X dolgo ponvljmo, se reltivn frekvenc slučjneg dogodk ustli in sicer skorj zmerj toliko bolj, kolikor več ponovitev poskus nprvimo Definicij 44 (Sttističn definicij verjetnosti) Verjetnost dogodk A v dnem poskusu je število P(A), pri kterem se nvdno ustli reltivn frekvenc dogodk A v dovolj velikem številu ponovitev teg poskus Iz zgodovine so znni primeri, ko so s poskusom določli sttistično verjetnost z pojvitev grb pri metu kovnc Ko so met oprvili več kot 0000 krt, se je verjetnost le mlo rzlikovl od 05 4 Osnovne lstnosti verjetnosti Osnovne lstnosti verjetnosti Ker je reltivn frekvenc vedno nenegtivn, je verjetnost P(A) 0 P(G), P(N) 0 in iz A B sledi P(A) P(B) Nj bost dogodk A in B nezdružljiv Tedj ne moret nstopiti v isti ponovitvi poskus ob hkrti in je reltivn frekvenc vsote dogodkov enk vsoti reltivnih frekvenc Torej je P(A B) P(A) + P(B) Klsičn definicij verjetnosti Pri določitvi verjetnosti si pri nekterih poskusih in dogodkih lhko pomgmo s klsično definicijo verjetnosti: Vzemimo, d so dogodki iz popolneg sistem dogodkov {E,E,,E n } enko verjetni: P(E ) P(E ) P(E s ) p Tedj je verjetnost vskeg izmed dogodkov E i enk P(E i ) n, i,,n Definicij 45 (Klsičn definicij verjetnosti) Če je dogodek A sestvljen iz k dogodkov iz popolneg sistem n enko verjetnih dogodkov, je njegov verjetnost enk P(A) k n
4 VERJETNOST 30 Zgled 46 Izrčunj verjetnost dogodk A, d pri metu kocke pdejo mnj kot 3 pike Rešitev Popolni sistem sestvlj 6 enko verjetnih dogodkov Od teh st le dv ugodn z dogodek A ( in piki) Zto je P(A) 6 3 Zgled 47 Izrčunj verjetnost dogodk A, d pri sočsnem metu dveh kock pde skupj ntnko 5 pik Rešitev Popolni sistem sestvlj 6 6 36 enko verjetnih dogodkov Od teh so z dogodek ugodni štirje: (,4), (,3), (3,), (4,) Zto je P(A) 4 36 9 43 Algebr dogodkov Nj bo G dn množic Neprzn družin D P(G) je lgebr dogodkov, če velj Z A D velj A D Z A,B D velj A B D (Če je množic G neskončn, mormo zhtevti: k A k D, če A k D) Elemente množice G imenujemo elementrni dogodki Podmnožice X G z več kot enim elementom p imenujemo sestvljeni dogodki Aksiomtičn definicij verjetnosti Nj bo D lgebr dogodkov Verjetnost n lgebri dogodkov D je preslikv P : D R, ki zdošč ksiomom Kolmogorov: Nenegtivnost: P(A) 0 z vsk A D Normirnost: P(G) Aditivnost: P(A) + P(B) P(A B), če st dogodk A in B nezdružljiv (Če je množic D neskončn, mormo zhtevti: A k D prom nezdružljivi) k P(A k) P( k A k), če so dogodki 44 Lstnosti verjetnosti Izrek 48 Z verjetnostno funkcijo P n lgebri dogodkov D velj: P(N) 0 P(A) + P(A) Če je A B, je P(A) P(B) Z poljubn dogodk A in B je P(A B) P(A) + P(B) P(A B) G G G A A A B A B
4 VERJETNOST 3 Ker st dogodk N in N nezdružljiv, je P(N N) P(N) + P(N), od koder sledi P(N) 0 Ker st dogodk A in A nezdružljiv, je P(A) + P(A) P(A A) P(G) Ker st dogodk A in A B nezdružljiv, je P(B) P(A (A B)) P(A)+P(A B) P(A) Ker st dogodk A B in A B nezdružljiv, velj P(A B) + P(A B) P((A B) (A B)) P(A) Ker st dogodk A B in B nezdružljiv, velj Sledi P(A B) + P(B) P((A B) B) P(A B) P(A) + P(B) ( P(A B) + P(A B) ) + P(B) P(A B) + ( P(A B) + P(B) ) P(A B) + P(A B) Zgled 49 Nj bo G {E,E,E 3 } Z sestvljen dogodk A {E,E } in B {E,E 3 } velj P(A) 5 6 in P(B) Določi verjetnosti elementrnih dogodkov Rešitev Ker je P(A) P(E E ) P(E ) + P(E ) 5 6, P(B) P(E E 3 ) P(E ) + P(E 3 ), P(G) P(E ) + P(E ) + P(E 3 ), od tod sledi P(E 3 ) P(G) P(A) 5 6 6 Torej P(E ) P(G) P(B) in P(E ) P(G) P(E ) P(E 3 ) 6 3 Zgled 40 Verjetnost, d študent nredi izpit iz Angleščine, je P(A) /3 Verjetnost, d nredi izpit iz Botnike, je P(B) 5/9 Verjetnost, d nredi vsj eneg od obeh izpitov, je P(A B) 4/5 Kolikšn je verjetnost, d nredi ob izpit? Rešitev Rčunjmo P(A B) P(A) + P(B) P(A B) 3 + 5 9 4 5 9 45 04 Zgled 4 Iz kup 3 krt slučjno povlečemo 3 krte Kolikšn je verjetnost, d je med tremi krtmi vsj en s (dogodek A)? Rešitev Nsprotni dogodek A dogodk A je, d med tremi krtmi ni s Njegov verjetnost je določen s kvocientom števil vseh ugodnih dogodkov v popolnem sistemu dogodkov s številom vseh ( dogodkov v tem sistemu dogodkov Vseh dogodkov v popolnem sistemu dogodkov je 3 ) ( 3, ugodni p so tisti, ko izbirmo 3 krte izmed 8 krt, ki niso si Torej 8 ) 3 Sledi P(A) (8 3) ( 3 3) 89 40 in P(A) P(A) 89 40 4 40 034
4 VERJETNOST 3 Tudi slep kur zrno njde Zgled 4 Po dvorišču tv slep kur in nključno kljuv n tl Nj bo P(A) p, verjetnost, d pri enem poskusu njde zrno Kolikšn je verjetnost, d bo kur sčsom zrno nšl? Rešitev Verjetnost, d g njde v prvem poskusu je p, verjetnost, d g njde v drugem, je ( p)p,, verjetnost, d g njde v n-tem poskusu, je p n ( p) n p Verjetnost, d g sploh kdj njde, je p p n n ( p) n p p ( p) n Ali bo kokoš zrno zgotovo nšl? Ne To ni gotov dogodek, je le dogodek z verjetnostjo 45 Pogojn verjetnost Opzujemo dogodk A in B, kjer je B mogoč dogodek, tj P(B) > 0 Verjetnost, d se zgodi dogodek A ob pogoju, d se je zgodil dogodek B, imenujemo pogojn verjetnost dogodk A glede n dogodek B in oznčimo s P(A B) Podobno lhko v primeru P(A) > 0 s P(B A) oznčimo pogojno verjetnost dogodk B glede n dogodek A Denimo, d smo n-krt ponovili poskus X in d se je ob tem k B -krt zgodil dogodek B To pomeni, d smo v n ponovitvh poskus X nprvili k B -krt poskus X Dogodek A se je zgodil ob poskusu X le, če se je zgodil tudi B, tj A B Denimo, d se je dogodek A B zgodil ob ponovitvi poskus k A B -krt Potem je reltivn frekvenc dogodk A v oprvljenih ponovitvh poskus X enk: f B (A) f(a B) k A B k B k A B ozirom n k Bn f(a B) f(b) P(A B) P(A B) P(B) Neodvisni dogodki Ker je P(A B) P(A B) P(B), sledi od tod P(A B) P(B)P(A B) Podobno iz P(B A) P(A B) P(A) sledi P(A B) P(A)P(B A) Torej je Dogodk A in B st neodvisn, če velj P(A)P(B A) P(B)P(A B) P(A B) P(A) Z neodvisn dogodk A in B velj P(A B) P(A)P(B) Z nezdružljiv dogodk A in B velj P(A B) 0 Zgled 43 Iz posode, v kteri immo 8 modrih in rdeči krogli, dvkrt n slepo izberemo po eno kroglo Kolikšn je verjetnost dogodk, d je prv krogl modr (dogodek M ) in drug rdeč (dogodek R )?
4 VERJETNOST 33 Rešitev Ne glede n to, li prvo izvlečeno kroglo vrnemo v posodo li ne, velj P(M R ) P(M )P(R M ) Če prve izvlečene krogle ne vrnemo v posodo, st dogodk M in R odvisn Torej je P(R M ) 9, sj st med preostlimi 9 kroglicmi rdeči Sledi P(M R ) P(M )P(R M ) 8 0 9 6 90 08 Če prvo izvlečeno kroglo vrnemo v posodo, st dogodk M in R neodvisn Torej je P(R M ) P(R ) 0, sj st med vsemi 0 kroglicmi rdeči Sledi P(M R ) P(M )P(R M ) 8 0 0 6 00 06 Formul z popolno verjetnost Včsih poskusi potekjo v več fzh in šele izidi n prejšnjih fzh določijo, kko bo potekl poskus nprej Tkim poskusom prvimo relejni poskusi Nj poskus potek v dveh fzh in nj bo {H,,H n } popoln sistem dogodkov v prvi fzi Dogodke H i imenujemo hipoteze Poznmo tudi verjetnosti hipotez P(H ),, P(H n ) V drugi fzi opzujemo dogodek A Njegov verjetnost nj bo odvisn od teg, kj se je zgodilo v prvi fzi, tj poznmo verjetnosti P(A H ),, P(A H n ) Izrčunjmo verjetnost dogodk A Ker je je in od tod Sledi formul z popolno verjetnost H H n G, (A H ) (A H n ) A P(A H ) + + P(A H n ) P(A) P(A) P(H )P(A H ) + + P(H n )P(A H n ) n P(H i )P(A H i ) i Zgled 44 V prvi posodi immo 3 modre in rdeči kroglici, v drugi p modro in 3 rdeče N slepo izberemo eno kroglico iz prve posode in jo dmo v drugo, nto p iz druge posode izberemo kroglico Kolikšn je verjetnost, d je t modr??
4 VERJETNOST 34 Rešitev Oznčimo s H M in H R dogodk, d je smo njprej izbrli modro oz rdečo kroglico Potem je P(A) P(H M )P(A H M ) + P(H R )P(A H R ) 3 5 5 + 5 5 8 5 03 Besov formul Vpršnje p lhko sedj obrnemo Recimo, d se je dogodek A zgodil Kolikšn je verjetnost, d se je zgodil rvno hipotez H k? Iz formule z produkt dogodkov dobimo P(A H k ) P(H k )P(A H k ) P(A)P(H k A), od koder sledi P(H k A) P(H k)p(a H k ) P(A), kr lhko zpišemo kot Besovo formulo P(H k A) P(H k)p(a H k ) n i P(H i)p(a H i ) Zgled 45 V prvi posodi immo 3 modre in rdeči kroglici, v drugi p modro in 3 rdeče N slepo izberemo eno kroglico iz prve posode in jo dmo v drugo, nto p iz druge posode izberemo kroglico Kolikšn je verjetnost, d smo v prvem korku prenesli modro kroglico, če smo n koncu izvlekli modro kroglico?? Rešitev Ker je P(H M ) 3 5, P(A H M) 5 in P(A) 8 5, velj P(H M A) P(H M)P(A H M ) P(A) 3 5 5 8 5 3 4 075 Lžni pozitivi Opzujmo dvofzni poskus, pri kterem immo v prvi fzi le hipotezi B in B Tedj se Besov formul glsi P(B A) P(B)P(A B) P(B)P(A B) + P(B)P(A B) Z A oznčimo dogodek, d je test pokzl prisotnost bolezni, B p d je oseb obolel Recimo, d immo precej znesljiv test, ki pri 99 % obolelih oseb pokže prisotnost bolezni (tj P(A B) 099), in pri 99 % zdrvih osebh ne pokže obolelosti (tj P(A B) 099) Recimo, d je bolezen precej redk prizdne le osebo n vskih 0 000 prebivlcev (tj P(B) 0000) Kolikšn je verjetnost z prisotnost bolezni, če jo je test zznl (tj koliko je P(B A))?
4 VERJETNOST 35 Iz podtkov rzberemo P(B) P(B) 09999 in P(A B) P(A B) 00 Sledi P(B A) P(B)P(A B) P(B)P(A B) + P(B)P(A B) 0000 099 0000 099 + 09999 00 0000099 000098 0, P(B A) 0 0 990 % 0 Kj to pomeni? Čeprv izgled test rzmerom znesljiv, bo v več kot 99 % prikzl lžne pozitive tj osebe, ki niso obolele Skrivnost tiči v tem, d je P(A) P(B)P(A B)+P(B)P(A B) 000098 in bo test pokzl prisotnost obolelosti pri več kot % populcije, kr je bistveno več od dejnskeg delež obolelosti 00 % Pri populciji 000000 bi ob gornjih predpostvkh imeli: A A število B 99 00 B 9 999 989 90 999 900 0 098 989 90 000 000 A pozitiven test, B obolel, lžni pozitiv: ni obolel, test pozitiven lžni negtiv: je obolel, test negtiven Oglejmo si gornji primer podrobneje Oznčimo P(B) p ter pri nespremenjenih verjetnostih P(A B) 099 P(A B) 099 izrčunjmo P(B A) Gornji rčun potem d P(B A) 99p 00 99p 00 + ( p) 00 99p 98p + Z p 0 je seved P(B A) 0 Podobno z p velj P(B A) Iz grf p rzberemo, d je že z precej mjhne vrednosti p > 0 vrednost P(B A) 0 lhko bistveno večj od p P(B A) O p Relni podtki z HIV (P(B) 03 %, P(A B) P(A B) 95 %) djo P(B A) 5 %, z gripo (P(B) 0 %) p P(B A) 70 % 46 Zporedje neodvisnih dogodkov O zporedju neodvisnih poskusov X,X,,X n, govorimo tedj, ko so verjetnosti izidov v enem poskusu neodvisne od teg, kj se zgodi v drugih poskusih Zporedje neodvisnih poskusov se imenuje Bernoullijevo zporedje, če se v vskem poskusu lhko zgodi le dogodek A z verjetnostjo P(A) p li dogodek A z verjetnostjo P(A) P(A) p Primer Bernoullijeveg zporedj poskusov je met kocke, kjer ob vski ponovitvi poskus pde šestic (dogodek A) z verjetnostjo P(A) p 6 li ne pde šestic (dogodek A) z verjetnostjo P(A) p 5 6
4 VERJETNOST 36 V Bernoullijevem zporedju neodvisnih poskusov ns znim, kolikšn je verjetnost, d se v n zporednih poskusih zgodi dogodek A ntnko k-krt To se lhko zgodi n primer tko, d se njprej zgodi k-krt dogodek A in nto v preostlih n k poskusih zgodi nsprotni dogodek A Slednje se zgodi z verjetnostjo p k ( p) n k Dogodek A, ki se v n zporednih poskusih zgodi ntnko k-krt, se lhko zgodi tudi n druge nčine ( in sicer je teh toliko, n kolikor nčinov lhko izberemo k poskusov iz n poskusov (tj n ) k ) Torej je ( ) n P n (k) p k ( p) n k k Zgled 46 Iz posode, v kteri immo 8 modrih in rdeči kroglici, n slepo izberemo po eno kroglico in po izbirnju izvlečeno kroglico vrnemo v posodo Kolikšn je verjetnost, d v petih poskusih izberemo 3-krt modro kroglico? 08 Verje- Rešitev Dogodek A je, d izvlečemo modro kroglo Potem je p P(A) 8 tnost, d v petih poskusih izberemo 3-krt modro kroglico, je: ( ) 5 P 5 (3) 08 3 ( 08) 5 3 005 3 0 Recimo, d immo v posodi N kroglic, od kterih je K modrih Verjetnost, d bomo v n poskusih (z vrčnjem) k-krt izvlekli modro kroglico, je enk P n (k) ( )( ) n N k ( N ) n k k K K Če p kroglic ne vrčmo, lhko n kroglic izberemo n ( N ( n) nčinov, med kterimi je K ) ( N K ) k n k ugodnih Verjetnost, d bomo pri pri n poskusih (brez vrčnj) izvlekli modro kroglico, je torej enk ( K ) ( Pn (k) k N K ) n k ( N n) Dokzti je možno, d pri velikih N in K pn velj P n (k) P n(k) V prksi to torej pomeni, d je pri jemnju vzorc iz velike serije nepomembno, če vzorec vrčmo li ne Ocenjevnje števil osebkov v populciji Zgled 47 V posodi je (neznno število) N kroglic Iz posode vzmemo K kroglic, jih oznčimo modro in vrnemo v posodo Ko iz posode nključno vzmemo n kroglic, je med njimi k modrih Pri kterem N je verjetnost Pn (k) njvečj?
4 VERJETNOST 37 Rešitev Oznčimo s p N Pn (k) pri N kroglich in izrčunjmo kvocient p N+ p N ( K k) ( N+ K n k ) ( N+ n ) n k ) ( K k) ( N K ( N n) )( N n) ( N+ K n k ( N+ )( N K n n k ) (N + K)(N + n) (N + K n + k)(n + ) τ Pričkovti je, d v okolici ekstremne vrednosti τ τ ntnko tedj, ko Iz gornjeg kvocient vidimo, d je (N + K)((N + ) n) ((N + K) n + k) (N + ) Sledi in n(n + K) ( n + k)(n + ) N n k K Ker gre tu le z oceno (in prvilom velik K), lhko zpišemo N n k K Dobljen ocen je v resnici pričkovn, sj je K N k n po sttistični definiciji verjetnosti Zgled 48 V ribnik smo spustili 0 oznčenih rib Čez nekj čs smo iz ribnik potegnili 5 rib in le en izmed njih je bil oznčen Približno koliko rib je v ribniku? Rešitev Po gornji formuli dobimo N 5 0 00 Nrišimo še, kko se spreminj p N P n(k) pri fiksnih K 0, n 5 in k P N P m O 00 N Oglejmo si še enkrt Bernoullijevo zporedje n poskusov z verjetnostjo p Znim ns, ktero število k ugodnih izidov je njbolj verjetno Podobno kot zgorj si ogledmo kvocient P n (k + ) P n (k) ( n k+ ) p k+ ( p) n k ( n k) p k ( p) n k (n k)p (k + )( p) τ Izpeljemo lhko, d je τ ntnko tedj, ko je k np + p (Z velike n je torej k n p+ p n p, kr je po sttistični definiciji verjetnosti tudi pričkovno)
5 MATRIKE 38 47 Hrd-Weinbergov zkon Opzujmo krvne grupe A, B in 0 Verjetnost rzdvojenih kromosomov po posmeznih gruph nj bo P(A) p, P(B) q, P(0) r Verjetnosti genotipov so P(AA) p, P(AB) pq, P(A0) pr, P(BB) q, P(B0) qr in P(00) r V nslednji generciji so verjetnosti enke P(A) P(AA) + P(AB) + P(A0) p + pq + pr p(p + q + r) p, P(B) P(BB) + P(BA) + P(B0) q + pq + qr q(p + q + r) q, P(0) P(00) + P(A0) + P(B0) r + pr + qr r(p + q + r) r Opzujmo populcijo, v kteri je verjetnost z dominntni lel A enk p 80 %, z recesivni lel p q 0 %, p + q Pri nključnem prjenju bo v generciji p homozigotov AA, q homozigotov in pq heterozigotov A Glede n dominntni lel A bo imelo q 096 % genercije fenotip A, preostli p Ali bodo sčsom osebki s fenotipom izumrli? Ne, lel A bomo nšli pri vseh gmeth homozigotov AA, torej pri p, in pri gmet heterozgotov, torej pri pq pq Skupj pri p(p + q) p delu populcije Podobno njdemo lel pri vseh gmeth homozigotov, torej pri q, in pri gmet heterozgotov, torej pri pq pq Skupj pri q(p + q) q delu populcije Delež lelov A in se ohrnjt 5 Mtrike 5 Opercije z mtrikmi Mtrik je prvokotn tbel (shem) relnih števil, sestvljen iz vrstic in stolpcev: [ ] 3 5 4 li 0 0 3 4 3 Množico vseh relnih mtrik z m vrsticmi in n stolpci oznčimo z R m n V splošnem oznčimo n n A m m mn li krjše A [ ij ] R m n (Torej i,,m in j,,n) Število ij imenujemo (i,j)-ti element mtrike A Mtrik A [ ij ] R m n je kvdrtn, če je m n Kvdrtn mtrik A [ ij ] R n n je digonln, če je ij 0 z i j A 0 0 0 0 0 0 nn
5 MATRIKE 39 Zgled 5 Zpiši mtriko A [ ij ] R 3, kjer je ij ( ) i + j Rešitev [ ( ) A + ( ) + ( ) + 3 ( ) + ( ) + ( ) + 3 ] [ 3 7 3 5 9 ] Enkost mtrik Mtriki A R m n in A R m n st enki, če je m m, n n ter ij ij z i,,m in j,,n Enostvno povedno: mtriki st enki, če st enkih rzsežnosti in se ujemt v istoležnih elementih Vsot mtrik Z mtriki A,B R m n definirmo vsoto mtrik A + B Če je n n A in B m m mn b b b n b b b n b m b m b mn, je A + B + b + b n + b n + b + b n + b n m + b m m + b m mn + b mn Produkt mtrike s sklrjem Z mtriko A R m n in število λ R definirmo produkt s sklrjem λ Če je n n A, m m mn je λ λ λ n λ λ λ n λa λ m λ m λ mn [ ] Zgled 5 Izrčunj 5A 3B z mtriki A in B 4 Rešitev Rčunjmo [ ] 5A 3B 5 4 [ 5 0 0 0 [ 0 3 3 ] [ 3 0 6 9 ] ] [ 0 3 [ 8 0 4 9 Nvedimo glvne lstnosti seštevnj in množenj mtrik s sklrjem ] ]