ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη

. Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία τυχαία µεταβλητή να πάρει τιµές από κάποια περιοχή του πεδίου οριµού της. Ο τόχος µας είναι να χρηιµοποιήουµε αυτά τα εργαλεία την επεξεργαία µετρήεων και την εξαγωγή υµπεραµάτων. Ας επανέλθουµε το παράδειγµα της υποενότητας... Εάν είχαµε την δυνατότητα να εκτελέουµε µία ειρά άπειρων µετρήεων θα µπορούαµε να προδιορίουµε την κοινή υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας των ποοτικών εκτιµήεων (µετρήεων της πίεης και της θερµοκραίας. Ακόµα όµως και την περίπτωη που η πίεη και η θερµοκραία του αερίου παραµένουν πράγµατι ταθερές και οι διακυµάνεις των µετρήεων οφείλονται αποκλειτικά ε εξωγενείς παράγοντες (ατέλεια οργάνων, εξωτερικοί παράγοντες κτλ, θα πρέπει να αναζητήουµε κάποιο τρόπο για να εκτιµήουµε τις «αληθείς» τιµές αυτών των φυικών ποοτήτων. Θα πρέπει επίης να βρούµε κάποιο τρόπο για να ποοτικοποιήουµε την ακρίβεια µε την οποία εκτιµούµε τις «αληθείς» τιµές των φυικών ποοτήτων. Πολλω δε µάλλον όταν, πρακτικά, είναι αδύνατον να εκτελέουµε άπειρο αριθµό µετρήεων. Θα πρέπει να αναζητήουµε ένα τρόπο ώτε η ποοτικοποίηη της \ακρίβειας εκτίµηης των «αληθών» τιµών να εκφράζεται υναρτήει του πλήθους των διαθέιµων µετρήεων.. Ο νόµος των µεγάλων αριθµών Ετω ότι { X,X,, X } είναι ένα ύνολο αµοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών, η κάθε µία µε αναµενόµενη τιµή ίη µε µ (κοινή για όλες τις τυχαίες µεταβλητές και διαπορές ίες µε όπου,, αντίτοιχα.. Ως µέο όρο των τυχαίων αυτών µεταβλητών ορίζουµε την ποότητα: X X.. Προφανώς η ποότητα X που ορίθηκε µε την χέη.. είναι γραµµική υνάρτηη τυχαίων µεταβλητών και υνεπώς είναι τυχαία µεταβλητή. Παραθέτουµε χωρίς απόδειξη τις δύο εκφράεις του νόµου των µεγάλων αριθµών: Συνήθως οι Φυικοί αιθάνονται ότι καταλαβαίνουν απόλυτα την έννοια της ύγκλιης και των διαδικαιών που εµπλέκουν όρια διότι είναι εξοικιωµένοι µε τις αντίοιχες έννοιες του Διαφορικού Λογιµού και των εφαρµογών του τη µελέτη φυικών φαινοµένων. Εν τούτοις την Στατιτική η έννοια της ύγκλιης είναι περιότερο πολύπλοκη εκ του γεγονότος ότι µπορεί να οριθεί µόνο πιθανοκρατικά η τιµή της τυχαίας µεταβλητής. Για περιότερες λεπτοµέρειες ο αναγνώτης µπορεί να

Ο ΑΣΘΕΝΗΣ ΝΟΜΟΣ των µεγάλων αριθµών διατείνεται ότι αν lm 0.. τότε ο µέος όρος X υγκλίνει την αναµενόµενη τιµή, µ, των τυχαίων µεταβλητών. lm X µ..3 Ο ΙΣΧΥΡΟΣ ΝΟΜΟΣ των µεγάλων αριθµών διατείνεται ότι αν lm πεπεραµένο..4 τότε ο µέος όρος X υγκλίνει 3 την αναµενόµενη τιµή, µ, των τυχαίων µεταβλητών. lm X µ..4 Ο νόµος των µεγάλων αριθµών έχει ιδιαίτερη πρακτική ηµαία όταν οι τυχαίες µεταβλητές Χ (,,3,, είναι τα αποτελέµατα του ιδίου πειράµατος (ή µέτρηης της φυικής ποότητας Χ που επαναλαµβάνεται Ν φορές. Σ αυτή την περίπτωη οι τυχαίες µεταβλητές είναι αµοιβαία ανεξάρτητες έχουν την ίδια διαπορά, (,,3,, και εξαφαλίζεται η υνθήκη.. (ή αντίτοιχα η..4. Συνεπώς αναµενόµενη τιµή της ποότητας Χ, µ Χ, υπολογίζεται ως το όριο, όταν το Ν τείνει το άπειρο, του µέου όρου των επαναλαµβανόµενων µετρήεων. Βεβαίως, η απαίτηη ώτε ο αριθµός των µετρήεων να τείνει το άπειρο δεν είναι πρακτικά εφικτή. Στις πρακτικές εφαρµογές η χέη..4 χρηιµοποιείται προεγγιτικά ως: X X µ..5 X Εάν δηλαδή επαναλάβουµε την µέτρηη της ποότητας Χ, Ν φορές (όπου το Ν είναι ένας πεπεραµένος αριθµός µπορούµε, µε την χέη..5, να υπολογίουµε προτρέξει το βιβλίο των W. T. Eade et al tatstcal Methods n Epermental Physcs, orth- Holland Publshn Company, 97 και ε αναφορές εκεί. Η ύγκλιη αυτή χαρακτηρίζεται ως «ύγκλιη τετραγωνικού µέου» (quadratc mean. 3 Η ύγκλιη αυτή χαρακτηρίζεται ως «περίπου βέβαια ύγκλιη» (almost certan converence.

προεγγιτικά την τιµή της αναµενόµενης τιµής της ποότητας Χ, χωρίς να ξέρουµε τίποτα περιότερο για την υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας 4. Παρατηρήετε ότι η χέη..5 δεν αποτελεί µόνο προέγγιη αλλά περιέχει και την ακόλουθη παραδοξότητα. Το δεξιό µέλος της ιότητας είναι πραγµατικός αριθµός ενώ το αριτερό µέλος είναι τυχαία µεταβλητή 5. Είναι πιο ωτό λοιπόν να γράψουµε ότι: X X µ ˆ X όπου µˆ είναι η εκτίµηη της αναµενόµενης τιµής µ X Χ..6 Ερώτηη: Δείξετε ότι η αναµενόµενη τιµή και διαπορά της τυχαίας µεταβλητής µˆ, X που ορίαµε µε την χέη..6, εκφράζονται υναρτήει της αναµενόµενης τιµής και της διαποράς των µετρήεων της ποότητας Χ, µ Χ και αντίτοιχα, και του αριθµού των µετρήεων, Ν, ως: < X >< µˆ Χ > µ Χ..7 V(X V(µˆ X Ν Υπόδειξη: Η τυχαία µεταβλητή µˆ είναι γραµµική υνάρτηη των Ν τυχαίων X µεταβλητών Χ (,,3,,. Εφαρµόετε τις χέεις..3 και.. του Κεφαλαίου. Όταν ο αριθµός των µετρήεων, Ν, τείνει το άπειρο η διαπορά της εκτίµηης της αναµενόµενης τιµής, χέη..7, τείνει το µηδέν. Με άλλα λόγια η εκτίµηη της µέης τιµής παύει να είναι τυχαία µεταβλητή, είναι πλέον ένας πραγµατικός αριθµός, όπως ακριβώς προβλέπει ο νόµος των µεγάλων αριθµών,..3. Ο νόµος των µεγάλων αριθµών εύκολα µπορεί να χρηιµοποιηθεί για τον υπολογιµό της διαποράς των µετρήεων. Παρατηρήτε ότι η αναµενόµενη τιµή της τυχαίας µεταβλητή, Υ(Χ-µ Χ (όπου Χ είναι η µέτρηη µίας φυικής ποότητας και µ Χ η αναµενόµενη τιµή αυτών των µετρήεων είναι η διαπορά,, των µετρήεων. Εφαρµόζοντας κανείς τον νόµο των µεγάλων αριθµών 6 καταλήγει ότι: 4 Πράγµατι εάν η διαπορά,, υπάρχει και είναι πεπεραµένη, η υνθήκη.. ικανοποιείται. 5 Πράγµατι, εάν εκτελέουµε την ειρά των Ν µετρήεων της ποότητας Χ, πολλές φορές και κάθε φορά υπολογίζουµε τον µέο όρο των αντιτοίχων Ν µετρήεων, δεν θα πρέπει να εκπλαγούµε όταν θα παρατηρήουµε (βλέπε παράδειγµα.. τις τιµές των µέων όρων να διακυµαίνονται 6 Με την προυπόθεη ότι υπάρχουν οι αλγεβρικές ροπές µέχρι και τετάρτης τάξης.

lm (X µ lm Χ $!!!! #!!!!" (X lm (X µ Χ µ Χ ή (X µ lm Χ..8 Η χέη..8 µπορεί να εφαρµοθεί προεγγιτικά για την περίπτωη πεπεραµένου πλήθους µετρήεων (κατ αναλογία της χέης..6 ως: (X µ (X µ ˆ Χ Χ..9 όπου ˆ είναι η εκτίµηη της διαποράς των µετρήεων και µ είναι η Χ αναµενόµενη τιµή των µετρήεων. Στην περίπτωη όπου κάποιος έχει διαθέιµες Ν µετρήεις του µεγέθους Χ, υχνά βρίκεται τον πειραµό να εκτιµήει υγχρόνως την αναµενόµενη τιµή και την διαπορά των µετρήεων χρηιµοποιώντας την χέη..6 και..0 αντίτοιχα: (X µˆ (X µˆ ˆ Χ Χ..0α Η χέη..0 προκύπτει από την..9, όπου έχει αντικαταταθεί η αναµενόµενη τιµή της µέτρηης του Χ, µ X, µε την εκτίµηη της από την χέη..6. Η αντικατάταη αυτή αποτελεί κλαικό παράδειγµα όπου η διαιθητική λύη καταλήγει ε λάθος αποτέλεµα. Όπως θα υζητήουµε ε επόµενο κεφάλαιο η χέη..0 οδηγεί ε λάθος εκτίµηη (bas της διαποράς 7 ενώ η χέη..6 υνεχίζει να αποτελεί καλή εκτίµηη. Παράδειγµα.. Ας επιχειρήουµε µε ένα απλό πείραµα για να δείξουµε την ιχύ των προεγγιτικών εφαρµογών του νόµου των µεγάλων αριθµών. Ας υποθέουµε ότι «τρίβουµε» υγχρόνως τέερα ίδια νοµίµατα Ανάλογα µε το αποτέλεµα µπορούµε να δίνουµε τιµές (0 ή την ακόλουθη µεταβλητή (Α. µεταβλητή Α : όταν ένα µόνο (οποιοδήποτε νόµιµα φέρνει κεφάλι 0 : ε κάθε άλλη περίπτωη (X - (X µˆ Χ ˆ 7 Η ωτή χέη εκτίµηης είναι: ( (..0β µˆ Χ

Όπως θα δούµε το επόµενο Κεφάλαιο η υνάρτηη πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Α, είναι διωνυµική. Στο ηµείο αυτό αρκεί η διαπίτωη ότι για την τυχαία µεταβλητή Α υπάρχουν η αναµενόµενη τιµή και η τετραγωνική απόκλιη. Έτω λοιπόν ότι η µεταβλητή Α έχει αναµενόµενη τιµή ίη µε µ Α και τετραγωνική απόκλιη ίη µε Α. Ας επαναλάβουµε το πείραµα (τη ρίψη των νοµιµάτων Ν φορές και έτω Α (,,3,..., οι τιµές της µεταβλητής Α που παρατηρήθηκαν αυτά τα πειράµατα.. Είναι προφανές ότι κάθε ένα από τα αποτελέµατα Α ι (π.χ. Α είναι τυχαία µεταβλητή 8. Ο µέος όρος των Ν τιµών Α ι, A, ύµφωνα µε την.. είναι: A A.. Η διαπορά των Α, Α, είναι πεπεραµένος αριθµός, και η υνθήκη... ικανοποιείται. Πράγµατι: A A lm lm A lm lm 0 Συνεπώς, βάει της..3, θα ιχύει ότι: lm ( A lm A µ.. Α Όταν το Ν γίνεται πολύ µεγάλο, αλλά όχι άπειρο, θα ιχύει η προέγγίη: A A µˆ A..3 Σύµφωνα µε την υζήτηη που προηγήθηκε, η ποότητα µˆ Α, είναι τυχαία µεταβλητή µε διαπορά που δίνεται από την χέη..7. Όταν το Ν τείνει το άπειρο η ποότητα αυτή θα πρέπει να ταυτίζεται µε τη αναµενόµενη τιµή της µεταβλητής Α. 8 Πράγµατι µπορούµε να εκτελέουµε την ειρά των Ν ρίψεων πολλές φορές. Το αποτέλεµα της ης ρίψης (Α θα είναι διαφορέτικό ε κάθε ειρά ρίψεων. Επίης η αναµενόµενη τιµή της ης ρίψης θα είναι και αυτή ίη µε µ Α (δεν υπάρχει τίποτα που να διαφοροποιεί την η ρίψη από τις άλλες και η διαπορά ίη µε Α. Το ίδιο θα ιχύει για οποιαδήποτε από τις άλλες ρίψεις.

Αν και δεν ξέρουµε 9 την ακριβή µαθηµατική έκφραη της υνάρτηης πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Α, χρηιµοποιώντας το γεγονός ότι κάθε νόµιµα έχει 50% πιθανότητα να έρθει κεφάλι, είναι εύκολο να προβλέψουµε θεωρητικά την αναµενόµενη τιµή της µε τον ακόλουθο τρόπο: H πιθανότητα το πρώτο νόµιµα να έρθει κεφάλι και τα άλλα νοµίµατα να έρθουν γράµµατα είναι: 0.50.50.50.50.065. Την ίδια όµως πιθανότητα έχουν και οι ακόλουθοι υνδυαµοί: το δεύτερο κεφάλι και τα άλλα γράµµατα, το τρίτο κεφάλι και τα άλλα γράµµατα, το τέταρτο κεφάλι και τα άλλα γράµµατα. Προφανώς όλοι αυτοί οι υνδυαµοί ανήκουν την κατηγορία «ένα µόνο νόµιµα έρχεται κεφάλι». Συνεπώς η πιθανότητα να έρθει ένα µόνο (οποιοδήποτε νόµιµα από τα τέερα κεφάλι είναι Ρ(Α40.0650.5. Είναι προφανές ότι Ρ(Α0-Ρ(Α-0.50.75. Επιπλέον, επειδή η µεταβλητή Α παίρνει δύο µόνο τιµές ( ή 0 η αναµενόµενη τιµή και η διαπορά θα είναι (ύµφωνα µε τους οριµούς, χέεις:.8.9 µ Α 0.5 0.75 0 0.5 και A ( 0.5 0.5 (0 0.5 0.75 0.875 Πρόθεή µας είναι να εκτελέουµε το πείραµα της ρίψης των τεάρων νοµιµάτων και να προδιορίζουµε µετά από κάθε ρίψη την τιµή της µεταβλητής Α. Μετά από Ν ρίψεις θα υπολογίζουµε την ποότητα µˆ Α, χρηιµοποιώντας τη χέη..3. Προκειµένου να µελετήουµε την τατιτική υµπεριφορά της τυχαίας µεταβλητής µˆ Α, εκτελούµε πολλές ειρές από Ν ρίψεις. Στο Σχήµα.. (α έως δ παρίτανται, µε την µορφή ιτογράµµατος, τα αποτελέµατα των πειραµατιµών 0 (για Ν000, 5000, 0000 και 0000 αντίτοιχα. Επί παραδείγµατι,το ιτόγραµµα του Σχήµατος...α παριτά 4000 εκτιµήεις της αναµενόµενης τιµής της µεταβλητής Α, όπως αυτή υπολογίθηκε από Ν000 ρίψεις των τεάρων νοµιµάτων. Είναι αφές από τα αποτελέµατα των πειραµατιµών µας ο τατιτικός χαρακτήρας της εκτίµηης µˆ Α, (ότι δηλαδή είναι τυχαία µεταβλητή. Κάθε µία από τις εκτιµήεις της αναµενόµενης τιµής της µεταβλητής Α καταλήγει ε διαφορετική τιµή. Είναι όµως εµφανές ότι, ανεξάρτητα µε πόες ρίψεις (Ν χρηιµοποιήαµε για να υπολογίουµε την ποότητα µˆ Α, οι εκτιµήεις κυµαίνονται περίπου υµµετρικά γύρω από την αναµενόµενη τιµή, µ Α 0.5. 9 Η αλήθεια είναι ότι ξέρουµε, είναι η διωνυµική κατανοµή που θα µελετήουµε ε επόµενο κεφάλαιο. 0 Δεν πρόκειται για πραγµατικούς πειραµατιµούς αλλά για προοµοίωη πειραµατιµών. Περί προοµοίωης βλέπε το Κεφάλαιο 4. Με άλλα λόγια, µετά από Ν000 ρίψεις ( Α,,3,000 υπολογίζεται η τιµή της µεταβλητής µˆ Α, µε τη χέη..4. Επαναλαµβάνουµε 4000 φορές το ίδιο πείραµα υπολογιµού της µˆ Α, και παριτάνουµε µε µορφή ιτογράµµατος τα αποτελέµατα αυτών των (4000 εκτιµήεων.

α β µˆ Α µˆ Α γ δ µˆ Α µˆ Α Σχήµα..: Αναπαράταη, µε µορφή ιτογράµµατος, 4000 εκτιµήεων της αναµενόµενης τιµής της µεταβλητής Α. Για κάθε εκτίµηη τα νοµίµατα ρίφθηκαν Ν φορές και χρηιµοποιήθηκε η χέη..3. α: Ν000, β: Ν5000, γ: Ν0000 και δ: Ν0000 Είναι επίης χαρακτηριτικό ότι οι εκτιµήεις τις οποίες καταλήγουµε µε τους πειραµατιµούς πολλών ρίψεων (µεγάλο Ν, π.χ. βλέπε το Σχήµα...δ είναι περιότερο υγκεντρωµένες γύρω από την κεντρική τιµή (0.5, όπως προβλέπει η χέη..7. Βεβαίως, η εκτίµηη µˆ Α, θα υµπέει µε την αναµενόµενη τιµή όταν ο αριθµός των ρίψεων γίνει άπειρος. Για κάθε άλλη περίπτωη, η εκτίµηη µˆ Α, θα κυµαίνεται γύρω από την αναµενόµενη τιµή µε αναµενόµενη τιµή < µˆ Α > και διαπορά ύµφωνα µε την χέη..7. Σαν παράδειγµα, µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τα αποτελέµατα των πειραµατιµών του Σχήµατος.. για να υπολογίουµε την αναµενόµενη τιµή και την διαπορά της τυχαίας µεταβλητής µˆ Α, και την υνέχεια να τη υγκρίνουµε µε τις προβλέψεις της χέης..7. Ερώτηη: Περιγράψετε την διαδικαία υπολογιµού της αναµενόµενης τιµής και της διαποράς της τυχαίας µεταβλητής µˆ Α, χρηιµοποιώντας τα αποτελέµατα των πειραµατιµών που παρίτανται το Σχήµα...

Υπόδειξη: Χρηιµοποιήετε την µεθοδολογία που αναπτύεται την υποενότητα,.. Εναλλακτικά χρηιµοποιείτε τον νόµο των µεγάλων αριθµών, όπως περιγράφεται αυτή την υποενότητα. Πίνακας.. < µˆ Α > < µ ˆ >..7 Α µ Α V µ ˆ ( Α A V(µ ˆ Α Ν..7 Ν000 0.5087 0.5 8.69 0-5 8.750 0-5 Ν5000 0.506 0.5 3.680 0-5 3.75 0-5 Ν0000 0.50036 0.5.83 0-5.875 0-5 Ν0000 0.49998 0.5 0.90 0-5 0.9375 0-5 Για τον υπολογιµό των τιµών της τελευταίας τήλης χρηιµοποιήαµε την τιµή Α 0.875 τη χέη..7. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα.., οι «προβλέψεις» της χέης..7 περιγράφουν πλήρως την τατιτική υµπεριφορά της εκτίµηης της αναµενόµενης τιµής της µεταβλητής Α..3 Ολοκλήρωη Monte Carlo Μία από τις πολλές εφαρµογές του νόµου των µεγάλων αριθµών αναφέρεται τον προεγγιτικό υπολογιµό οριµένων ολοκληρωµάτων της µορφής: I b a (udu.3. Ας θεωρήουµε ότι κάποια τυχαία µεταβλητή u, παίρνει τιµές ύµφωνα µε την υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας, f(u. Έτω (u µία υνάρτηη της τυχαίας µεταβλητής u. Εξ οριµού, η αναµενόµενη τιµή της υνάρτηης (u, θα είναι:

b E( ( u (u f(udu µ a b όπου f(udu a.3. Θα υποθέουµε ακόµα ότι η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής (u υπάρχει: V((u E ( E((u (u πεπεραµένος αριθµός.3.3 ώτε να ικανοποιούνται οι προϋποθέεις του νόµου των µεγάλων αριθµών, V((u lm 0. και κατά υνέπεια να ιχύει ότι: (u (u (u µ lm.3.4 Εάν επιλέξουµε την f(u να είναι η οµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα [α,β], δηλαδή: a u b f(u b a.3.5 0 αλλού η.3. γράφεται ως: b b a (udu I E( (udu.3.6 a b - a b a b a όπου µε Ι παρατήαµε το ολοκλήρωµα της χέης.3.. Εφαρµόζοντας την υνέχεια τον νόµο των µεγάλων αριθµών, το ολοκλήρωµα Ι υπολογίζεται ώς: I b a (u lm.3.7 Σύµφωνα µε τη υζήτηη της υποενότητας., η χέη.3.7 µπορεί να εφαρµοτεί προεγγιτικά, για πεπεραµένο Ν, ως: b a I (u Iˆ.3.8 Προκειµένου λοιπόν να υπολογίουµε το ολοκλήρωµα.3.,

επιλέγουµε ιοπίθανα Ν πραγµατικούς αριθµούς u (,,3,, το διάτηµα ολοκλήρωης, [a,b], υπολογίζουµε τις αντίτοιχες Ν τιµές της υνάρτηης, (u και εφαρµόζουµε την χέη.3.8 Σύµφωνα µε τα αποτελέµατα της προηγούµενης παραγράφου, η ποότητα Î είναι τυχαία µεταβλητή µε αναµενόµενη τιµή ίη µε την πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος.3., ΙΕ((u (b-a, και διαπορά ίη µε: b b (b a (b a V((u (E((u (u du (I (u (b a Î a b a a M lm (I (u j (b a M M j Όπως επίης θα δείξουµε την επόµενη υποενότητα η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Î είναι η κανονική κατανοµή. du b a.3.9 Μπορούµε να εκφράουµε ποοτικά την ακρίβεια της προέγγιης, όπως θα δείξουµε τα επόµενα, µε την τετραγωνική ρίζα της διαποράς. Προκειµένου δε να υπολογίουµε την διαπορά, ύµφωνα µε τα επιχειρήµατα που αναπτύξαµε την υποενότητα., θα χρηιµοποιήουµε την ακόλουθη προεγγιτική έκφραη (ΜΝ: Î M (Î (u - j j M (b a (b a ((u (u - j j (b a (u - ( (u ή για Ν µεγάλο αριθµό(ν- Ν (ba (u (u I ˆ (.3.0 Παράδειγµα.3. Έτω ότι αποκοπούµε να υπολογίουµε το ολοκλήρωµα: 0 4 I (4 3 d.3. 5 Απλός διαφορικός λογιµός καταλήγει ότι : 4 5 3 4 5 3 I ( 0 0 ( 5 5 78375.3. 5 5

Αντ αυτού όµως θα εφαρµόουµε την µέθοδο της Monte Carlo ολοκλήρωης, διαλέγοντας µε ίη πιθανότητα, Ν αριθµούς από το διάτηµα [5,0] και επαναλαµβάνοντας την προέγγιη.3.8 για Ν 000, 4000, 6000 και 64000. Θα αναφερόµατε τα αποτελέµατα των προεγγίεων ώς: Î 000, Î 4000, Î 6000 και Î 64000, ανάλογα του αριθµού Ν των αριθµών που επιλέγονται ιοπίθανα το διάτηµα [5,0]. Παράλληλα ε κάθε προέγγιη θα εκτιµούµε και την αντίτοιχη διαπορά, χέη.3.0, χρηιµοποιώντας για τις τετραγωνικές ρίζες των διαπορών τους υµβολιµούς, ˆ 000, ˆ 4000, ˆ 6000 και ˆ 64000. Σας υπενθυµίζω ότι αυτές οι ποότητες αποτελούν µέτρο της ακρίβειας του αποτελέµατος της Monte Carlo ολοκλήρωης. Προκειµένου να αναδείξουµε την τατιτικές ιδιότητες των εκτιµήεων, θα επαναλαµβάνοµε κάθε µία από τις εκτιµήεις, Î 000, Î 4000, Î 6000 και Î 64000, για 4000 φορές. (Με άλλα λόγια, θα διαλέγουµε 4000 ύνολα Ν αριθµών, ιοπίθανα κατανεµηµένους το διάτηµα [5,0] και θα υπολογίζουµε, βάει της.3.8, 4000 τιµές της τυχαίας µεταβλητής Î. Τα αποτελέµατα των υπολογιµών 4, για τις τέαρες κατηγορίες εκτιµήεων, παρίτανται εν είδη ιτογράµµατος το Σχήµα.3.. Αναλυτικότερα το ιτόγραµµα.3..α παριτά την υχνότητα εµφάνιης τιµών της τυχαίας µεταβλητής Î 000, (εκτίµηη της αριθµητικής τιµής του ολοκληρώµατος µε Ν000 και αντίτοιχα τα ιτογράµµατα.3..β -.3..γ παριτούν την υχνότητα εµφάνιης τιµών των τυχαίων µεταβλητών Î 4000, Î 6000 και Î 64000. Εκ του Σχήµατος.3. είναι αφής ο τατιτικός χαρακτήρας της εκτίµηης του ολοκληρώµατος. Οι προεγγιτικές εκτιµήεις δίνουν τιµές κοντά την πραγµατική τιµή (78375 και είναι χαρακτηριτικό ότι οι αναµενόµενες τιµές και των τεάρων εκτιµήεων (όπως εύκολα µπορεί να υπολογίει κανείς, βλέπε Ερώτηη... είναι ίες µε την πραγµατική τιµή. Χαρακτηριτικό επίης είναι ότι αυξάνοντας το πλήθος Ν οι εκτιµήεις υγκεντρώνονται περί την πραγµατική τιµή. Είναι υνεπώς λογικό να εκφράζουµε 4 Για τους υπολογιµούς και τα αποτελέµατα αυτό το παράδειγµα χρηιµοποίηα την γεννήτρια ιοπίθανων αριθµών, DM, της βιβλιοθήκης προγραµµάτων του CE (CELIB. Περιότερα για την ιοπίθανη παραγωγή αριθµών αναφέρονται το Κεφάλαιο 4.

ποοτικά την ακρίβεια της εκτίµηης µε την διαπορά (καλλίτερα µε την τετραγωνική ρίζα της διαποράς της εκτίµηης Î. Εφαρµόζοντας την χέη.3.9, για την περίπτωη που αναλύουµε, καταλήγουµε ότι: α β Î 000 Î 4000 γ δ Î 6000 Σχήµα.3.: Τα ιτογράµµατα παριτούν την υχνότητα εµφάνιης τιµών των τυχαίων µεταβλητών Î (εκτιµήεων του ολοκληρώµατος της χέης.3.: α για Ν000 ( Î 000, β για Ν4000 ( Î 4000, γ για Ν6000 ( Î 6000 και δ για Ν000 ( Î 64000 Î 64000

(b a V(( b a (I ( (b a d b a 0 4 5 (78375 0-5 d 5 70.9 000 85.4 4000 45.7 6000.9 64000.3.3 5 Βεβαίως για τις περιότερες των πρακτικών εφαρµογών, πραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος είναι άγνωτη (άλλωτε είναι το ζητούµενο και η χέη.3.3 έχει θεωρητική µόνο αξία. Πρακτική χρήη βρίκει η χέη.3.0, εκτίµηης της ακρίβειας, ˆ Ν, της προέγγιης (εκτίµηης του ολοκληρώµατος. Στο Σχήµα.3. παρίτανται οι υχνότητες τιµών για τις µεταβλητές ˆ 000, ˆ 4000, ˆ 6000 και ˆ, όπου είναι εµφανείς ο τατιτικός τους 64000 χαρακτήρας. Αξίζει να ηµειωθεί ότι η αναµενόµενη τιµή κάθε µία από τις µεταβλητές ˆ 000, ˆ 4000, ˆ 6000 και ˆ υµφωνεί µε τις τιµές τις χέης.3.3, όπως 64000 µπορεί να εξακριβωθεί από τα ιτογράµµατα του Σχήµατος.3.. Ας ανακεφαλαιώουµε: Επιλέγοντας ιοπίθανα Ν αριθµούς το διάτηµα [5,0] εκτιµούµε την τιµή του ολοκληρώµατος.3. εφαρµόζοντας την χέη.3.8. Εάν επαναλάβουµε την εκτίµηη χρηιµοποιώντας ένα άλλο ύνολο Ν αριθµών, επιλεγµένων ιοπίθανα από το ίδιο διάτηµα [5,0], θα καταλήξουµε ε διαφορετική τιµή. Δείξαµε ότι η εκτίµηη του ολοκληρώµατος είναι τυχαία µεταβλητή που κατανέµεται γύρω από την πραγµατική τιµή µε διαπορά που δίνει η χέη.3.9. Όταν το πλήθος όρων, Ν, που χρηιµοποιούµε τείνει το άπειρο, η διαπορά των εκτιµήεων τείνει το µηδέν και η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας εκφυλίζεται ε δ υνάρτηη. Χρηιµοποιούµε την τετραγωνική ρίζα της διαποράς για να εκφράουµε την ακρίβεια της προέγγιης. Στην πράξη µπορούµε µόνο να εκτιµήουµε 6 την ακρίβεια της προέγγιης, µε την χέη.3.0. 5 Πράγµατι οι τιµές αυτές είναι ε υµφωνία µε τις τιµές που υπολογίζει κανείς από τα ιτογράµµατα του Σχήµατος.3. 6 Με το ίδιο ύνολο των Ν ιοπιθάνως επιλεγµένων αριθµών εκτιµούµε την τιµή του ολοκληρώµατος και την διαπορά της εκτίµηης. Είναι λάθος να υποθέτει κανείς ότι η εκτίµηη της διαποράς εκφράζει την ακρίβεια της υγκεκριµένης εκτίµηης του ολοκληρώµατος (που έγινε µε το ίδιο ύνολο Ν ιοπίθανως επιλεγµένων αριθµών.

α β ˆ 000 ˆ 4000 γ δ ˆ 6000 Σχήµα.3.: Τα ιτογράµµατα παριτούν την υχνότητα εµφάνιης τιµών των τυχαίων µεταβλητών ˆ (εκτιµήεων της ακρίβειας υπολογιµού ολοκληρώµατος της χέης.3.: α για Ν000 ( ˆ 000, β για Ν4000 ( ˆ 4000, γ για Ν6000 ( ˆ 6000 και δ για Ν64000 ( ˆ 64000 ˆ 64000.3. Θεώρηµα κεντρικού ορίου Έτω ένα ύνολο από Ν ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές {Χ, Χ,, Χ }. Έτω ακόµη ότι η αναµενόµενη τιµή και η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής Χ είνα µ και αντίτοιχα (,,3,,. Δείξαµε ότι (βλέπε παράγραφο., εξιώεις..3,.., µε α και cov(, j 0, η µεταβλητή είναι τυχαία µεταβλητή µε αναµενόµενη τιµή και διαπορά που δίνεται από την ακόλουθη χέη: E( E µ ι

V( ανεξάρτητα από τις υναρτήεις κατανοµής πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών. Κάτω από τις ίδιες υνθήκες (υν την απαίτηη κάποιες ροπές να είναι πεπεραµένες το Θεώρηµα του Κεντρικού Ορίου δείχνει 8 ότι το άθροιµα, κατανέµεται το αυµπτωτικό όριο, όταν δηλαδή το Ν τείνει το άπειρο, ύµφωνα µε Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Συγκεκριµένα: Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής, που ορίζεται ως το άθροιµα Ν ανεξαρτήτων µεταβλητών:, τείνει να γίνει Gaussan (κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας καθώς το πλήθος, Ν, των ανεξαρτήτων µεταβλητών τείνει το άπειρο. 8 Η απόδειξη του Θεωρήµατος του Κεντρικού Ορίου τη γενική του µορφή είναι λίγο περίπλοκη. Αντ αυτής θα δώουµε την απόδειξη για την περίπτωη όπου όλες οι τυχαίες µεταβλητές έχουν την ίδια υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας: f ( f(,,3,. Προφανώς, θα ιχύει επιπλέον ότι: µ µε( και ότι για,,3,. Θα υποθέουµε επίης ότι και οι ορµές ανώτερες τάξης υπάρχου και είναι πεπεραµένες, καθώς και ότι (χωρίς να επηρεάουµε την γενικότητα της απόδειξης θα θεωρήουµε ότι µ0 και κατά υνέπεια Ε(. Η χαρακτηριτική υνάρτηη της τυχαία µεταβλητής Χ, µπορεί να αναλυθεί ε ειρά Taylor ως εξής: 3 t (t (t 3 t φ (t E(e...... (α 3! Ας ορίουµε την µεταβλητή u, η οποία έχει διαπορά /Ν (επειδή η µεταβλητή Χ έχει διαπορά. Εφαρµόζοντας την χέη (α καταλήγουµε για την χαρακτηριτική υνάρτηη φ u (t ότι: tu t φ (t E(e... (β u Επειδή η χαρακτηριτική υνάρτηη του αθροίµατος αµοιβαίως ανεξαρτήτων τυχαίων µεταβλητών είναι το γινόµενο των χαρακτηριτικών υναρτήεων των τυχαίων µεταβλητών θα ιχύει ότι: t t u u και φ (t ( φ u (t... ώτε : φ (t... u lm u lm Αλλά η υνάρτηη t / e είναι η χαρακτηριτική υνάρτηη της Gaussan υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας ώτε: u Ν ( e e ή f( e Ν u π π π Ν t / e

και µ ι όπου µ Ν(;µ, µ ( e π f(.4. Ερώτηη: Δείξετε ότι: [ ] (;0, e π µ f ι ι.4. Βεβαίως για όλες τις πρακτικές εφαρµογές η χέη.4. εφαρµόζεται προεγγιτικά για πεπεραµένο άθροιµα τυχαίων µεταβλητών. Η ακρίβεια τέτοιων προεγγίεων, για πεπεραµένο πλήθος όρων (Ν, εξαρτάται από τις υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας και προφανώς από το πλήθος των όρων του αθροίµατος. Στα επόµενα δύο παραδείγµατα επιδεικνύεται η προεγγιτική χρήη του Θεωρήµατος του Κεντρικού Ορίου. Παράδειγµα.4.: Gaussan γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Έτω ότι U,U,U 3, U είναι τυχαίες µεταβλητές µε την ίδια υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας, αλλού 0 u / f(u f(u, (δηλαδή οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών {u,u,, u } διαλέγονται ιοπίθανα από το διάτηµα [-.]. Προφανώς Ε(uµ0 και V(u /3. Σύµφωνα µε την.4., όταν το Ν τείνει το άπειρο, η τυχαία µεταβλητή : u, έχει Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. 3 e / 3 π Ν µ e / Ν ι ι π f(.4.4

Σε πληθώρα εφαρµογές θα χρειατούµε έναν αλγόριθµο παραγωγής τιµών για κάποια τυχαία µεταβλητή ύµφωνα µε κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Είναι εύλογο να χρηιµοποιήουµε το άθροιµα Ν τυχαίων µεταβλητών,, που παίρνουν τιµές ιοπίθανα, υποθέτοντας ότι η τυχαία µεταβλητή θα έχει υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από την χέη.4.4. (α (β Χ Χ Χ Χ Χ 3 (γ (δ Σχήµα.4.: Συναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας (ιτογράµµατα για το άθροιµα α δύο, β τριών, γ τεάρων και δ πέντε τυχαίων µεταβλητών που παίρνουν τιµές ιοπίθανα το διάτηµα [-,]. Οι υνεχείς καµπύλες αντιτοιχούν την Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Χ Χ Χ 3 Χ 4 Χ Χ Χ 3 Χ 4 Χ 5 (ε (τ Χ Χ Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Χ Χ Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Χ 7 Σχήµα.4.: Συναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας (ιτογράµµατα για το άθροιµα ε έξι, β επτά, γ οκτώ και δ έκα έξι τυχαίων µεταβλητών που παίρνουν τιµές ιοπίθανα το διάτηµα [-,]. Οι υνεχείς καµπύλες αντιτοιχούν την Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. (ζ (ε

Στο Σχήµα.4., παρουιάζουµε τα αποτελέµατα υπολογιτικού πειράµατος που εκτελέαµε µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιτή. Συγκεκριµένα, χρηιµοποιήαµε µία γεννήτρια ιοπίθανης παραγωγής τιµών το διάτηµα [-,]. Στο Σχήµα.4..α παρουιάζεται υπό µορφή ιτογράµµατος η κατανοµή της πυκνότητας πιθανότητας που προκύπτει για το άθροιµα δύο ιοπίθανων τυχαίων µεταβλητών ε ύγκριη µε την Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας (υνεχή γραµµή το Σχήµα.4. µε αναµενόµενη τιµή µ0 και µε διαπορά Ν/3/3. Αν και η προκύψαα τυχαία µεταβλητή (το άθροιµα δύο ιοπίθανα κατανεµηµένων τυχαίων µεταβλητών έχει αναµενόµενη τιµή και διαπορά ίη µε µηδέν και /3 αντίτοιχα, ε υµφωνία µε την χέεις..3 και.., απέχει πολύ από το να χαρακτηριθεί ότι ακολουθεί κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. Βεβαίως, όο το πλήθος των τυχαίων µεταβλητών που υµµετέχουν το άθροιµα αυξάνει η Gaussan προέγγιη γίνεται περιότερο επιτυχής. Στις πειραµατικές επιτήµες, είναι τόο ύνηθες οι µετρήεις να ακολουθούν Gaussan κατανοµές ώτε να θεωρείται ότι κάθε κατανοµή µετρήεων πρέπει να είναι Gaussan. Όπως θα φανεί τις επόµενες παραγράφους, αυτή η γενίκευη είναι λανθαµένη. Αλλά υπάρχει ένας πολύ απλός λόγος, γιατί η πλειοψηφία των µετρήεων να είναι αυτής της µορφής. Παράδειγµα.4.: Ας πάρουµε αν παράδειγµα την κίνηη µίας φαίρας ε οριζόντιο, µη λείο δάπεδο. Η κίνηη κάθε άλλο από ευθύγραµµη είναι. Όπως εύκολα µπορεί να παρατηρήει κανείς, η φαίρα το τέλος της διαδροµής της θα έχει µία εγκάρια µετατόπιη από την ιδεατή της τροχιά. Εύκολα, επίης, µπορούµε να ερµηνεύουµε αυτή την εκτροπή αν το αποτέλεµα διαδοχικών υγκρούεων (κεδάεων της φαίρας µε εξογκώµατα της επιφάνειας του τραπεζιού. Σε ανάλογες αλληπιδράεις, εξ άλλου, υνίταται και το φαινόµενο της τριβής.

Στο Σχήµα.4., παρίτανται χηµατικά αυτές οι διαδοχικές κεδάεις, καθώς και η τελική µετατόπιη X αν άθροιµα των επιµέρους µετατοπίεων δ. Σχήµα.4. : Διαδοχικές..Σκεδάεις. δ κ- δ κ δ δ δ κ- Χ δ 0 Χ δ 0 δ δ.δ κ- δ κ- δ κ Η υνολική αποµάκρυνη της φαίρας,χ, αλλά και η έκβαη κάθε επιµέρους κέδαης είναι τυχαίες µεταβλητές ( εάν το πείραµα επαναληφθεί, η φαίρα θα εκτραπεί κατά διαφορετική ποότητα, και µάλιτα η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας των κεδάεων είναι δύκολο να προδιοριθεί. Η υνολική όµως µετατόπιη από την ευθύγραµµη κίνηη, µετά από µεγάλο αριθµό κεδάεων, ακολουθεί Gaussan υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας διότι πληρούνται οι προϋποθέεις του θεωρήµατος του κεντρικού ορίου, όπως και είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί πειραµατικά. Προκειµένου να δείξουµε τις υνέπειες του Θεωρήµατος του Κεντρικού ορίου ε φαινόµενα όπως αυτό της πολλαπλής κέδαης, επιχείρηα το ακόλουθο πειραµατιµό προοµοίωης. Υπέθεα ότι η εγκάρια αποµάκρυνη, δ όπου,,3,, τις επιµέρους κεδάεις έχει υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από µία από a( b( c( d(

τις υναρτήεις : a(, b(, c(, d(, e(, f(, (, r(, που παρίτανται γραφικά το Σχήµα.4.3. (α (β Χ Χ 3

Στο Σχήµα.4.4 παρίτανται γραφικά οι υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας της υνολικής εγκάριας αποµάκρυνης, Χ, της φαίρας µετά από δύο, τρεις, τέερις, πέντε, έξι, επτά, οκτώ και δέκα έξι κεδάεις. Συγκεκριµένα, υπέθεα ότι την περίπτωη που υµβαίνουν δύο κεδάεις µία εκ των κεδάεων καταλήγει ε εγκάρια µετατόπιη ύµφωνα µε την υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας a( και η άλλη ύµφωνα µε την υνάρτηη b(. Οµοίως, την περίπτωη των τριών κεδάεων, οι τρεις εγκάριες µετατοπίεις έχουν ως υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας τις a(, b( και c( αντίτοιχα. Στην περίπτωη των τεάρων κεδάεων εµπλέκονται οι υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας a(, b(, c( και d( κ.ο.κ. Τέλος την περίπτωη των δέκα έξι

κεδάεων οι εγκάριες µετατοπίεις παίρνουν, ανά δύο, τιµές ύµφωνα µε τις υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας a(, b(, c(, d(, e(, f(, ( και r(. Είναι προφανές ότι, ανεξάρτητα από την επιλογή των υναρτήεων πυκνότητας πιθανότητας για τα επιµέρους φαινόµενα, το υνολικό αποτέλεµα ακολουθεί κανονική κατανοµή, αρκεί τα επιµέρους φαινόµενα να είναι µεταξύ τους ανεξάρτητα. Η υνθήκη αυτή, της επαλληλίας ανεξαρτήτων υπο-φαινοµένων, ικανοποιείται την πλειοψηφία των µετρητικών διαδικαιών ώτε το υνολικό αποτέλεµα, η µέτρηη, να χαρακτηρίζεται από Gaussan πυκνότητα πιθανότητας..5 Σφάλµατα Μετρήεων Στα επόµενα παραθέτουµε, προφανείς παρατηρήεις που αφορούν τυχαίες µεταβλητές και µετρήεις. Μία τυχαία µεταβλητή παίρνει τιµές ύµφωνα µε µία υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας, Επαναλαµβανόµενες µετρήεις µίας φυικής ποότητας κατανέµονται γύρω από την πραγµατική τιµή (της φυικής ποότητας ύµφωνα µε µία

υνάρτηη κατανοµής που είναι χαρακτηριτική της µετρητικής διαδικαίας. Στην τατιτική η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας µπορεί να είναι οποιαδήποτε κατάλληλα κανονικοποιηµένη υνάρτηη Στην πειραµατική φυική υπάρχουν διάφορα φαινόµενα που προκαλούν την διαπορά των µετρήεων. Λόγω του Θεωρήµατος του Κεντρικού Ορίου, περιµένουµε τις περιότερες από τις υναρτήεις κατανοµής µετρήεων να είναι Gaussans. Μπορούµε να µετρήουµε την διακριτική ικανότητα της µετρητικής µας υκευής,, αν την τετραγωνική ρίζα της διαποράς των αποτελεµάτων της επαναλαµβανόµενης µέτρηης. Συνήθως το πρόβληµα που τίθεται είναι το ακόλουθο: Έτω µετρητική υκευή µε διακριτική ικανότητα και έτω, ένα και µοναδικό αποτέλεµα µέτρηης της φυικής ποότητας. Ποία είναι η χέη του αποτελέµατος της µέτρηης µε την πραγµατική τιµή της φυικής ποότητας, ; Θα θεωρήουµε ότι, λόγω του θεωρήµατος του κεντρικού ορίου ( επειδή τις περιότερες των πρακτικών εφαρµογών υντρέχουν όλοι εκείνες οι προϋποθέεις για να ιχύει το θεώρηµα του κεντρικού ορίου η κατανοµή των επαναλαµβανόµενων µετρήεων είναι Gaussan 9. Η πιθανότητα λοιπόν το αποτέλεµα της µέτρηης µας να είναι µεταξύ και d, δεδοµένου ότι η πραγµατική τιµή είναι, θα δίνεται από την ακόλουθη χέη: 9 Η γενική περίπτωη θα υζητηθεί τις επόµενες παραγράφους. Είναι όµως προφανές ότι η αποδόχή της Gaussan κατανοµής µετρήεων καλύπτει τις περιότερες από τις περιπτώεις.

( P( d e d π β P( d α.5. Όπου Ν, είναι ένας παράγοντας κανονικοποίηης ώτε η υνολική πιθανότητα το διάτηµα [α,β], των επιτρεπτών τιµών (π.χ. φαντατείτε ότι το µετρούµενο µέγεθος δεν µπορεί να πάρει τιµές έξω από [α,β] να ιούται µε ένα. Εάν δεν ξέρουµε την πραγµατική τιµή της φυικής ποότητας και πριν επιτελέουµε την µέτρηη, όλοι οι αριθµοί της περιοχής [α,β] είναι το ίδιο κατάλληλοι για να είναι η πραγµατική τιµή. Συνεπώς, πριν κάνουµε οποιαδήποτε µέτρηη, µπορούµε να εκφράουµε την πιθανότητα (P 0 ( ώτε, η πραγµατική τιµή του φυικού µεγέθους να είναι ένας (πραγµατικός αριθµός µεταξύ και d, ως: d P [ α,β] ( 0 β α.5. 0 [ α,β] Επίης, εαν δεν ξέρουµε την πραγµατική τιµή της φυικής ποότητας, δεν έχουµε κανένα τρόπο να προβλέψουµε το αποτέλεµα της µέτρηης. Πριν εκτελέουµε την µέτρηη, προάπτουµε ε κάθε τοιχειώδη περιοχή, από µέχρι d (το διάτηµα [α,β] την ίδια πιθανότητα (Μ 0 ( να εµφανιτεί ως αποτέλεµα της µετρητικής µας διαδικαίας. Ώτε: ( M 0 d β α 0 [ α,β] [ α,β].4.3 Συνδυάζοντας τις χέεις.4.,.4. και.4.3 µε το θεώρηµα του Bayes (βλέπε χέη.4. καταλήγουµε την έκφραη:

P( P( P( P 0 M 0 ( ( ( d e d π b a d b a 0, ( e d, π [a,b] [a,b].4.4 Η χέη.4.4, εκφράζει όλη την γνώη αποκοµίαµε αναφορικά µε την πραγµατική τιµή της φυικής ποότητας, αφού εκτελέαµε µία και µόνο µέτρηη. Σαφώς δεν ξέρουµε ποία είναι η πραγµατική τιµή της φυικής ποότητας αλλά µπορούµε να προάψουµε πιθανότητα ε κάθε τοιχειώδη περιοχή [,d] να περιέχει την πραγµατική τιµή. Η χέη.4.4 παίζει τον ρόλο της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας της πραγµατικής τιµής ενώ η πραγµατική τιµή έχει πλέον τα χαρακτηριτικά της τυχαίας µεταβλητής. Συµπεραµατικά: Πριν εκτελέουµε οποιδήποτε µέτρηη της φυικής ποότητας: Γνωρίζουµε: α την υναρτηιακή µορφή της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας των µετρήεων (Gaussan, β την χέη της µέης τιµής της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας µε την πραγµατική τιµή (παραδεχθήκαµε ιότητα και γ την τετραγωνική απόκλιη της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας. Προάπτουµε ( εκ των προτέρων γνώη ίες πιθανότητες όλους τους πραγµατικούς αριθµούς (της περιοχής [α,β] να είναι η πραγµατική τιµή της υπό µέτρηη φυικής ποότητας. 3Κάθε πραγµατικός αριθµός, την περιοχή δυνατών τιµών [α,β], έχει την ίδια πιθανότητα να αποτελέει αποτέλεµα της µέτρηης. Μετά την εκτέλεη µίας µέτρηης της φυικής ποότητας:

Μπορούµε να προάψουµε υγκεκριµένη πιθανότητα ε κάθε τοιχειώδη περιοχή των πραγµατικών αριθµών, ύµφωνα µε την.4.4., να περιέχει την πραγµατική τιµή του υπό µέτρηη φυικού µεγέθους Θα πρέπει να ηµειωθεί ότι, η διακριτική ικανότητα της µετρητικής υκευής,, καθορίζει την διαπορά της πραγµατικής τιµής, όπως φαίνεται την.4.4. Το δε λεγόµενο «φάλµα της µέτρηης» εκφράζει ακριβώς αυτήν την απόκλιη των τιµών που µπορεί να πάρει η «πραγµατική τιµή» 0 από το αποτέλεµα της µέτρηης. Στην πράξη, αναφέρουµε αν φάλµα µίας µέτρηης την τετραγωνική ρίζα της διαποράς, δηλαδή την τιµή του της χέη.4.4. Αυτή η ποότητα, όπως ήδη ελέχθη, την περίπτωη µετρητικών υκευών δεν είναι τίποτα άλλο από την διακριτική ικανότητα της υκευής. Στην περίπτωη εκτιµητικών διαδικαιών όµως (π.χ. ανάλυη τατιτικών δεδοµένων που καταλήγουν την εκτίµηη της «πραγµατικής τιµής» κάποιου µεγέθους, το φάλµα είναι η τετραγωνική ρίζα της διαποράς της εκτιµητέας ποότητας, η οποία πέραν από τα µετρητικά φάλµατα εξαρτάται από την µεθοδολογία ανάλυης. Παράδειγµα.5. Έτω ότι κάποια µετρητική υκευή χρηιµοποιείται για την µέτρηη φυικής ποότητας, Χ. Ας υποθέουµε ότι η πραγµατική τιµή της Χ είναι 0. Χ Σχήµα.5.: Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας των µετρήεων της ποότητας Χ, όπως προεγγίτηκε από 000000 επαναλήψεις της ιδίας µέτρηης Στο Σχήµα.5. παρουιάζεται η γραφική παράταη της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας των µετρήεων της ποότητας Χ, που υπολογίθηκε µετά από υλλογή 000000 επαναλήψεων της ίδιας µέτρηης. Από αυτές τις µετρήεις είναι εύκολο να υπολογιθούν (προεγγιτικά ύµφωνα µε τις χέεις..6 και..0β η 0 Σας υπενθυµίζω για άλλη µια φορά ότι η «πραγµατική τιµή» του φυικού µεγέθους είναι τυχαία µεταβλητή διότι δεν µπορούµε να προάψουµε υγκεκριµένη τιµή αλλά προάπτουµε πιθανότητα ε κάθε πραγµατικό αριθµό να είναι η «πραγµατική τιµή» του µεγέθους.

αναµενόµενη τιµή και η τετραγωνική ρίζα της διαποράς των µετρήεων, οι οποίες βρέθηκαν να είναι 0.00 και 0.63 αντίτοιχα. Είναι αφές ότι η αναµενόµενη τιµή (του µεγάλου πλήθους των µετρήεων προεγγίζει µε πολύ ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική τιµή. Η τετραγωνική ρίζα της διαποράς των µετρήεων θα καλείται τα επόµενα, διακριτική ικανότητα της µετρητικής υκευής και προφανώς υµπίπτει µε το φάλµα της µετρήεις από την µετρητική υκευή. Η οµάδα των πειραµατιτών αποφάιε να προεγγίζει την πραγµατική τιµή του µεγέθους Χ, εκτελώντας 0 µετρήεις και υπολογίζοντας τον µέο όρο τους. Σύµφωνα µε την χέη.4., ο µέος όρος έχει κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας µε αναµενόµενη τιµή ίη µε την πραγµατική τιµή και διαπορά,, ίη µε 0.63 /00.098 (0.4. Η τετραγωνική ρίζα της διαποράς,, αντιπροωπεύει την διακριτική ικανότητα της µετρητικής µεθόδου, η οποία αφώς εξαρτάται και από την διακριτική ικανότητα του οργάνου που χρηιµοποιήαµε. Η ποότητα είναι επίης το φάλµα προδιοριµού της πραγµατικής τιµής της ποότητας Χ. Σχήµα.5.: Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας του µέου όρου 0 µετρήεων, όπως προδιορίτηκε από την επανάληψη της ίδιας µέτρηης. Η υνεχής γραµµή αντιτοιχεί την κανονική υνάρτηη όπως προβλέπεται από το Θεώρηµα του Κεντρικού Ορίου Πράγµατι, όπως φαίνεται το χήµα.5., εάν κανείς επαναλάβει πολλές φορές (00000 την λήψη 0 µετρήεων, τον υπολογιµό του µέου όρου τους και την υνέχεια προδιορίει την υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας του µέου όρου, θα καταλήξει ε κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας µε αναµενόµενη τιµή και (όπως υπολογίζονται από τα δεδοµένα του Σχήµατος.5. ία µε 0 και 0.4. 0 0 0 Διότι όπως ελέγξαµε προηγουµένως η αναµενόµενη τιµή των µετρήεων είναι ίη µε 0, όο δηλαδή και η πραγµατική τιµή του µεγέθους. Αφού λοιπόν η αναµενόµενη τιµή του µέου όρου Ν µετρήεων είναι ίη µε την αναµενόµενη τιµή των µετρήεων αναµένεται να είναι ίη και µε την πραγµατική τιµή του υπό µέτρηη µεγέθους.

Η οµάδα των πειραµατιτών εκτελεί µία µόνο ειρά από 0 µετρήεις καταλήγοντας τις τιµές:{ 9.8946, 9.895958, 9.9739, 9.053773, 9.564336, 9.94496, 8.635, 9.89406, 0.885, 0.08975, 0.0946, 9.64553, 9.57656, 9.3330,.34587, 9.43096, 0.30736, 9.3559, 0.34878, 7.9904, 9.700}. Από αυτές υπολογίζει τον µέο όρο ίο µε 9.7 και εκτιµά (ύµφωνα µε την χέη..0β την τετραγωνική ρίζα της διαποράς των µετρήεων ίη µε 0.675. Συνεπώς, εκτιµά ότι η τετραγωνική ρίζα της διαποράς του µέου όρου είναι 0.675/(0 / 0.5. Σύµφωνα µε όα ελέχθηαν την αρχή αυτής της υποενότητας, η πραγµατική τιµή του φυικού µεγέθους δεν µπορεί να καθοριθεί από πεπεραµένο αριθµό µετρήεων, αλλά έχει χαρακτήρα τυχαίας µεταβλητής µε κανονική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας (επειδή προδιορίτηκε ως µέος όρος ανεξαρτήτων µετρήεων, βλέπε Θεώρηµα Κεντρικού Ορίου. Η αναµενόµενη τιµή της πραγµατική τιµής του φυικού µεγέθους καθώς και η ακρίβεια προδιοριµού της (η τετραγωνική ρίζα της διαποράς της πραγµατικής τιµής εκτιµούνται από την µέτρηη ως 9.7 και 0.5 αντίτοιχα. Συνήθως γράφουµε το αποτέλεµα της µέτρηης ως: 9.7±0.5, εννοώντας ότι η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της πραγµατικής τιµής είναι η κανονική υνάρτηη: (r9.7 (0.5 e π 0.5, που παρίταται το Σχήµα.5.3. Χ Σχήµα.5.3: Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της πραγµατικής τιµής της ποότητας Χ, όπως καθορίτηκε από 0 επαναλαµβανόµενες µετρήεις.

.6 Χρήη πινάκων τον υπολογιµό φαλµάτων. Τα περιότερα προβλήµατα, που αντιµετωπίζει κανείς την ανάλυη τατιτικών δεδοµένων, αναφέρονται ε περιότερο της µίας τυχαίας µεταβλητής. Παραδείγµατος χάριν, την περίπτωη της αξιολόγηης της εµβέλειας ενός εκπαιδευτικού πειραµατιµού, ο αξιολογητής έχει να αναλύει τις απαντήεις των εµπλεκοµένων ε ένα ερωτηµατολόγιο καίριων ερωτήεων. Οι απαντήεις {,,.. }, ε κάθε µία από τις Ν ερωτήεις 3 που απευθύνονται ε κάθε εµπλεκόµενο το πείραµα, υνδέονται µε τον βαθµό επιτυχίας του πειραµατιµού µε µία µη τετριµµένη χέη της µορφής, (,,... Προφανώς τόο οι απαντήεις όο και ο βαθµός επιτυχίας του πειραµατιµού, (,,.., είναι τυχαίες µεταβλητές. Ερώτηη.6.: Γιατί οι απαντήεις και ο βαθµός επιτυχίας του πειραµατιµού, είναι τυχαίες µεταβλητές; Γενικά µπορούµε να παρατήουµε ένα ύνολο τυχαίων µεταβλητών ως ένα διάνυµα!.6.... µε υνιτώες τις Ν τυχαίες µεταβλητές ως υνιτώες. Οι υνδιαπορές (covarances cov(, j 4 µπορούν να θεωρηθούν τοιχεία του πίνακα V ~ cov(, cov(,... cov(, cov(, cov(,... cov(, V ~.............6. cov(, cov(,... cov(, Δείξαµε όµως, ότι η διαπορά της υνάρτηης των τυχαίων µεταβλητών (,,,, την.3.7, εκφράζεται ως: V( cov(, j j µ µ j.6.3 µ µ 3 Όπου θεωρούµε τις απαντήεις υνεχείς µεταβλητές, π.χ. 0.8 ηµαίνει ότι ο ερωτούµενος θεωρεί κατα 80% επαρκείς τους εκπαιδευτικούς. 4 Θυµηθείτε ότι η διαπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι: V( cov(,

όπου µ,µ,µ 3,...µ Ν είναι οι αναµενόµενες τιµές των τυχαίων µεταβλητών,,.., αντίτοιχα. Οι αναµενόµενες τιµές µπορούν, καθ όµοιο τρόπο µε την.6., να παραταθούν µε το διάνυµα: µ... µ µ µ!.6.4 Ας ορίουµε το διάνυµα µ... µ µ!.6.5 Χρηιµοποιώντας την.6. και.6.5, µπορούµε να γράψουµε την.6.3 µε την µορφή: ( V ~ µ... µ µ V ~ µ... µ µ V( T!!.6.6 Μπορούµε να «παίξουµε το ίδιο παιχνίδι» την περίπτωη περιότερων της µίας υναρτήεων τυχαίων µεταβλητών, ως ακολούθως: Έωαν, k υναρτήεις των τυχαίων,,,,, µεταβλητών τις οποίες παριτούµε ως διάνυµα G!, της µορφής:,..,, (...,..,, (,..,, ( G,..,, (...,..,, (,..,, ( k k!.6.7

Ορίζουµε την k Jacoban µ ~ J µ k µ µ µ µ k µ µ µ Ν k.6.8 Ας παρατήουµε υπό µορφή πίνακα τις υνδιαπορές µεταξύ των υναρτήεων (,,, (,,3,,, ως: cov(, cov(,... cov(, cov(, cov(,... cov(, C ~.............6.9 cov(, cov(,... cov(, Είναι εύκολο να δείτε ότι ο πίνακας C ~, τα τοιχεία του οποίου δίνονται από την χέη.3.8 µπορεί να γραφεί αν γινόµενο της Jacoban.6.8 και του πίνακα υνδιαποράς των µεταβλητών.6., δηλαδή: T C J V J % %%%.6.0

Παράδειγµα.6.: Ας υποτεθεί, βλέπε χήµα.6., ότι µετράµε την θέη υλικού ηµείου, P, µε τις τρεις κυλινδρικές υντεταγµένες r,φ,z. Ας θεωρήουµε ότι το φάλµα της µέτρηης του r είναι µηδέν και ότι οι µετρήεις του φ και z είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε φάλµατα φ και z αντίτοιχα.. z P y φ r Σχήµα.5.. Μέτρηη των υντεταγµενων ηµείου Μπορούµε προφανώς, να εκφράουµε την µέτρηη της θέης του Ρ ε καρτειανές υντεταγµένες,y,z, ως: (r, ϕ,z r cosϕ (r, ϕ,z y r snϕ 3 (r, ϕ,z z z.6. Ποιά θα είναι τα φάλµατα της νέας καρτειανής έκφραης της µέτρηης µας; Επειδή οι µετρήεις των υντετεγµενων, r, φ και z, είναι αµοιβαία ανεξάρτητες, ο πίνακας υνδιαποράς, V ~, των {r,φ,z} θα δίνεται ως: 0 0 0 V ~ 0 ϕ 0.6. 0 0 z

Είναι εύλογο να χρηιµοποιήουµε τον µεταχηµατιµό.3.8 3 λ cov(, ν ν cov(, λ µ j.6.3 µ j όπου χρηιµοποιούµε τον υµβολιµό: ν ν και µ είναι η µ µ αναµενόµενη τιµή της µεταβλητής η οποία (υποθέτουµε, βλέπε υποενότητα.7 υµπίπτει µε την πραγµατική τιµή του αντιτοίχου µεγέθους Χ. Έχοντας την διάθεη µας µία µόνο µέτρηη,, µπορούµε να εκφέρουµε γνώµη όον αφορά τη µέη τιµή της τυχαίας µεταβλητής,, µόνο πιθανοκρατικά. Ακολουθώντας όµοια ανάλυη µε εκείνη της παραγράφου.5, καταλήγουµε ότι η πιθανότητα ώτε η µέη τιµή της τυχαίας µεταβλητής ι να είναι µ ι, δεδοµένης µίας µέτρηης της ι, είναι : P( µ P(µ P(µ P( µ P( Επιπλέον, υποθέτοντας ότι οι µετρήεις µας ακολουθούν κανονική κατανοµή (η P( µ είναι κατανοµή Gauss µε ίον του φάλµατος µε το οποίο προδιορίζεται η, καταλήγουµε να εκφράουµε την πιθανότητα ώτε η µέη τιµή να είναι οποιαδήποτε τιµή του πεδίου οριµού του., µε την ακόλουθη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. P(µ (µ dµ e dµ.6.4 π Η καλύτερη εκτίµηη, την οποία είναι δυνατό να επιτύχουµε, για την τιµή του µ, είναι αυτή που µεγιτοποιεί την P(µ, δηλαδή µ. Συνεπώς, προεγγιτικά, οι παράγωγοι την χέη.6.3 υπολογίζονται ώς: ν ν µ ι Υπενθυµίζεται, ότι η δεύτερη ιότητα ιχύει γιατι χρηιµοποιήαµε ιοπίθανες κατανοµές για το P(µ και για το P(, εκφράζοντας έτι την παντελή µας άγνοια.

Τα ακόλουθα είναι απλή εφαρµογή της µεθοδολογίας που αναπτύχθηκε ε αυτή την υποενότητα. Συγκεκριµένα: Η Jacoban (χέη.6.8 των υναρτήεων.6. είναι: 0 0 0 rcosφ snφ 0 rsnφ cosφ J 3 3 3 3 3 3.6.5 Τελικώς, ο πίνακας υνδιαποράς των καρτειανών υντεταγµένων,y και z είναι: z φ φ φ φ z φ φ φ φ 0 0 0 y 0 y y 0 0 0 φ cos r snφcosφ r 0 cosφsnφ r φ sn r J V J.6.6 Αξίζει να ηµειωθεί ότι, ενώ οι µετρήεις των κυλινδρικών υντεταγµένων είναι αµοιβαία ανεξάρτητες, ο µεταχηµατιµός.6. καταλήγει ε τατιτικά εξαρτηµένες µετρήεις των καρτειανών υντεταγµένων. Προφανώς, θα µπορούε κανείς να µετρήει µε ανεξάρτητο τρόπο (κατ ευθείαν τις καρτειανές υντεταγµένες. Η αλληλοεξάρτηη που εκφράζει η χέη.6.6, είναι υνέπεια της µεθοδολογίας εκτίµηης των καρτειανών υντεταγµένων δια µέου των (µη γραµµικών µεταχηµατιµών.6..

.7 Συτηµατικά φάλµατα. Μέχρι τώρα έχουµε αχοληθεί µε τυχαία φάλµατα, υποθέτοντας ότι η πραγµατική τιµή υµπίπτει µε την αναµενόµενη τιµή των εκτιµήεων (µετρήεων και έχει τον χαρακτήρα τυχαίας µεταβλητής. Δείξαµε ότι ο καλύτερος τρόπος για να ελαχιτοποιήουµε τα τυχαία φάλµατα ε µία µέτρηη είναι να την επαναλάβουµε αρκετές φορές και να υπολογίουµε τον µέο όρο των µετρήεων. Τι θα υµβεί όµως την περίπτωη, όπου οι µετρήεις µας θα αποκλίνουν από την πραγµατική τιµή κατά την ποότητα Δ; Εάν δηλαδή η αναµενόµενη τιµή των µετρήεων δεν ιούται µε την πραγµατική τιµή αλλά αποκλίνει κατά Δ Στην περίπτωη αυτή δεν κερδίζουµε πολλά πράγµατα µε το να επαναλαµβάνουµε την µέτρηη. Θα πρέπει να επιχειρήουµε τον προδιοριµό, µε κάποιον άλλο ανεξάρτητο τρόπο, του µεγέθους Δ και να διορθώουµε την µέτρηή µας. Επειδή όµως πρόκειται για εκτίµηη της παραµέτρου Δ, θα υµπεριφέρεται ως τυχαία µεταβλητή. Με ποίο τρόπο θα επιτελέουµε αυτή την διόρθωη. Ας υποθέουµε ότι η µέτρηη του φυικού µεγέθους Χ,, πάχει και από υτηµατικά φάλµατα. Θα θεωρήουµε ότι η µέτρηη αποτελείται από δύο µέρη. Ένα τυχαίο,, µε φάλµα, και ένα υτηµατικό,, µε φάλµα s. Θα έχουµε δηλαδή ότι. Συνεπώς η υνολική διαπορά των µετρήεων θα ιούται µε: V( V( E ( [ ( E ] E[ ] ( E( E(.7. E( E( E( E ( E ( E( E( V( V( Ερώτηη: Αποδείξετε την τελευταία ιότητα τη.7., χρηιµοποιώντας το επιχείρηµα ότι τα και είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Βρείτε την αναµενόµενη τιµή του. Υπόδειξη: Η υνδιαπορά των ποοτήτων και ιούται µε µηδέν. Σύµφωνα λοιπόν µε την.7., τα δύο είδη φαλµάτων µπορούν να προτεθούν ε τετραγωνική µορφή. tot s Aς υποθέουµε τώρα ότι, θέλουµε να υνδυάουµε δύο µετρήεις και, οι οποίες έχουν ένα κοινό υτηµατικό φάλµα (s και τυχαία φάλµατα και. Τότε µπορούµε να γράψουµε :,. Προφανώς θα ιχύει ότι V( s και V( s. Η υνδιαπορά των δύο µεταβλητών, και, θα είναι:

( ( [ ] ( ( ( s V(s, cov( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E E E E E( E( E(, cov( Γενικεύοντας, ο πίνακας υνδιαποράς µπορεί να γραφεί s s s V. Εξετάαµε περιπτώεις κατά τις οποίες τα υτηµατικά φάλµατα είναι ανεξάρτητα των µετρήεων. Ας δούµε την, περιότερο ρεαλιτική, περίπτωη όπου τα φάλµατα είναι ανάλογα του αποτελέµατος της µέτρηης. Έτω δηλαδή οι τυχαίες µεταβλητές και, µε τυχαία φάλµατα, και και υτηµατικά φάλµατα s ε και s ε αντίτοιχα. Προφανώς θα ιχύει ότι: ( ε V( V ε Επίης εύκολα µπορεί να δείξουµε ότι: ε, cov(, cov( Τα αποτελέµατα αυτά, µπορούν εύκολα να γενικευθούν για την περίπτωη περιότερων των δύο µετρήεων. Παράδειγµα.7.: Η ένταη του ηλεκτρικού ρεύµατος, Ι, που διαρρέει µία αντίταη υπολογίζεται µε την µέτρηη της διαφοράς δυναµικού V τα δύο άκρα της αντίταης, µεγέθους ±, χρηιµοποιώντας ένα βολτόµετρο µε διακριτική ικανότητα V. Ποίο είναι το φάλµα την µέτρηη του ρεύµατος; Γνωρίζουµε από το νόµο του Ohm ότι ΙV/. Επειδή τα V και είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους, καταλήγουµε ότι: V I 4 V V I V I V V V V V V

Η ίδια υνδεµολογία χρηιµοποιείται και για την µέτρηη της ένταης του ρεύµατος, Ι, όταν η διαφορά δυναµικού τα άκρα της αντίταης είναι V ± V.. Τα φάλµατα το ρεύµα Ι, θα δίνεται από την χέη: V I V I Οι µετρήεις των δύο ρευµάτων θα έχουν µία µη µηδενική υνδιαπορά, επειδή χρηιµοποιήθηκε η ίδια αντίταη, που ιούται µε: I I I I I, cov(i Προβληµα Να εξετάετε την περίπτωη, όπου οι δύο µετρήεις έχουν ανεξάρτητα υτηµατικά φάλµατα s και s αντίτοιχα. Πρόβληµα.6.3 Θεωρείτε τρείς µεταβλητές,, 3 και ας υποτεθεί ότι εκτός από τα τυχαία φάλµατα,, 3, έχουν ένα κοινό υτηµατικό φάλµα s και επί πλέον άλλο ένα ανεξάρτητο υτηµατικό φάλµα Τ από το οποίο πάχουν τα, αλλά όχι το 3. Αποδείξτε ότι ο πίνακας υνδιαποράς είναι: 3 s s s s T s T s s T s T s