ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό Μιας Μεταβλητής Η άσκηση αυτή αφορά το Θεώρηµα Cyley-Hmilto, παράγραφος 6 της Γραµµικής Άλγεβρας I Έστω Α 6 Αφού προσδιορίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α, παρατηρήστε ότι Α Α 6 και Α Α Α Υπολογίστε τον πίνακα Α Α ( βαθµοί II Έστω Β Εκφράστε το B - ως πολυώνυµο του Β ( βαθµοί (Υπόδειξη: έστε το παράδειγµα 66 Εδώ αναφερόµστε σε θετικά ορισµένους πίνακες και τετραγωνικές µορφές, παράγραφος 6 της Γραµµικής Άλγεβρας λ ίνεται ο πραγµατικός πίνακας Α λ I Αποδείξτε ότι ο Α δεν είναι θετικά ορισµένος ( βαθµοί (Υπόδειξη: υπολογίστε την ορίζουσα του Α και συµπεράνετε ότι µια τουλάχιστον ιδιοτιµή δεν είναι θετική II Στην περίπτωση που ο Α είναι θετικά ηµιορισµένος, να υπολογισθούν οι ιδιοτιµές του και χωρίς να κάνετε άλλες πράξεις
δώστε τη διαγώνια µορφή της τετραγωνικής µορφής T ( βαθµοί Η άσκηση αφορά µιγαδικούς αριθµούς και ιδιαίτερα το Θεώρηµα De Moivre, παράγραφος του Λογισµού Μιάς Μεταβλητής I Προσδιορίστε τις ρίζες της εξίσωσης z ώστε τη γεωµετρική παράστασή τους στο πραγµατικό επίπεδο Τι σχήµα προκύπτει αν ενώσουµε τις διαδοχικές κορυφές; ( βαθµοί (Υπόδειξη: Ασκηση σελίδα II Προσδιορίστε τις 8 ρίζες της εξίσωσης z 8 z ( βαθµοί (Υπόδειξη: ισχύει z 8 z (z (z Η άσκηση αυτή αναφέρεται στο ενότητα του Λογισµού Μιάς Μεταβλητής I Ποιές από τις συναρτήσεις f : RR, f(, και g : RR, g( αντιστρέφονται; Να περιγραφεί µε τύπο η αντίστροφη συνάρτηση όταν υπάρχει Υπολογίστε τις δύο συνθέσεις f g και g f ( βαθµοί II Έστω η ακολουθία α που δίνετε από α και α α είξτε ότι η ακολουθία αυτή είναι κάτω φραγµένη και φθίνουσα Συµπεράνατε ότι είναι συγκλίνουσα και βρείτε το όριό της Αφού βρείτε τον γενικό τύπο της α, βρείτε ένα Ν ώστε α - α < / για κάθε Ν, όπου α είναι το όριο, σύµφωνα µε τον ορισµό της συγκλίνουσας ακολουθίας Χρησιµοποιώντας αριθµοµηχανή επαληθεύσατε ( βαθµοί III Για ποιούς θετικούς πραγµατικούς λ η ακολουθία α λ συγκλίνει; ( βαθµοί (Υπόδειξη: άσκηση σελ 9- Στην άσκηση αυτή εξετάζονται σειρές, ενότητα του Λογισµού Μιάς Μεταβλητής I Εξετάστε αν συγκλίνουν οι σειρές ( βαθµοί (! ( ( βαθµοί ( βαθµοί (Υπόδειξη: για την πρώτη δέστε το παράδειγµα στη σελίδα 8, για τη δεύτερη γράψτε την ως άθροισµα δύο σειρών και για την τρίτη συγκρίνατέ την µε την αρµονική σειρά
II Βρείτε τα αθροίσµατα ( βαθµοί ( βαθµοί (Υπόδειξη Για την πρώτη σειρά, µελετήστε το παράδειγµα στη σελίδα III Αν α είναι ακολουθία µη µηδενικών αριθµών ώστε α α - α α α, αποδείξτε ότι η σειρά α δεν συγκλίνει ( βαθµοί α 6 Η άσκηση αυτή αφορά όρια και συνέχεια συναρτήσεων, ενότητα του Λογισµού Μιάς Μεταβλητής I Βρείτε τα όρια o ( βαθµοί si( π si(π ( βαθµοί ( βαθµοί (Υπόδειξη: Για το πρώτο όριο δέστε την άσκηση σελίδα 6 Για το δεύτερο όριο, υπενθυµίζουµε από την Τριγωνοµετρία ότι si(α - si α siα και εποµένως si(π- si si(π si (π Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι li m ΙΙ Να βρεθούν οι πραγµατικοί α,β ώστε η συνάρτηση α, β < α β, < f(, να είναι συνεχής στο R ( βαθµοί Προτεινόµενες Ασκήσεις Πέρα από τα παραδείγµατα του βιβλίου και τις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης, θα πρέπει να ασχοληθείτε µε τη λύση των παρακάτω ασκήσεων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφ 6 :,, 7, 8,,,,, 8,, 6, ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ενότ :,, 6, 8, Ενότ :,, 6, 8 Ενότ :,,, 6, 7, 9, Ενότ :,,, 8
ΠΛΗ - Απαντήσεις στην Εργασία Ι Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι (πράξεις και από το θεώρηµα Cley-Hmilto έχουµε Συνεπώς, 6, Με επαγωγή στο µπορεί να αποδειχθεί ότι και για κάθε,, Άρα 6 6 ΙΙ Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Β είναι (πράξεις και από το θεώρηµα Cley-Hmilto έχουµε B I Ο Β είναι αντιστρέψιµος γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι µη µηδενικός B B Παίρνουµε I ( B B B και πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη µε το B έχουµε έχουµε ( Όµοια B ( B I B Αντικαθιστώντας B B B I 9 7 B B I ( B B I B B I Ι Η ορίζουσα είναι λ λ (λ Επειδή αυτή είναι το γινόµενο των ιδιοτιµών, βλέπουµε ότι δεν είναι δυνατόν οι ιδιοτιµές να είναι όλες θετικές ΙΙ Ο πίνακας Α είναι θετικά ηµιορισµένος ακριβώς όταν οι ιδιοτιµές είναι Από το Ι βλέπουµε ότι αν ο Α είναι θετικά ηµιορισµένος τότε λ Στην περίπτωση αυτή έχουµε και οι ιδιοτιµές του Α είναι (πράξεις,, Σύµφωνα µε τη σχέση (6 σελίδα 7 του βιβλίου, η διαγώνια µορφή y της τετραγωνικής µορφής που ορίζει ο Α είναι
Ι z ( συνπ iηµ π Από De Moivre, υπάρχουν οι εξής λύσεις π kπ π kπ z k συν, iηµ, k,,, Το σηµείο k αντιστοιχεί στη λύση z k Α Α,, Α Α, Προκύπτει τετράγωνο στη γραφική παράσταση, ΙΙ Σύµφωνα µε την υπόδειξη, εδώ έχουµε επιπλέον τις ρίζες του οι,, i, z που είναι Ι Η f είναι αµφιµονοσήµαντη ( f ( f ( και επί (το τυχαίο y είναι εικόνα του y Άρα αυτή αντιστρέφεται Η g δεν είναι αµφιµονοσήµαντη (πχ g ( g( και άρα δεν αντιστρέφεται Η : αντίστροφη συνάρτηση της f είναι f, συνθέσεις έχουµε f g f g( ( f ( Για τις ( ( ( 7, ( II Επαγωγικά µπορούµε να αποδείξουµε ότι <,,, (προσοχή στο αρχικό βήµα, είναι και άρα η ακολουθία είναι κάτω φραγµένη και ( g f (γνήσια φθίνουσα Κατά συνέπεια είναι συγκλίνουσα Ισχύει,, 8 κλπ Επαγωγικά µπορούµε να δείξουµε ότι Θα δείξουµε τώρα ότι µε τον ορισµό του ορίου (Θα χρησιµοποιήσουµε εδώ γνωστές ιδιότητες λογαρίθµων Με log συµβολίζουµε τον λογάριθµο µε βάση το Έστω ε > και Õ µε log log log ( ε Τότε για κάθε ισχύει ε Πράγµατι,
6 ( < log ( ε < ε < ε < ε log log > > log log ( ε log log ( log < log ( ε Συνεπώς ε η ακολουθία συγκλίνει Θέτοντας ε / βρίσκουµε µε τη βοήθεια αριθµοµηχανής από την τελευταία ανισότητα ότι > 6,, ήτοι 7 Για 7 έχουµε,6 (µε τη βοήθεια αριθµοµηχανής Παρατηρούµε ότι πράγµατι,,6 - </ III Έχουµε ( λ ( λ ( λ λ λ λ (λ λ Υπολογίζοντας το όριο της τελευταίας παράστασης, βλέπουµε ότι η ακολουθία συγκλίνει αν και µόνο αν λ, ήτοι λ (! Ι και αυτό τείνει στο < όταν Άρα η σειρά (! συγκλίνει σύµφωνα µε το κριτήριο του λόγου Για τη δεύτερη σειρά παρατηρούµε ότι ( (* Επειδή < συγκλίνει Είναι γνωστό ότι και η συγκλίνει Από τη (* b συγκλίνει και ( b b ( και η γεωµετρική σειρά προκύπτει ότι η αρχική σειρά συγκλίνει συγκλίνει συµπεραίνουµε ότι η b (* Χρειάζεται προσοχή εδώ: Αν και συγκλίνουν, τότε η αναφέρει ρητά η άσκηση γ σελίδα (Αυτό εννοεί, χωρίς να το
7 Η τρίτη σειρά δεν συγκλίνει γιατί > και η σειρά δεν συγκλίνει αφού η δεν συγκλίνει ΙΙ Επειδή / / έχουµε / / / / / N N N Άρα Στη δεύτερη σειρά έχουµε άθροισµα δύο συγκλινουσών σειρών, Άρα 6 ΙΙΙ Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι: αν η ακολουθία συγκλίνει τότε Άρα δεν είναι δυνατόν να συγκλίνει η 6Ι ( ( ( ( Ακολουθώντας την υπόδειξη έχουµε: π π π π π π π si( ( si si( si( Το µηδενίζει τον αριθµητή και παρονοµαστή του τρίτου ορίου Έχουµε ( ( ( (
8 6ΙΙ Είναι σαφές ότι η f ( είναι συνεχής σε κάθε εκτός ενδεχοµένως από τα σηµεία και Η f ( είναι συνεχής στο f ( f ( f ( β Η f ( είναι συνεχής στο f f f β ( ( ( β Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε και β 8