ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 6Νο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 1. Να ρθί η ξίσση της φαπτομένης υθίας της γραφικής παράστασης της f, μ : f() = φ + σφ στο σημίο μ ττμημένη = π. (Απ. : = 4 8 π + ). Έστ η συνάρτηση f μ f() = συν, <. +, 1 Σ ποιά σημία της γραφικής παράστασης της f ορίζται φαπτομένη και σ ποιά όχι ; (Απ. για κάθ σημίο Μ(, f( )) μ IR * ). Nα ρθί η ξίσση της φαπτομένης υθίας του διαγράμματος της f, μ τύπο f() = - 1, που έχι συντλστή διύθυνσης λ = 1. (Απ. οι φαπτομένς ίναι 1 : = - 1 + 1-1 και : = + 1 + 1-1) 4. Να ρθί η ξίσση της φαπτομένης του διαγράμματος της f, μ τύπο f() = -, όταν αυτή σχηματίζι μ τη διύθυνση του ημιάξονα Ο γνία π. (Απ. : = - 4) 4 5. Αν f() = α + + +, να ρίτ τις τιμές τν α, IR για τις οποίς η γραφική παράσταση της f έχι στο σημίο Α(-1, 1) φαπτομένη υθία μ κλίση 8. (Απ. α = = 6) ean+_(tan)/cl ΣΕΛΙΔΑ 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) 6. Δίνται η συνάρτηση f, μ f() = + α +, όπου α, IR. Να προσδιορίστ τους πραγματικούς αριθμούς α, ώστ η υθία που πρνά από την αρχή τν αξόνν να έχι συντλστή διύθυνσης, να φάπτται του διαγράμματος της f στο σημίο Μ(1, ). (Απ. α =, = 1) 7. Να προσδιορίστ τον αριθμό α μ α IR, ώστ η f μ f() = α, να έχι φαπτομένη την υθία μ ξίσση =. Βρίτ πίσης και τις συντταγμένς του σημίου παφής. (Απ. α = e e 1, το σημίο παφής θα ίναι (, ) = (e, e) ) 8. Αν μια συνάρτηση f : IR IR ίναι παραγγίσιμη, άρτια και η κλίση της στο σημίο = ίναι 4, τότ να ρίτ την κλίση της f στο σημίο 1 = -. (Απ. f (-) = - 4 ) 9. Δίνται η συνάρτηση f, μ τύπο f() = 7 + λ+ μ, λ, μ IR. Να ρίτ + τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ, ώστ η γραφική παράσταση της f να πρνά από την αρχή τν αξόνν και η φαπτομένη υθία της στο σημίο μ ττμημένη = - να ίναι παράλληλη στον άξονα. (Απ. μ =, λ = ) 1. Όταν το διάγραμμα μιας συνάρτησης f τέμνι τον άξονα υπό γνία ννοούμ ότι η ξίσση της φαπτομένης υθίας της στο σημίο τομής της μ τον σχηματίζι γνία (μ την διύθυνση του ημιάξονα Ο) (σχήμα 1) Να προσδιορίστ τον πραγματικό αριθμό α, ώστ το διάγραμμα της f, μ τύπο : f() = 1 4 (α - ), να τέμνι τον άξονα υπό γνία = π 4. (Απ. α = 4) τομή της μ τον υπό γνία (σχήμα 1) 11. Χορδή μιας παραολής ονομάζται το υθύγραμμο τμήμα που συνδέι δύο διαφορτικά σημία της παραολής. f() Μ Δίνται η συνάρτηση f, μ f() = + α +, α, IR. Να δίξτ ότι η χορδή που πρνά από τα σημία Μ 1, Μ (σχήμα ) της γραφικής παράστασης της f, μ ττμημένς α και, αντίστοιχα ίναι παράλληλη προς την φαπτομένη στο σημίο Μ της γραφικής παράστασής της μ ττμημένη α +. f(α) Μ 1 α Μ α+ (σχήμα ) ΣΕΛΙΔΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) 1. Nα δίξτ ότι για = ή =, οι φαπτομένς, στα σημία μ ττμημένς τις προηγούμνς τιμές τν συναρτήσν f και g μ f() = και g() =, ίναι παράλληλς. 1. Να δίξτ ότι οι φαπτομένς υθίς στα σημία μ τταγμένη 1 του διαγράμματος της συνάρτησης g, μ g() = 1 +, πρνούν από την αρχή + τν αξόνν. 14. Δύο συναρτήσις f και g για να έχουν σ κοινό σημίο (, ) τν διαγραμμάτν τους κοινή φαπτομένη θα πρέπι να ισχύι ότι f( ) = g( ) και f ( ) = g ( ) (σχήμα ). Α (, f( )) C g Δίνονται οι συναρτήσις f και g, μ f() = α + και g() = 1. Να προσδιορίστ τους πραγματικούς αριθμούς α, σχήμα ώστ τα διαγράμματα τν συναρτήσν f και g, να έχουν κοινή φαπτομένη υθία στο σημίο = 1. Ποιά ίναι η ξίσση της κοινής φαπτομένης ; (Απ. : = - + ) 15. Δύο γραφικές παραστάσις συναρ - τήσν f και g έχουν σ διαφορτικά σημία Α( 1, f( 1 )) και Β(,g( )) κοινή φαπτομένη (σχήμα 4) αν ισχύι f ( 1 ) = g ( ) και f( 1 ) - 1 f ( 1 ) = g( ) - g ( ) (γιατί ;) α) Να δίξτ ότι η ξίσση e ( - 1) = 4 έχι μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1, ). B(, g( )) σχήμα 4 C g A( 1,f( 1 )) ) Να αποδίξτ ότι οι γραφικές παραστάσις τν συναρτήσν f() = e και g() = 1 δέχονται κοινή φαπτομένη. 16. Δύο γραφικές παραστάσις και C g τν συναρτήσν f και g, θα φάπτονται, αν στο κοινό σημίο τν και C g αν και μόνο αν έχουν κοινή φαπτομένη. Δίνονται οι συναρτήσις f και g, μ f() = e, g() = 4 - e λ -. Να προσδιορίστ τον αριθμό λ, λ IR, ώστ οι γραφικές παραστάσις τν f και g να φάπτονται. (Απ. λ =.ln) ΣΕΛΙΔΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) α + + 1, < 17. Αν f() =, να ρίτ τις τιμές τν α,, γ IR για τις γ +, οποίς η γραφική παράσταση της f έχι στο σημίο Α(, f()) φαπτομένη υθία κάθτη στην υθία + - 4 =. (Απ. α = 1 1, = 5 6 και γ = 1 4 ) 18. Αν : - = ίναι η φαπτομένη της γραφικής παράστασης της = f() στο σημίο = -1, να ρίτ την φαπτομένη υθία 1 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, μ τύπο g() = f 1 στο σημίο 1 = 1. (Απ. 1 : = 4-6 ) 19. Αν f() = αln + +, να ρίτ τις τιμές τν πραγματικών αριθμών α, για τις οποίς η υθία - + 4 =, ίναι φαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημίο της Α(1, f(1)). (Απ. α = -4 και = ). Η υποτίνουσα νός ορθογνίου τριγώνου φάπτται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f μ f() = ln (σχήμα 5). Η μία κάθτη πλυρά έχι μήκος α (α > ) και ρίσκται στον ημιάξονα Ο. Η άλλη κάθτη πλυρά έχι μήκος ( > ). Να ρίτ τις συντταγμένς του σημίου παφής Μ(, ) ς συνάρτηση τν α,. (Απ. Μ(, ) = Μ α α,ln ) Γ B Μ(, ) α A σχήμα 5 = ln α 1. Να δίξτ ότι από κάθ σημίο Μ(α, ), μ α του άξονα διέρχται μία μόνο φαπτομένη υθία στο διάγραμμα της συνάρτησης f, μ f() = 1. (σχήμα 6). σχήμα 6. Έστ η συνάρτηση f παραγγίσιμη δύο φορές στο IR μ f (), IR. Αν μ λ π π f ( ),, λ και g() = φλ, η γραφική παράσταση της f ( ) συνάρτησης g, τέμνι τον άξονα Ο πρισσότρς από μια φορά, να αποδίξτ ότι η κλίση της g στα σημία τομής μ τον άξονα τν ίναι ίδια. Ποιά ίναι αυτή η κλίση ; (Απ. g ( ) = φλ ) ΣΕΛΙΔΑ 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6). Να ρίτ την ξίσση της φαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f μ f() = + η οποία σχηματίζι μ τους άξονς τρίγνο μαδού 16 τ.μ. (σχήμα 7). 9 = f() Γ Β (Απ. = 9-4 ή = 9 + 4 ) 4. Έστ συνάρτηση f : [, α) IR μ f() = ( α), α >. Αν τυχαία φαπτομένη υθία της γραφικής παράστασης της f τέμνι τους ημιάξονς Ο, Ο στα σημία Α και Β αντίστοιχα, να αποδίξτ ότι το άθροισμα OA + OB ίναι σταθρό. σχήμα 7 5. Δίνται η συνάρτηση f μ f() = +, 1., > 1 α) Να δίξτ ότι η γραφική παράσταση της f δέχται φαπτομένη στο σημίο μ ττμημένη = 1. ) Ποιά γνία σχηματίζι η φαπτομένη αυτή μ τον άξονα μ κατύθυνση τον Ο και τον άξονα μ κατύθυνση τον Ο ; γ) Να δίξτ ότι η φαπτομένη υθία που ρήκατ στο ρώτημα (α) σχηματίζι μ τους άξονς τρίγνο μαδού Ε = g (), όπου g() = ημ. (Απ. : = - + ) 6. Να δίξτ ότι από το σημίο Ρ(α, ), όπου < α διέρχονται δύο φαπτομένς της παραολής =. Επιπλέον αν το Ρ ίναι σημίο της υθίας = - 1, τότ οι φαπτομένς θα 4 ίναι κάθτς. 7. Δίνται η συνάρτηση f μ f() = α + + γ, α, ΙR *, γ, IR και το σημίο Α(κ, λ). Αν από το Α άγονται δύο φαπτομένς προς την, να αποδίξτ ότι α κ αλ + αγ + ακ >. 8. Δίνται η συνάρτηση f : IR IR, η οποία ίναι δύο φορές παραγγίσιμη στο IR και ισχύι f( + ) + f( ) = συν( ), για κάθ IR. Να ρθί η γνία που σχηματίζι μ τον άξονα η φαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημίο =. (Απ. = 15 ) ΣΕΛΙΔΑ 5